2019-2020学年福建省泉州市南安市八年级(上)期末数学试卷 及答案解析

2019-2020学年福建省泉州市南安市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.36的平方根是()A. ±6B. ±18C. 6D. −62.下列各数中是无理数的是()．A. √3B. √4C. √83D. 3.143.下列各式中，计算结果为a6的是()A. a2+a4B. (a2)4C. a2⋅a3D. a7÷a4.七年级(1)班班长统计去年1～8月份“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图所示的折线统计图，与上月相比较，阅读数量变化最大的月份是()A. 4月B. 5月C. 6月D. 7月5.下列各组数中，是勾股数的一组是()A. 7，8，9B. 8，15，17C. 1.5，2，2.5D. 3，4，46.如图，数轴上点P表示的数可能是()A. √3B. √7C. √13D. √177.下列命题是假命题的是()A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直C. 菱形的对角线互相垂直平分D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等8.如图，点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()A. AD//BCB. DF//BEC. ∠A=∠CD. ∠D=∠B9.下列命题的逆命题是真命题的是()A. 对顶角相等B. 等边三角形也是锐角三角形C. 若a=b，则a2=b2D. 同位角相等，两直线平行10.如图是一块长，宽，高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是()A. √85cmB. √97cmC. (3+2√13)cmD. √109cm二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）)−1+√16=_______．11.计算：−(1412.一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长是____．13.一个样本的样本容量为150，分组后，某一组的频数为30，则这一组的频率为_________．14.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=34°，则∠C的度数为．15.计算：2x3⋅(−3x)2=______ ．计算：(x+7)(x−3)=______ ．16.如图所示，在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE=_______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.把下列多项式分解因式：(1)x3−9x；(2)2a2+4ab+2b2四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）18.计算：(−3xy2)3+(−2x2y4)(−xy2)19.先化简，再求值：[(x+y)(x−2y)−(x−2y)2]÷12y，其中x=−1，y=14．20.如图，点C、D在AB上，且AC=BD，AE=FB，AE//BF，求证：△AED≌△BFC．21.某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球：C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：(1)本次共调查了多少名学生？(2)请将两个统计图补充完整．(3)求图中“A”层次所在扇形的圆心角的度数．22.如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．23.用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，用x、y(x>y)分别表示小长方形的两边长．(1)求x2+y2的值；(2)求xy的值．24.如图1，△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对的边分别为a，b，c.用4个这样的直角三角形拼成如图2所示的正方形．(1)通过计算正方形的面积，你能发现直角三角形三边a，b，c具有怎样的数量关系？证明你的发现．(2)利用你发现的结论解决下面问题；①如图3，△ABC中，AB=4，∠C=90°，∠A=30°，求AC的长；②如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠BDC=120°，连接DA，探究DA、DB、DC之间具有怎样的数量关系并证明．25.如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是射线BC上的点．(1)如图(1)，若BC=6，设BP=x，AP=y.求y关于x的函数解析式并写出定义域；(2)如图(2)，若点P在BC边上，求证：AP2+PB⋅PC=25；(3)如图(3)，当点P在BC延长线上，请直接写出AP2，PB，PC，AB2满足的数量关系．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：36的平方根是±6．故选：A．根据平方根的定义求解即可．本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．2.答案：A解析：本题主要考查无理数，可根据无理数的定义直接求解．解：A．√3为无理数，故正确；B.√4=2，为有理数，故错误；3=2，为有理数，故错误；C.√8D.3.14为有理数，故错误．故选A．3.答案：D解析：解：A.a2与a4不是同类项，不能合并，故错误；B.(a2)4=a8，故错误；C.a2⋅a3=a5，故错误；D.正确；故选：D．根据积的乘方，同底数幂的乘法、除法，即可解答．本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键是熟记积的乘方，同底数幂的乘法、除法的法则．4.答案：D解析：本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．先根据折线图求出各月份的变化情况，再根据数量变化情况越大，它的变化率就越大，即可得出答案．解：从图上可知2月的数量变化情况是70−36=34本，3月的数量变化情况是70−58=12本，4月的数量变化情况是58−42=16本，5月的数量变化情况是58−42=16本，6月的数量变化情况是58−28=30本，7月的数量变化情况是75−28=47本，根据数量变化情况越大，它的变化率就越大，则阅读数量变化率最大的是7月；故选D．