经济数学基础(上)-函数与极限的笔记整理
经济数学知识点总结
经济数学知识点总结一、函数与极限1、函数11 函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数x∈D，按照一定的法则f，变量y 总有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
111 函数的定义域：使函数有意义的自变量取值的集合。
112 函数的值域：函数值的集合。
113 函数的性质：有单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
114 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
115 复合函数：设 y ＝ f(u)，u ＝φ(x)，则称 y ＝fφ(x)为复合函数。
116 反函数：设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
对于y∈R，在 D 中存在唯一确定的 x 与之对应，这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f^（－1)（y)。
2、极限21 数列的极限：对于数列{xn}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜xn A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列{xn}的极限，记作lim(n→∞） xn ＝ A。
211 函数的极限：当自变量 x 趋于某个值 x0 （或趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋于x0 （或趋于无穷大）时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞）f(x) ＝ A 。
212 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。
213 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数的极限法则。
二、导数与微分1、导数11 导数的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx （点 x0 ＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x0 ＋Δx) f(x0) ；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'（x0) 。
函数的极限知识点总结
函数的极限知识点总结一、函数极限的定义1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x自变量趋于x0时，函数f(x)以A为极限（或者以A收敛），记作lim(x→x0)f(x)=A。
2. 函数极限概念解释：函数的极限就是描述了当自变量趋于某一特定的常数时，函数的值随之趋于的一个确定的常数。
3. 极限的图像解释：函数f(x)的极限lim(x→x0)f(x)=A，表示当x自变量在点x0的邻域内取值时，函数图像与直线y=A的距离可以任意小。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
二、函数极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值是唯一的。
即如果lim(x→x0)f(x)=A1，又有lim(x→x0)f(x)=A2，那么A1=A2。
2. 有界性：若函数f(x)在x0附近有极限，那么它在x0附近是有界的。
即存在一个正数M>0，使得当x自变量在点x0的邻域内取值时，总有|f(x)|<M。
3. 保序性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值保持不变。
即如果lim(x→x0)f(x)=A，且f(x)≤g(x)，那么lim(x→x0)g(x)也存在，并且lim(x→x0)g(x)≤A。
4. 逼近性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在x0附近与它的极限可以任意接近。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
三、函数极限的运算规律1. 四则运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且A，B存在，那么有lim(x→x0)[f(x)± g(x)]=A±B，lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B，lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。
函数和极限知识点总结
函数和极限知识点总结一、函数1. 函数的定义函数是一个映射，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数通常用f(x)来表示，其中x是输入变量，f(x)是输出变量。
函数可以有不同的定义域和值域，通常用来描述输入和输出之间的关系。
2. 函数的性质函数有以下性质：- 一一对应性：如果一个函数的每一个输入值对应唯一的输出值，则该函数是一一对应的。
- 奇偶性：如果f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。
