功率分配算法对MIMO信道容量的影响

可以用 nR×1 的列矩阵描述接收端的噪声，表示为 n。它的元素是统计独立的复零均值 高斯变量，它具有独立的、方差相等的实部和虚部。接受噪声的协方差矩阵为
Rnn = E{nn H }
(2.3)
如果 n 的元素之间没有相关性，则接收噪声的协方差矩阵为
Rnn
=
σ
I2 nR
(2.4)
nR 个接收分支中每一个都有相同的噪声功率σ 2 。
Rxx = E{xx H }
(2.1)
式中，E{·}代表均值；AH 表示矩阵 A 的厄米特转置矩阵，即 A 的复共轭转置矩阵。不
管发射天线数 nT 为多少，总的发射功率限制为 P，可表示为
P = tr(Rxx)
(2.2)
式中，tr(A)代表矩阵 A 的迹，可以通过对 A 的对角元素求和得到。
图 1 MIMO 系统框图
Pi
=
(µ
−
σ2 λi
)+
(i=1,2,…,r)
(4.2)
式中， a + 指 max(a,0)，并且 µ 的确定应满足
r
∑ Pi = P
(4.3)
i =1
在等效 MIMO 信道模型中，第 i 个子信道的接收功率为
Pr i = (λiµ − σ 2 )+
(4.4)
于是，Water-Filling 自适应功率分配算法条件下 MIMO 信道容量为
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(2.12)，得到接收信号元素为
r'i = λi × x'i + n'i(i = 1,2,..., r) r'i = n'i(i = r + 1, r + 2,..., nR)
(2.13)
因此，MIMO 信道可以等效为由 r 个去耦平行子信道构成。分配到每个子信道的矩阵 H 的奇异值，相当于信道幅度增益。
1. 引言
研究 MIMO 系统时，通常假设接收端已知信道矩阵，但发射端不确定，此时发射端应 采用等功率分配算法。然而我们可以通过在接收端发射检测序列来估计信道矩阵，再通过可 靠的反馈信道将估计的信道状态信息(CSI)发送到发射端，发射端就可以采用合适的功率分 配算法，最大程度上提高 MIMO 系统的信道容量。因此，功率分配算法的研究对 MIMO 系 统的信道容量的提高有着重要的意义。不同功率分配系统下的信道容量和性能存在着差异。
(4.6)
∑ λi
i =1
将(4.6)式带入(4.1)可得，信道容量可以表示为
∑r
C = W log 2(1 +
λi 2
r
× P)
(4.7)
i =1
∑ σ 2 × λi
i =1
这种简化的自适应功率分配算法设计思想上是要尽量逼近自适应功率分配算法，在信道
条件较好的支路上分配较多的功率，并且尽量降低算法的系统复杂度，以提高可实用性。
对于已知发射机端信道参数的 MIMO 信道，可以用注水原理[4]来分配各个发射天线的 功率。在功率受限时，求 MIMO 信道容量的最大值可推导出“注水原理”。
nT
∑ Pi = P
i =1
i = 1,2,…,nT
(3.1)
式中，Pi 是分配给天线 i 的功率；P 是总功率，为定值。MIMO 信道的归一化容量由下
配相同的发射功率。
等功率分配系统的信道容量在 2.2 中已经详细证明：
∑ ∏ C
=
W
r i =1
log
2(1 +
λ iP nTσ 2
)
=
W
log
2
r i =1
(1 +
λiP nTσ 2
)
(4.1)
等功率分配系统的优点就是其发射端不需要已知信道矩阵，因此不需要发射检验序列来
估计信道矩阵，也不要使用反馈信道。
中，我们可以采用其他简化的近似算法，来逼近这个最佳增益，以降低系统复杂度。
例如，因为矩阵 HHH 的特征值 λ 的非负平方根为 H 的奇异值，信道的功率增益和奇异 值的平方（即特征值 λ ）成正比，因此 λ 可以表征信道的情况，我们可以令分配给信道 i
的功率为
Pi =
λi
r
×P
(i=1,2,…,r)
Pr i = λiP nT
(2.15)
因此信道容量可以写成
∑ ∏ C
=
W
r i =1
log 2(1 +
λ iP nTσ 2
)
=
W
log 2
r i =1
(1 +
λiP nTσ 2
)
假设 m = min(nR,nT)，定义 Wishart 矩阵 Q 为
Q
=
⎪⎧HH H ⎪⎩⎨H H H
nR < nT nR ≥ nT
用 nR×nT 的复矩阵 H 描述信道。hij 表示矩阵 H 的第 ij 个元素，代表从第 j 根发射天线