5.答案：B解析：此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．解：A.∵72+82≠92，∴此选项不符合题意；B.∵82+152=172，∴此选项符合题意；C.∵1.52+22=2.52，但1.5，2.5不是整数，∴此选项不符合题意；D.∵42+32≠42，∴此选项不符合题意．故选：B．6.答案：C解析：本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．依据求得3和4的平方，然后再进行比较即可．解：∵9<13<16，∴3<√13<4．故选：C．7.答案：B解析：解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；B、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；故选：B．根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8.答案：D解析：解：∠D=∠B，理由是：∵在△ADF和△CBE中{AD=BC ∠D=∠B DF=BE，∴△ADF≌△CBE(SAS)，即选项D正确；具备选项A、选项B，选项C的条件都不能推出两三角形全等，故选：D．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个进行判断即可．本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．9.答案：D解析：主要考查了逆命题和真假命题的定义．对事物做出判断的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．举出反例能有效的说明该命题是假命题．分别写出各个选项的逆命题后再判断其正确或错误，即确定它是真命题还是假命题．解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，所以逆命题错误，故是假命题；B、“等边三角形也是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”是假命题，故本选项错误．C、“若a=b，则a2=b2”的逆命题是“若a2=b2，则a=b”，因为a2=b2，则a=±b，所以逆命题错误，故是假命题；D、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行同位角相等”正确，故是真命题；故选D．10.答案：A解析：本题考查平面展开−最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是√42+92=√97；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是√72+62=√85；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是√32+102=√109；三种情况比较而言，第二种情况最短．故选A．11.答案：0解析：本题主要考查了实数的运算.先算乘方，开方，再算加法即可得出答案．解：原式=−4+4=0．故答案为0．12.答案：14解析：本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解：若2为腰长，6为底边长，由于2+2=4<6，则三角形不存在；若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为6+6+2=14．故答案为14．13.答案：0.2解析：本题主要考查的是频数与频率，根据频率列式计算即可得解．解：该组的频率30÷150=0.2．故答案为：0.2．14.答案：56°解析：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键，由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=68°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．解：AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，∵∠BAD=34°，∴∠BAC=2∠BAD=68°，∴∠C=1(180°−68°)=56°．2故答案为：56°．15.答案：18x5；x2+4x−21解析：解：原式=2x3⋅9x2=18x5；原式=x2+7x−3x−21=x2+4x−21．故答案为：18x5；x2+4x−21．根据单项式乘单项式和多项式乘多项式的运算法则进行计算即可．本题考查的是单项式乘单项式和多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．16.答案：35°解析：本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，属于基础题，关键是先求出AB=AC，再根据等腰三角形等边对等角的关系即可，根据AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，可知△ADB≌△AEC，可得出AB=AC，根据等腰三角形的性质即可解答．解：∵AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∴△ADB≌△AEC，∴AB=AC，∴∠B=∠C=40°，在△AEC中，∠CAE+∠C+∠AEC=180°，∴∠CAE=180°−40°−105°=35°，故答案为35°．17.答案：解：(1)x3−9x=x(x2−9)=x(x+3)(x−3)；(2)2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2．解析：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的一般步骤是关键．(1)先提取公因式x，再利用平方差公式进行二次因式分解；(2)先提取公因式2，再利用完全平方公式进行二次因式分解．18.答案：解：原式=−27x3y6+2x3y6=−25x3y6．解析：直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算法则，进而得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．19.答案：解：[(x +y)(x −2y)−(x −2y)2]÷12y=[x 2−2xy +xy −2y 2−x 2+4xy −4y 2]÷12y =[3xy −6y 2]÷12y =6x −12y ，当x =−1，y =14时，原式=−6−3=−9．