- 增减性：如果对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则该函数是增函数；如果f(x1) >f(x2)，则该函数是减函数。
3. 常见的函数类型常见的函数类型包括：- 多项式函数：f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + c，其中a、b、c为常数，n为自然数。
- 指数函数：f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
- 对数函数：f(x) = log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的常数。
- 三角函数：包括sin(x)、cos(x)、tan(x)等。
4. 函数的图像函数的图像通过将输入值和输出值构成的点在坐标系中连接起来得到。
函数的图像可以用来表示函数的性质和特征，如增减性、奇偶性等。
5. 复合函数复合函数是将一个函数作为另一个函数的输入。
如果f(x)和g(x)都是函数，那么f(g(x))就是一个复合函数。
复合函数可以用来描述多个函数之间的复杂关系。
6. 反函数如果一个函数f(x)满足f(f^(-1)(x)) = x，则f^(-1)(x)称为f(x)的反函数。
反函数可以用来描述函数的逆关系。
二、极限1. 极限的定义设函数f(x)在点x=a的邻域内有定义，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，对应的函数值f(x)满足|f(x)-L| < ε，那么称函数f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作lim(f(x),x->a) = L。
经济数学基础-知识点归纳
第一章函数与极限1．理解函数概念。
（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。
（2）理解函数的对应关系f 的含义：f 表示当自变量取值为x 时，因变量y 的取值为f (x )。
（3）会判断两函数是否相同。
（4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。
2．掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。
判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即(1)若)()(x f x f =-，则)(x f 为偶函数；(2)若)()(x f x f -=-，则)(x f 为奇函数。
也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
3．了解复合函数概念，会对复合函数进行分解。
4．知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质。
基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质在微积分中常要用到，一定要熟练掌握。
5.了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。
6.知道一些与极限有关的概念（1）知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2）了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；（3）了解函数在某点连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。
第二章导数及其应用1．知道一些与导数有关的概念（1）会求曲线的切线方程（2）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)2．熟练掌握求导数或微分的方法。
（1）利用导数（或微分）的基本公式（2）利用导数（或微分）的四则运算（3）利用复合函数微分法3．会求函数的二阶导数。
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对線统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互界性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较商的人”不能构成集合•因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母爪B. C、……表示集合.用小写拉丁字母也b. c……表示集合中的元素。
如果a 是集合A中的元素，就说a属于A,记作：aGA-否则就说a不属于A,记作：a 2（IX全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N（2）.所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N宇或N“（3人全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
（4八全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
<5）.全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R,集合的表示方法（1八列举法：把集合的元素一一列举出來，并用“”括起來表示集合（2入描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。
