幂级数及泰勒展开习题解答
函数展开成幂级数
∴f
(0) = 0, f ( 2 n+1) (0) = ( −1) n , ( n = 0,1,2,⋯)
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) x ξ ( x − x0 )n+1( 在x0与 之 ). 其 Rn( x) = 中 间 (n + 1)!
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
如, 例 , 当x 很 时 e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x 如 小 ,
x
（如下图） 如下图）
y = ex
y = ex
y= x
y = ln(1 + x)
y = 1+ x
n= 0
∞
的泰勒级数, 定理 2 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数, 在U δ ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) ⇔ 在U δ ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) = 0 .
n→∞
证明（ 证明（略）
定理 3
设 f (x) 在U ( x0 ) 上有定义,∃M > 0, 对 上有定义, ( n) ∀ x ∈ ( x0 − R, x0 + R),恒有 f ( x) ≤ M
n=0
存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
问题: 如果能展开 如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 a n 是什么 2.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
解析函数的幂级数展开的题及答案
解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上， 故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 ， （由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1
幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。
2. 11n n n -∞=解：11lim2n n n na a +→∞== 2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=当2x =-时，111n n n n -∞∞===-发散， ⇒ 收敛区间为(2,2]-。
3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=， 当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。
4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。
5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。
第四章 级数(答案)
复变函数练习题 第四章 级数系 专业 班 姓名 学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题：1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]（Ａ）11(1)n in n ∞=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2．若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定()122i Abel +=>，由定理易得3．幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln1z + （D ） 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：1．设(1)2nn i α-=+，则lim n n α→∞= 0 。
2．设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3．幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。
高数-幂级数的展开
f nx n! an n 1nn 1 2an1 x
f x f 0 f 0x
f 0 x2
f
n x n2
n 0
xn
a2 an
f 0
2!
f n0
n!
得证
(3).写出幂级数:
f 0 f 0x
f 0 x 2
2!
f (n) 0 x n
n!
并求出收敛半径 R.
(4).考察当 x R, R 时,
x之间）是否为零?
lim
n
Rn
x lim n
f (n1) n 1!
知 f x 1
1 x2
1n x 2n ,
n0
| x 2 | 1, 即 | x | 1.
说明 若 f x在 R, R内的已得到展式： f x an x n , x R, R.
n0
（1）级数 an x n在x R或x R 处仍收敛；
Rn x
f n1 n 1!
x
x0
n1
,
介于
x0 与 x 之间，
——拉格朗日余项
2.级数收敛的必要条件
3.幂级数及其和函数的性质
1
一、泰勒级数
问题：给定函数 f x, 是否能找到一个幂级数，它在某个区间 内收敛，且其和恰好是给定的函数 f x?
若能找到这样的幂级数，则说函数f (x)在该区间内能展开成 幂级数.
逐项求导、逐项求积）, 将所给函数展成幂级数。
常用的已知函数展开式有:
1
xn 1 x x2 xn
数学分析第二册答案第十三章 幂级数
第十三章 幂级数§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域1．求下列各幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!)2(n nn x ；（2）∑∞=+++111)1ln(n n x n n ； （3）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n ；（4）∑∞=122n n nx ；（5）∑∞=-+1))1(3(n nn n x n ； （6）()()∑∞=+-+1123n n nn x n ； （7）()()n n x n n ∑∞=+1!!12!!2；（8）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n n x n ；（9）()n n nn x nn∑∞=-11；（10）∑∞=+175n nn nx ； （11）()()nn x n n ∑∞=12!2!；（12）n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11211 ； （13）∑∞nnx；（14）()()∑∞=---112!122n n n x ； （15）()10,12<<∑∞=a x a n n n ；（16）∑∞=1n p nnx ．解（1）由012lim !2)1(2lim 1=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→n n n n n n n ，故收敛半径+∞=R ,收敛域为)(∞+∞-,．（2）由 121)2ln()2ln(lim 1)1ln(2)2ln(lim =++⋅++=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→∞→n n n n n n n n n n ，故收敛半径1R =． 在1=x ，级数为∑∞=++11)1ln(n n n ，发散；在1-=x ，级数为∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n ，由交错级数的Leibniz 判别法，知其收敛，因而收敛域为)[1,1-．（3）e n n n nn n nn n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→11lim 1lim ，所以收敛半径e R 1=．由于()∞→≠→⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+n e e n nn 01111， 故在e x 1±=级数发散，因此收敛域为)1,1(ee -．（4）由121lim 21limlim 2===∞→∞→∞→n n n n n n n n a ，知收敛半径1=R ． 在1=x ，级数为∑∞=±12)1(2n nn绝对收敛，故收敛域为]1,1[-. （5）由()413limlim =-+=∞→∞→nnn n n n na ，故收敛半径41=R ． 