功率分配算法对MIMO信道容量的影响

Pi =
λi
r
×P
∑ λi
i =1
因此，信道容量可以表示为
(i=1,2,…,r)
(3.11)
∑r
C = W log 2(1 +
λi 2
r
× P)
i =1
∑ σ 2 × λi
i =1
(3.12)
4. 功率分配算法对 MIMO 信道容量的影响
4.1 功率分配算法基本原理
4.1.1 等功率分配
这种算法比较简单，是一种在总发射功率约束下的一种算法。发射端在每个子载波上分
Pr i = λiP nT
(2.15)
因此信道容量可以写成
∑ ∏ C
=
W
r i =1
log 2(1 +
λ iP nTσ 2
)
=
W
log 2
r i =1
(1 +
λiP nTσ 2
)
假设 m = min(nR,nT)，定义 Wishart 矩阵 Q 为
Q
=
⎪⎧HH H ⎪⎩⎨H H H
nR < nT nR ≥ nT
Pr i = (λiµ − σ 2 )+
(3.9)
于是，MIMO 信道容量为
∑ C
=W
r i =1
log 2⎢⎣⎡1 +
1 σ2
(λiµ
−σ
2 )+
⎤ ⎥⎦
(3.10)
-4-

但自适应功率分配算法需要较高的系统复杂度，因而在实际应用中，可以采用其他近似
算法以降低系统复杂度。例如，分配给信道 i 的功率为
当 nT > nR 和 nT < nR 时，等效信道分别为图 2，图 3 所示
假设在等效 MIMO 信道中，发射端等功率分配情况下，每根天线的发射功率为 P/nT， 由香农公式可以估算出总的信道容量为
∑ C
=
W
r i =1
log 2(1 +
Pr i ) σ2
(2.14)
式中，W 为每个子信道带宽：Pri 是在第 i 个子信道中接收的信号功率，由下式给出：
接收端基于最大似然准则，在 nR 根接收天线上进行联合操作。用 nR×1 的列矩阵描述接 受信号，表示为 r，其中每个复元素代表一根接收天线。Pr 表示每根接收天线输出端的平均 功率。每根接收天线处的平均信噪比(SNR)定义为
γ = Pr σ2
(2.5)
假设每根天线的总接收功率都等于总发射功率，则 SNR 等于总的发射功率和每根接收
Rxx = E{xx H }
(2.1)
式中，E{·}代表均值；AH 表示矩阵 A 的厄米特转置矩阵，即 A 的复共轭转置矩阵。不
管发射天线数 nT 为多少，总的发射功率限制为 P，可表示为
P = tr(Rxx)
(2.2)
式中，tr(A)代表矩阵 A 的迹，可以通过对 A 的对角元素求和得到。
图 1 MIMO 系统框图
配相同的发射功率。
等功率分配系统的信道容量在 2.2 中已经详细证明：
∑ ∏ C
=
W
r i =1
log
2(1 +
λ iP nTσ 2
)
=
W
log
2
r i =1
(1 +
λiP nTσ 2
)
(4.1)
等功率分配系统的优点就是其发射端不需要已知信道矩阵，因此不需要发射检验序列来
估计信道矩阵，也不要使用反馈信道。
式确定
∑ C /W
=
nT
log 2[1 +
i =1
Piλi ] σ2
(3.2)
使用拉格朗日乘数法，引入函数
∑ ∑ Z
=
nT
log 2[1 +
i =1
Piλ i σ2
]
+
L(P
−
nT i =1
Pi)
(3.3)
式中，L 式拉格朗日函数； λi 是信道矩阵的第 i 个奇异值；σ 2 是噪声方差。可以通过
令 Z 的偏微分为零得到未知的发射功率 Pi。
可以用 nR×1 的列矩阵描述接收端的噪声，表示为 n。它的元素是统计独立的复零均值 高斯变量，它具有独立的、方差相等的实部和虚部。接受噪声的协方差矩阵为
Rnn = E{nn H }
(2.3)
如果 n 的元素之间没有相关性，则接收噪声的协方差矩阵为
Rnn
=
σ
I2 nR
(2.4)
nR 个接收分支中每一个都有相同的噪声功率σ 2 。
Pi
=
(µ
−
σ2 λi
)+
(i=1,2,…,r)
(4.2)
式中， a + 指 max(a,0)，并且 µ 的确定应满足
r
∑ Pi = P
(4.3)
i =1
在等效 MIMO 信道模型中，第 i 个子信道的接收功率为
Pr i = (λiµ − σ 2 )+
(4.4)
于是，Water-Filling 自适应功率分配算法条件下 MIMO 信道容量为
用 nR×nT 的复矩阵 H 描述信道。hij 表示矩阵 H 的第 ij 个元素，代表从第 j 根发射天线
-1-