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到第 i 根接收天线之间的信道衰落系数。假设 nR 根接收天线中每一根天线的接收天线功率 等于总的发射功率。这种假设忽略了信号传播过程中的信号衰减和放大，包括阴影、天线增 益等。
由奇异值分解理论[3]，任何一个 nR×nT 矩阵 H 可以写成
H = UDV H
(2.9)
式中，D 是 nR×nT 非负对角矩阵；U 和 V 分别是 nR×nR 和 nT×nT 酉矩阵。则有UU H = InR
和VV H = InT ，其中 Inr 和 InT 分别是 nR×nR 和 nT×nT 单位阵。D 的对角元素是矩阵 HHH
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图 4 各功率分配系统的信道容量
其中还对 Water-Filling 自适应功率分配系统中，反馈信道信息出现差错时的系统容量进 行了仿真，其中估计误差分别为-10dB 和-100dB，可以看出当反馈信道出现错误时， Water-Filling 自适应功率分配算法的优势就无法得到体现，甚至在信噪比较高情况下，还不 如等功率分配算法系统的信道容量，并且估计误差越大，信道容量的损失也就越大。因此， 反馈信息的正确与否对于系统容量有着至关重要的作用，必须保证反馈信道的可靠性。仿真 结果体现了自适应功率分配系统将发射功率适当的分配到各子信道中，从而使 MIMO 系统 的信道容量得到很大的增益。
的特征值非负平方根，特征值的非负平方根也称为 H 的奇异值。
将式(2.9)带入式 r = Hx + n 得，
r = UDV H x + n
(2.10)
引入下列变换：
r'= U H r x'= V H x n'= U H n
得到
r' = Dx'+n'
(2.11) (2.12)
矩阵 H 的奇异值的数量等于矩阵 H 的秩，用 r 表示。用 λi 表示 H 的奇异值，带入式
增加式(2.18)给出的信道容量。对条件较好的信道，分配较多的功率；对条件较差的信道， 分配较少的功率。分配给信道 i 的功率为
Pi
=
(µ
−
σ2 λi
)+
(i=1,2,…,r)
(3.7)
式中， a + 指 max(a,0)，并且 µ 的确定应满足
r
∑ Pi = P
i =1
(3.8)
在等效 MIMO 信道模型中，第 i 个子信道的接收功率为
接收端基于最大似然准则，在 nR 根接收天线上进行联合操作。用 nR×1 的列矩阵描述接 受信号，表示为 r，其中每个复元素代表一根接收天线。Pr 表示每根接收天线输出端的平均 功率。每根接收天线处的平均信噪比(SNR)定义为
γ = Pr σ2
(2.5)
假设每根天线的总接收功率都等于总发射功率，则 SNR 等于总的发射功率和每根接收
天线的噪声功率的比值，而且它独立于 nT，可写为
γ= P
(2.6)
σ2
使用线性模型，可将接收矢量表示为
r = Hx + n
(2.7)
接收信号的协方差矩阵定义为 E{rrH}，利用式(2.4)，可以得出
Rrr = HRrrH H
而总接收信号功率可表示为 tr(Rrr)。
(2.8)
2.2 MIMO 系统容量推导
δZ = 0
(3.4)
δPi
δZ δPi
=
1 ln 2
⋅ λi /σ 2 1 + Piλi / σ
2
−
L
=
0
(3.5)
得到 Pi
Pi = µ − σ 2
(3.6)
λi
式中， µ 是常数，等于 1/Lln2，由功率受限确定的，如式(3.1)。
3.2 自适应功率分配算法的信道容量的推导
当已知发射端信道参数时，根据注水原理，通过给各个天线分配不同的发射功率，可以
Pi =
λi
r
×P
∑ λi
i =1
因此，信道容量可以表示为
(i=1,2,…,r)
(3.11)
∑r
C = W log 2(1 +
λi 2
r
× P)
i =1
∑ σ 2 × λi
i =1
(3.12)
4. 功率分配算法对 MIMO 信道容量的影响
4.1 功率分配算法基本原理
4.1.1 等功率分配
这种算法比较简单，是一种在总发射功率约束下的一种算法。发射端在每个子载波上分
2. MIMO 信道模型和容量推导
2.1 MIMO 信道模型
假设一个点对点 MIMO 系统有 nT 个发射天线、nR 个接收天线。MIMO 系统框图如图 1 所示。用 nT×1 列矩阵 x 表示每个符号周期内的发射信号，其中第 i 个元素 xi 表示第 i 根天 线发射的信号。
对于高斯信道，按照信息论[2]，发射信号的最佳分布也为高斯分布。因此，x 的元素是 零均值独立同分布的高斯变量。发射信号的协方差矩阵为
