幂级数及泰勒展开习题解答
函数展开成幂级数

∴f
(0) = 0, f ( 2 n+1) (0) = ( −1) n , ( n = 0,1,2,⋯)
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) x ξ ( x − x0 )n+1( 在x0与 之 ). 其 Rn( x) = 中 间 (n + 1)!
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
如, 例 , 当x 很 时 e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x 如 小 ,
x
(如下图) 如下图)
y = ex
y = ex
y= x
y = ln(1 + x)
y = 1+ x
n= 0
∞
的泰勒级数, 定理 2 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数, 在U δ ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) ⇔ 在U δ ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) = 0 .
n→∞
证明( 证明(略)
定理 3
设 f (x) 在U ( x0 ) 上有定义,∃M > 0, 对 上有定义, ( n) ∀ x ∈ ( x0 − R, x0 + R),恒有 f ( x) ≤ M
n=0
存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
问题: 如果能展开 如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 a n 是什么 2.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
解析函数的幂级数展开的题及答案

解:可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值,
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性); n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1, an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ;在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1, an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上, 故需要进一步讨论起敛散性.对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 , (由交错级数的 Lebniz 判别法) n n 1 易知其收敛但不绝对收敛.对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以:
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7:证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证: z r n,且级数 r n (0 r 1)收敛
例:用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解: f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析,而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z= 1
幂级数及泰勒展开习题解答

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解:12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时,因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-, 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛, 当1x =-时, 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛,⇒ 收敛区间为[1,1]-。
2. 11n n n -∞=解:11lim2n n n na a +→∞== 2R ⇒=当2x =时,1nn ∞=当2x =-时,111n n n n -∞∞===-发散, ⇒ 收敛区间为(2,2]-。
3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解:1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=, 当13x =±时,通项不趋于零,⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。
4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解:121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<,即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时, 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散,当2x =时, 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数,⇒ 收敛区间为(1,2]。
5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解:1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<,即02x <<时级数绝对收敛。
第四章 级数(答案)
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复变函数练习题 第四章 级数系 专业 班 姓名 学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题:1.下列级数中绝对收敛的是 [ ](A)11(1)n in n ∞=+∑ (B)1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (C) 2ln n n i n ∞=∑ (D)1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2.若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ](A )绝对收敛 (B )条件收敛 (C )发散 (D )不能确定()122i Abel +=>,由定理易得3.幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] (A) ln(1)z + (B )ln(1)z - (C ) 1ln1z + (D ) 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题:1.设(1)2nn i α-=+,则lim n n α→∞= 0 。
2.设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ,那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3.幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。
高数-幂级数的展开
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f nx n! an n 1nn 1 2an1 x
f x f 0 f 0x
f 0 x2
f
n x n2
n 0
xn
a2 an
f 0
2!
f n0
n!
得证
(3).写出幂级数:
f 0 f 0x
f 0 x 2
2!
f (n) 0 x n
n!
并求出收敛半径 R.
(4).考察当 x R, R 时,
x之间)是否为零?
lim
n
Rn
x lim n
f (n1) n 1!
知 f x 1
1 x2
1n x 2n ,
n0
| x 2 | 1, 即 | x | 1.
说明 若 f x在 R, R内的已得到展式: f x an x n , x R, R.
n0
(1)级数 an x n在x R或x R 处仍收敛;
Rn x
f n1 n 1!
x
x0
n1
,
介于
x0 与 x 之间,
——拉格朗日余项
2.级数收敛的必要条件
3.幂级数及其和函数的性质
1
一、泰勒级数
问题:给定函数 f x, 是否能找到一个幂级数,它在某个区间 内收敛,且其和恰好是给定的函数 f x?
若能找到这样的幂级数,则说函数f (x)在该区间内能展开成 幂级数.
逐项求导、逐项求积), 将所给函数展成幂级数。
常用的已知函数展开式有:
1
xn 1 x x2 xn
数学分析第二册答案第十三章 幂级数

