保守力和势能

(b)
∫ a点势能 EPa= W保ab=
（1）万有引力势能 Wab G
Mm rb
F保·dr
(a) G
Mm ra
=
EPa－EPb
rb→∞ 势能零点
Mm
Mm
EPa
G
ra
r2
dr G
ra
Mm
EP引 G r
3.2 势 能 Ep
(2) 重力势能 EP重 = mgh
h相对势能零点的高度。
(3) 弹性势能
rb GMm dr GMm GMm
ra
r2
rb
ra
（2）重力的功
b b
Wab a P dr a Pydy
hb ha
mgdy mgha mghb
y a
( px 0) ha
b hb x
重力的功与过程无关，只与起始位置和终点位置有关。
(3) 弹力的功
WAB
xB xA
Fxdx
xB kxdx
xA
1 2
k xA2
1 2
k xB2
F
l0 o xA xB X
弹力的功与过程无关，只与起始位置和终点位置有关。
• 保守力的数学表达式 L f 保 d r 0
证明
回路L = L1+ L2
b
a
f 保 dr f 保 dr f 保 dr
L
a
b
L1
L2
L1
b
b
f 保 dr f 保 dr 0
mg(l
l 2
cos )
（地面附近）
mc
mi
hi
hc
势能零点
o
c
势能零点
时势能？
势能与保守力的关系
(b)
∫ 积分关系
EPa=
F保·dr
(a)
dW保 = F ·dr = F dr cosθ = Fr dr
Fr
dEp dr
= － dEP
Ep( rb) = 0
F
θ
dr
Fx
dEp
dx
Fy
dEp dy
F Fxi Fy j Fzk
第 3 节 保守力 势能
3.1 保守力 作功与路径无关的力。
如万有引力、重力、弹性力、静电力等。 • 非保守力：作功与路径有关的力；
• 如摩擦力、爆炸力、安培力等。
（1）万有引力的功
质点M对m 的万有引力
F
GMm r3
r
万有引力的功与过程无关，
只与起始位置 a 和终点位r置 b
有关。
Wab
F dr
Fz
dEp dz
( dEp dx
i
dEp
dy
j
dEp
dz
k ) Ep
微分关系 F Ep
a
a
L1
L2
a·
·b
L2
• 保守力沿任意闭合回路的功 ≡ 0
L
• 非保守力沿任意闭合回路的功一般 ≠ 0
L f 非保 d r 0
3.2 势 能 Ep
wk.baidu.com
EP引
W保ab=
b
a F保 d r ?
= EPa－Epob = －ΔEP
r
W保ab=－ΔEP
保守力的功 = 系统势能减少或增量的负值。
◆ 选b点为势能零点 Ep( rb) = 0
以原长(x = 0) 为弹性势能零点。EPA
0
kxdx
xA
1 2
k xA2
EP弹
弹性势能
E P弹
1 kx2 2
ox
质点系的重力势能
EP mi ghi
i
mihi
hc
i
m
g mihi
i
EP mghc
例：均质细棒的重力势能
总长 l 总质量 m
1 hc 2 l
mgl EP 2
EP
mghc