在41=x ，级数()[]∑∞=-+1413n n nn n ，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为∑∞=121k k 和()∑∞=--1122121k k k ，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数()[]∑∞=-+1413n n nn n 发散；同样，41-=x 时，级数为()[]()∑∞=--+11413n nn nn n ，也可拆成两部分，前一部分为∑∞=121k k ，另一部分()()∑∞=-----112122121k k k k ，前者发散，后者绝对收敛，因此级数()[]()∑∞=--+11413n nn nn n 发散，所以收敛区域是)41,41(-． （6）()()()332132231lim 23123lim 11=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+∞→++∞→n nn n nn n n n n n n ，所以级数的收敛半径是31=R ． 当311=+x 时，级数为()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+1132113123n n n n n n n n n 发散；当311-=+x 时，级数为()()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1132113123n n n n n n n n n n 收敛． 因此，收敛域为31131≤+≤-x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,43. （7） ()()()()()13212lim !!12!!2!!32!!12lim =++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∞→∞→n n n n n n n n ，所以收敛半径1=R ．当1=x 时，级数为()()∑∞=+1!!12!!2n n n ，由于12132lim 12232lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→∞→n n n n n n n ，故由Raabe 判别法，知级数发散；当1-=x 时，级数为()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于()()()()()()!!12!!2!!12!!23222!!32!!22+<+++=++n n n n n n n n ，故()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+!!12!!2n n 单调下降，且由n n n 2112254320<+< （用数学归纳法证之）及夹迫性知()()0!!12!!2lim =+∞→n n n ，由Leibniz 判别法，知()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=收敛，所以收敛域为)1,1[-． （8）111lim 11lim 2--∞→-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+e n n nn n n n ，所以收敛半径e R =．由于()()∞→≠→±⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n e e n n n 0112，故级数在e x ±=发散，因而收敛域为),(e e -．（9）()()11111lim11=-++-++∞→nnn n n nn n n ，所以1=R ．在1=x ，级数为()∑∞=-11n nn nn，由Leibniz 判别法，知其收敛；在1-=x ，级数为∑∞=11n nnn发散，故收敛域]1,1(-．（10）71751751lim 11=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→nn n n n ，所以7=R ． 在71±=x ，由于()()∞→→+±n n n n1757，即级数()∑∞=+±1757n nn n一般项()n n n757+±当n ∞→时不趋于0，因此级数发散，故收敛域()7,7-．（11）()[]()[]()()()()()4112121lim !2!!12!1lim 222=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→n n n n n n n n n ，因此4=R ． 在4±=x ，级数为21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑，因为级数一般项的绝对值为 1!)!12(!)!2()4()!2()!(2>-=±n n n n n 对一切n 成立，所以0)4()!2()!(lim2≠±∞→nn n n ，即级数21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑发散，因此收敛域为)4,4(-．（12） 因为1)1211()11211(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n ，所以1=R ．而在1±=x ，由于()011211lim ≠∞=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n ，故级数在1±=x 均发散，因而收敛区间为)1,1(-．（13）因为11lim=+∞→nn n ，所以1=R ．又在1±=x ，显然级数()∑∞=±11n nn 均发散，故收敛域为)1,1(-．（14）由于()()()()()()101222lim !122!122lim 21212<=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∞→--∞→n n x n x n x n n n n ，故()∞∞-∈∀,x ，()()∑∞=---112!122n n n x 均绝对收敛，因而收敛半径+∞=R ，收敛域()∞∞-,．（15）因为0lim lim 2==∞→∞→n n n n n a a （10<<a ），所以+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,．（16）()1111lim 111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→p n ppn n n n ，所以1=R ． 在1±=x ，级数变为()∑∞=±11n pn n ，故当1>p 时都收敛；10≤<p 时，()∑∞=-11n pn n 收敛，而∑∞=11n p n 发散，0≤p 时一般项不趋于0，均发散．因此，当1>p 时，收敛域]1,1[-； 10≤<p 时，收敛域为)1,1[-；而当0≤p 时, 收敛域为)1,1(-．2．设幂级数nn nx a∑∞=1的收敛半径为R , n n n x b ∑∞=1的收敛半径为Q ，讨论下列级数的收敛半径：（1）∑∞=12n n nx a；（2）()∑∞=+1n n n nx b a；（3）()∑∞=1n nnn xb a ．解（1）由题设R a a nn n 1lim 1=+∞→，所以()221211lim x R x a x a n n n n n =++∞→，故当112<x R ,即R x <时，级数nn n x a 21∑∞=绝对收敛，而当112>x R ，即R x >时，级数nn n x a 21∑∞=发散，因此级数nn nx a21∑∞=的收敛半径为R ． （2）收敛半径必{}Q R ,m in ≥，而不定，需给出n a ，n b 的具体表达式才可确定，可以举出例子．（3）RQ b a b a nn n n n 1lim11=++∞→，所以收敛半径为RQ ，只有当Q R ,中一个为0，另一个为∞+时，不能确定，需看具体n a ，n b 来确定，可以是[)+∞,0中任一数．3．设()0,,2,1101>=≤∑∞=x n M x ak kk ，求证：当10x x <<时，有（1）n n nx a∑∞=0收敛；（2）M x an n n≤∑∞=0．证明（1）nn n x a ∑∞=0=n n n n x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=111，而由于10x x <<，故数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nx x 1单调递减趋于0，级数n n n x a11∑∞=的部分和数列M x a n nn ≤∑∞=0有界，由Dirichlet 判别法，级数nn n x a ∑∞=0收敛．(2) 设n n nx a∑∞=0的部分和为)(x s n ，则由Abel 变换，有knk k k nk k k n x x x a x a x s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==1111)(∑∑∑=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k kk nn k k i i i k k x a x x x a x x x x 1111111111M x x M x x x x x x M nn k k k <=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑-=+1111111， 所以，M x s x s x an n n n n n n≤=∞→∞→∞=∑)(lim )(lim 0．