立体几何——点线面的关系
点线面的几何关系
点线面的几何关系几何学是研究空间和图形性质的学科，点、线和面是几何学中最基本的元素。
它们之间存在着紧密的几何关系，深刻地影响着我们对空间的认识和理解。
本文将以点线面为切入点，讨论它们之间的几何关系和相互作用。
一、点与线的关系1. 直线和点的关系直线是由无数个点组成的，它是最基本的二维几何元素之一。
在笛卡尔坐标系中，我们可以通过两个点来确定一条唯一的直线。
同时，一条直线上的所有点都满足某种特定的关系，这个关系可以用方程来描述，如一般式方程或截距式方程。
2. 曲线和点的关系曲线是由一系列连续的点组成的。
曲线可以是闭合的，也可以是开放的。
曲线的性质和类型多种多样，比如圆、椭圆、抛物线等。
不同类型的曲线有着不同的方程和几何特征，它们与点之间的关系也各不相同。
3. 线段和点的关系线段是由两个端点所确定的一段连续的直线。
线段是直线的一个特例，它的长度是有限的。
一个点可以是线段的一部分，也可以是线段的一个端点。
线段和点之间的关系可以通过线段的长度和点在线段上的位置来判断。
二、线与面的关系1. 直线与平面的关系直线与平面的关系可以分为三种情况：相交、平行和垂直。
若一条直线和一个平面有一个公共点，则称这条直线与该平面相交；若一条直线与平行于该平面的直线没有公共点，则称这条直线与该平面平行；若一条直线与平面上的所有直线都垂直，则称这条直线与该平面垂直。
2. 曲线与平面的关系曲线与平面的关系取决于曲线的类型和平面的方程。
对于二维曲线，平面可以与曲线相切、相交或者没有任何交点。
而对于三维曲面，平面可以与曲面相切、相交、截割或者没有任何交点。
这些关系直接影响着曲线和平面之间的几何性质。
三、点线面构成的空间点、线和面是构成三维空间的基本要素。
它们之间的关系决定了我们对空间结构和形态的认识。
在三维几何中，点是最基本的元素，线是由两个点组成的，面是由三个或更多点组成的。
通过点、线和面的组合，我们可以构建出各种三维几何体，如立方体、球体和棱锥等。
空间几何的基本概念点线与面的关系
空间几何的基本概念点线与面的关系空间几何的基本概念：点、线与面的关系空间几何是研究三维空间中点、线和面之间的关系的数学分支。
点、线和面是空间几何中最基本的概念，它们之间的关系是建立在欧几里得几何基础上的。
本文将介绍空间几何中点、线和面的定义及其之间的关系。
一、点点是空间几何中最基本的对象，它是没有长度、宽度和高度的，仅有一个位置。
点通常用字母标记，如A、B、C等。
在空间中，任意两点可以确定一条线段，而三个非共线的点可以确定一个平面。
二、线线是空间几何中由无数个点组成的集合，它只有长度没有宽度和高度。
线通常用字母表示，如l、m、n等。
线可以分为直线和曲线两种。
直线是在空间中两点之间连续延伸的路径，它有无限个点。
而曲线则是非直线的线，它的形状可以是弯曲或蜿蜒的。
三、面面是空间几何中由无数个直线组成的集合，它有长度和宽度，没有高度。
面通常用字母表示，如α、β、γ等。
面可以分为平面和曲面两种。
平面是由无数个共面的点和一条穿过其中的直线组成的，它没有弯曲的部分。
而曲面则不是平的，它可以弯曲或扭曲。
点、线和面的关系是空间几何中重要的内容。
在空间中，点是构成线和面的基础。
在两个点之间，可以画一条直线，它是连接两个点的最短路径。
多个点可以连成一条折线，折线也是一种线。
线可以在平面内运动、延伸或相交，形成不同的几何形状，而面是由无数条线构成的，它们共面并围成了一个封闭的区域。
点线面之间的关系可以通过以下几个方面进行描述：1. 点与线的关系：一条直线上的任意两点可以确定一条线段，反之，一条线段也可以看作是两个端点之间的直线。
点也可以在一条直线上移动，形成线段的延伸或缩短。
两条相交的直线可以在交点处确定一个新的点。
2. 点与面的关系：一个点可以在平面内，平面也可以通过一个点来确定。
在一个平面上，可以找到无数个点。
3. 线与面的关系：一条线可以在平面内或平面上延伸，两条相交的直线可以确定平面上的一条直线。
一个平面上可以有多条直线，它们可以平行、相交或重合。
点线面的关系
点线面的关系在几何学中，点、线和面构成了基本的几何要素，它们之间存在着紧密的关系。
点是最基本的元素，它是没有长度、宽度和高度的，只有位置。
线是由一系列相邻点组成的，它具有长度但没有宽度和高度。
面由若干条线段相交形成的封闭区域，它具有长度和宽度但没有高度。
点、线和面之间的关系可以通过以下几个方面来描述。
1. 点与线的关系点与线之间的关系比较简单。
一条线段由两个端点组成，而一个点可以是一条线段的一个端点。
点可以在线上或者线的延长线上，也可以不在线上。
点的位置相对于线的位置有多种可能：在线的中间、在线的一端或者在线的外部。
点和线之间的关系可以通过点是否在线上来判断。
2. 点与面的关系点和面之间的关系也比较简单。
点可以在面上、在面的边界上或者在面的外部。
如果一个点在面上，则称该点在该面内。
点和面之间的关系可以通过点是否在面上来判断。
3. 线与线的关系线与线之间的关系有多种情况。
两条线可以相交，也可以平行或重合。
线与线之间的关系可以通过它们的位置关系来描述：如果两条线没有任何交点，则它们平行；如果两条线有且仅有一个交点，则它们相交；如果两条线的所有点都重合，则它们重合。
4. 线与面的关系线和面之间的关系也有多种情况。
线可以位于面内、跨越面或者位于面的边界上。
当一条线既在面内又与面相交时，它被称为切线。
线和面之间的关系可以通过它们的位置关系来判断。
5. 面与面的关系面与面之间的关系也有多种情况。
两个面可以平行，也可以相交。
两个相交的面可以有共线的边，也可以没有共线的边。
两个面之间的关系可以通过它们的位置关系来描述。