式确定
∑ C /W
=
nT
log 2[1 +
i =1
Piλi ] σ2
(3.2)
使用拉格朗日乘数法，引入函数
∑ ∑ Z
=
nT
log 2[1 +
i =1
Piλ i σ2
]
+
L(P
−
nT i =1
Pi)
(3.3)
式中，L 式拉格朗日函数； λi 是信道矩阵的第 i 个奇异值；σ 2 是噪声方差。可以通过
令 Z 的偏微分为零得到未知的发射功率 Pi。
当 nT > nR 和 nT < nR 时，等效信道分别为图 2，图 3 所示
假设在等效 MIMO 信道中，发射端等功率分配情况下，每根天线的发射功率为 P/nT， 由香农公式可以估算出总的信道容量为
∑ C
=
W
r i =1
log 2(1 +
Pr i ) σ2
(2.14)
式中，W 为每个子信道带宽：Pri 是在第 i 个子信道中接收的信号功率，由下式给出：
4.2 等功率分配系统和采用功率分配算法的系统的容量差异
前面从理论分析上论述了各种功率分配算法对信道容量的增益的差异，下面通过 MATLAB 程序仿真，对等功率分配系统和采用功率分配的系统的信道容量进行比较。
图 4 显示了发射天线数 nT 和接收天线数 nR 均为 4，最大多普勒频偏 fd=20Hz 时，各功 率分配系统在不同信噪比情况下的 MIMO 系统信道容量差异，从中可以清楚的看出功率分 配算法对系统容量的增益。随着发射信噪比的增大，MIMO 系统的信道容量均有所增加。 在发射信噪比小于 10dB 的条件下，Water-Filling 自适应功率分配系统和等功率分配系统相 比较有 1bit/Hz 左右的信道容量的增益，而且简化的自适应功率分配系统在信噪比较小的情 况下，很接近 Water-Filling 自适应功率分配系统的性能。
可将式(2.16)化为
(2.16) (2.17)
C
=
W
log
2 det(Im+
P nTσ
2
Q)
(2.18)
图 2 nT > nR 时等效 MIMO 信道框图
图 3 nT < nR 时等效 MIMO 信道框图
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3. 自适应功率分配的信道容量的推导
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3.1 自适应功率算法基本原理
Pr i = (λiµ − σ 2 )+
(3.9)
于是，MIMO 信道容量为
∑ C
=W
r i =1
log 2⎢⎣⎡1 +
1 σ2
(λiµ
−σ
2 )+
⎤ ⎥⎦
(3.10)
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但自适应功率分配算法需要较高的系统复杂度，因而在实际应用中，可以采用其他近似
算法以降低系统复杂度。例如，分配给信道 i 的功率为
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功率分配算法对 MIMO 信道容量的影响
张雪
北京邮电大学电信工程学院，北京（100876）
Email：smart_xue@hotmail.com
摘 要：本文从介绍 MIMO 系统的信息容量及信道模型入手，对 MIMO 系统容量进行了详 尽的公式推导。接着介绍几种常见的功率分配算法的基本原理，详细的推导各种功率分配系 统的信道容量。最后利用仿真工具 MATLAB 研究各功率分配系统的信道容量的差异。 关键词：MIMO，信道容量，功率分配算法
4.1.2 Water-Filling 自适应功率分配
在接收端发射检测序列来估计信道矩阵，再通过可靠的反馈信道将估计的信道状态信息
(CSI)发送到发射端，发射端根据信道矩阵，选择信道条件较好的支路，分配较大的功率， 已达到功率的最佳分配方案，使得信道容量最大化。
Water-Filling 算法的基本原理，和信道容量的公式已经在 3 中详细论述和证明了： 分配给信道 i 的功率为
∑ C
=
W
r i =1
log 2⎢⎣⎡1 +
1 σ2
(λiµ
−σ
2 )+
⎤ ⎥⎦
(4.5)
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4.1.3 简化的自适应功率分配
Water-Filling 自适应功率分配算法虽然使系统的发射功率最为合理的分配到各个子支路 中，使得信道容量的增益取得最大值，但同时需要系统具有较高的复杂度，因而在实际应用