§13.2 幂级数的性质1．设nn n x a x f ∑∞==)(当r x <时收敛，那么当11+∞=∑+n n n r n a 收敛时有 11)(+∞=∑⎰+=n n n rr n a dx x f ， 不论nn n xa ∑∞=0当r x =时是否收敛．证明 由于幂级数11+∞=∑+n n n r n a 的收敛半径至少不小于r ，且该幂级数在r x =收敛，因而该幂级数在[]r ,0一致收敛（Abel 第二定理），因此该幂级数的和函数)(x s 在r x =连续，即()101lim +∞=→∑+=-n n n rx r n a x s ．又r x <<∀0，由于n n n x a ∑∞=0当r x <时收敛，故可逐项积分，即)(1100x s r n a dx x a dx x a n n n n xnn x n nn =+==+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑，即)(lim )(0x s dt t f rx x -→=⎰，令-→r x 取极限即有11)(lim )(+∞=→∑⎰+==-n n n rx r r n a x s dx x f ． 2．利用上题证明()∑⎰∞=-=-121011ln n ndx x x ． 证明 ()()1,11)1ln(111<-=--=-∑∑∞=∞=-x x nx nx n nn n n ，故()∑∞=--=-1111ln n n x n x x ，1<x ，而级数∑∑∞=∞=-=+-⋅-12111)1(11n n nn n 是收敛的，利用上题结论，就有()∑⎰∞=-=-121011ln n n dx xx ．3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：（1）∑∞=1n nnx ；（2）∑∞=1n nnx；（3）()∑∞=+11n nxn n ；（4）()()∑∞=---121121n n n x n n ； （5）∑∞=+122!1n nnx n n ； （6）()()nn n x n n ∑∞=+-13!11；（7）∑∞=-+11414n n n x ；（8）()∑∞=+-0112n n n x ；（9）∑∞=-112n n x n；（10）()∑∞=++1122!12n n x n n ．解（1）因为1,1111<=-∑∞=-x x x n n ，所以当1<x 时，⎰∑⎰-=∞=-x n x n dt t dt t 000111,即()x n x n n --=∑∞=1ln 1，且当1-=x 时，级数()∑∞=-11n nn 收敛，由Abel 第二定理，有()11,1ln 1<≤---=∑∞=x x n x n n． （2）设∑∞==1)(n nnx x s ，则1,)(11<=∑∞=-x nx x x s n n ，逐项积分，有1,1)(1101<-===∑∑⎰⎰∞=∞=-x x x x dt t n dt t t s n n n x n x，所以，()2111)(x x x x x s -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1,1)(2<-=x x x x s ． （3）设()∑∞=+=11)(n nxn n x s ，1<x ，则有()()1,11)(221111<-===+=∑∑∑⎰⎰∞=∞=+∞=x x x nx x nxdt t n n dt t s n nn n n xnx，所以，322)1(2)1()(x xx x x s -='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，1<x ． （4）设()()∑∞=--=12121)(n n nx n n x s ，1≤x ，则 ()()∑∞=----='11211221)(n n n x n x s ，11≤<-x ， ()()()211212211212121)(xx x x s n n n n n +=-=-=''∑∑∞=-∞=--，1<x ， 所以，()x dt tx s xarctan 21121)(02=+='⎰，11≤<-x ， )1ln(41arctan 21arctan 21)(20x x x tdt x s x+-==⎰，1≤x ． （5） 设 1)(2!12!2!1)(211212-+=+=+=∑∑∑∞=∞=∞=xnn n n n n n n ne x x n x n n x n n x s σ，+∞<x ． 由于()211101222!1122!)(2!)(xn n n n n x n n n e xx n x x n n dt t t x n n x =⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=∑∑⎰∑∞=-∞=∞=σσ，所以， 222412)(x x e x e x x +=σ，故 112141)(22-⎪⎭⎫⎝⎛++=xe x x x s ．（6）设()()∑∞=+-=13!11)(n n n x n n x s ，+∞<x ，则[]()∑∞=-='13!)(n nx n n x xs ，所以，[]()()[]()13)(!)(12220+--='⇒-=-='--∞∑⎰x x xe x xs e x x x n n dx t ts t x x n x，()11)(3-++=-x e x x x xs ，则()xe ex x s x x11)(2-++=--（在0=x 理解为极限值）．（7）令∑∞=-+=11414)(n n n x x s , 则1,14)(1142<+=∑∞=+x n x x s x n n ，所以， []()44141421)(xx xxx s x n nn n-==='∑∑∞=∞=， 故x x x x x s x -+-+=arctan 2111ln 41)(2，因此2222arctan 11ln 41)(xxx x x x x s -+-+=（在0=x 理解为极限值）．（8）22122lim 12lim1=-=-∞→+∞→n n n nn n ，收敛半径21=R ，在21±=x ，有 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑∞=∞=+nn n n nn 212121121， 由于()02121lim ≠⎪⎭⎫⎝⎛-±∞→nnn ，故级数发散．可得 ()()∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=012212)(n n n nn nn x x x x s()()x x x x 2111112112--=---=，21<x ． （9）设1,)(112<=∑∞=-x x nx s n n ，则有x x x dx dt t s u nx dt t s n n xu n nx-==⎪⎭⎫⎝⎛⇒=∑⎰⎰∑⎰∞=∞=1)(1)(10010，所以，20)1(11)(1x x x dt t s x x -='⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰， 即20)1()(x x dt t s x-=⎰，所以32)1(1)1()(x xx x x s -+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1<x ． （10）设()+∞<+=∑∞+x x n n x s n ,!12)(122，则有（逐项积分），()1!1)(1!12)(2121001120-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+=+∞=∞=+∑⎰⎰∑⎰x n n x t n n xe x x n dt du u u s t x n n dt t t s所以，()()x e x x du uu s e x du u u s x x x x x -+=-+=⎰⎰2230202)(,112)(1， ()11624)(224-+++=x e x x x xx s ， 则()x e x x x x x s x -+++=2235624)(．4.求下列级数的和： （1）∑∞=-1212n nn ； （2）()∑∞=+1121n n n ． 解 （1）考虑级数())(1212x s xn n n=-∑∞=，1<x ．由于()∑∞=--=122212)(n n x n x x s ，逐项积分，()2112112021)(xxx x x dt t t s n n n n x-===∑∑⎰∞==∞=-，所以， ()()()2222222211)(11)(x x x x s x x x x s -+=⇒-+=，1<x ． 故有()3222112212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∞=∞=s n n n nn n ． （2）设()∑∞=++=112121)(n n x nn x s ，则级数在1≤x 绝对收敛，所以， ∑∞=='121)(n n x n x s ，2112122)(x xx x s n n -==''∑∞=-，1<x ． 