综上所述，点、线和面之间存在着丰富的关系。
它们相互作用和相互影响，形成了几何学中复杂而有趣的结构。
通过研究点、线和面之间的关系，我们可以深入理解几何学的基本原理，并将其应用于实际问题的解决中。
几何学作为数学的一部分，对于我们认识和探索世界具有重要的意义。
因此，我们应该充分理解和运用点、线和面之间的关系，以拓宽我们的视野和思维方式。
立体几何讲空间点线面的位置关系课件
线与面的关系
总结词
线与面的关系是空间几何中 复杂的关系之一
详细描述
线与面的关系有多种形式， 如线在面上、线与面相交、 线与面平行等。这些关系可 以通过几何定理进行证明和 推导，如线面平行的判定定 理和性质定理等。
总结词
线与面的关系是空间几何中 复杂的关系之一
详细描述
线与面的关系有多种形式， 如线在面上、线与面相交、 线与面平行等。这些关系可 以通过几何定理进行证明和 推导，如线面平行的判定定 理和性质定理等。
空间面的定义与性质
总结词
几何中的面是由一组线围成的闭合空间。
详细描述
面是由一组线围成的闭合空间，表示一个二维的空间区域。根据定义，面有一定的厚度和大小。面的性质包括封 闭性和延展性，即面是封闭的边界，可以延展成一定的大小和形状。同时，面也可以由三个不同的点确定一个唯 一的平面。
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点线面的位置关系
点与面的关系
总结词
详细描述
总结词
详细描述
点与面的关系是决定面形状的 关键
一个点可以确定一个平面，当 这个点位于平面上时，它与平 面的关系是固定的。此外，当 多个点位于同一平面时，它们 共同确定了该平面的形状和大 小。
点与面的关系是决定面形状的 关键
一个点可以确定一个平面，当 这个点位于平面上时，它与平 面的关系是固定的。此外，当 多个点位于同一平面时，它们 共同确定了该平面的形状和大 小。
详细描述
在几何学中，点被视为最基本的元素，表示一个具体的空间 位置。它没有大小和形状，只有位置。点的性质包括唯一性 和无限可重复性，即任意两个不同的点都可以确定一条直线 ，且同一直线上可以有无数个点。
空间线的定义与性质
总结词
几何中的线是点的集合，表示一个连续的空间路径。
07点线面的位置关系
第七讲 立体几何—点线面的位置关系【知识要点归纳】1. 平面图形知识总结2. 立体图形总结3. 总结线线的位置关系4. 总结线面的位置关系5. 总结面面的位置关系【经典例题】例1：（07广东高考）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）例2：请根据三视图，还原图形，并求体积 （1）（09山东高考改）侧(左)视图俯视图（2）（07山东高考改）（3）（07宁夏高考改）例3：某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）A. 22B. 32C. 4D. 52例4：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，哪些棱与AA 1平行？异面？垂直？例5：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中，哪些面与AB 平行？垂直？正视图侧视图俯视图例6：判断下列说法是否正确？（1）若,m n α⊥∥β，αβ⊥，则m n ⊥（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 （3）垂直于同一直线的两条直线相互平行 （4）若αα//,//,n n m m 则⊂（5）如果m n m ,,αα⊄⊂、α//,n n 那么是异面直线 （6）若平面α内有不共线三点到平面β的距离相等，则βα// （7）若βαγβγα//,,则⊥⊥（8）若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m例7：已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b （ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【课堂练习】1.将装有水的长方体的水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽的水形成的几何体是（ ） A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥组合体 D.不能确定2.若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面3.（09浙江理）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．4.（09宁夏海南理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）A ．B ．C ．D ．5.长方体1111ABCD A B C D −中，5,3,41===BB BC AB ，一只蚂蚁从点A 出发沿表面爬行到点1C ，求蚂蚁爬行的最短路线的长.答案：1.A 2.B 3.18 4. 5. 74。
高中数学高考45第八章 立体几何 8 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
例2 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平 面β的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相 交.故选D.