到第 i 根接收天线之间的信道衰落系数。假设 nR 根接收天线中每一根天线的接收天线功率 等于总的发射功率。这种假设忽略了信号传播过程中的信号衰减和放大，包括阴影、天线增 益等。
中，我们可以采用其他简化的近似算法，来逼近这个最佳增益，以降低系统复杂度。
例如，因为矩阵 HHH 的特征值 λ 的非负平方根为 H 的奇异值，信道的功率增益和奇异 值的平方（即特征值 λ ）成正比，因此 λ 可以表征信道的情况，我们可以令分配给信道 i
的功率为
Pi =
λi
r
×P
(i=1,2,…,r)
δZ = 0
(3.4)
δPi
δZ δPi
=
1 ln 2
⋅ λi /σ 2 1 + Piλi / σ
2
−
L
=
0
(3.5)
得到 Pi
Pi = µ − σ 2
(3.6)
λi
式中， µ 是常数，等于 1/Lln2，由功率受限确定的，如式(3.1)。
3.2 自适应功率分配算法的信道容量的推导
当已知发射端信道参数时，根据注水原理，通过给各个天线分配不同的发射功率，可以
的特征值非负平方根，特征值的非负平方根也称为 H 的奇异值。
将式(2.9)带入式 r = Hx + n 得，
r = UDV H x + n
(2.10)
引入下列变换：
r'= U H r x'= V H x n'= U H n
得到
r' = Dx'+n'
(2.11) (2.12)
矩阵 H 的奇异值的数量等于矩阵 H 的秩，用 r 表示。用 λi 表示 H 的奇异值，带入式
∑ C
=
Wr i ຫໍສະໝຸດ 1log 2⎢⎣⎡1 +
1 σ2
(λiµ
−σ
2 )+
⎤ ⎥⎦
(4.5)
-5-

4.1.3 简化的自适应功率分配
Water-Filling 自适应功率分配算法虽然使系统的发射功率最为合理的分配到各个子支路 中，使得信道容量的增益取得最大值，但同时需要系统具有较高的复杂度，因而在实际应用
可将式(2.16)化为
(2.16) (2.17)
C
=
W
log
2 det(Im+
P nTσ
2
Q)
(2.18)
图 2 nT > nR 时等效 MIMO 信道框图
图 3 nT < nR 时等效 MIMO 信道框图
-3-

3. 自适应功率分配的信道容量的推导
3.1 自适应功率算法基本原理
1. 引言
研究 MIMO 系统时，通常假设接收端已知信道矩阵，但发射端不确定，此时发射端应 采用等功率分配算法。然而我们可以通过在接收端发射检测序列来估计信道矩阵，再通过可 靠的反馈信道将估计的信道状态信息(CSI)发送到发射端，发射端就可以采用合适的功率分 配算法，最大程度上提高 MIMO 系统的信道容量。因此，功率分配算法的研究对 MIMO 系 统的信道容量的提高有着重要的意义。不同功率分配系统下的信道容量和性能存在着差异。

功率分配算法对 MIMO 信道容量的影响
张雪
北京邮电大学电信工程学院，北京（100876）
Email：smart_xue@
摘 要：本文从介绍 MIMO 系统的信息容量及信道模型入手，对 MIMO 系统容量进行了详 尽的公式推导。接着介绍几种常见的功率分配算法的基本原理，详细的推导各种功率分配系 统的信道容量。最后利用仿真工具 MATLAB 研究各功率分配系统的信道容量的差异。 关键词：MIMO，信道容量，功率分配算法
天线的噪声功率的比值，而且它独立于 nT，可写为
γ= P
(2.6)
σ2
使用线性模型，可将接收矢量表示为
r = Hx + n
(2.7)
接收信号的协方差矩阵定义为 E{rrH}，利用式(2.4)，可以得出
Rrr = HRrrH H
而总接收信号功率可表示为 tr(Rrr)。
(2.8)
2.2 MIMO 系统容量推导
(4.6)
∑ λi
i =1
将(4.6)式带入(4.1)可得，信道容量可以表示为
∑r
C = W log 2(1 +