因此，)1ln(12)(202x dt t t x s x--=-='⎰，xxx x x dx x x s x +-++--=--=⎰11ln 2)1ln()1ln()(202，1≤x ．())(lim )1(12111x s s nn x n -→∞===+∑[]2ln 22)1ln()1(2)1ln()1(lim 1-=++-+--=-→x x x x x x ．5．证明：(1) ∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(；(2) ∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 解（1）对级数∑∞=04)!4(n n n x ，由0)!4(1)]!1(4[1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n ，故收敛半径+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,，而采取用逐项求导得，∑∑∑∞=∞=-∞==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛041)1(4)4(04)!4()]!1(4[)!4(n nn n n n n x n x n x ，即∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(． （2）级数∑∞=02)!(n n n x 收敛域为()+∞∞-,，设∑∞==02)!(n nn x y ，通过逐项求导得， ()()∑∑∞=-∞=='⎥⎦⎤⎢⎣⎡='12102!!n n n n n nxn x y ， ()()()∑∑∞=-∞=-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''22202!1!n n n n n x n n n x y ， 所以，()()()∑∑∑∞=∞=-∞=--+-=-'+''02121222!!!)1(n nn n n n n x n nx n x n n x y y y x()()[]()()[]()0!!11!11020212=-+++++=∑∑∑∞=∞=∞=n nn n n nn x n x n n x n n ，即∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 6．设)(x f 是幂级数∑∞=0n n nx a在()R R ,-上的和函数，若)(x f 为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若)(x f 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项．证明 由于∑∞==)(n n nx ax f ，()R R x ,-∈．()R R x ,-∈∀，由)(x f 是奇函数，即)()(x f x f -=-，得0]1)1[()(0=+-⇒-=-∑∑∑∞=∞=∞=n n n nn nn n nnx a x a x a，故{}N n ⋃∈∀0，有0]1)1[(=+-n na ，故当n 为偶数时002=⇒=n n a a ，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项．同样，若)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，得0]1)1[(0=--∑∞=n n n nx a ，故n ∀，有0]1)1[(=--n n a ，当n 为奇数时，有002=⇒=-n n a a ，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的项．7．设∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f ．求证：（1）)(x f 在]1,1[-连续，)(x f '在)1,1(-内连续； （2）)(x f 在点1-=x 可导； （3）+∞='-→)(lim 1x f x ；（4）)(x f 在点1=x 不可导；证明（1）由于1,)1ln(1)1ln(22≤+≤+x n n n n x n ，而级数∑∞=+12)1ln(1n n n 收敛，由M判别法，知级数∑∞=+12)1ln(n nn n x 在]1,1[-一致收敛，而级数的每一项为幂函数在]1,1[-连续，故和函数∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f 在]1,1[-连续．又级数∑∑∞=-∞=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1112)1ln()1ln(n n n n n n x n n x 的收敛半径为1=R ，因此在)1,1(-内，其和函数)(x f '连续．（2）幂级数∑∞=-+11)1ln(n n n n x 在1-=x 成为∑∞=-+-11)1ln()1(n n n n ，由Leibniz 判别法，知级数收敛，由Abel 第二定理，幂级数在]0,1[-一致收敛，因而其和函数)(x f '在1-=x 右连续，因此)(lim 1x f x '+-→存在，且)(lim )1(1x f f x '=-'+-→．（3）+∞=+='∑∞=→-11)1ln(1)(lim n x n n x f ． （4）因为∑∞=→→+--=----1211)1ln()1()1(lim 1)1()(lim n n x x n n x x x f x f ()+∞=+=++++=∑∑∞=∞=--→-1122111ln 1)1ln(1lim n n n n x n n n n x x ， 故)(x f 在点1=x 不可导．§13.3函数的幂级数展式1．利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin 级数，并说明收敛区间． （1）0,1≠-a xa ； （2）()211x +；（3）()311x +；（4）x 2cos ； （5）x 3sin ； （6）xx 31-；（7）()xex -+1；（8）()21ln x x ++；（9）22311x x +-； （10）x arcsin ；（11）()21ln xx ++；（12）21ln arctan x x x +-；（13）⎰xdt tt0sin ； （14）dt t x⎰2cos ．解（1）nn a x a ax ax a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=-=-111111 （1<a x ） ∑∞=+=11n n n x a（a x <）．（2）()()22111-+=+x x()()()()()∑∑∞=∞=+-=+----+=0111!12321n n nn nx n x n n ，1<x ．（3）()()()()()∑∞=-+----+=+=+133!13431111n n x n n x x()()()∑∞=++-=22121n n x n n ，1<x ．（4）∑∞=-+=+=022)2()!2()1(212122cos 1cos n n n x n x x ∑∞=--+=1212)!2(2)1(1n nn n x n ，+∞<x ． （5）()()()()()!123141!1214343sin sin 3sin 1201203+--+-=-=+∞=+∞=∑∑k x k x x x x k kk k kk ()()()∑∞=++--=0122!1231143k k kk k x ，+∞<x ．（6）()213131--=-x x xx()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=13!12123211n n x n n x （13<x ）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=123!!!121n n n x n n x ，31<x ． （7）()()()∑∞=--+=+0!111n n xx n x ex （+∞<-x ） ()()∑∞=-+=0!11n n n x n x （+∞<x ）()()∑∑∞=+∞=-+-=10!1!1n n nn nnx n x n （+∞<x ）()()∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=111!1!111n nn x n n ，+∞<x ． （8）()()()212211ln -+='++x xx()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12!21223211n n x n n （12<x ）()()∑∞=--+=12!2!!1211n n n n x n n ，1<x ，所以，()()()()()∑⎰∞=++--+='++1120212!2!!1211ln n n nn xx n n n x dx xx ，1≤x ， 即()()()()∑∞=++--+=++112212!2!!1211ln n n nn x n n n x xx ． （9）xx x x x x ---=--=+-11212)21)(1(123112∑∑∞=∞=-=0)2(2n nn nxx （12<x 且1<x ）()∑∞=+-=112n n n x ，21<x ． （10）()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+='122!2122321111arcsin n nx n n x x （12<-x ）()∑∞=-+=12!2!!121n n nx n n ，1<x ，所以，()()∑∞=++-+=11212!2!!12arcsin n n nx n n n x x ，1<x ． 