集合间的基本关系（1八子集：一般地，对于两个集合A. B.如果集合A中的任总:一个元素都是集合B的元素，我们就说A. B有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作A B （或B A） °。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集.此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A=B.（3人真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
(4八空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
(5入由上述集合之间的基木关系，可以得到下面的结论①.任何一个集合是它木身的子集。
函数与极限知识点
y y=f(x)
y
y=f(x)
o （连续的）
xo
x0
x
（在x0处间断）
34
一 . 函数的增量 :
函数 y =f (x) , 当自变量 x 从 x0 变到 x1 时 , 函数 y 就从 f (x0)变到 f (x1) , 这时称 △x=x1-x0为自变量 x的增量 , 称△y= f (x1) -f (x0)或△y= f (x0+ △x) -f (x0)为函数 在 x=x0处的增量.
例 :lim 11 li（ m 11） 0 x 2x 2 x 2 x 2
21
定理2 .有限个无穷小的代数和仍为无穷小量 . 定理3 . 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小量 .
(有界函数 : 若函数 f(x) 在某个区间 X内满足 : A≤f(x)≤B , 其中 A , B 是两个定数 , 则称 f (x)在区间X内有界 , A—下界 ,
右极限： x从右侧趋近于x0时产生的极限.
记作 : limf(x)A xx00
13
▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件 : (当且仅当) x x0
lim f (x) lim f (x) A
xx0 0
xx0 0
即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在
x 例 : 右图中的函数f(x) (分段函数)
例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的．
2
２．函数的概念：
函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义： 设ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的 每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个 (或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是Ｘ上的函数.
大一高数上册笔记知识点
大一高数上册笔记知识点一、函数与极限1. 定义和性质- 函数的定义：函数是一个将一个集合的元素对应到另一个集合的元素的规则。
- 函数的性质：唯一性和有界性。
2. 极限的定义和性质- 极限的定义：当自变量趋近于某个特定值时，函数的值趋近于一个确定的常数。
- 极限的性质：唯一性、局部有界性和保号性。
3. 无穷大与无穷小- 无穷大：当自变量趋近于无穷时，函数的值无限增大。
- 无穷小：当自变量趋近于某个特定值时，函数的值无限接近于零。
二、导数与微分1. 导数的定义和性质- 导数的定义：函数在某一点的变化率。
- 导数的性质：线性性、乘积法则和除法法则。
2. 常用函数的导数- 幂函数的导数：幂函数的导数是其指数乘以底数的幂减一。
- 指数函数和对数函数的导数：指数函数和对数函数可以互相转化为求幂函数的导数。
- 三角函数的导数：根据三角函数的特性，可以求得三角函数的导数。
3. 微分的定义和性质- 微分的定义：函数在某一点的线性逼近。
- 微分的性质：可加性、恒等关系和乘积关系。
三、一元函数的应用1. 函数的极值- 极值的定义：函数取得最大值或最小值的点。
- 极值的判别法：一阶导数判别法和二阶导数判别法。
2. 函数的凸性和拐点- 函数的凸性：函数图像在某一区间上向上凸或向下凸。
- 函数的拐点：函数图像由凹变凸或由凸变凹的点。
3. 泰勒公式- 泰勒公式的定义：将一个函数在某一点展开成无穷级数的形式。
- 泰勒公式的应用：求函数的近似值和导数的近似值。
四、不定积分1. 不定积分的定义和性质- 不定积分的定义：函数在某一区间上的原函数。
- 不定积分的性质：线性性、换元法则和分部积分法则。
2. 常用函数的不定积分- 幂函数的不定积分：幂函数的不定积分是其指数加一的倒数乘以底数的幂。
- 指数函数和对数函数的不定积分：指数函数和对数函数可以互相转化为求幂函数的不定积分。
- 三角函数的不定积分：根据三角函数的特性，可以求得三角函数的不定积分。
函数与极限知识总结
函数与极限知识总结1、定义极限（Limit）又称微积分的基本概念，它是指当函数f(x)的一些变量x逐渐靠近但又不等于一些特定的常数a时，函数f(x)的值一定要逐渐接近于一个特定的实数L，而接近的程度可以任意接近，即变量x靠近常数a时，函数f(x)的值即靠近常数L，记作$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$这就是极限的定义，a称作极限点，L称作极限值。