的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
平行 直线 共面直线
相交直线 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 把a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围： 0，π2. .
√D.点C和点M
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上.
123456
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面的对数为_3_.
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， 则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.
解 ∵BE∥AF 且 BE＝12AF，G 为 FA 的中点， ∴BE∥FG且BE＝FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH. ∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
立体几何 点线面位置关系+线面位置关系 定理+图
点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
①公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直
线在此平面内。
②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线。
④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
⑤定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
n m a m 1n 1m 2n 2m 1n 1
m 2n
2
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解以下判定定理：
①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行。
②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。
③一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此
平面垂直。
④一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
理解以下性质定理，并能够证明：
①如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。
②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
③垂直于同一个平面的两条直线平行。
④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
点线面的位置关系知识点
点线面的位置关系知识点在几何学中，点、线和面是三个基本的几何概念，它们之间存在着一系列的位置关系。
这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。
本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。
一、点与直线的位置关系1. 在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们可以说这个点在直线上。
例如，点A在直线AB上。
2. 在直线的两侧：如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的两侧。
例如，点C在直线AB的两侧。
3. 在直线的延长线上：如果一个点不在直线上，但位于直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的延长线上。
例如，点D在直线AB的延长线上。
4. 平行于直线：如果一条直线与给定直线没有任何交点，我们可以说这条直线平行于给定直线。
例如，直线CD平行于直线AB。
二、点与平面的位置关系1. 在平面上：当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点在平面上。
例如，点A在平面P上。
2. 不在平面上：如果一个点既不在平面上，也不在平面的延长线上，我们可以说这个点不在平面上。
例如，点B不在平面P上。
3. 在平面的延长线上：如果一个点不在平面上，但位于平面的延长线上，我们可以说这个点在平面的延长线上。
例如，点C在平面P的延长线上。
4. 垂直于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直，我们可以说这条直线垂直于给定平面。
例如，直线EF垂直于平面P。
三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点：当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一点。
例如，直线L与平面P相交于点A。
2. 平行于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行，我们可以说这条直线平行于给定平面。
例如，直线M平行于平面P。
3. 包含于平面：当一条直线上的所有点都位于给定平面上时，我们可以说这条直线被包含于给定平面中。
例如，直线N被包含于平面P 中。
4. 相交于一条线：当一条直线与平面有无穷多个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一条线。
点线面的关系和投影的特点及其在几何学中的应用
点线面的关系和投影的特点及其在几何学中的应用几何学是关于点、线和面等几何元素之间相互关系的研究。
而点线面之间的关系以及它们在投影中的特点，是几何学中重要的概念。
本文将探讨点线面之间的关系，并着重介绍投影的特点以及它们在几何学中的应用。
一、点线面之间的关系在几何学中，点线面是最基本的几何元素。
点是几何学的最小单位，没有长度、面积和体积。
线由无数个无限接近的点组成，具有长度但没有宽度和高度。
面由无数个无限接近的线组成，具有长度和宽度但没有厚度。
点、线和面之间存在着紧密的关系。
首先，一条线可以由无数个点组成。
例如，直线AB可以由A点到B点的无数个点组成。
其次，一个面可以由无数个线组成。
例如，平面P可以由无数条线上的点组成。
最后，一个面可以包含无数个点。
例如，平面P可以包含A、B、C等无数个点。
通过点线面的关系，我们可以更好地理解几何学中的各种概念和定理。
例如，在证明平行线之间的性质时，我们可以利用线与线之间的交点关系来推导出结论。
同时，点线面的关系也为解决几何学问题提供了基础。
在解决平面几何问题时，我们可以通过线与线之间的交点来确定点在平面上的位置。
二、投影的特点投影是一个重要的几何工具，它在几何学中具有广泛的应用。