在1±=x ，由于()()()()()123132!12!!1212!2!!12lim 1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-+∞→n n n n n n n n n n ， 用Raabe 判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为]1,1[-．（11）()()()x x xx xx ---=--=++1ln 1ln 11ln 1ln 332()()()()x nnx n n n nn -----=∑∑∞=-∞=-1113111∑∑∞=∞=-=13111n nn n x nx n ，11<≤-x ． （12）dx x xdx x dxxx x x x x ⎰⎰+-+=+-02022111ln arctan ()()⎰∑⎰∑∞=∞=---=xn nx n x x dx x x 0202()()220120121121+∞=+∞=∑∑+--+-=n n n n n n x n x n x()()()()∑∞=+++-=01211221n n n x n n ，1≤x ．（13）()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=++-=--=x k k kx k k kxdt t k dt t k t dt t t 02000120!121!1211sin ()()()∑∞=+++-=012!12121k k kx k k ，+∞<x ．（14）()()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-=-=x k k kx k kk xdt t k dt t k dt t004002202!21!21cos()()()∑∞=++-=01414!21k k kx k k ，+∞<x ．2．利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin 展开式： （1）()xx ++11ln ； （2）()2arctan x ； （3）()x -1ln 2．解（1）()()()()∑∑∞=∞=---=++=++011111ln 11ln n nn nn x xnn x x x x ()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞==---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111111111n n k n n n k k n k n k k x k x x k ，1<x ．（2）()()20022022111arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰∑⎰∞=x n nn x dt t dt t x ()()()()121200121121+--+∞==+--+-=∑∑k n kn k n n k k x k n x k()()()()∑∑∞=+=+-+-=0120121211n n nk nx k n k ()()∑∑∞=+=++-=012012111n n nk nx k n ，1≤x ． （3）()()()∑∑∑∑∞==-+∞=∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-111212112111ln n nk k n k n n n n n k n x k x n x x n x()()∑∑∑∑∞=+=∞=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111111211n n n k n n n k x k n x k n k ，11≤≤-x ． 3．将下列函数在指定点0x 展开为Taylor 级数：（1）)(,10a b x xa ≠=-； （2）1,221ln 02-=++x xx ； （3）2,ln 0=x x ； （4）1,0=x e x．解（1）()()()ba bx b a b x b a x a ----=---=-11111()()∑∑∞=-∞=--=⎪⎭⎫⎝⎛---=0101n n nn nb a b x b a b x b a ，b a b x -<-． （2）()[]2211ln 221ln++-=++x xx ()()[]()()∑∑∞∞=-+-=+--=nn n n n n x nx n21211111，02≤≤-x ．（3）()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-+=112212ln 221ln 2ln 22ln ln n nn x n x x x （1221≤-<-x ） ()()∑∞=---+=112212ln n n nn x n ，40≤<x ．（4）()()()∑∑∞=∞=--+-=-===001111!1!1n nn n x x xx n e x n e eeee ，+∞<<∞-x ． 4．展开 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1为x 的幂级数，并推出()∑∞=+=1!11n n n ． 解 ∑∑∑∞=-∞=-∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22110!1!11!111n n n n n n x x n n x n dx d x n x dx d x e dx d ()∑∞==+=11!1n n x n n，+∞<x ， 所以，()()1111!11211=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x x e x e dx d n n ． 5．试将()x x f ln =展开成11+-x x 的幂级数． 解 令11+-=x x t ，则 ttx -+=11，因而有()()()()()()∑∑∞=-∞=-----=--+=-+==1101111ln 1ln 11ln ln n n n n nn t nt n t t t tx x f()∑∑∞=-∞=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=112111112211n n n n n x x n t n，0>x ．6．函数()x f 在区间),(b a 内的各阶导数一致有界，即0>∃M ，对一切()b a x ,∈，有() ,2,1,)(=≤n M x f n ，证明：对()b a ,内任意点x 与0x ，有()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f ． 证明 由Taylor 公式，()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，有()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00)(200000!!2 ， 其中()()()()()()∞→→-+≤-+=+++n x x n Mx x n f x R n n n n 0!1!1101)1(ξ，()b a x ,∈∀，其中ξ在x 与0x 之间．故()x f 在区间()b a ,可以展成()0x x -的幂级数，即()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，()()()∑∞=-=000)(!n n n x x n x fx f ．。
7-8讲 幂级数与泰勒级数
例1：常用的4个展开形式（z0=0为展开中心）
其中f (0)=e0 1,
f (0) = (e z )
z 0
1, f ( k ) (0) 1,
1 zk z ak , f ( z ) e . k！ k 0 k！
其收敛半径为 R lim
k
ak 1/ k ! lim lim(k 1) . ak 1 k 1/( k 1)! k
1 z n 1 , 因前n项和 S n ( z ) 1 z
1 S ( z) . 1 z
1 z n 1 1 lim . 当|z|<1时，和函数 S ( z) lim Sn ( z) 1 z 1 z n n
作业：P37 3(1,2,4), 4(2,3)
§3.3 泰勒级数展开
则在此区域内和函数 S ( z ) wk ( z )连续。
k 1
(2)逐项求极限： 若级数的每一项都是连续函数，则一致收敛的
函数级数可以逐项求极限，即
lim w ( z ) lim w ( z ).