2、性质（1）不等式极限性质若$f(x)≥0,a>0$,当x靠近$a^{+}$时，则有$$f(x)≥\lim_{x \to a^{+}}f(x)≥0$$当x靠近$a^{-}$时，则有$$f(x)≤\lim_{x \to a^{-}}f(x)≤0$$（2）加法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=A+B$$（3）乘法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$,当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=AB$$（4）恒等式极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B,f(a)=B,g(a)=A $当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)=g(x)]=A=B$$（5）极限连续性设$\lim_{x \to a}f(x)=L$当x靠近a时，有$$f(a)=L$$这就是极限连续性性质。
3、极限的计算（1）无穷小除以无穷大当$\frac{1}{x}\to 0$时，有$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$$（2）无穷大除以无穷大当$\frac{x}{y}\to 0$时，有。
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
经济数学基础(上)函数与极限的笔记整理
《经济数学基础》（上）笔记整理目录一、函数 (2)1.函数的两个要素 (2)2.求定义域的方法 (2)3.分段函数 (3)4.常用的三角函数值 (3)5.函数的有界性 (3)6.函数的奇偶性 (3)7.判断函数的单调性 (4)8.基本初等函数： (4)9.复合函数 (4)10.初等函数 (4)11．常用经济函数 (5)二、极限 (6)1.极限的几种常用记号 (7)2.定义1.10 (7)3.左极限与右极限 (7)4.定理1.1 (7)5.分段函数讨论分段点处的极限 (7)6.极限的运算 (8)（1）f（x）=f（□） (8)（2）型，未定式 (8)（3）型，未定式。
(9)7.两个重要极限 (13)（1） ............................................................... 错误！未定义书签。
（2）（P31） (16)8.无穷小与无穷大 (18)9.函数的连续性 (18)【总结：极限运算的题型】 (21)1. f（x）=f（□） (21)2.型，未定式。
(21)3.型，未定式。
(22)4.型，未定式。
(22)5. 无穷小×有界函数=无穷小（0） (22)6. 分段函数中，求分段点处的极限。
(22)7.函数的连续 (22)附件：数学作业 (22)第一次 (23)第二次 (23)第三次(3月21日) (23)第四次(3月29日) (23)一、函数1.函数的两个要素：定义域和对应法则2.求定义域的方法：【会做书上P5的例2的（1）（2）（3）】①分母≠0②偶次根号内≥0③对数中的真数＞0【练习】书P45，4（1）（2）（6）这三道题根据上边的知识点就能做出来了。
求定义域取并集。
（6）解：由题得，∴∴此函数的定义域为（-）（1,3）3.分段函数：①分段函数是一个函数；②分段函数的定义域取并集4.常用的三角函数值5.函数的有界性（了解，书P8图）（1）从图像上看，函数的有界性是指：图像被两条平行于x轴的直线y=M，y=-M夹住了。
函数与极限知识总结
函数与极限知识总结一、函数函数是用一个或多个变量来表示两个数集之间的映射关系的规则。
常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.函数的定义域与值域：函数的定义域是指函数的自变量可以取的值的范围。
函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2.函数的性质：函数可以有奇偶性、单调性等性质。
奇函数满足关系f(-x)=-f(x)，偶函数满足关系f(-x)=f(x)。
单调性指函数在定义域内是否递增或递减。
3.函数的图像：函数的图像是函数在坐标系中的表示，可以通过绘制函数的关键点和描绘函数的变化趋势得到。
二、极限极限是函数在其中一点附近的值的趋势。
极限可以分为左极限和右极限，分别表示自变量在该点从左边和右边逼近时函数的值。
常见的极限类型有无穷极限、常数极限、无界函数的极限等。
1.极限的定义：设函数f(x)在点x=a的邻域内有定义，如果对于任何给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0＜，x-a，＜δ时，有，f(x)-b，＜ε成立，那么就说实数b是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)f(x)=b。
2.极限的性质：极限的运算可以使用四则运算法则，即两个函数极限之和等于两个函数极限的和，乘积等于极限的乘积。
此外，极限还具有保号性、夹逼定理等重要性质。
3.极限的计算方法：通过函数的性质、极限的定义、夹逼定理等方法可以进行极限的计算。
常见的极限计算方法包括直接代入法、拉比特法则、洛必达法则等。
三、重要的函数与极限1.常函数：常函数的函数值在定义域内始终保持不变，可以表示为f(x)=c，其中c为常数。
常函数的性质：定义域为全体实数，值域为{c}。
2.反函数：对于函数f(x)，如果存在函数g(x)使得f(g(x))=x，称函数g(x)为函数f(x)的反函数。
反函数的性质：反函数与原函数的图像关于y=x对称。