解析：本题考查了整式的混合运算和求值，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．20.答案：证明：∵AE//BF ，∴∠A =∠B ，∵AC =BD ，∴AC +CD =BD +CD ，即AD =BC ，在△AED 和△BFC 中{AE =BF ∠A =∠B AD =BC∴△AED≌△BFC(SAS)．解析：根据平行线的性质得出∠A =∠B ，求出AD =BC ，根据全等三角形的判定定理得出即可． 本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．21.答案：解：(1)80÷40%=200(人)故本次共调查200名学生．(2)200−80−30−50=40(人)，30÷200×100%=15%，补全如图：(3)图中“A”层次所在扇形的圆心角的度数为360°×40%=144°．解析：(1)结合条形统计图和扇形统计图，利用A组频数80除以A组频率40%，即可得到该校本次调查中，共调查了多少名学生；(2)利用(1)中所求人数，减去A、B、D组的频数即可的C组的频数；B组频数除以总人数即可得到B组频率；(3)用360°乘以A对应的百分比可得．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．22.答案：解：如图所示，作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．点O就是建水厂的位置，过B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，∵AC=1km，BD=3km，CD=3km，∴AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，B′E=CD=3km，AB′=√AE2+B′E2=√42+32=5km，铺设水管长度为：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，∵铺设水管的工程费用为每千米20000元，∴铺设水管的总费用为：5×20000=100000元．解析：本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键．作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．23.答案：解：(1)∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，∴由图可知，大正方形边长为(x+y)，小正方形边长为(x−y)，所以(x+y)2=36，(x−y)2=4，即x2+2xy+y2=36，x2−2xy+y2=4，两式相加，可得2(x2+y2)=40，∴x2+y2=20；(2)∵x2+2xy+y2=36，x2−2xy+y2=4，两式相减，可得4xy=32，∴xy=8．解析：本题主要考查了完全平方公式的运用，解决问题的关键是掌握公式(a+b)2=a2+2ab+b2．(1)依据大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，可得(x+y)2=36，(x−y)2=4，展开变形即可得到x2+y2的值；(2)依据(x+y)2=36，(x−y)2=4，展开变形即可得到xy的值．24.答案：解：(1)直角三角形三边a，b，c的关系为：a2+b2=c2，理由如下：正方形的面积=c2，ab×4+(b−a)2=2ab+a2−2ab+b2=a2+b2，正方形的面积=12∴a2+b2=c2；(2)①∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1AB=2，2由(1)得，BC2+AC2=AB2，∴AC=√AB2−BC2=2√3；②DB=DC+√3AD，理由如下：在BD上取点E使AE=AD，作AF⊥ED，则EF=FD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵∠BAC=∠BDC=120°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ADE=∠ACB=30°，∴AF=12AD，∴DF=√32AD，∴DE=√3AD，∵∠BAC=120°，∠EAD=120°，∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，{AB=AC∠BAE=∠CAD AE=AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)∴BE=CD，∴DB=BE+DE=DC+√3AD．解析：(1)根据正方形的面积公式计算，得到a2+b2=c2；(2)①根据直角三角形的性质求出BC，根据(1)的结论计算即可；②在BD上取点E使AE=AD，作AF⊥ED，根据等腰三角形的性质得到EF=FD，根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=30°，根据圆周角定理得到∠ADE=∠ACB=30°，根据勾股定理得到DF=√32AD，证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到BE=CD，结合图形证明即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25.答案：解：(1)如图1，作AH⊥BC于H，∵AB=AC，∴BH=HC=1BC=3，2在Rt△ABH中，AB=5，∴AH=√AB2−BH2=4，在Rt△AHP中，由勾股定理可得AP=√AH2−HP2，∵BP=x，∴HP=|x−3|∴y=√42+(x−3)2(x≥0)；(2)证明：如图2，当点C在线段BC上时，则PC=BC−BP=6−x，∴PB⋅PC=x(6−x)=6x−x2，又由(1)可知AP=√42+(x−3)2，∴AP2=42+(x−3)2=x2−6x+25，∴AP2+PB⋅PC=x2−6x+25+6x−x2=25(3)如图3，当点P在线段BC的延长线上时，则有PC=PB−BC=x−6，∴PB⋅PC=x(x−6)=x2−6x，又AP2=x2−6x+25，∴AP2−PB⋅PC=x2−6x+25−(x2−6x)=25，∵AB=5，∴AP2−PB⋅PC=AB2．解析：(1)作AH⊥BC于H，可求得BH=HC=3，则HP=|x−3|，在Rt△AHP中，由勾股定理可得到函数关系式；(2)用x可分别表示出PB和PC，再利用(1)的结论可求得AP2+PB⋅PC=25；(3)同(2)的过程可证得AP2−PB⋅PC=25，可得到AP2−PB⋅PC=AB2．本题为三角形的综合应用，涉及知识点有勾股定理、函数解析式及方程思想等．在解决(2)、(3)问时，注意利用(1)中所求得的函数解析式．本题所考查内容都是基础知识，难度不大．。