投影是指将一个物体在另一个平面上的投射，使得原物体的形状、大小和位置在投影中得到保持。
在投影过程中，我们常常遇到以下几个特点：1. 平行投影：平行投影是指当物体与平面平行时，其投影在投影面上的大小和形状与原物体完全相同。
例如，一根竖直的杆子在垂直投影面上的投影仍然是一根竖直的线段。
2. 正交投影：正交投影是指当物体与投影面垂直时，其投影在投影面上的大小和形状发生改变，但仍然保持垂直关系。
例如，一个立方体在平面上的投影是一个正方形，虽然大小和形状发生变化，但其边与投影面垂直。
3. 等距投影：等距投影是指当物体与投影面成一定角度时，其投影与原物体形状相似但大小发生变化。
例如，一个立方体在斜投影面上的投影是一个倾斜的正方形，与原立方体相似但稍微变形。
立体几何——点线面的位置关系
点线面的位置关系〔1〕四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号语言：A l,B l,且A ,B l .公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面②经过两条相交直线,有且只有一个平面_______________________③经过两条平行直线,有且只有一个平面_______________________它给出了确定一个平面的依据.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线〔两个平面的交线〕.符号语言：P ,且P I l,P 1.公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言：a//l,nb//l a//b 0〔2〕空间中直线与直线之间的位置关系1 .概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.两条异面直线a,b ,经过空间任意一点O作直线a //a,b //b ,我们把a与b所成的角〔或直角〕叫异面直线a, b所成的夹角.〔易知：夹角范围0 90 〕公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行.符号语言：a〃l,且b//l a//b 0定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.〔注意：会画两个角互补的图形〕小,击〃心相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；u向宜线2 .位置关系：八’ 平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点〔3〕空间中直线与平面之间的位置关系直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 有 三 种 直线在平面内〔l 〕有无数个公共点〔4〕空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种 两个平面平行〔// 〕没有公共点 两个平面相交〔I 1〕有一条公共直线考点1：点,线,面之间的位置关系例1.〔2021辽宁,4,5分〕m,n 表示两条不同直线,a 表示平面.以下说法正确 的是〔〕A.假设 m// a ,n // a ,那么 m/l nB.假设 a ,n ? a ,那么 nC.假设 a ,m±n, WJ n // aD.假设 mil a ,m±n,那么 n± a［答案］1.B［解析］1.A 选项m n 也可以相交或异面,C 选项也可以n? a ,D 选项也可以n // a 或n 与a 斜交.根据线面垂直的性质可知选 B.例2.〔2021山东青岛高三第一次模拟测试,5〕设"、"是两条不同的直线,空 ,是两个不同的平面,那么以下命题正确的选项是〔〕A.假设 口〃瓦口〃/那么 6"a B .假设 01 人口那么."C .假设 ,, 「那么D .假设・ . . ..那么［答案］2. D［解析］2.A 选项不正确,由于方匚口是可能的;直线在平面外直线与平面相交〔11 直线与平面平行〔1 / / 〕 A 有且只有一个公共点没有公共点B选项不正确,由于以‘产,""靠时,""尸,"仁/都是可能的;C选项不正确,由于我上方,口工户时,可能有m；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证实其是正确的.应选D例3. 〔2021广西桂林中学高三2月月考,4〕设小、"是两条不同的直线,以、川是两个不同的平面.以下命题中正确的选项是〔A〕'；：」-•・；〃一/…」「；二.一不〔C〕滂,£©［8―明〃,••曾 = .,・,A［答案］3. D［解析］3. 假设m上R MU E用工'、那么平面"与“垂直或相交或平行,故〔A〕错误；假设“1凤阳1 g//Q,那么直线用与〃相交或平行或异面,故〔B〕错误；假设口L凤仪1.二风雨工,;那么直线片与平面#垂直或相交或平行,故〔C〕错误; 假设那么直线、1M,故©正确.选D.例4. 〔2021周宁、政和一中第四次联考, 示不同的平面,给出以下四个命题：①假设州且EU•那么u〞；②假设州// f,且阳// c.贝〞// 口；③假设Hl…内T = M ",那么'//巾//E ；④假设m D 且打// #,那么f //7〕设L E,H表示不同的直线,小丹「表( )(B) " ’(D)睽C f其中正确命题的个数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4 ［答案］4. B［解析］4. ①正确；②直线也或£上,错误；③错误,由于正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确.故真正确的选项是①④,共2个.2.空间几何平行关系转化关系:i I城线平行---------- "线面平行" ------------ "面面平行直线、平面平行的判定及其性质归纳总结证实线线平行的方法:11 (平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行.即公理4(2证实这条两条直线的方向量共线.③如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.即面面平行的性质.2 .证实直线和平面相互平行的方法(1证实直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证实这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证实这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.3 .证实两平面平行的方法：(1)利用定义证实.利用反证法,假设两平面不平行,那么它们必相交,再导出矛盾.(2)判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,这个定理可简记为线面平行那么面面平行.用符号表示是：anb, aa , a// e , b// e , WJ a // e.(3)垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a±a , a,B那么a// B.(4)平行于同一个平面的两个平面平行. 〃 ,// //4.