3.指数函数：指数函数的形式为f(x)=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1指数函数的性质：指数函数的值域为正实数，函数图像具有递增或递减的特点。
函数与极限知识点总结
函数与极限知识点总结1. 函数函数是数学中的一个重要概念，其描述了自变量与因变量之间的关系。
在数学中，我们常用函数来进行数值运算、图像绘制、模型建立等等。
以下是关于函数的几个重要知识点：1.1 定义域与值域函数的定义域是所有满足函数输入要求的自变量的集合。
函数的值域是所有函数输出的因变量的集合。
在表示函数时，常用符号表示函数的定义域和值域，例如：$f: D \\rightarrow R$，表示定义域为D，值域为R的函数。
1.2 奇偶性如果对于定义域内的任意自变量x，函数满足f(−x)=−f(x)，则函数被称为奇函数。
如果对于定义域内的任意自变量x，函数满足f(−x)=f(x)，则函数被称为偶函数。
1.3 单调性如果函数在其定义域内的任意两个自变量x1和x2满足x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数被称为严格单调递增函数。
如果函数在其定义域内的任意两个自变量x1和x2满足x1<x2时，有$f(x_1) \\leq f(x_2)$，则函数被称为单调递增函数。
同样，我们可以定义严格单调递减函数和单调递减函数。
2. 极限极限是微积分中的核心概念，描述了函数在某一点趋于无穷时的性质。
以下是关于极限的几个重要知识点：2.1 左极限与右极限对于给定函数f(x)和点a，如果存在一个数L，使得当x从a的左边趋近于a时，f(x)趋近于L，则称函数f(x)在点a的左极限为L，记作$\\lim_{x \\to a^-} f(x) = L$。
类似地，如果存在一个数L′，使得当x从a的右边趋近于a时，f(x)趋近于L′，则称函数f(x)在点a的右极限为L′，记作$\\lim_{x \\to a^+} f(x) = L'$。
2.2 无穷极限当函数在某一点的左极限或右极限趋于无穷大时，我们称该函数在该点的极限为无穷极限。
无穷极限可以分为正无穷大和负无穷大。
2.3 数列极限除了函数极限，数列极限也是极限的一种特殊形式。
函数与极限知识点总结
函数与极限知识点总结
函数是一种一对一、确定和唯一的映射关系，它被广泛应用于各个领域。
常见函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
极限是数学中的一个重要概念，指数列或函数中的一点无穷逼近某个
数值的现象。
极限基本是通过无穷小量来理解的，即在无限接近某一点时，函数值与该点的距离趋向于零。
极限有单侧极限和双侧极限之分。
连续是函数重要的性质之一、当一个函数在某一点的左右极限存在且
相等时，称该函数在该点连续。
分段函数则是指函数在定义域的不同区间
内使用不同的表达式，将其曲线构成的形状称之为分段函数曲线。
导数是函数的另一种重要性质，表示函数在某一点的斜率，也可表示
函数的增长率。
这里的斜率是指函数曲线在该点处的切线斜率。
导数有几
何意义，也有实际应用价值。
例如，求导数可以提高极值点的技能；也可
以计算速度和加速度等。
微积分是指对函数研究和处理的数学分支，包括微分和积分。
微分是
研究函数局部增长率的工具，也是求极值点的关键。
积分则是通过求“面积”的方法来计算曲线下面的面积，其应用范围非常广泛，如求变量变化
速率、计算曲线长度、找到重心等。
极限、连续、导数和微积分都是数学分析的核心理论和应用工具，它
们不仅仅是学科体系的成分，更是广泛应用于各个领域的科学技术的基础
和基石。
理解和掌握这些知识点是我们进一步深入到高等数学、物理、工
程等领域的必要条件。
函数极限和连续知识点总结
函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。
这种趋向的性质称为函数的极限。
在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。
例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。
这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。
现在，我们来正式介绍函数极限的定义。
定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。
那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。
1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。
这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。
1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。
函数的极限课堂笔记.docx
