第1讲 坐标系

知识点考纲下载坐标系理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别. 参数方程了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.第1讲 坐标系[学生用书P213]1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos__θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin__θ＝b ． 4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos__θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin__θ.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆解析：选C .由ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，得，cos θ＝0或ρ＝4sin θ.当cos θ＝0时，θ＝π2(ρ∈R )，极坐标方程表示一条直线；当ρ＝4sin θ时，极坐标方程表示一个圆．故选C . 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A .y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1sin θ＋cos θ，由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.故选A . 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.答案：2在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ知极坐标⎝⎛⎭⎫2，π3可化为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6可化为x ＋3y －6＝0.故所求距离为d ＝|1＋3×3－6|12＋（3）2＝22＝1.答案：1在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解：由题意知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．解：由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ， 即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， 所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a . 又因为B 在圆x 2＋y 2－4y ＝0上，所以⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.故a 的值为3.平面直角坐标系中的伸缩变换 [学生用书P214][典例引领]在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.【解】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，即⎝⎛⎭⎫λ32x 2＋⎝⎛⎭⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数， 得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ32＝1，⎝⎛⎭⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2， 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.求经伸缩变换后的曲线方程的方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[通关练习]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线 y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. 2．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .因此，经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y 后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4.极坐标与直角坐标的互化 [学生用书P215][典例引领]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【解】 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.直角坐标与极坐标互化的方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只需运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．[通关练习]1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0，0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.曲线极坐标方程的应用 [学生用书P215][典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 【解】 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·|sin(α－π3)| ＝2|sin(2α－π3)－32|≤2＋3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3.所以△OAB 面积的最大值为2＋3.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅰ改编)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0(a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为直角坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)将C 1的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.2．(2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′，若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，故圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)l ：y ＝2x 关于点M (0，m )对称的直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2，于是，实数m 的最大值为5－2.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．(2)在[0，2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点 (1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．[学生用书P347(单独成册)]1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1， 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，点P 为⊙C 上一动点，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，点Q 为线段PM 的中点．(1)求点Q 的轨迹C 1的方程；(2)试判定轨迹C 1和⊙C 的位置关系，并说明理由． 解：(1)由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ， 所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 又点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2， 所以点M 的直角坐标为(0，4)． 设点P (x 0，y 0)，点Q (x ，y )，则有x 20＋(y 0－1)2＝1.(*)因为点Q 为线段PM 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －4，代入(*)得轨迹C 1的方程为 x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝14. (2)因为⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1， 而轨迹C 1是圆心为⎝⎛⎭⎫0，52，半径为12的圆， 所以两圆的圆心距为32，等于两圆半径和，所以两圆外切．3．在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长．解：法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图， 在Rt △OAM 中，∠OMA ＝90°，∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4. 因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 验证可知，极点O 与A ⎝⎛⎭⎫4，－π6的极坐标也满足方程， 故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6为所求． (2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ， 在Rt △OAP 中，∠OP A ＝90°，易得∠AOP ＝π4， 所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝22.法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆， 所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. (2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，得ρ＝22， 所以圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长为22. 4．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1. (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆．C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝|－1－2|2＝32>1， 所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝⎛⎭⎫θ0＋π3＝1.② 将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1， 即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．1．已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值．解：(1)依题意得ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2()cos θ＋sin θ， 即ρ2＝2()ρcos θ＋ρsin θ，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为()x －12＋(y －1)2＝2. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1， 即ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝－1， 化为直角坐标方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心，2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32>r ＝2， 于是直线与圆相离，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222. 2．在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝53，θ2＝π3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3， 由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的方程为y ＝(tan α)x ，其中α为直线l 的倾斜角，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求tan α的值．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 4．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ， 所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1. 由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入， 得2＝2a ×12， 所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2 ＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。