两个平面平行的性质有五条：(1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简记为：〞面面平行,那么线面平行〞.用符号表示是：a // B, aa ,那么a // B.(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可简记为：〞面面平行,那么线线平行〞.用符号表示是：a//0, aP 丫=a, B C = =b,贝U a// bo(3) 一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：a // B , a, a ,那么a, B.(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等口(5)过平面外一点只有一个平面与平面平行七3.空间几何垂直关系1 .线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角,两直线垂直；垂直于平行线中的一 条,必垂直于另一条.三垂线定理：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂 直,那麽它也和这条斜线的射影垂直.注意：⑴三垂线指PA PQ AO 都垂直a 内的直线a 其实质是：斜线和平 面内一条直线垂直的判定和性质定理.⑵要考虑a 的位置,并注意两定理交替使 用.2 .线面垂直(1)定义：如果一条直线l 和一个平面a 相交,并且和平面a 内的任意一条直 线都垂直,我们就说直线l 和平面a 互相垂直,其中直线l 叫做平面的垂线,平面 a 叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l 与平面a 垂直记作：I ,ob a J /不(2)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(3)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条 直线平行. 3 .面面垂直(1)两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. (2)两平面垂直的判定定理：(线面垂直 面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(3)两平面垂直的性质定理：(面面垂直 线面垂直)假设两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面PO 推理模式：PAI,OA ,a APa AOAOa考点2:证实线面之间的平行与垂直例1 .如图,四边形ABC时正方形,PD,平面ABCD/DPC=30 ,AF,PC于点F,FE // CD,交PD于点E.(1)证实:CFL平面ADF;［解析］1.⑴证实：V PDL平面ABCD/ PDL AD,又CDL AD,Pm CD=D,• ・ADL平面PCD/ ADL PC,又AF, PC,AFA AD=A,「• PC1平面ADF,即CF,平面ADF.例2. (2021江苏,16, 14分)如图,在四棱锥P-ABC时,平面PADL平面ABCD, AB=AD, / BAD=60 , E, F 分别是AP, AD的中点.求证：(I )直线EF//平面PCD;(R)平面BEFL平面PAD.J)［答案］(I )在△ PAD中,由于E, F分别为AP, AD的中点,所以EF// PD.又因为EF?平面PCD, PC?平面PCD,所以直线EF//平面PCD.(n)连结BD.由于AB=AD, /BAD=60 ,所以△ ABM正三角形.由于F是AD 的中点,所以BF±AD.由于平面PADL平面ABCD, BF?平面ABCD,平面PAD? 平面ABCD=AD所以BF,平面PAD.又由于BF?平面BEF,所以平面BEFL平面PAD.例3. (2021 江苏,16, 14 分)如图,在直三棱柱ABC-ABG中,E、F分别是AB、A i C的中点,点D在BC上,A iD± B i C.求证：(I ) EF // 平面ABC;(II)平面AFD1平面BBCC.［答案］3.( I )由于E、F分别是A i B、A i C的中点,所以EF// BC, EF?面ABC, BC ?面ABC.所以EF//平面ABC.(II)由于直三棱柱ABC-AB i C i,所以BBL面A i B i C i, BB iX A i D,又A i DLBC,所以A i DL面BBCC,又AD?面A i FD,所以平面AFDL平面BBCC.例4. (2021江苏,i6, i4 分)如图,在四面体ABCm,CB=CD, ADLBD,点E、F分别是AB BD的中点.求证:(I )直线EF//平面ACD;(n)平面EFd平面BCD.［答案］4.( I )在4ABD中,由于E、F分别是AB BD的中点,所以EF// AD.又AD?平面ACD, EF?平面ACD,所以直线EF//平面ACD.(H)在AABD^ ,由于ADL BD, EF // AD,所以EF, BD.在△BCDt ,由于CD=CB, F为BD的中点,所以CF± BD.由于EF?平面EFC, CF?平面EFC, EF与CF交于点F,所以BDL平面EFC.又由于BD?平面BCD,所以平面EFCL平面BCD.例5. (2021北京海淀区高三三月模拟题,17,14分)在四棱锥P-/3m 中,产,！平面N夙力,匚是正三角形,金.与凡0的交点5/恰好是AC中点,又= ZCTH二120.,点A『在线段PB上,且(H)求证：AN"平面『DC;［答案］7.(1) 由于必出.是正三角形,■是JC'中点,所以m C',即8OLRC.又由于^ 平面HBCD , 80u平面月8CQ,所以以_LHD.又Rin」心=1,所以叨_L平面心C.又尸.仁平面尸〃’,所以皿_LPC.(H)在正三角形月中,3M =2V'3,在AJC.中,由于M为/C中点, DM±AC y所以才口二CD.又2OM = 120 ,所以NCMf = 60..1tan ZCDM = ♦"=々=出DM —二'所以由冈冈,得3 .所以a1九=31在等腰直角三角形尸/E中,2月"/lA",所以PB = 4五. 所以BMNPCA , BN 小)= BY : ,所以MN NPD .又“V之平面"DC , PD仁平面产比,所以W j平面热乂：.。
点线面的位置关系
点线面的位置关系点、线、面是几何学中的基本概念，它们之间存在着重要的位置关系。
通过研究它们的位置关系，我们可以更好地理解和应用几何学知识。
本文将详细探讨点、线、面的位置关系，并对其应用进行讨论。
一、点、线、面的定义1. 点：几何学中最基本的元素，没有大小和形状，只有位置。
可以用坐标表示，例如(x, y)。
2. 线：由无数个点按照一定规律连接而成，具有长度但没有宽度。
可以用两个点的坐标表示，例如(1, 2)和(3, 4)之间的线段。
3. 面：由无数个线按照一定规律连接而成，具有长度和宽度。
可以用多边形的边界来表示，例如三角形、矩形等。
二、点、线、面的位置关系1. 点与线的位置关系：a. 在线上：如果一个点恰好在一条线上，则称该点在线上。
b. 在线内：如果一个点在一条线的两个端点之间，则称该点在线内。
c. 在线外：如果一个点既不在线上，也不在线内，则称该点在线外。
2. 点与面的位置关系：a. 在面上：如果一个点恰好在一个面上，则称该点在面上。