函数的极限一课堂笔记1、 左右极限，分段函数2、 无穷小(变量趋向于0,变量为无穷小)(1) 判断(2) 有界变量X 无穷小二无穷小?in°° 3、 第一重要极限第二重要极限、口lim □ T 0sinD =1 lim 1 + □ —>8 lim(l + D )n □ T O4、求极限方法探（1）试算（判别极限类型）（2）①常数A 直接代入② j 型直接为8大（C 为常数）③ 彳因式分解或有理化④ -分子分母除变量最高次幕OO⑤ 00-00通分或有理化⑥ lim 也二找无穷小：极限为0,无穷小X 无穷小二无穷小 —对 5、极限的四则运算法则设 limf （x ）二A, limg （x ） =B,则(i V lim 1 + - XT* (e 为无理数)(丄->0无穷小(l + 0)x —> 1°° = e ) x法则1函数和（差）的极限等于极限的和（差）即 lim[/ (x) ±g (x) ]= 1 imf (x) + limg (x) =A±B 法则2函数积的极限等于极限的积即 lim[-/ (x) • g (x)]二 limf (x) • limg (x) =A • B 法则3函数商的极限等于极限的商（分母的极限不为0）即皿箸舲H®）法则4由1,2,3可得岀结论(1) lim(x n + 儿)=A ± B 幵—>8若 lim x n = A 9 lim y n = B ”T8 "T8 vA (3)当y n ^0且B H O 时，lim 」= - “y. B6、本利和二本金P X （1+年利率rX 时间t ） 单利：A 二P （1+rt ）复利：A 复二P （1+r ） x 连续复利：A 连复二PJ(2)limx n y n = A* B nT«>练习题1、 求 lim （3x 2 一2兀 + 1）XT1 '解：因为兀T 1时，极限存在lim3x 2 -iim2x+l 二31imx 2 -21imx+l 二 3X12-2X 1+1=2 XTl XT1XTl XT1 丄丄乙v x + 1 lim — 二 oo33 兀2_9 -2、 解: ..x + 1 求凹R因为 x t 3 时，X 2-9=0? 符號型所以i ・ x~3所以]. x — 3 凹(兀―3)(无+ 3)二 lim —-—XT3 X + 3丄=6解：分子，分母同时除得3、解: i ・ x~3求1 豐口因为兀 t 3 时,x-3=0, X 2-9=0,符合彳型 (a+b) (a~b) =a 2-b 2 4、 求凹 x + 5疋+ 2lim 3 XToo Q X 4- 5 a XT81+厂5、求映sin根据第一重要极限求解lim X T 0sin 5 x-limx-> 0sin6、求limX —> oox sin• lim SinXT 0解: lim xX T 8sin1_ limX —> 8sin sinlimi =17、求凹。
第一章函数与极限知识总结
第一章函数与极限知识总结本章主要介绍了函数的定义、连续性、极限以及相关的定理和性质。
函数是数学中最基本的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系。
函数的定义包括定义域、值域和对应规则等三个方面。
1.1函数的定义和基本性质函数是一种描述变量之间关系的方式，它由定义域、对应规则和值域组成。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数可以用表格、图形和公式等方式表示。
在函数的定义中，一般要求对于定义域中的每一个自变量，都存在唯一的一个因变量与之对应。
对于函数在特定点的值，可以通过函数的极限来确定。
1.2函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域的每一点处都能够保持连续的特性。
函数连续的三个条件是：函数在该点处有定义、函数在该点处存在极限、函数在该点处的极限等于函数在该点处的函数值。
如果函数在特定点处不连续，那么可以被分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
可去间断点是指函数在该点处可以通过修补来使其连续，跳跃间断点是指函数在该点处存在左右极限但不相等，无穷间断点是指函数在该点处极限为无穷大或无穷小。
1.3函数的极限函数极限是描述函数在其中一点处的局部特性，它可以由函数的定义域中的一系列点的函数值所确定。
对于极限的求解，可以直接代入函数的定义，也可以通过函数的性质和定理进行推导计算。
函数极限的定义有两种形式，一种是ε-δ定义，另一种是无穷小定义。
ε-δ定义是基于函数的定义域中任意接近特定点的自变量值来确定极限。
无穷小定义是基于函数在特定点处函数值无限接近于其中一数值来确定极限。
1.4函数的基本性质函数的基本性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
有界性是指函数在一定区间内的取值范围是有限的，单调性是指函数在一定区间上的增减性质。
奇偶性是指函数关于坐标原点对称，周期性是指函数在其中一间隔内的函数值重复出现。
在实际问题中，可以通过观察函数的图像和定义来判断函数的性质。
对于复杂的函数，可以通过求导来判断函数的单调性和凹凸性。
函数与极限重点知识归纳
常量与变量变量的定义我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
变量的表示如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
邻域设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数函数的定义如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y叫做因变量。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.函数的单调性如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
高数经济类大一知识点总结
高数经济类大一知识点总结一、函数与极限在经济学中，函数与极限是重要的数学工具。
函数用来描述经济现象和问题，而极限则帮助我们研究这些函数的变化情况。
1.1 函数函数是一种关系，将输入（自变量）映射到输出（因变量）。
在经济学中，我们可以用函数来描述供求关系、成本函数、收入函数等。
常见的函数类型有线性函数、二次函数和指数函数等。
1.2 极限极限是函数变化趋势的度量。
当自变量趋近于某个值时，函数的极限代表了函数在该点的表现。