第十三章 幂级数§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域1.求下列各幂级数的收敛域:(1)∑∞=1!)2(n nn x ;(2)∑∞=+++111)1ln(n n x n n ; (3)∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n ;(4)∑∞=122n n nx ;(5)∑∞=-+1))1(3(n nn n x n ; (6)()()∑∞=+-+1123n n nn x n ; (7)()()n n x n n ∑∞=+1!!12!!2;(8)∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n n x n ;(9)()n n nn x nn∑∞=-11;(10)∑∞=+175n nn nx ; (11)()()nn x n n ∑∞=12!2!;(12)n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11211 ; (13)∑∞nnx;(14)()()∑∞=---112!122n n n x ; (15)()10,12<<∑∞=a x a n n n ;(16)∑∞=1n p nnx .解(1)由012lim !2)1(2lim 1=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→n n n n n n n ,故收敛半径+∞=R ,收敛域为)(∞+∞-,.(2)由 121)2ln()2ln(lim 1)1ln(2)2ln(lim =++⋅++=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→∞→n n n n n n n n n n ,故收敛半径1R =. 在1=x ,级数为∑∞=++11)1ln(n n n ,发散;在1-=x ,级数为∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n ,由交错级数的Leibniz 判别法,知其收敛,因而收敛域为)[1,1-.(3)e n n n nn n nn n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→11lim 1lim ,所以收敛半径e R 1=.由于()∞→≠→⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+n e e n nn 01111, 故在e x 1±=级数发散,因此收敛域为)1,1(ee -.(4)由121lim 21limlim 2===∞→∞→∞→n n n n n n n n a ,知收敛半径1=R . 在1=x ,级数为∑∞=±12)1(2n nn绝对收敛,故收敛域为]1,1[-. (5)由()413limlim =-+=∞→∞→nnn n n n na ,故收敛半径41=R . 在41=x ,级数()[]∑∞=-+1413n n nn n ,将其奇偶项分开,拆成两个部分,分别为∑∞=121k k 和()∑∞=--1122121k k k ,前一项级数发散,后一项级数收敛,因此级数()[]∑∞=-+1413n n nn n 发散;同样,41-=x 时,级数为()[]()∑∞=--+11413n nn nn n ,也可拆成两部分,前一部分为∑∞=121k k ,另一部分()()∑∞=-----112122121k k k k ,前者发散,后者绝对收敛,因此级数()[]()∑∞=--+11413n nn nn n 发散,所以收敛区域是)41,41(-. (6)()()()332132231lim 23123lim 11=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+∞→++∞→n nn n nn n n n n n n ,所以级数的收敛半径是31=R . 当311=+x 时,级数为()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+1132113123n n n n n n n n n 发散;当311-=+x 时,级数为()()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1132113123n n n n n n n n n n 收敛. 因此,收敛域为31131≤+≤-x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,43. (7) ()()()()()13212lim !!12!!2!!32!!12lim =++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∞→∞→n n n n n n n n ,所以收敛半径1=R .当1=x 时,级数为()()∑∞=+1!!12!!2n n n ,由于12132lim 12232lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→∞→n n n n n n n ,故由Raabe 判别法,知级数发散;当1-=x 时,级数为()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=(实际上,由其绝对收敛立知其收敛),这是交错级数,由于()()()()()()!!12!!2!!12!!23222!!32!!22+<+++=++n n n n n n n n ,故()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+!!12!!2n n 单调下降,且由n n n 2112254320<+< (用数学归纳法证之)及夹迫性知()()0!!12!!2lim =+∞→n n n ,由Leibniz 判别法,知()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=收敛,所以收敛域为)1,1[-. (8)111lim 11lim 2--∞→-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+e n n nn n n n ,所以收敛半径e R =.由于()()∞→≠→±⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n e e n n n 0112,故级数在e x ±=发散,因而收敛域为),(e e -.(9)()()11111lim11=-++-++∞→nnn n n nn n n ,所以1=R .在1=x ,级数为()∑∞=-11n nn nn,由Leibniz 判别法,知其收敛;在1-=x ,级数为∑∞=11n nnn发散,故收敛域]1,1(-.(10)71751751lim 11=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→nn n n n ,所以7=R . 在71±=x ,由于()()∞→→+±n n n n1757,即级数()∑∞=+±1757n nn n一般项()n n n757+±当n ∞→时不趋于0,因此级数发散,故收敛域()7,7-.(11)()[]()[]()()()()()4112121lim !2!!12!1lim 222=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→n n n n n n n n n ,因此4=R . 在4±=x ,级数为21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑,因为级数一般项的绝对值为 1!)!12(!)!2()4()!2()!(2>-=±n n n n n 对一切n 成立,所以0)4()!2()!(lim2≠±∞→nn n n ,即级数21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑发散,因此收敛域为)4,4(-.(12) 因为1)1211()11211(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n ,所以1=R .而在1±=x ,由于()011211lim ≠∞=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n ,故级数在1±=x 均发散,因而收敛区间为)1,1(-.(13)因为11lim=+∞→nn n ,所以1=R .又在1±=x ,显然级数()∑∞=±11n nn 均发散,故收敛域为)1,1(-.(14)由于()()()()()()101222lim !122!122lim 21212<=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∞→--∞→n n x n x n x n n n n ,故()∞∞-∈∀,x ,()()∑∞=---112!122n n n x 均绝对收敛,因而收敛半径+∞=R ,收敛域()∞∞-,.(15)因为0lim lim 2==∞→∞→n n n n n a a (10<<a ),所以+∞=R ,收敛域为()+∞∞-,.(16)()1111lim 111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→p n ppn n n n ,所以1=R . 在1±=x ,级数变为()∑∞=±11n pn n ,故当1>p 时都收敛;10≤<p 时,()∑∞=-11n pn n 收敛,而∑∞=11n p n 发散,0≤p 时一般项不趋于0,均发散.因此,当1>p 时,收敛域]1,1[-; 10≤<p 时,收敛域为)1,1[-;而当0≤p 时, 收敛域为)1,1(-.2.设幂级数nn nx a∑∞=1的收敛半径为R , n n n x b ∑∞=1的收敛半径为Q ,讨论下列级数的收敛半径:(1)∑∞=12n n nx a;(2)()∑∞=+1n n n nx b a;(3)()∑∞=1n nnn xb a .解(1)由题设R a a nn n 1lim 1=+∞→,所以()221211lim x R x a x a n n n n n =++∞→,故当112<x R ,即R x <时,级数nn n x a 21∑∞=绝对收敛,而当112>x R ,即R x >时,级数nn n x a 21∑∞=发散,因此级数nn nx a21∑∞=的收敛半径为R . (2)收敛半径必{}Q R ,m in ≥,而不定,需给出n a ,n b 的具体表达式才可确定,可以举出例子.(3)RQ b a b a nn n n n 1lim11=++∞→,所以收敛半径为RQ ,只有当Q R ,中一个为0,另一个为∞+时,不能确定,需看具体n a ,n b 来确定,可以是[)+∞,0中任一数.3.设()0,,2,1101>=≤∑∞=x n M x ak kk ,求证:当10x x <<时,有(1)n n nx a∑∞=0收敛;(2)M x an n n≤∑∞=0.证明(1)nn n x a ∑∞=0=n n n n x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=111,而由于10x x <<,故数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nx x 1单调递减趋于0,级数n n n x a11∑∞=的部分和数列M x a n nn ≤∑∞=0有界,由Dirichlet 判别法,级数nn n x a ∑∞=0收敛.(2) 设n n nx a∑∞=0的部分和为)(x s n ,则由Abel 变换,有knk k k nk k k n x x x a x a x s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==1111)(∑∑∑=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k kk nn k k i i i k k x a x x x a x x x x 1111111111M x x M x x x x x x M nn k k k <=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑-=+1111111, 所以,M x s x s x an n n n n n n≤=∞→∞→∞=∑)(lim )(lim 0.§13.2 幂级数的性质1.设nn n x a x f ∑∞==)(当r x <时收敛,那么当11+∞=∑+n n n r n a 收敛时有 11)(+∞=∑⎰+=n n n rr n a dx x f , 不论nn n xa ∑∞=0当r x =时是否收敛.证明 由于幂级数11+∞=∑+n n n r n a 的收敛半径至少不小于r ,且该幂级数在r x =收敛,因而该幂级数在[]r ,0一致收敛(Abel 第二定理),因此该幂级数的和函数)(x s 在r x =连续,即()101lim +∞=→∑+=-n n n rx r n a x s .又r x <<∀0,由于n n n x a ∑∞=0当r x <时收敛,故可逐项积分,即)(1100x s r n a dx x a dx x a n n n n xnn x n nn =+==+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑,即)(lim )(0x s dt t f rx x -→=⎰,令-→r x 取极限即有11)(lim )(+∞=→∑⎰+==-n n n rx r r n a x s dx x f . 2.利用上题证明()∑⎰∞=-=-121011ln n ndx x x . 证明 ()()1,11)1ln(111<-=--=-∑∑∞=∞=-x x nx nx n nn n n ,故()∑∞=--=-1111ln n n x n x x ,1<x ,而级数∑∑∞=∞=-=+-⋅-12111)1(11n n nn n 是收敛的,利用上题结论,就有()∑⎰∞=-=-121011ln n n dx xx .3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和:(1)∑∞=1n nnx ;(2)∑∞=1n nnx;(3)()∑∞=+11n nxn n ;(4)()()∑∞=---121121n n n x n n ; (5)∑∞=+122!1n nnx n n ; (6)()()nn n x n n ∑∞=+-13!11;(7)∑∞=-+11414n n n x ;(8)()∑∞=+-0112n n n x ;(9)∑∞=-112n n x n;(10)()∑∞=++1122!12n n x n n .解(1)因为1,1111<=-∑∞=-x x x n n ,所以当1<x 时,⎰∑⎰-=∞=-x n x n dt t dt t 000111,即()x n x n n --=∑∞=1ln 1,且当1-=x 时,级数()∑∞=-11n nn 收敛,由Abel 第二定理,有()11,1ln 1<≤---=∑∞=x x n x n n. (2)设∑∞==1)(n nnx x s ,则1,)(11<=∑∞=-x nx x x s n n ,逐项积分,有1,1)(1101<-===∑∑⎰⎰∞=∞=-x x x x dt t n dt t t s n n n x n x,所以,()2111)(x x x x x s -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,即()1,1)(2<-=x x x x s . (3)设()∑∞=+=11)(n nxn n x s ,1<x ,则有()()1,11)(221111<-===+=∑∑∑⎰⎰∞=∞=+∞=x x x nx x nxdt t n n dt t s n nn n n xnx,所以,322)1(2)1()(x xx x x s -='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,1<x . (4)设()()∑∞=--=12121)(n n nx n n x s ,1≤x ,则 ()()∑∞=----='11211221)(n n n x n x s ,11≤<-x , ()()()211212211212121)(xx x x s n n n n n +=-=-=''∑∑∞=-∞=--,1<x , 所以,()x dt tx s xarctan 21121)(02=+='⎰,11≤<-x , )1ln(41arctan 21arctan 21)(20x x x tdt x s x+-==⎰,1≤x . (5) 设 1)(2!12!2!1)(211212-+=+=+=∑∑∑∞=∞=∞=xnn n n n n n n ne x x n x n n x n n x s σ,+∞<x . 由于()211101222!1122!)(2!)(xn n n n n x n n n e xx n x x n n dt t t x n n x =⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=∑∑⎰∑∞=-∞=∞=σσ,所以, 222412)(x x e x e x x +=σ,故 112141)(22-⎪⎭⎫⎝⎛++=xe x x x s .(6)设()()∑∞=+-=13!11)(n n n x n n x s ,+∞<x ,则[]()∑∞=-='13!)(n nx n n x xs ,所以,[]()()[]()13)(!)(12220+--='⇒-=-='--∞∑⎰x x xe x xs e x x x n n dx t ts t x x n x,()11)(3-++=-x e x x x xs ,则()xe ex x s x x11)(2-++=--(在0=x 理解为极限值).(7)令∑∞=-+=11414)(n n n x x s , 则1,14)(1142<+=∑∞=+x n x x s x n n ,所以, []()44141421)(xx xxx s x n nn n-==='∑∑∞=∞=, 故x x x x x s x -+-+=arctan 2111ln 41)(2,因此2222arctan 11ln 41)(xxx x x x x s -+-+=(在0=x 理解为极限值).(8)22122lim 12lim1=-=-∞→+∞→n n n nn n ,收敛半径21=R ,在21±=x ,有 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑∞=∞=+nn n n nn 212121121, 由于()02121lim ≠⎪⎭⎫⎝⎛-±∞→nnn ,故级数发散.可得 ()()∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=012212)(n n n nn nn x x x x s()()x x x x 2111112112--=---=,21<x . (9)设1,)(112<=∑∞=-x x nx s n n ,则有x x x dx dt t s u nx dt t s n n xu n nx-==⎪⎭⎫⎝⎛⇒=∑⎰⎰∑⎰∞=∞=1)(1)(10010,所以,20)1(11)(1x x x dt t s x x -='⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰, 即20)1()(x x dt t s x-=⎰,所以32)1(1)1()(x xx x x s -+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,1<x . (10)设()+∞<+=∑∞+x x n n x s n ,!12)(122,则有(逐项积分),()1!1)(1!12)(2121001120-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+=+∞=∞=+∑⎰⎰∑⎰x n n x t n n xe x x n dt du u u s t x n n dt t t s所以,()()x e x x du uu s e x du u u s x x x x x -+=-+=⎰⎰2230202)(,112)(1, ()11624)(224-+++=x e x x x xx s , 则()x e x x x x x s x -+++=2235624)(.4.求下列级数的和: (1)∑∞=-1212n nn ; (2)()∑∞=+1121n n n . 解 (1)考虑级数())(1212x s xn n n=-∑∞=,1<x .由于()∑∞=--=122212)(n n x n x x s ,逐项积分,()2112112021)(xxx x x dt t t s n n n n x-===∑∑⎰∞==∞=-,所以, ()()()2222222211)(11)(x x x x s x x x x s -+=⇒-+=,1<x . 故有()3222112212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∞=∞=s n n n nn n . (2)设()∑∞=++=112121)(n n x nn x s ,则级数在1≤x 绝对收敛,所以, ∑∞=='121)(n n x n x s ,2112122)(x xx x s n n -==''∑∞=-,1<x . 因此,)1ln(12)(202x dt t t x s x--=-='⎰,xxx x x dx x x s x +-++--=--=⎰11ln 2)1ln()1ln()(202,1≤x .())(lim )1(12111x s s nn x n -→∞===+∑[]2ln 22)1ln()1(2)1ln()1(lim 1-=++-+--=-→x x x x x x .5.证明:(1) ∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(;(2) ∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x . 解(1)对级数∑∞=04)!4(n n n x ,由0)!4(1)]!1(4[1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n ,故收敛半径+∞=R ,收敛域为()+∞∞-,,而采取用逐项求导得,∑∑∑∞=∞=-∞==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛041)1(4)4(04)!4()]!1(4[)!4(n nn n n n n x n x n x ,即∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(. (2)级数∑∞=02)!(n n n x 收敛域为()+∞∞-,,设∑∞==02)!(n nn x y ,通过逐项求导得, ()()∑∑∞=-∞=='⎥⎦⎤⎢⎣⎡='12102!!n n n n n nxn x y , ()()()∑∑∞=-∞=-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''22202!1!n n n n n x n n n x y , 所以,()()()∑∑∑∞=∞=-∞=--+-=-'+''02121222!!!)1(n nn n n n n x n nx n x n n x y y y x()()[]()()[]()0!!11!11020212=-+++++=∑∑∑∞=∞=∞=n nn n n nn x n x n n x n n ,即∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x . 6.设)(x f 是幂级数∑∞=0n n nx a在()R R ,-上的和函数,若)(x f 为奇函数,则级数中仅出现奇次幂的项;若)(x f 为偶函数,则级数中仅出现偶次幂的项.证明 由于∑∞==)(n n nx ax f ,()R R x ,-∈.()R R x ,-∈∀,由)(x f 是奇函数,即)()(x f x f -=-,得0]1)1[()(0=+-⇒-=-∑∑∑∞=∞=∞=n n n nn nn n nnx a x a x a,故{}N n ⋃∈∀0,有0]1)1[(=+-n na ,故当n 为偶数时002=⇒=n n a a ,即级数中偶次幂系数均为0,因此级数中仅出现奇次幂的项.同样,若)(x f 为偶函数,即)()(x f x f =-,得0]1)1[(0=--∑∞=n n n nx a ,故n ∀,有0]1)1[(=--n n a ,当n 为奇数时,有002=⇒=-n n a a ,即级数中奇次幂的系数均为0,因此级数中仅出现偶次幂的项.7.设∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f .求证:(1))(x f 在]1,1[-连续,)(x f '在)1,1(-内连续; (2))(x f 在点1-=x 可导; (3)+∞='-→)(lim 1x f x ;(4))(x f 在点1=x 不可导;证明(1)由于1,)1ln(1)1ln(22≤+≤+x n n n n x n ,而级数∑∞=+12)1ln(1n n n 收敛,由M判别法,知级数∑∞=+12)1ln(n nn n x 在]1,1[-一致收敛,而级数的每一项为幂函数在]1,1[-连续,故和函数∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f 在]1,1[-连续.又级数∑∑∞=-∞=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1112)1ln()1ln(n n n n n n x n n x 的收敛半径为1=R ,因此在)1,1(-内,其和函数)(x f '连续.(2)幂级数∑∞=-+11)1ln(n n n n x 在1-=x 成为∑∞=-+-11)1ln()1(n n n n ,由Leibniz 判别法,知级数收敛,由Abel 第二定理,幂级数在]0,1[-一致收敛,因而其和函数)(x f '在1-=x 右连续,因此)(lim 1x f x '+-→存在,且)(lim )1(1x f f x '=-'+-→.(3)+∞=+='∑∞=→-11)1ln(1)(lim n x n n x f . (4)因为∑∞=→→+--=----1211)1ln()1()1(lim 1)1()(lim n n x x n n x x x f x f ()+∞=+=++++=∑∑∞=∞=--→-1122111ln 1)1ln(1lim n n n n x n n n n x x , 故)(x f 在点1=x 不可导.§13.3函数的幂级数展式1.利用基本初等函数的展式,将下列函数展开为Maclaurin 级数,并说明收敛区间. (1)0,1≠-a xa ; (2)()211x +;(3)()311x +;(4)x 2cos ; (5)x 3sin ; (6)xx 31-;(7)()xex -+1;(8)()21ln x x ++;(9)22311x x +-; (10)x arcsin ;(11)()21ln xx ++;(12)21ln arctan x x x +-;(13)⎰xdt tt0sin ; (14)dt t x⎰2cos .解(1)nn a x a ax ax a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=-=-111111 (1<a x ) ∑∞=+=11n n n x a(a x <).(2)()()22111-+=+x x()()()()()∑∑∞=∞=+-=+----+=0111!12321n n nn nx n x n n ,1<x .(3)()()()()()∑∞=-+----+=+=+133!13431111n n x n n x x()()()∑∞=++-=22121n n x n n ,1<x .(4)∑∞=-+=+=022)2()!2()1(212122cos 1cos n n n x n x x ∑∞=--+=1212)!2(2)1(1n nn n x n ,+∞<x . (5)()()()()()!123141!1214343sin sin 3sin 1201203+--+-=-=+∞=+∞=∑∑k x k x x x x k kk k kk ()()()∑∞=++--=0122!1231143k k kk k x ,+∞<x .(6)()213131--=-x x xx()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=13!12123211n n x n n x (13<x )()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=123!!!121n n n x n n x ,31<x . (7)()()()∑∞=--+=+0!111n n xx n x ex (+∞<-x ) ()()∑∞=-+=0!11n n n x n x (+∞<x )()()∑∑∞=+∞=-+-=10!1!1n n nn nnx n x n (+∞<x )()()∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=111!1!111n nn x n n ,+∞<x . (8)()()()212211ln -+='++x xx()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12!21223211n n x n n (12<x )()()∑∞=--+=12!2!!1211n n n n x n n ,1<x ,所以,()()()()()∑⎰∞=++--+='++1120212!2!!1211ln n n nn xx n n n x dx xx ,1≤x , 即()()()()∑∞=++--+=++112212!2!!1211ln n n nn x n n n x xx . (9)xx x x x x ---=--=+-11212)21)(1(123112∑∑∞=∞=-=0)2(2n nn nxx (12<x 且1<x )()∑∞=+-=112n n n x ,21<x . (10)()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+='122!2122321111arcsin n nx n n x x (12<-x )()∑∞=-+=12!2!!121n n nx n n ,1<x ,所以,()()∑∞=++-+=11212!2!!12arcsin n n nx n n n x x ,1<x . 在1±=x ,由于()()()()()123132!12!!1212!2!!12lim 1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-+∞→n n n n n n n n n n , 用Raabe 判别法知右端级数收敛,因而收敛区间为]1,1[-.(11)()()()x x xx xx ---=--=++1ln 1ln 11ln 1ln 332()()()()x nnx n n n nn -----=∑∑∞=-∞=-1113111∑∑∞=∞=-=13111n nn n x nx n ,11<≤-x . (12)dx x xdx x dxxx x x x x ⎰⎰+-+=+-02022111ln arctan ()()⎰∑⎰∑∞=∞=---=xn nx n x x dx x x 0202()()220120121121+∞=+∞=∑∑+--+-=n n n n n n x n x n x()()()()∑∞=+++-=01211221n n n x n n ,1≤x .(13)()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=++-=--=x k k kx k k kxdt t k dt t k t dt t t 02000120!121!1211sin ()()()∑∞=+++-=012!12121k k kx k k ,+∞<x .(14)()()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-=-=x k k kx k kk xdt t k dt t k dt t004002202!21!21cos()()()∑∞=++-=01414!21k k kx k k ,+∞<x .2.利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin 展开式: (1)()xx ++11ln ; (2)()2arctan x ; (3)()x -1ln 2.解(1)()()()()∑∑∞=∞=---=++=++011111ln 11ln n nn nn x xnn x x x x ()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞==---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111111111n n k n n n k k n k n k k x k x x k ,1<x .(2)()()20022022111arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰∑⎰∞=x n nn x dt t dt t x ()()()()121200121121+--+∞==+--+-=∑∑k n kn k n n k k x k n x k()()()()∑∑∞=+=+-+-=0120121211n n nk nx k n k ()()∑∑∞=+=++-=012012111n n nk nx k n ,1≤x . (3)()()()∑∑∑∑∞==-+∞=∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-111212112111ln n nk k n k n n n n n k n x k x n x x n x()()∑∑∑∑∞=+=∞=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111111211n n n k n n n k x k n x k n k ,11≤≤-x . 3.将下列函数在指定点0x 展开为Taylor 级数:(1))(,10a b x xa ≠=-; (2)1,221ln 02-=++x xx ; (3)2,ln 0=x x ; (4)1,0=x e x.解(1)()()()ba bx b a b x b a x a ----=---=-11111()()∑∑∞=-∞=--=⎪⎭⎫⎝⎛---=0101n n nn nb a b x b a b x b a ,b a b x -<-. (2)()[]2211ln 221ln++-=++x xx ()()[]()()∑∑∞∞=-+-=+--=nn n n n n x nx n21211111,02≤≤-x .(3)()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-+=112212ln 221ln 2ln 22ln ln n nn x n x x x (1221≤-<-x ) ()()∑∞=---+=112212ln n n nn x n ,40≤<x .(4)()()()∑∑∞=∞=--+-=-===001111!1!1n nn n x x xx n e x n e eeee ,+∞<<∞-x . 4.展开 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1为x 的幂级数,并推出()∑∞=+=1!11n n n . 解 ∑∑∑∞=-∞=-∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22110!1!11!111n n n n n n x x n n x n dx d x n x dx d x e dx d ()∑∞==+=11!1n n x n n,+∞<x , 所以,()()1111!11211=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x x e x e dx d n n . 5.试将()x x f ln =展开成11+-x x 的幂级数. 解 令11+-=x x t ,则 ttx -+=11,因而有()()()()()()∑∑∞=-∞=-----=--+=-+==1101111ln 1ln 11ln ln n n n n nn t nt n t t t tx x f()∑∑∞=-∞=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=112111112211n n n n n x x n t n,0>x .6.函数()x f 在区间),(b a 内的各阶导数一致有界,即0>∃M ,对一切()b a x ,∈,有() ,2,1,)(=≤n M x f n ,证明:对()b a ,内任意点x 与0x ,有()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f . 证明 由Taylor 公式,()b a x ,∈∀,()b a x ,0∈,有()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00)(200000!!2 , 其中()()()()()()∞→→-+≤-+=+++n x x n Mx x n f x R n n n n 0!1!1101)1(ξ,()b a x ,∈∀,其中ξ在x 与0x 之间.故()x f 在区间()b a ,可以展成()0x x -的幂级数,即()b a x ,∈∀,()b a x ,0∈,()()()∑∞=-=000)(!n n n x x n x fx f .。
7-8讲 幂级数与泰勒级数