b. 在面内：如果一个点在一个面的边界之内，则称该点在面内。
c. 在面外：如果一个点既不在面上，也不在面内，则称该点在面外。
3. 线与线的位置关系：a. 相交：如果两条线有公共的一个或多个点，则称这两条线相交。
b. 平行：如果两条线的方向相同，但没有公共的点，则称这两条线平行。
c. 重合：如果两条线有无数个公共的点，则称这两条线重合。
4. 线与面的位置关系：a. 相交：如果一条线与一个面有公共的一个或多个点，则称这条线与该面相交。
b. 平行：如果一条线的方向与一个面平行，且线上没有与该面有公共的点，则称这条线与该面平行。
c. 重合：如果一条线与一个面重合，即线上的所有点都在该面上，则称这条线与该面重合。
5. 面与面的位置关系：a. 相交：如果两个面有公共的一条或多条线段，则称这两个面相交。
b. 平行：如果两个面的法向量平行，则称这两个面平行。
c. 重合：如果两个面有无数个公共的点，则称这两个面重合。
点线面的关系
点线面的关系在几何学中，点、线和面是最基本的几何要素，它们之间有着密切的联系和关系。
点是几何学的基础，线由连接两个点而成，而面则是由多条线所围成的平面区域。
点、线和面的关系无处不在，它们相互作用、相互依存，在几何学以及其他学科中都有着重要的意义。
一、点与线的关系1. 线由点组成线是由两个或更多个点连接而成的。
在几何学中，我们通常用直线和曲线两个概念来描述线的形态。
直线是由无数个点连成的，而曲线则是由多个点相连接而成的线条。
无论是直线还是曲线，都需要点作为基本要素。
2. 点划定线除了构成线的要素外，点还可以划定线的特征。
在平面几何中，两点确定一条直线，通过连接两个点可以得到一条唯一的直线。
同样，在空间几何中，三维坐标系中的两点也可以唯一确定一条直线。
3. 线分割点线可以将空间分割成不同的部分，这些分割点的存在和位置是由线的性质决定的。
在线上的任意一点可以将线划分为两段，这些点被称为分割点。
二、点与面的关系1. 面由点组成面是由许多线相交或平行而形成的平面区域。
每一条线都可以看作是由无数个点连接而成的，因此，面也是由无数个点构成的。
这些点通过线的交叉或平行关系来形成不同的面。
2. 点确定面的特征在平面几何中，三个不共线的点可以确定一个平面。
这意味着，通过连接三个不在同一条直线上的点，可以得到一个唯一的平面。
同样，在空间几何中，通过连接不共线的四个点也可以唯一确定一个平面。
3. 面分割点面可以将三维空间分割成不同的区域。
这些区域的边界由线所组成，线的端点就是面的分割点。
这些分割点将面分割成不同的区域，使得每个区域都具有特定的性质。
三、线与面的关系1. 线与面相交线可以与面相交于一点或多点。
当一条线与平面相交时，它们的交点即是线与面的关系点。
这个交点可以是线在平面上的一个点，也可以是线与平面相交于一条线段。
2. 面与线的包围关系面可以包围线，也可以被线所包围。
当一条线完全位于一个平面内时，该线被称为完全位于平面内。
空间几何中的点线面的关系
空间几何中的点线面的关系空间几何是研究空间中的几何形体及其性质的学科。
在空间几何中，点、线和面是最基本的几何元素，它们之间有着复杂而紧密的关系。
下面将讨论点、线和面之间的关系，并探讨它们在实际生活中的应用。
一、点与线的关系在空间几何中，点与线之间存在着密切的联系。
点没有长度、宽度和厚度，只有位置坐标，是空间的基本单位。
而线则是由无数个点连成的，它具有长度但没有宽度和厚度。
点与线的关系主要有以下几个方面：1. 点在线上：点可以在一个线上，这意味着该点与线上的其他点在同一直线上。
这种关系可以用于确定线段的中点、垂直平分线等概念。
2. 线段的两个端点：线段由两个点确定，这两个点称为线段的端点。
线段的长度可以通过计算两个端点在空间中的距离来得到。
3. 直线与平面的交点：一条直线可以与平面相交于一点或多个点。
这种关系在解决平面几何问题中非常常见，如判断直线是否与平面垂直、判断直线是否与平面平行等。
二、点与面的关系点与面是空间几何中另一种重要的关系。
点是零维的，而面是二维的，它们之间的关系可通过以下几个方面来描述：1. 点在平面上：点可以在一个平面上，这意味着该点与平面上的任意一点在同一平面上。
这种关系可以用于计算点到平面的距离，或者确定点在空间中的位置。
2. 点在平面内部或外部：点与平面之间还有一个重要的关系就是点在平面的内部或外部。
点在平面内部，表示该点与平面上的所有点在同一侧；点在平面外部，表示该点与平面上的所有点在不同侧。
这种关系常用于解决判断点与平面的相对位置的问题。
3. 线段与平面的交点：一条线段可以与平面相交于一点或多个点。
这种关系常用于计算线段与平面的交点坐标、线段与平面的交点个数等问题。
三、线与面的关系线与面之间也存在着紧密的联系。
线是一维的，而面是二维的，它们之间的关系主要有以下几个方面：1. 直线在平面内部或外部：一条直线可以在一个平面的内部或外部。
直线在平面内部，表示该直线与平面上的所有点都在同一平面内；直线在平面外部，表示该直线与平面上的所有点都不在同一平面内。
点线面的基本概念与关系
点线面的基本概念与关系点、线、面是几何中的基本概念，它们在空间中有着重要的地位，并且相互之间存在着紧密的关系。
本文将从点、线、面的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述，以深入理解它们的基本概念与关系。
一、点的基本概念与特点点是几何中最基本的概念之一，它没有长度、面积和体积，只有位置。
点用大写字母表示，如A、B、C等。
点的特点主要有以下几个方面：1. 点没有大小，无法在几何上进行比较；2. 点无法判断方向，它只有一个确定的位置；3. 点可以用来确定线和面的交点或连接点。
二、线的基本概念与特点线是由无数个点沿着一定方向连成的路径，线上的点称为线上的点，线用小写字母表示，如a、b、c等。
线的特点主要有以下几个方面：1. 线没有宽度，只有长度，可以用直线段来表示；2. 线具有方向，一条线有两个端点，可以进行方向的判断；3. 线可以延伸无限远，没有固定的终点。
三、面的基本概念与特点面是由无数个线相互连接而成的平坦区域，面用希腊字母表示，如α、β、γ等。
面的特点主要有以下几个方面：1. 面是二维的，有宽度和长度，没有厚度；2. 面可以用多边形或弧线来表示；3. 面是无限延伸的，没有固定的边界。
四、点、线、面之间的关系点、线、面之间存在着紧密的联系，它们之间的关系可以概括如下：1. 点和线的关系：点可以确定一条线，同时一条线上包含无数个点。
2. 点和面的关系：点可以确定一个面，同时一个面上包含无数个点。
3. 线和面的关系：线可以确定一个面，同时一个面上包含无数条线。
点、线、面之间的这种联系使得几何学能够研究和描述空间中的各种图形和物体。
它们在数学、物理等学科中都有广泛的应用，对于人们认识和理解世界具有重要意义。
总结：点、线、面是几何学中的基本概念，它们在空间中有着重要的地位，并且相互之间存在着紧密的关系。
通过对点、线、面的定义、性质以及它们之间的联系的研究，可以更好地理解和应用几何学的知识。
对于进一步学习几何学以及其他相关学科具有重要的指导作用。
立体几何点线面定理30条
立体几何点线面定理1.公理一：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
2.公理二：如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。