在经济学中，极限的概念在边际分析、弹性和成本等方面发挥着重要作用。
二、微分学微分学是研究函数变化率的数学分支。
在经济学中，微分学常用于分析边际效应和优化问题。
2.1 导数导数是函数在某一点的变化率。
在经济学中，导数用于计算边际效应，例如边际成本、边际利润和边际效用等。
2.2 求导法则求导法则是计算导数的规则和公式。
经济学中常用的求导法则有常数法则、幂函数法则和链式法则等。
2.3 优化优化是通过最大化或最小化函数来求解经济问题的过程。
在经济学中，我们常常使用微分学的方法来找到某个函数的最大值或最小值，以进行决策和分析。
三、积分学积分学是研究函数面积与累积量的数学分支。
在经济学中，积分学经常用于计算总收入、总成本和总利润等。
3.1 定积分定积分是计算函数面积的工具。
在经济学中，定积分常用于计算总收入、总成本和总利润等重要经济指标。
3.2 计算方法计算定积分有多种方法，包括几何法、换元法和分部积分法等。
经济学中的应用常常需要选择合适的积分方法来计算相关的经济指标。
四、微分方程微分方程是描述函数变化率与函数本身之间关系的方程。
在经济学中，微分方程常用于建模和分析经济现象。
4.1 常微分方程常微分方程是研究只含有一元函数的微分方程。
在经济学中，我们可以利用常微分方程来描述经济增长、人口模型和消费行为等。
4.2 解微分方程解微分方程是求解微分方程解析解或近似解的过程。
在经济学中，解微分方程有助于我们理解和预测经济现象的发展趋势。
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《经济数学基础》（上）笔记整理目录一、函数 (2)1.函数的两个要素 (2)2.求定义域的方法 (2)3.分段函数 (3)4.常用的三角函数值 (3)5.函数的有界性 (3)6.函数的奇偶性 (4)7.判断函数的单调性 (4)8.基本初等函数： (4)9.复合函数 (4)10.初等函数 (5)11．常用经济函数 (5)二、极限 (7)1.极限的几种常用记号 (7)2.定义1.10 (7)3.左极限与右极限 (8)4.定理1.1 (8)5.分段函数讨论分段点处的极限 (8)6.极限的运算 (8)（1）f（x）=f（□） (9)（2）型，未定式 (9)（3）型，未定式。
(9)7.两个重要极限 (14)（1） (14)（2）（P31） (16)8.无穷小与无穷大 (18)9.函数的连续性 (18)【总结：极限运算的题型】 (21)1. f（x）=f（□） (21)2.型，未定式。
(22)3.型，未定式。
(22)4.型，未定式。
(22)5. 无穷小×有界函数=无穷小（0） (23)6. 分段函数中，求分段点处的极限。
(23)7.函数的连续 (23)附件：数学作业 (23)第一次 (23)第二次 (23)第三次(3月21日) (24)第四次(3月29日) (24)一、函数1.函数的两个要素：定义域和对应法则2.求定义域的方法：【会做书上P5的例2的（1）（2）（3）】①分母≠0②偶次根号内≥0③对数中的真数＞0【练习】书P45，4（1）（2）（6）这三道题根据上边的知识点就能做出来了。
求定义域取并集。
（6）解：由题得，∴∴此函数的定义域为（-）（1,3）3.分段函数：①分段函数是一个函数；②分段函数的定义域取并集4.常用的三角函数值5.函数的有界性（了解，书P8图）（1）从图像上看，函数的有界性是指：图像被两条平行于x轴的直线y=M，y=-M夹住了。
（2）常见的有界函数：①y=c常数函数；②y=；③y=，以及由这些有界函数经过复杂的运算后所得到的。
6.函数的奇偶性（书P8）（1）常见的奇函数：①y=；②y=（2）常见的偶函数：①y=；②y=；③y=c注意：奇函数可以认为是﹣的，偶函数可以认为是+的。
判断奇偶性时直接带符号。
但函数的奇偶性与它前边的正负号无关。
7.判断函数的单调性（P9）（1）求导（2）图像从左到右8.基本初等函数：（书P11）（1）“基本”指的是函数的原型：自变量的位置是一个字母（2）其他函数还没讲9.复合函数（P16）（1）复合函数是由若干个基本的或简单的函数通过代入得到的（2）分解复合函数：由外向里，层层分解到基本的或简单的函数.书上的分解复合函数题得答案都是倒着的，你把顺序改过来就对了。
【书P7的（1）~（6），补充：，解：】（3）10.初等函数（P17）初等函数只能用一个式子来表示，所以除了分段函数外，其他函数都是初等函数。
11．常用经济函数（P39~41）书上有概念和公式，看懂就行了。
主要记住线性的函数，均衡价格。
【会做书上P40的例1、例2】【书P47 ，22】解：所以，【书P48，23】解：C(q)=2000+15qR(q)=20q∵保本∴C（q）=R（q）∴2000+15q=20qq=400【书p48,26】解：设线性成本函数为c=a+bq由题得，【例题】游戏机每台卖110元，固定成本7500元，可变成本为每台60元。
（1）要卖多少台，厂家才可保本（收回投资）？（2）若卖100台，厂家盈利或亏损多少？（3）要获得1250元的利润，要卖多少台？解：（1）C（x）=C（固）+C（变）=7500+60xR（x）=110x∵保本∴C（x）= R（x）X=150（2）C（100）=7500+6000=13500R(100)=110×100=11000∴亏损= C（100）-R(100)=2500（3）L（x）=R（x）-C（x）=1250110x-7500-60x=1250X=175二、极限（P21，重点讲P21的第2个极限：x时函数的极限）1.极限的几种常用记号★①x，x从两侧方向无限接近，x≠②，x从右侧方向无限接近，x＞③，x从左侧方向无限接近，x＜★④x→，无限增大⑤x→+，x的值无限增大⑥x→-，x的值无限减小2.定义1.10（P21）①极限A是常数，y越来越接近A；②y→A与x在处是否有定义无关3.左极限与右极限（P21）知道左极限是，右极限是，就行了。
