第1讲 坐标系

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坐标系

理解坐标系的作用．

了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互

化．

能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．

了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别. 参数方程

了解参数方程，了解参数的意义．

能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．

了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

第1讲 坐标系

[学生用书P213]

1．坐标系 (1)伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·

x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，

点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．

(2)极坐标系

在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长

度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度

单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩

⎪⎨

⎪⎧x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ，⎩

⎪⎨⎪

⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程

若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0

－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos__θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π

2且平行于极轴：ρsin__θ＝b ． 4．圆的极坐标方程

若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；

(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos__θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭

⎫a ，π

2，半径为a ：ρ＝2a sin__θ.

极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )

A ．一条射线和一个圆

B ．两条直线

C ．一条直线和一个圆

D ．一个圆

解析：选C .由ρcos θ＝2sin 2θ＝4sin θcos θ，得，cos θ＝0或ρ＝4sin θ.当cos θ＝0时，θ＝π

2

(ρ∈R )，极坐标方程表示一条直线；当ρ＝4sin θ时，极坐标方程表示一个圆．故选C . 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

2

B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

2

D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

解析：选A .y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1

sin θ＋cos θ，

由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎡⎦

⎤0，π

2.故选A . 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________．

解析：将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.

答案：2

在极坐标系中，点⎝⎛⎭

⎫2，π

3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________． 解析：由⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ知极坐标⎝⎛⎭⎫2，π

3可化为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6可化为x ＋3y －6＝0.故所求距离为d ＝|1＋3×3－6|12＋（3）2＝2

2

＝1.

答案：1

在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π

6，求△AOB (其中O 为极点)的面积．

解：由题意知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π

6

＝3.

在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．

解：由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ， 即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a .

设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．

由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝3

3

a ， 所以B 点的坐标为⎝⎛⎭

⎫33a ，a . 又因为B 在圆

x 2＋y 2－4y ＝0

上，所以⎝⎛⎭

⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，

即4

3

a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.故a 的值为3.

平面直角坐标系中的伸缩变换 [学生用书P214]

[典例引领]

在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆

x 2＋y 2＝1

变换为椭圆x 29＋

y 2

4

＝1.

【解】 设伸缩变换为⎩

⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），

y ′＝μy （μ>0），

由题知λ2x 29＋μ2y 2

4

＝1，