例1:常用的4个展开形式(z0=0为展开中心)
其中f (0)=e0 1,
f (0) = (e z )
z 0
1, f ( k ) (0) 1,
1 zk z ak , f ( z ) e . k! k 0 k!
其收敛半径为 R lim
k
ak 1/ k ! lim lim(k 1) . ak 1 k 1/( k 1)! k
1 z n 1 , 因前n项和 S n ( z ) 1 z
1 S ( z) . 1 z
1 z n 1 1 lim . 当|z|<1时,和函数 S ( z) lim Sn ( z) 1 z 1 z n n
作业:P37 3(1,2,4), 4(2,3)
§3.3 泰勒级数展开
则在此区域内和函数 S ( z ) wk ( z )连续。
k 1
(2)逐项求极限: 若级数的每一项都是连续函数,则一致收敛的
函数级数可以逐项求极限,即
lim w ( z ) lim w ( z ).
z z0 k 1 k k 1 z z0 k
证明:由性质(1)知,当z→ z0时,和函数S(z) →S(z0),
可见,两种泰勒展开级数的系数完全相同。
三、举例
z2 zk (1) e 1 z , z , 2 ! k 0 k! eiz eiz z3 z5 (1) k 2 k 1 (2) sin z z z , z , 2i 3! 5! ! k 0 (2k 1) eiz e iz z2 z4 (1) k 2 k (3) cos z 1 z , z , 2 2 4 ! ! ! k 0 ( 2k ) 1 2 3 (4) 1 z z z z k , z 1. 1 z k 0 f ( k ) (0) k z k z , 解(1):由泰勒展开定理知 f ( z ) e ak z k! k 0 k 0 z
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-幂级数(圣才出品)