不需要看懂定义。
4.定理1.1（P22）5.分段函数讨论分段点处的极限，遇分段点处左、右表达式不同时，必须考虑左右极限。
（会做P22例5）【练习题】已知在x=1处有极限，求a解：（左极限，见1的③）（右极限，见1的②）x=1处有极限∴3-a=6∴a=-3【根据知识点4、5所知，函数有极限，说明左极限=右极限】6.极限的运算（P25）【会做下边的例题】（1）f（x）=f（□），将→后的“□”代入f（x）中。
（做任何题得方法都是先代入，看看该怎样做。
分子分母没有得0或的，或只有一项得0或的，直接代入做，看第1步。
若分子分母都为0的，看第2步。
若分子分母中都为的，看第3步。
）若，则lim f（x）=0；若，则lim f（x）=若，则…………=，则……………=0（2）型，未定式。
①分解因式，约分②有根号，有理化③【见下边7的（1）】④洛必达法则（还没讲）（3）型，未定式。
①②洛必达法则（还没讲）【例题：求极限】①（型，未定式）【分解因式，再代入】===6②（型，未定式）【分解因式，再代入】===-③（型，未定式）【有根号，分子有理化】====④（型，未定式）【有根号，分母有理化】====6⑤（型，未定式）【分子与分母的最高次方都是2，上=下，得前边的系数比】⑥（型，未定式）【分子的最高次方是2，分母的最高次方是3，上小下大，得0】⑦（型，未定式）【分子的最高次方是3，分母的最高次方是2，上大下小，得】【课上的练习】①（直接把-2代入）②（）③（把-1代入，得）④（把代入，得）⑤（把代入，得）⑥（型，未定式）【分解因式，再代入】（型，未定式）【分解因式，再代入】⑧（型，未定式）【分子与分母的最高次方都是1，上=下，得前边的系数比】⑨（型，未定式）【分子的最高次方是2，分母的最高次方是3，上小下大，得0】⑩（型，未定式）【分子的最高次方是3，分母的最高次方是2，上大下小，得】【书上P46，12（1）~（8）、（11）】（1）直接代入。
（2）先代入，得（3）直接代入。
（4）先代入，得（5）先代入，得===（6）先代入，得===（7）先代入，得型，未定式。
【分子与分母的最高次方都是1，上=下，得前边的系数比】（8）先代入，得型，未定式。
【分子的最高次方是1，分母的最高次方是3，上小下大，得0】（11）先代入，得===-7.两个重要极限（P29）【会做下边的例题】（1）①型，含三角函数②【见上边6的（2）的③】做题时要把它化成这种形式来做。
【例题：求极限】①②③==x+1=2④===⑤，如⑥==⑦====1【书上P46，13（1）（6）】（1）同上的⑥（6）=====0（2）（P31）【会做下边的例题】①型，未定式。
②括号内为“1+……”（见下边例题的第2、3道）③括号内“+”后边的式子与外边的指数互为倒数。
④求极限时，指数中出现的“+、-的所有常数”都去掉，对题目无影响。
（见下边例题的第4道）【例题：求极限】①（型）==②（型）==【注意括号内必须为（1+……），此题为“1-……”。
最好把负号放在x的前边】③（型）==④（型）===【本题中指数后边的加减常数，对题目无影响，所以在第1步中先直接去掉。
】8.无穷小与无穷大●知道极限为0的函数就是无穷小，就行了。
●无穷大的倒数是无穷小。
●恒不为0的无穷小的倒数为无穷大。
●记住p24的性质1.2【0（无穷小）×有界函数（见《函数的5.》）=0】9.函数的连续性（书P33）函数f（x）在点处连续，必须同时满足以下3个条件：①f（x）在点处有定义②存在（左极限=右极限）③=f（x）函数在点处连续，则其图像在点处不断开。
若3条中有一条不满足，称为间断点。
【例题】设讨论f（x）在x=1处的连续性。
解：①f（1）=1②∴③即函数在x=1处连续【满足3个条件就可以了】【练习】已知①在x=0处有极限，求a、b②在x=0处连续，求a、b【分析：①有极限，只要“左极限=右极限”就可以了，不用管中间。
②连续，则需要满足3个条件，“左极限=右极限=中间”】解：①∵f（x）在x=0处有极限∴e+a=3，a=3-eb∈R②f（0）=b∵f（x）在x=0处连续∴b=3，此时a=3-e【作业中的题】①在x=0处有极限，求a、b②在x=0处连续，求a、b解：①【】∵f（x）在x=0处有极限∴a=-1，b∈R②f（0）=b+1∵f（x）在x=0处连续∴b+1=-1，此时a=-1【总结：极限运算的题型】1. f（x）=f（□），将→后的“□”代入f（x）中。
（做任何题得方法都是先代入，看看该怎样做。
分子分母没有得0或的，或只有一项得0或的，直接代入做，看第1步。
若分子分母都为0的，看第2步。
若分子分母中都为的，看第3步。
）若，则lim f（x）=0；若，则lim f（x）=若，则…………=，则……………=02.型，未定式。
①分解因式，约分②有根号，有理化③【见下边7的（1）】④洛必达法则（还没讲）3.型，未定式。
①②洛必达法则（还没讲）4.型，未定式。
①型，未定式。
②号内为“1+……”③扩号内“+”后边的式子与外边的指数互为倒数。
④极限时，指数中出现的“+、-的所有常数”都去掉，对题目无影响。
5. 无穷小×有界函数=无穷小（0）6. 分段函数中，求分段点处的极限。
左极限=右极限。
7.函数的连续（满足3条）附件：数学作业作业：第一次1.书P45，4（6），7（1）（2）（3）（6）新加（7）2.P47 ，22第二次1.P46，12（6）（8）（11）补充题：已知，求2.P48，24,25，（26想写就写）补充题：已知，存在极限，求a第三次(3月21日)P46，13（1）（6），14（1）（2）第四次(3月29日)1.补充题③在x=0处有极限，求a、b④在x=0处连续，求a、b2.书P75，3（2）（4）（8），4（3）。