z z0 k 1 k k 1 z z0 k
证明：由性质(1)知，当z→ z0时，和函数S(z) →S(z0)，
可见，两种泰勒展开级数的系数完全相同。
三、举例
z2 zk (1) e 1 z , z , 2 ！ k 0 k！ eiz eiz z3 z5 (1) k 2 k 1 (2) sin z z z , z , 2i 3！ 5！ ！ k 0 (2k 1) eiz e iz z2 z4 (1) k 2 k (3) cos z 1 z , z , 2 2 4 ！ ！ ！ k 0 ( 2k ) 1 2 3 (4) 1 z z z z k , z 1. 1 z k 0 f ( k ) (0) k z k z , 解(1)：由泰勒展开定理知 f ( z ) e ak z k！ k 0 k 0 z
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-幂级数(圣才出品)
第14章幂级数§1幂级数1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：解：（1）因故收敛半径R＝1，收敛区间为（－1，1）．又时，级数与级数均发散，故收敛域为（－1，1）．（2）因为故收敛半径收敛区间为（－2，2）．当时，级数收敛，故收敛域为[－2，2]．（3）记所以，则收敛半径R＝4．当时，级数为，通项为u故，即时级数发散，故收敛域为（－4，4）．（4）因故收敛半径为收敛域为（5）设则故对任取定的x，有＜1，故级数的收敛半径为收敛域为（6）设，则故级数收敛半径故，从而收敛区间为当时，原级数可化为对于级数，因为故级数收敛，又收敛，故时，原级数收敛．当时，原级数可化为因级数收敛，而级数发散，故时原级数发散，从而收敛域为（7）设故收敛半径，故时，原级数是发散的，从而收敛域为（－1，1）．（8）设，则因此级数在时收敛，时发散，从而可得收敛半径R＝1，收敛区域为[－1，1]．2．应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：解：（1）设时，级数收敛，故原级数的收敛半径R ＝1．又当时，原级数可化为发散，从而得收敛域为（－1，1）．设内逐项求导，得故和函数（2）记因为所以，收敛区域为（－1，1）．因为所以（3）记则收敛区域为（－1，1）．因为所以所以，因此3．证明：设在内收敛，若也收敛，则（注意：这里不管在x＝R是否收敛），应用这个结果证明：证明：因在内收敛，所以有又x＝R时，级数收敛，从而由定理14．6知的和函数在x＝R 处左连续，从而又因为内收敛，且级数收敛，所以4．证明：（1）满足方程（2）满足方程证明：（1）设故，从而幂级数的收敛区间为，且y可在内任意阶可导，所以（2）设，故所以幂级数的收敛区间为且和函数y在具有任意阶导数，由，可得所以又由5．证明：设f为幂级数（2）在（－R，R）上的和函数，若f为奇函数，则级数（2）仅出现奇次幂的项，若f为偶函数，则（2）仅出现偶次幂的项．证明：由可得当f（x）为奇函数时，故此时有当f（x）为偶函数时，，故此时有6．求下列幂级数的收敛域：解：（1）设故收敛半径，又当故原幂级数在|x|＝R时发散，收敛域为（－R，R）．（2）设，则，故收敛半径为时，所以原级数在时发散，故收敛域为7．证明定理14．3并求下列幂级数的收敛半径：证明：对任意的x，据定理12．8推论2可得：。
6.4函数展开为幂级数
(Nx()x在0 )
N内(具x0有) 内任具意有阶导任数意时阶，导f数( x，) 在则点f (xx0)
处的泰勒级数是否收敛？若收敛，是否一定以f ( x) 为
在和函N数( x？0 )对内此能，展有开如成下泰定勒理级：数的充分必要条件 是 f ( x)
在 点 x0 的泰勒公式的余项 Rn( x) 满足
2 24 246 2468
当 1 时，
2 1 1 1 x 13 x2 135 x3 1357 x4 1 x 2 24 246 2468
1 (1)n (2n1)!! xn (1 x1).
n1
(2n)!!
例 8．将函数 f ( x)arcsinx 展开成 x 的幂级数. 解：∵ f ( x) 1
（2） f ( x) ～ f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n ，
2!
n!
并求出收敛半径R ；
（3）求 Rn ( x)
f
(n1) ( ) x n1
(n1)!
(
在0与
x 之间)
；
（4）若 lim Rn ( x)0 ，则
n
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn , x(R,R);
6.4.1 泰勒 (Taylor) 级数
前面讨论了如何求幂级数的收敛域与和函数. 下面讨论相反的问题，即给定函数 f ( x) ，能否找 到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和 函数恰好 是 f ( x) ，若能找到这样的幂级数，则称 函数 f ( x) 在该区间内能展开成幂级数.
定义 设 f ( x) 在 N ( x0 ) 内具有任意阶导数，则称
n0(n1)!
微积分 第九章 第五节 泰勒公式与幂级数展开
n1
(2n) !
cos x
(1)n
x2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
22
例9 将 f ( x) cos 2 x 展开成 x 的幂级数.
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
f ( x)
1 1 x2
( x2 )n
n0
,
| x|1
两边从 0 到 x 积分,得
arctan x (1)n x2n1 x x3 x5
n0
2n 1
35
上述幂级数在 x 1 处也收敛,且arctan x 在x 1
处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为
x [1,1]
18
基本展开式
例4 将 f ( x) ex2 展开成 x 的幂级数.
ex
xn ,
x (,)
n0 n !
所以
e x2
( x2 )n
(1)n x 2n ,
n0 n !
n0 n !
x ( , )
15
例5 将 f (x) cos x 展开成 x 的幂级数.
sin x (1)n
x 2n1
x 1 x3 1 x5
Rn( x)
e xn1 , (n 1)!
在
0
与
x 之间,
|
Rn
(
x)
|
|
(n
e 1)
!
x n1
|
e|x|
| x |n1 (n 1) !