3.公理三：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
4.推论一：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。
5.推论二：经过两条相交直线有且只有一个平面。
6.推论三：经过两条平行直线有且只有一个平面。
7.异面直线判定定理：平面内一点与平面外一点的确定的直线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线。
8.公理四：平行于同一条直线的两条直线平行。
9.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
10.等角定理推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
11.直线与平面垂直的判定定理一：过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
12.直线与平面垂直的判定定理二：过直线上一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
13.直线与平面垂直的判定定理三：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
14. 直线与平面垂直的性质定理四：如果一条直线垂直于已知平面，另一条直线平行于这条直线，那么另一条直线也垂直于已知平面。
15.直线与平面垂直的性质定理五：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
16.射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，斜线段相等的射影相等，射影相等的斜线段相等，斜线段较长的射影也较长，射影较长的斜线段也较长，垂线段最短。
17.最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与平面内任意一条直线中所成的角中最小的。
18.三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
19.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
数学点线面关系的描述
数学点线面关系的描述
数学中的点、线、面是几何学中重要的基本概念。
它们之间的关系可以描述如下：
1. 点和线的关系：一个点可以属于一条直线，也可以不属于任何直线。
如果一个点属于一条直线，那么这个点可以被视为直线的一个顶点或交点。
两条直线可以通过一个点相交，也可以不相交。
2. 点和面的关系：一个点可以属于一个平面，也可以不属于任何平面。
如果一个点属于一个平面，那么这个点可以被视为平面的一个顶点。
同样，两个平面可以通过一个点相交，也可以不相交。
3. 线和面的关系：一条直线可以与一个平面相交，可以与一个平面平行，也可以与一个平面垂直。
如果一条直线与一个平面相交，那么它与该平面的交点可以是一个点，也可以是一条直线。
4. 平行和垂直：当两条直线的方向完全相同或相反时，它们被称为平行直线。
当两条直线的夹角为90度时，它们被称为垂直直线。
同样，当两个平面之间的夹角为90度时，它们被称为垂直平面。
这些描述能帮助我们理解和研究几何学中的点、线、面之间的关系和性质。
立体几何——点线面的关系
第二部分点、线、平面之间的位置关系第一讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、导入1. 正确理解平面的儿何概念，掌握平面的基本性质；2 .熟练掌握三种数学语言的转换与翻译，熟练点线面关系符号语言的书写:;3. 结合图形理解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系；4 .进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换；5 .进一步培养学生的空间想象和全面思考问题的能力.二、知识点梳理（一）平面的表示方法1. 平面是无限延伸的，但常用平面的一部分来表示平面.2.画法:常用平彳二四边形3.1 • （标记在角上）②平面A BCD ③平面A C或平面BD注意：（1）平面的两个特征:①无限延伸②平的（没有厚度）（2）一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分（二）点、线、面的基本位置关系（1）符号表示：点A、线a、面a(2)集合关系:A e a, A e a,a u a例1判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打否则打X1、一个平面长4米，宽2米；（）2、平面有边界；（）3、一个平面的面积是2 5 cnr :4、一个平面可以把空间分成两部分・（）例2如图，用符号表示以下各概念：①点力、B在直线*上；②直线a在平面a内；点C在平面01内；③点O不在平面0C内；直线b不在平面a内.变式训练一1 •将下列符号语言转化为图形语言:(1) B 已卩、A el, Bel(2 ) a u a、b u 卩、ar\ 卩= c y a // c, b cc = p2. 将下列文字语言转化为符号语言：（I ）点八在平面&内，但不在平面0内（2）直线d经过平面&外一点M（3）直线/在平面a内，乂在平面0内（即平面和平面相交于直线）（三）平面的基本性质1. 公理1若一条直线在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内三条推论：1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面3. 公理3若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.即：P 已a 、P 已卩、ac/3 = l n P 已I例3已知长方体/WCD — A5G®中川.N 分别是和BC 的中点,AB= 4 , AD = 2,BB 、=2届,求异而直线dD 与MN 所成角的余弦值。
立体几何篇(线面平行、面面平行,线面垂直、面面垂直)
点线面的位置关系一（线面平行和面面平行）线面平行：1、判定定理：（1）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行，则线面平行）；方法：平行四边形法则+中位线法则（2）直线所在的一个平面与此平面平行，则该直线与此平面平行（面面平行，则线面平行）；2、性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行（线面平行，则线线平行）；面面平行：1、判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行，则面面平行）；2、性质定理（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行；（2）两个平面平行，同时与第三个平面相交，则交线平行。
例题选讲：1、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°（1）求证：AE∥平面DCF；3、（全国卷）如图，直三棱柱111C B A ABC 中，E D ,分别是1,BB AB 的中点。