第14章幂级数§1幂级数1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域:解:(1)因故收敛半径R=1,收敛区间为(-1,1).又时,级数与级数均发散,故收敛域为(-1,1).(2)因为故收敛半径收敛区间为(-2,2).当时,级数收敛,故收敛域为[-2,2].(3)记所以,则收敛半径R=4.当时,级数为,通项为u故,即时级数发散,故收敛域为(-4,4).(4)因故收敛半径为收敛域为(5)设则故对任取定的x,有<1,故级数的收敛半径为收敛域为(6)设,则故级数收敛半径故,从而收敛区间为当时,原级数可化为对于级数,因为故级数收敛,又收敛,故时,原级数收敛.当时,原级数可化为因级数收敛,而级数发散,故时原级数发散,从而收敛域为(7)设故收敛半径,故时,原级数是发散的,从而收敛域为(-1,1).(8)设,则因此级数在时收敛,时发散,从而可得收敛半径R=1,收敛区域为[-1,1].2.应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域):解:(1)设时,级数收敛,故原级数的收敛半径R =1.又当时,原级数可化为发散,从而得收敛域为(-1,1).设内逐项求导,得故和函数(2)记因为所以,收敛区域为(-1,1).因为所以(3)记则收敛区域为(-1,1).因为所以所以,因此3.证明:设在内收敛,若也收敛,则(注意:这里不管在x=R是否收敛),应用这个结果证明:证明:因在内收敛,所以有又x=R时,级数收敛,从而由定理14.6知的和函数在x=R 处左连续,从而又因为内收敛,且级数收敛,所以4.证明:(1)满足方程(2)满足方程证明:(1)设故,从而幂级数的收敛区间为,且y可在内任意阶可导,所以(2)设,故所以幂级数的收敛区间为且和函数y在具有任意阶导数,由,可得所以又由5.证明:设f为幂级数(2)在(-R,R)上的和函数,若f为奇函数,则级数(2)仅出现奇次幂的项,若f为偶函数,则(2)仅出现偶次幂的项.证明:由可得当f(x)为奇函数时,故此时有当f(x)为偶函数时,,故此时有6.求下列幂级数的收敛域:解:(1)设故收敛半径,又当故原幂级数在|x|=R时发散,收敛域为(-R,R).(2)设,则,故收敛半径为时,所以原级数在时发散,故收敛域为7.证明定理14.3并求下列幂级数的收敛半径:证明:对任意的x,据定理12.8推论2可得:。
6.4函数展开为幂级数