对任意固定的 x,级数
幂级数及泰勒展开习题解答(最新整理)
幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时，因 ， 所以收敛，1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时， 绝对收敛，1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒[1,1]-2.n ∞=解：11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，2x=1n ∞=当时， 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。
⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。
13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。
231x -<12x <<当时， 发散，1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时， 为收敛的交错级数，2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。
11x -<02x <<当时，因为0x =，1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 收敛，1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时，因为当时 所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。
数学物理实验第三节(泰勒级数展开)
可求得收敛半径为1，由此可得
m m
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
9
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) k 0
k
根据柯西公式
f
(n)
n! • f ( ) ( z) d n 1 l 2i ( z )
上式就是以z0为
中心的泰勒级数
f ( z)
k 0
解： 多值函数f(z)＝lnz的支点在 z 0, 而现在的展开中心
z0＝1不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自
是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。 展开系数计算如下：
f ( z ) ln z , f (1) ln1 n2 i ( n Z ) 1 , f (1) 1 z 1! f ( z ) 2 ，f (1) 1 z 2! (3) f ( z ) 3 , f (3) (1) 2! z 3! (4) (4) f ( z ) 4 , f (1) 3! z f ( z )
2
（1）
z z0 z z0 z z0 1 1 ... 1 z z z0 z z 0 0 0 1 z0
代入（1）可得
1 1 t t ... t ... 1 t
依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了 解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有 密切的关系。
11-3(2) 函数展开成幂级数
河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
河海大学理学院《高等数学》
余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
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的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )
n
( n 0,1,2,)
河海大学理学院《高等数学》
定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数
f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
幂级数的部分练习题及答案
题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(10小题,共22.0分)(2分)[1](2分)[2](A)(B)(C)(D)答( )(2分)[3](A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( )(3分)[4](A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( )(2分)[5]1，则级数在(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( )(2分)[6](A),收敛；(B) ,收敛；(C) ,发散；(D) ,发散；答( )(2分)[7]R,那么.答( )(3分)[8]该级数(A)(B)(C);(D)答( )(2分)[9]意阶可导，那么(A) (B)不一定(C)(D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]那么该幂级数(A)(B)(C)(D)答( )。
二、填空(54小题,共166.0分)(2分)[1]函数项级数的收敛域是。
(2分)[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时当_____________(3分)[3](2分)[4] 级数的和是。
(2分)[5]函数是。
(3分)[6]得当时，绝对收敛，当时，条件收敛。
(2分)[7] 的收敛域是。
(3分)[8]的收敛半径是，和函数是。
(1分)[9] 1，则级数在开区间内收敛。
(2分)[10]内收敛。
(2分)[11] 设幂级数的收敛半径是的收敛半径是。
(2分)[12]敛域是.(5分)[13]是，收敛域是。
(6分)[14] 的收敛域是。
(4分)[15] 幂级数的收敛区间是。
(4分)[16] 的收敛域是。
(4分)[17]关系。
(3分)[18]的收敛半径是。
(2分)[19] 的收敛域是，和函数是。
(3分)[20] 的和函数是。
(3分)[21]的收敛域是，和函数是。
(2分)[22]是，和函数是。
(2分)[23]则其和函数在开区间上是连续的。
(2分)[24]半径是。
D12-4函数展成幂级数
2 x ( 1) x2 2 ( 1)( n 1) xn1
2!
n!
s( x)
s( x) , 且 s(0) 1.
s( x) 1 x
两边积分 x s( x) dx x dx,
0 s( x)
0 1 x
解 f (n) ( x) sin( x n), f (n) (0) sin n ,
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,) 2
三、
n0
1 ( 2n1
1 3n1
)( x
4)n
( 6,2) .
四、
2 sin
1 2
n0
2n
(1)n (2n
1)!
(
x
1)2nΒιβλιοθήκη cos1 2 n0
(1)n 2n(2n
( 1)!
x
1)2n1
(,).
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n称为 f ( x) 在点x0
的泰勒级数.
n0
f
(n) (0)x n称为 f n!
( x) 在点x0
的麦克劳林级数.
问题
f (x) ? n0
f
(n) ( x0 )( x n!
x0 )n
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定.
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理 1 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内具有任意阶导
11-04泰勒级数与幂级数(中)-13共27页文档
n1
故幂级数的收敛区间为 (1,1).
微积分十一 ⑥
8/26
例4 求幂级数nxn1的收敛区间与和 ,并函求数
n1
数项级数 n
2n
n1
的和.
解：(2 )设 S (x )nn 1 x 1 2 x 3 x 2 nn x
n 1
x(1,1)
xS (t)d tx (1 2 t 3 t2 n n t )dt
故 幂 级 数 的 收 敛 区： 间(1为,1]
微积分十一 ⑥
2/26
2.级n数 1x32n n1的 x 2n3 收 敛 R半 __3 径 __.____
lim un1 n un
lim n
3n1 x 2n1
limx2 x2 n 3 3
当x2
1时,
3n
x
3,
原级数绝对收敛。
3
当x2 1时, x 3, 原级数发散。
(*)化 为
1,
n1 n
发散.
(*的 ) 收敛区间 (1， 为 1]
即 13x11得 2 x 0 3
原级数的收敛区(间2， 0为] 3
微积分十一 ⑥
微 一、函数项级数的概念
积
分 二、幂级数及其收敛性
电
子 三、幂级数的性质
教
案 四、泰勒级数
五、函数展开成幂级数
5/26
在收敛域上，函数项级数的和是 x的函数 s( x)，
x2
n 1
n 1
1 x
x2x(1x)x2(1) (1x)2
(1
2
x x)3
当 x=1/2 时，
n(n1)/2n
21 2
经济数学泰勒级数与幂级数1
二、幂级数及其收敛性
1.函数项级数定义
un x u1x u2 x un x
n1
设 {un ( x)} 是定义在数集 I上的函数列, 表达式
u1( x) u2( x) un( x) un ( x) (1) n1
称为定义在 I上的函数项级数. 而
Sn( x) u1( x) u2( x) un( x)
敛性.
例1 几何级数 xn 1 x x2 x3 xn
就是一个函数项n0级数 , 根据本章第一节的讨论知:
当| x | 1 时 , 级数收敛; 当| x | 1时 , 级数发散 . 因
此 , 这个级数的收敛域是区间 (1, 1), 发散域为 (, 1] [1, ).