（1）证明：1BC //平面CD A 13.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；线面垂直：3、判定定理：（3）一条直线与一个平面内的两条直交直线垂直，则这条直线垂直于这个面（线线垂直，则线面垂直）；（4）两平面垂直，在其中一个平面内，垂直于交线的直线，则垂直于另一个平面（面面垂直，则线面垂直）；方法：主动垂直+被动垂直4、性质定理（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线；（2）垂直于同一平面的两条直线平行；面面垂直：4、判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，则面面垂直）；5、性质定理若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
例题选讲：1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.2、（全国卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直底面ο90=∠ACB ，121AA BC AC ==，D 是侧棱1AA 的中点。
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第二部分 点、线、平面之间的位置关系
第一讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、导入
1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质；
2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,熟练点线面关系符号语言的书写:；
3.结合图形理解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系；
4.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换；
5.进一步培养学生的空间想象和全面思考问题的能力.
二、知识点梳理
（一）平面的表示方法
1.平面是无限延伸的，但常用平面的一部分来表示平面.
2.
3.记法：①平面α、平面β、平面γ（标记在角上）
②平面ABCD ③平面AC 或平面BD
注意：（1）平面的两个特征：①无限延伸②平的（没有厚度）
（2）一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分 （二）点、线、面的基本位置关系 （1）符号表示：点A 、线a 、面α （2）集合关系：αα⊂∈∈a A a A ,,
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界； ( )
3、一个平面的面积是 25 2cm ； ( )
4、一个平面可以把空间分成两部分. ( ) 例2如图，用符号表示以下各概念：
①点A 、B 在直线a 上 ； ②直线a 在平面α内 ；
点C 在平面α内 ；
③点O 不在平面α内 ；直线b 不在平面α内 ．
变式训练一
1.将下列符号语言转化为图形语言：
（1）l B l A B A ∈∈∈∈，，，βα
(2)a c b a ,,,=⋂⊂⊂βαβα∥c,p c b =⋂
2.将下列文字语言转化为符号语言： (1)点A 在平面α内，但不在平面β内
（2）直线a 经过平面α外一点M
（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面和平面相交于直线）
（三）平面的基本性质
1.公理1 若一条直线在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内
即：αα
α⊂⇒⎩⎨⎧∈∈AB B A
2.公理2 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
A,B,C 不共线⇒A,B,C 确定一平面
三条推论：
1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
2.经过两条相交直线,有且只有一个平面
3.经过两条平行直线,有且只有一个平面
3.公理 3 若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线. 即：l P l P P ∈⇒=⋂∈∈βαβα，，
例3 已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，
1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。
变式训练二
一、 选择题:
1．下面推理过程，错误的是（ ）
A B
B.
A. C.
（A ） αα∉⇒∈A l A l ,// （B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,
（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）
（A ） 1个或3 个 （B ） 1个或4个
（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ）
（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；
（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；
（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个
4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）
（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ）
（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；
（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）
（A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 二、 填空题：
7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。
8．在空间中，
① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。
② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上）
9．已知，a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是
① 两条平行直线
② 两条互相垂直的直线 ③ 同一条直线
④ 一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号为 （写出所有正确结论的编号）。