(Nx()x在0 )
N内(具x0有) 内任具意有阶导任数意时阶,导f数( x,) 在则点f (xx0)
处的泰勒级数是否收敛?若收敛,是否一定以f ( x) 为
在和函N数( x?0 )对内此能,展有开如成下泰定勒理级:数的充分必要条件 是 f ( x)
在 点 x0 的泰勒公式的余项 Rn( x) 满足
2 24 246 2468
当 1 时,
2 1 1 1 x 13 x2 135 x3 1357 x4 1 x 2 24 246 2468
1 (1)n (2n1)!! xn (1 x1).
n1
(2n)!!
例 8.将函数 f ( x)arcsinx 展开成 x 的幂级数. 解:∵ f ( x) 1
(2) f ( x) ~ f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n ,
2!
n!
并求出收敛半径R ;
(3)求 Rn ( x)
f
(n1) ( ) x n1
(n1)!
(
在0与
x 之间)
;
(4)若 lim Rn ( x)0 ,则
n
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn , x(R,R);
6.4.1 泰勒 (Taylor) 级数
前面讨论了如何求幂级数的收敛域与和函数. 下面讨论相反的问题,即给定函数 f ( x) ,能否找 到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和 函数恰好 是 f ( x) ,若能找到这样的幂级数,则称 函数 f ( x) 在该区间内能展开成幂级数.
定义 设 f ( x) 在 N ( x0 ) 内具有任意阶导数,则称
n0(n1)!
微积分 第九章 第五节 泰勒公式与幂级数展开

