结构力学 第八章

上述一元三次方程手算求解比较困难，下面给出 Maple 软件计算的结果和图形。 restart:solve(94.25*D^3-1200*D-1842=0,D);
-2.086581942 − .5739138538 I, -2.086581942 + .5739138538 I, 4.173163884
6
( Pa )
2
第八章
组合变形习题答案
8-6、砖砌烟囱高 h=30m，底截面 m-m 的外径 d1=3m，内径 d2=2m，自重 P1=2000kN，受 q=1kN/m 的风力 作用。试求: (1) 烟囱底截面上的最大压应力; (2) 若烟囱的基础埋深 h0=4m，基础及填土自重按 P2=1000kN 计算，土壤的许用压应力[σ]=0.3MPa， 圆形基础的直径 D 应为多大? 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解、 （1）底面 m-m 截面上的弯矩和轴力分别为
解、将外载荷分解为沿 y 和 z 方向的力，可得
q y = q cos 300 = 2 × cos 300 = 1.732kN / m qz = q sin 300 = 2 × sin 300 = 1kN / m
梁的最大弯矩发生在梁的中间截面，值分别为
M zmax =
max My
1.732 × 42 = 3.464 ( kN .m ) 8 8 q z l 2 1× 4 2 = = = 2 ( kN .m ) 8 8 =
M=
qh 2 = 450(kN .m), FN = 2000kN 2
因此，烟囱底截面上的最大压应力为
σ max =
M FN + = W A
32 × 450 × 103 4 × 2000 ×103 + ⎡ ⎛ 2 ⎞ 4 ⎤ π × ( 32 − 22 ) 3 π × 3 × ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝3⎠ ⎦ ⎥ ⎣
3
第八章
组合变形习题答案
8-8、试求图示杆内的最大正应力。力 F 与杆的轴线平行。 解、 （1）横截面形心位置的计算 横截面对 z 轴的静矩为： S z = [ 4a ⋅ 2a ] a + [ 4a ⋅ a ] 4a = 24a 截面的形心的 y 坐标为
3
yC =
（2）截面对形心轴的惯性矩
Sz 24a 3 = = 2a 2 2 A ⎡ ⎤ 8 4 + a a ⎣ ⎦
ey = − ez = −
iz2 0.019333 =− = −0.04833(m), 0.4 ay
2 iy
az
= 0.048333
对于其他中性轴情况下,偏心力的位置确定核心边界点分析，可知,截面的核心为正八边形,如图所示。 8-15、曲拐受力如图示，其圆杆部分的直径 d=50mm。试画出表示 A 点处应力状态的单元体，并求其主应 力及最大切应力。 解、A 点应力状态的单元体如右图所示。
σ
所以该点最大切应力为： τ max =
8-16、铁道路标圆信号板，装在外径 D=60mm 的空心圆柱上，所受的最大风载 p=2kN/m2，[σ]=60MPa。试 按第三强度理论选定空心柱的厚度。
解、结构的危险截面为空心柱的固定端，截面的弯矩和扭矩分别为
M = 2×
π × 0.52
4
× 0.8 = 0.314(kN .m);
M=
Fx ; 2
FN = F
所以，偏心截面处的最大拉应力和所对应的强度条件为
4
第八章
组合变形习题答案
6 Fx F + ≤ [σ ] 2 2b(h − x) b(h − x)
利用 Maple 求解上述不等式，可得 restart:F:=12*10^3;h:=40*10^(-3);b:=5*10^(-3);s:=100*10^6;
plot(94.25*D^3-1200*D-1842,D=0..5); plot(94.25*D^3-1200*D-1842,D=0..10); plot(94.25*D^3-1200*D-1842,D=0..15); plot(94.25*D^3-1200*D-1842,D=0..20); 由上述结果可以看出，有意义的实数解为：D=4.173m. 下面两图给出了 D∈[0,5]、D∈[0,10]等几种情况下，强度方程的图形，由此可以看出，当 D>4.173m 时，函数恒大于零。
6 6
6
( Pa )
最大拉应力的表达式为
6q ( lx − x ) cos α qx sin α F M σ= z− N = − Wz A 2bh 2 bh
2
最大拉应力的位置为
x0 =
+
l h − tan α = 1.981m 2 6
6 6
最大拉应力的值为： σ max = 5.196 × 10 − 0.0991× 10 = 5.097 × 10
32 × 3.2 ×103 × 90 ×10−3 正应力为： σ = = 23.468 × 106 ( Pa) 3 −9 π × 50 × 10
切应力为： τ =
16 × 3.2 ×10 ×140 × 10 π × 503 × 10−9
3
−3
τ
σ
= 18.253 × 106 ( Pa)
5
பைடு நூலகம்
第八章
组合变形习题答案
= 0.212 × 106 + 0.509 ×106 = 0.721× 106 ( Pa )
（2）烟囱基础截面的弯矩和轴力分别为
h⎞ ⎛ M = qh ⎜ h0 + ⎟ = 570(kN .m), FN = 3000(kN ) 2⎠ ⎝
根据强度条件可知
M FN 32 × 570 × 103 4 × 3000 × 103 = + ≤ 0.3 × 106 σ max = + 3 2 W A π ×D π ×D 2 3 ⇒ ( 0.3π × 10 ) D − 1200 D − 1824 ≥ 0
3 3 2⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 I zC = ⎢ ( 4a )( 2a ) + ( 4a )( 2a ) a 2 ⎥ + ⎢ a ( 4a ) + ( 4a )( a )( 2a ) ⎥ = 32a 4 ⎣12 ⎦ ⎣12 ⎦ 1 1 3 I yC = ( 2a )( 4a ) + ( 4a ) a 3 = 11a 4 12 12
所以该点的主应力为
σ max = σ 1 = σ min
σ
⎛σ ⎞ + ⎜ ⎟ + τ 2 = 11.734 + 21.699 = 33.43( MPa ) 2 ⎝2⎠
2
2