n1
(2n) !
cos x
(1)n
x2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
22
例9 将 f ( x) cos 2 x 展开成 x 的幂级数.
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
f ( x)
1 1 x2
( x2 )n
n0
,
| x|1
两边从 0 到 x 积分,得
arctan x (1)n x2n1 x x3 x5
n0
2n 1
35
上述幂级数在 x 1 处也收敛,且arctan x 在x 1
处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为
x [1,1]
18
基本展开式
例4 将 f ( x) ex2 展开成 x 的幂级数.
ex
xn ,
x (,)
n0 n !
所以
e x2
( x2 )n
(1)n x 2n ,
n0 n !
n0 n !
x ( , )
15
例5 将 f (x) cos x 展开成 x 的幂级数.
sin x (1)n
x 2n1
x 1 x3 1 x5
Rn( x)
e xn1 , (n 1)!
在
0
与
x 之间,
|
Rn
(
x)
|
|
(n
e 1)
!
x n1
|
e|x|
| x |n1 (n 1) !
对任意固定的 x,级数
幂级数及泰勒展开习题解答(最新整理)

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解:12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时,因 , 所以收敛,1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时, 绝对收敛,1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒[1,1]-2.n ∞=解:11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时,为收敛的交错级数,2x=1n ∞=当时, 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。
⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解:1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+, 当时,通项不趋于零, 收敛区间为。
13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解:121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当,即时级数绝对收敛。
231x -<12x <<当时, 发散,1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时, 为收敛的交错级数,2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解:1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当,即时级数绝对收敛。
11x -<02x <<当时,因为0x =,1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时,所以 收敛,1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时,因为当时 所以发散, 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。
数学物理实验第三节(泰勒级数展开)

可求得收敛半径为1,由此可得
m m
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
9
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) k 0
k
根据柯西公式
f
(n)
n! • f ( ) ( z) d n 1 l 2i ( z )
上式就是以z0为
中心的泰勒级数
f ( z)
k 0
解: 多值函数f(z)=lnz的支点在 z 0, 而现在的展开中心
z0=1不是支点,在它的邻域上,各个单值分支相互独立,各自
是一个单值函数,可按照单值函数的展开方法加以展开。 展开系数计算如下:
f ( z ) ln z , f (1) ln1 n2 i ( n Z ) 1 , f (1) 1 z 1! f ( z ) 2 ,f (1) 1 z 2! (3) f ( z ) 3 , f (3) (1) 2! z 3! (4) (4) f ( z ) 4 , f (1) 3! z f ( z )
2
(1)
z z0 z z0 z z0 1 1 ... 1 z z z0 z z 0 0 0 1 z0
代入(1)可得
1 1 t t ... t ... 1 t
依次进行下去,可得到与前完全一样的展开式,这样就证明了 解析函数可以展开为唯一的泰勒级数,泰勒级数与解析函数有 密切的关系。
11-3(2) 函数展开成幂级数

河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
河海大学理学院《高等数学》
余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
河海大学理学院《高等数学》
的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )
n
( n 0,1,2,)
河海大学理学院《高等数学》
定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数
f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
幂级数的部分练习题及答案

题目部分,(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(10小题,共22.0分)(2分)[1](2分)[2](A)(B)(C)(D)答( )(2分)[3](A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)不能确定敛散性。
答:( )(3分)[4](A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)不能确定敛散性。
答:( )(2分)[5]1,则级数在(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)不能确定敛散性。
答:( )(2分)[6](A),收敛;(B) ,收敛;(C) ,发散;(D) ,发散;答( )(2分)[7]R,那么.答( )(3分)[8]该级数(A)(B)(C);(D)答( )(2分)[9]意阶可导,那么(A) (B)不一定(C)(D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]那么该幂级数(A)(B)(C)(D)答( )。
二、填空(54小题,共166.0分)(2分)[1]函数项级数的收敛域是。
(2分)[2]讨论x值的取值范围,使当_____________时当_____________(3分)[3](2分)[4] 级数的和是。
(2分)[5]函数是。
(3分)[6]得当时,绝对收敛,当时,条件收敛。
(2分)[7] 的收敛域是。
(3分)[8]的收敛半径是,和函数是。
(1分)[9] 1,则级数在开区间内收敛。
(2分)[10]内收敛。
(2分)[11] 设幂级数的收敛半径是的收敛半径是。
(2分)[12]敛域是.(5分)[13]是,收敛域是。
(6分)[14] 的收敛域是。
(4分)[15] 幂级数的收敛区间是。
(4分)[16] 的收敛域是。
(4分)[17]关系。
(3分)[18]的收敛半径是。
(2分)[19] 的收敛域是,和函数是。
(3分)[20] 的和函数是。
(3分)[21]的收敛域是,和函数是。
(2分)[22]是,和函数是。
(2分)[23]则其和函数在开区间上是连续的。
(2分)[24]半径是。
D12-4函数展成幂级数

2 x ( 1) x2 2 ( 1)( n 1) xn1
2!
n!
s( x)
s( x) , 且 s(0) 1.
s( x) 1 x
两边积分 x s( x) dx x dx,
0 s( x)
0 1 x
解 f (n) ( x) sin( x n), f (n) (0) sin n ,
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,) 2
三、
n0
1 ( 2n1
1 3n1
)( x
4)n
( 6,2) .
四、
2 sin
1 2
n0
2n
(1)n (2n
1)!
(
x
1)2nΒιβλιοθήκη cos1 2 n0
(1)n 2n(2n
( 1)!
x
1)2n1
(,).
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n称为 f ( x) 在点x0
的泰勒级数.
n0
f
(n) (0)x n称为 f n!
( x) 在点x0
的麦克劳林级数.
问题
f (x) ? n0
f
(n) ( x0 )( x n!
x0 )n
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定.
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理 1 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内具有任意阶导
11-04泰勒级数与幂级数(中)-13共27页文档
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n1
故幂级数的收敛区间为 (1,1).
微积分十一 ⑥
8/26
例4 求幂级数nxn1的收敛区间与和 ,并函求数
n1
数项级数 n
2n
n1
的和.
解:(2 )设 S (x )nn 1 x 1 2 x 3 x 2 nn x
n 1
x(1,1)
xS (t)d tx (1 2 t 3 t2 n n t )dt
故 幂 级 数 的 收 敛 区: 间(1为,1]
微积分十一 ⑥
2/26
2.级n数 1x32n n1的 x 2n3 收 敛 R半 __3 径 __.____
lim un1 n un
lim n
3n1 x 2n1
limx2 x2 n 3 3
当x2
1时,
3n
x
3,
原级数绝对收敛。
3
当x2 1时, x 3, 原级数发散。
(*)化 为
1,
n1 n
发散.
(*的 ) 收敛区间 (1, 为 1]
即 13x11得 2 x 0 3
原级数的收敛区(间2, 0为] 3
微积分十一 ⑥
微 一、函数项级数的概念
积
分 二、幂级数及其收敛性
电
子 三、幂级数的性质
教
案 四、泰勒级数
五、函数展开成幂级数
5/26
在收敛域上,函数项级数的和是 x的函数 s( x),
x2
n 1
n 1
1 x
x2x(1x)x2(1) (1x)2
(1
2
x x)3
当 x=1/2 时,
n(n1)/2n
21 2
经济数学泰勒级数与幂级数1

二、幂级数及其收敛性
1.函数项级数定义
un x u1x u2 x un x
n1
设 {un ( x)} 是定义在数集 I上的函数列, 表达式
u1( x) u2( x) un( x) un ( x) (1) n1
称为定义在 I上的函数项级数. 而
Sn( x) u1( x) u2( x) un( x)
敛性.
例1 几何级数 xn 1 x x2 x3 xn
就是一个函数项n0级数 , 根据本章第一节的讨论知:
当| x | 1 时 , 级数收敛; 当| x | 1时 , 级数发散 . 因
此 , 这个级数的收敛域是区间 (1, 1), 发散域为 (, 1] [1, ).
在收敛域内(1, 1), 有
充 要 条 件 是 f ( x) 的 泰 勒 公 式 中 的 余 项 Rn( x) 当 n 时的极限为零,即
lim
n
Rn (
x)
0
( x U ( x0 ))
若在泰勒级数中令x0 0 得
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
称为函数 f ( x)的麦克劳林级数
x0 )n
称为 f ( x)在 x x0 处的泰勒级数
若当x 在某范围内变化时,总有
lim
n
Pn
(
x
)
f (x)
则称 f ( x)在 x x0 处可以展开成上述泰勒级数
定理 设 f ( x) 在点 x0 的某一邻域U ( x0 ) 内具有各
阶导数,则 f ( x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的
1 x x2 x3 xn 1 , 1 x
即几何级数
4函数展开成幂级数 练习题没有做

例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x =1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x =1 也是成立的, 于是收敛 区间为 利用此题可得
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例6. 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
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x ( x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (-1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 x 1 则 F ( x) 1 m x m(m 1) x 2 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
0, n 2k (0) (1) k , n 2 k 1
(k 0 , 1, 2 ,)
n 1 1 2n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2n 1)! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
第三章 幂级数展开

f (z) ak (z z0 )k k
其中 ak
1
2i
C
(
f
( ) d
z0 ) k 1
,C
为环域
R2
z z0
R1
内任意闭曲线,积分沿逆时针。
证明:如图 3.3 所示,对任意给定的 z R2 z z0 R1,
总存在 R2 R2 R1 R1 ,使得 z R2 z z0 R1 ,
f (z) 1
f ( )d
2i CR1 z
1
1
1
1
z ( z0 ) (z z0 ) ( z0 ) 1 z z0
z0
z
在
C R1
内部,
在
C R1
上,
z
z0 z0
1
1 z
1 z0
k 0
z
z0 z0
k
z z0 k k0 z0 k1
Ñ f (z) 1
k0 (2k )!
例 3. 在 z0 1的邻域上把 f (z) ln z 展开为泰勒级数。
解: f (z) ln z 的奇点为 z 0 ,所以其泰勒级数的收
敛圆为 z 1 1,收敛半径为 R 1
f (1) ln1 2ni
f (z) 1 , f (1) 1, f (z) 1 ,
z
3! 5! 7!
sin z
如果定义:
f
(z)
z
z0
1
z 1
则: f (z) 在整个复平面上解析,其泰勒级数为:
f (z) 1 1 z2 1 z4 1 z6 3! 5! 7!
例
2.
在 z0
1的邻域上把函数
f (z)
1 (z 1)( z 2)
幂级数的展开