⎛σ ⎞ = σ 2 = − ⎜ ⎟ + τ 2 = 11.734 − 21.699 = −9.93( MPa) 2 ⎝2⎠ 1 (σ 1 − σ 3 ) = 21.68( MPa) 2
max My = F2 l = 1.0 × 0.8 = 0.8 ( kN .m )
14 号工字钢的抗弯截面模量分别为
Wz = 102cm3 ;
Wy = 16.1cm3
max 3 × 103 0.8 ×103 M zmax M y = + = + = 79.1× 106 ( Pa ) −6 −6 102 × 10 16.1×10 Wz Wy
上述解答中取有意义的解为
x≤
8 3 6 − = 5.212 ×10−3 (m) 125 125
8-13、试确定图示十字形截面的截面核心边界。 解、截面对形心轴的惯性矩为
1 1 × 0.2 × 0.63 + 2 × × 0.24 = 3.867 × 10−3 (m 4 ) 12 12 I 2 iy = iz2 = y = 0.01933(m 2 ) y A I y = Iz =
wmax 0.0202 0.76 1 = = < l 4 150 150
解、将均布载荷分解为沿轴线方向和垂直于轴线方向的两个分力，可得： qx = q sin α ; 距离 B 端为 x 的截面上的轴力和弯矩分别为
q y = q cos α
M=
该截面的最大压应力为
q y lx 2
−
qy x2 2
=
q ( lx − x 2 ) cos α 2
第八章
组合变形习题答案
第八章、组合变形
8－1、14 号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知 l=0.8m，F1=2.5kN，F2=1.0kN,试求危险截面上的最大 正应力。 解、危险截面为固定端 A 截面，该截面上的弯矩为
F1l 2 = 2.5 × 0.8 + 2.5 × 0.4 = 3 ( kN .m ) M zmax = F1l +
（3）截面对 xC 和 yC 轴的弯矩、横截面上的轴力分别为： M yC = 2 Fa; M zC = 2 Fa; FN = F 所以横截面的最大正应力为
+ σ max =
( 2 Fa ) (2a) + (2 Fa) ( 2a ) = 604 F = 151F F + 2 12a 32a 4 11a 4 1056a 2 264a 2
8-10、受拉构件形状如图，己知截面尺寸为 40mm×5mm，承受轴向拉力 F=l2kN。现拉杆开有切口，如不 计应力集中影响，当材料的[σ]=100MPa 时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变 化图。
38MPa
100 MPa A-A 截面应力分布图
解、由于切口的存在，在切口截面载荷为偏心力，切口截面上的轴力和弯矩分别为
2
, FN = qx x = qx sin α
6q ( lx − x ) cos α qx sin α F M + σ= z+ N = Wz A 2bh 2 bh
上式对 x 求导，可得取得最大压应力的位置为
x0 =
l h + tan α = 2.019m 2 6
−
可得最大压应力为： 将 x0 代入正应力的表达式， σ max = 5.1967 × 10 + 0.101×10 = 5.297 × 10
qyl2
根据矩形截面的特点，可得梁的最大正应力为
σ max =
max M zmax M y 6 × 3.464 ×103 6 × 2 × 103 + = + = 11.97 × 106 ( Pa ) −9 −9 2 2 Wz Wy 120 ×160 ×10 160 ×120 × 10
qy 作用下最大挠度为
T = 2×
π × 0.52
4
× 0.6 = 0.236(kN .m)
根据第三强度理论，可知
σr =
3
32 M 2 + T 2 32 M 2 + T 2 4 σ α ≤ ⇒ ≤ 1 − [ ] π D 3 (1 − α 4 ) π D 3 [σ ]
两个联合作用下的最大挠度为
wmax =
根据刚度条件要求,可得
(w ) + (w )
max 2 y
max 2 z
= 0.0202(m)
8-4、图示一楼梯木斜梁的长度为 l=4m，截面为 0.1m×O.2m 的矩形，受均布荷载作用,q=2kN/m。试作梁的 轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力和最大压应力。
wy =
5q y l 4 384 EI z
=
12 × 5 ×1.732 × 103 × 44 = 0.0141(m) 384 × 10 × 109 ×120 × 1603 × 10−12
1
第八章
组合变形习题答案
qz 作用下最大挠度为
wy =
5qz l 4 12 × 5 × 1× 103 × 44 = = 0.0145(m) 384 EI y 384 × 10 ×109 × 160 ×1203 × 10−12
F := 12000 ； h :=
1 1 ； b := ； s := 100000000 25 200
solve(3*F*x/(b*(h-x)**2)+F/(b*(h-x))<s,x);
⎛ 8 − 3 6 ⎞ ⎞, RealRange⎛ Open⎛ 8 + 3 6 ⎞, ∞ ⎞ RealRange⎛ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ −∞, Open⎜ ⎜ 125 125 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 125 125 ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
根据工字形截面的特点,可知,截面的最大弯曲正应力为
σ max
8-2、受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为α=30o， 如图所示。己知该梁材料的弹性模量 E=10GPa；梁的尺寸为 l=4m，h=160mm；b=120mm；许用应力 [σ]=l20MPa;许可挠度[w]=l/1150。试校核梁的强度和刚度。
当中性轴为①时,中性轴的截矩为: 偏心力作用点的位置为:
a y = −0.3; az → ∞ ;
z
②
iz2 0.019333 ey = − = − = 0.0644(m), ay −0.3
当中性轴为②时,中性轴的截矩为: 偏心力作用点的位置为:
iz2 ez = − = 0 az
①
a y = 0.4; az = −0.4 ;