x
(n + 1)!
x
e
x
由比值判别法知:级数∑
n =0
x
n +1
(n + 1)!
e 收敛,故其一般项趋于0,
即 lim
x
n +1
n →∞
(n + 1)!
e =0,x ∈ (-∞,+∞) 从而有 lim Rn ( x) = 0
x n →∞
16
间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式 求展开式. 算, 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式
定理中的公式称为函数f(x)按(x − a)的幂级数展开到n阶的泰勒公式 或f(x)在x = a处的n阶泰勒公式,简称为n阶泰勒公式。
f(x)的泰勒公式表明,函数f(x)的值可近似地表示为 1 1 (n) 2 f(x) ≈ f(a) + f' (a)(x - a) + ' ' f (a )( x − a ) + L + f (a )( x − a ) n 2! n! 而近似误差可由Rn ( x)来估计。
§7.6函数的幂级数展开 7.6函数的幂级数展开
一、泰勒级数 二、泰勒公式 三、函数的泰勒级数展开
1
问题 n ∞ n −1 x ∑ (−1) n = ln(1 + x )
n =1
( −1 < x ≤ 1)
f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
n=0
∞Leabharlann 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
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一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解:12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时,因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-, 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛,当1x =-时, 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛,⇒ 收敛区间为[1,1]-。
2. 1n n n -∞=解:11lim 2n n n n na a -+→∞==2R ⇒=当2x =时,1nn ∞=为收敛的交错级数,当2x =-时,111n n n n -∞∞===-发散, ⇒ 收敛区间为(2,2]-。
3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解:1111(1)32limlim 3(1)32n n n n n n n nnna a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=, 当13x =±时,通项不趋于零,⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。
4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解:121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<,即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时, 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散,当2x =时, 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数,⇒ 收敛区间为(1,2]。
5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解:1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<,即02x <<时级数绝对收敛。
当0x =时,因为1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+,2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时, 所以 1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑收敛,当2x =时,因为当2n ≥时ln(1)11112n n n n +>>++ 所以1ln(1)1n n n ∞=++∑发散, ⇒ 收敛区间为[0,2)。
6. 211(1)(1)4n n nn x n ∞-=--∑解:2121211(1)41lim lim 1(1)(1)44n n n n n n n nu x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当2111124x x -<⇒-<,即13x -<<时级数绝对收敛。
当1x =-时, 12111(1)1(1)(11)42n n n nn n n n -∞∞-==----=∑∑为收敛的交错级数, 当3x =时, 2111(1)1(1)(31)42n n n nn n n n ∞∞-==---=∑∑为收敛的交错级数, ⇒ 收敛区间为[1,3]-。
二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数1. 1211(1)21n n n x n +-∞=--∑解:212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+故当211x x <⇒<时级数绝对收敛,当||1x >时,级数发散。
当1x =-时, 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数,当1x =时, 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数,⇒ 收敛区间为[1,1]-。
令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑ 122220111()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).x n n n S x x S x S dt x x tS x x x ∞+-='⇒=-=⇒-==++⇒=≤∑⎰ 2.2112n n nx∞-=∑解:212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==故当211x x <⇒<时级数绝对收敛,当||1x >时,级数发散。
当1x =-时,21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散,当1x =时,12n n ∞=∑发散,⇒ 收敛区间为(1,1)-。
令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑22122011222()212()(||1).11xxn nn n x S t dt ntdt x x x xS x x x x ∞∞-==⇒===-'⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭∑∑⎰⎰3.1(1)nn n n x∞=+∑解:1(1)(2)limlim 1(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==+ 1R ⇒=当1x =时,1(1)n n n ∞=+∑发散;当1x =-时,1(1)(1)nn n n ∞=+-∑发散,⇒ 收敛区间为(1,1)-。
令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑12111122221223()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)xxnn n n n n n n S t dt n n t dt nxxnxx x x x x x x x xS x x x x ∞∞∞+-===∞=⇒=+==''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭'⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭∑∑∑⎰⎰∑4.221(21)2n n n x n ∞-=-∑解:22122(21)2lim lim 2(1)(21)n n n n n nu x n n x u x n n +-→∞→∞+==+-故当211x x <⇒<时级数绝对收敛,当||1x >时,级数发散。
当1x =±时, 11211122n n n n n ∞∞==-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑(通项不趋于零)发散, ⇒ 收敛区间为(1,1)-。
令221211()(0)22n n n S x x S n ∞-=-=⇒=∑ 2221211011121121211111()()(0),(0)0222()(||1)1xxn n n n n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n x n x xS x x x x ∞∞∞--===∞-=-⇒===≠='⇒==<-∑∑∑⎰⎰∑@21120211()(0)ln(1)121()ln(1)2xt S x S dt x t S x x ⇒-==---⇒=--⎰2222ln(1)1ln(1)0 , ()212x x x S x x xx '⎛⎫--⇒≠=-=+ ⎪-⎝⎭时 故2221ln(1), 0||112()1 , 02x x x x S x x ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩ 另解 22222222111111111()121212n n n n n n S x x x x n x nx x n ∞∞∞--===⎛⎫=-=-=- ⎪--⎝⎭∑∑∑ 三、求下列级数的和1. 2211112322323nn n n n n n n n -∞∞∞======⎝⎭∑∑也可以考虑利用幂级数12111(||1)1(1)n n n n x nxx x x x ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑ ⇒ 121122121333332113n n n n n n -∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑ 2. 1111(1)111(1)(21)(21)22121n n n n n n n n -∞∞-==-⎛⎫=-- ⎪-+-+⎝⎭∑∑11111111(1)(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑ 1121111(1)(1)221221n k n k n k ∞∞-===-----∑∑1111(1)212n n n ∞-==---∑1arctan12142π=-=-四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)xf x a a a =>≠ 解:()()()(ln ) (0)(ln )n x n n n fx a a f a =⇒=()0(0)(ln )!!n n n nn n f a x x n n ∞∞==⇒=∑∑, 1ln limlim 01n n n na a R a n +→∞→∞==⇒=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。
再由 (1)11111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因xa θ有界,11(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0(ln )!n n n a x n ∞=∑()x -∞<<+∞的一般项,所以对任意的x 上式均成立。
⇒xa =0(ln )!n nn a x n ∞=∑()x -∞<<+∞。
2. ()sin2x f x = 解:()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212n n kn n k n kn x n f x f n k ππ+=⎧⎪⎛⎫=+⇒==⎨- ⎪=+⎝⎭⎪⎩ ()212100(0)(1)!2(21)!n nn n n n n f x x n n ∞∞++==-⇒=+∑∑, 由 2321123212(21)!lim lim 02(23)!n n n n n n n nu x n R u n x +++++→∞→∞+==⇒=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。
再由2323232323sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数21210(1)2(21)!nn n n x n ∞++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项,所以 对任意的x 上式均成立。