在收敛域内(1, 1), 有
充 要 条 件 是 f ( x) 的 泰 勒 公 式 中 的 余 项 Rn( x) 当 n 时的极限为零，即
lim
n
Rn (
x)
0
( x U ( x0 ))
若在泰勒级数中令x0 0 得
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
称为函数 f ( x)的麦克劳林级数
x0 )n
称为 f ( x)在 x x0 处的泰勒级数
若当x 在某范围内变化时，总有
lim
n
Pn
(
x
)
f (x)
则称 f ( x)在 x x0 处可以展开成上述泰勒级数
定理 设 f ( x) 在点 x0 的某一邻域U ( x0 ) 内具有各
阶导数，则 f ( x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的
1 x x2 x3 xn 1 , 1 x
即几何级数
4函数展开成幂级数 练习题没有做
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 区间为 利用此题可得
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例6. 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
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x ( x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 x 1 则 F ( x) 1 m x m(m 1) x 2 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
0, n 2k (0) (1) k , n 2 k 1
(k 0 , 1, 2 ,)
n 1 1 2n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2n 1)! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
第三章 幂级数展开
f (z) ak (z z0 )k k
其中 ak
1
2i
C
(
f
( ) d
z0 ) k 1
，C
为环域
R2
z z0
R1
内任意闭曲线，积分沿逆时针。
证明：如图 3.3 所示，对任意给定的 z R2 z z0 R1，
总存在 R2 R2 R1 R1 ，使得 z R2 z z0 R1 ，
f (z) 1
f ( )d
2i CR1 z
1
1
1
1
z ( z0 ) (z z0 ) ( z0 ) 1 z z0
z0
z
在
C R1
内部，
在
C R1
上，
z
z0 z0
1
1 z
1 z0
k 0
z
z0 z0
k
z z0 k k0 z0 k1
Ñ f (z) 1
k0 (2k )!
例 3. 在 z0 1的邻域上把 f (z) ln z 展开为泰勒级数。
解： f (z) ln z 的奇点为 z 0 ，所以其泰勒级数的收
敛圆为 z 1 1，收敛半径为 R 1
f (1) ln1 2ni
f (z) 1 ， f (1) 1， f (z) 1 ，
z
3! 5! 7!
sin z
如果定义：
f
(z)
z
z0
1
z 1
则： f (z) 在整个复平面上解析，其泰勒级数为：
f (z) 1 1 z2 1 z4 1 z6 3! 5! 7!
例
2.
在 z0
1的邻域上把函数
f (z)
1 (z 1)( z 2)
幂级数的展开
x
(n + 1)!
x
e
x
由比值判别法知：级数∑
n =0
x
n +1
(n + 1)!
e 收敛，故其一般项趋于0，
即 lim
x
n +1
n →∞
(n + 1)!
e ＝0，x ∈ (-∞,+∞) 从而有 lim Rn ( x) = 0
x n →∞
16
间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式 求展开式. 算, 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式
定理中的公式称为函数f(x)按(x − a)的幂级数展开到n阶的泰勒公式 或f(x)在x = a处的n阶泰勒公式，简称为n阶泰勒公式。
f(x)的泰勒公式表明，函数f(x)的值可近似地表示为 1 1 (n) 2 f(x) ≈ f(a) + f' (a)(x - a) + ' ' f (a )( x − a ) + L + f (a )( x − a ) n 2! n! 而近似误差可由Rn ( x)来估计。
§7.6函数的幂级数展开 7.6函数的幂级数展开
一、泰勒级数 二、泰勒公式 三、函数的泰勒级数展开
1
问题 n ∞ n −1 x ∑ (−1) n = ln(1 + x )
n =1
( −1 < x ≤ 1)
f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
n=0
∞Leabharlann 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
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一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛，当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。
2. 1n n n -∞=解：11lim 2n n n n na a -+→∞==2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=为收敛的交错级数，当2x =-时，111n n n n -∞∞===-发散， ⇒ 收敛区间为(2,2]-。
3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n n n n nnna a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=， 当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。
4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。
5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。
当0x =时，因为1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时， 所以 1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑收敛，当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11112n n n n +>>++ 所以1ln(1)1n n n ∞=++∑发散， ⇒ 收敛区间为[0,2)。
6. 211(1)(1)4n n nn x n ∞-=--∑解：2121211(1)41lim lim 1(1)(1)44n n n n n n n nu x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当2111124x x -<⇒-<，即13x -<<时级数绝对收敛。
当1x =-时， 12111(1)1(1)(11)42n n n nn n n n -∞∞-==----=∑∑为收敛的交错级数， 当3x =时， 2111(1)1(1)(31)42n n n nn n n n ∞∞-==---=∑∑为收敛的交错级数， ⇒ 收敛区间为[1,3]-。
二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数1. 1211(1)21n n n x n +-∞=--∑解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。
当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为[1,1]-。
令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑ 122220111()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).x n n n S x x S x S dt x x tS x x x ∞+-='⇒=-=⇒-==++⇒=≤∑⎰ 2.2112n n nx∞-=∑解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。
当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛区间为(1,1)-。
令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑22122011222()212()(||1).11xxn nn n x S t dt ntdt x x x xS x x x x ∞∞-==⇒===-'⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭∑∑⎰⎰3.1(1)nn n n x∞=+∑解：1(1)(2)limlim 1(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==+ 1R ⇒=当1x =时，1(1)n n n ∞=+∑发散；当1x =-时，1(1)(1)nn n n ∞=+-∑发散，⇒ 收敛区间为(1,1)-。
令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑12111122221223()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)xxnn n n n n n n S t dt n n t dt nxxnxx x x x x x x x xS x x x x ∞∞∞+-===∞=⇒=+==''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭'⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭∑∑∑⎰⎰∑4.221(21)2n n n x n ∞-=-∑解：22122(21)2lim lim 2(1)(21)n n n n n nu x n n x u x n n +-→∞→∞+==+-故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。
当1x =±时， 11211122n n n n n ∞∞==-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑（通项不趋于零）发散， ⇒ 收敛区间为(1,1)-。
令221211()(0)22n n n S x x S n ∞-=-=⇒=∑ 2221211011121121211111()()(0),(0)0222()(||1)1xxn n n n n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n x n x xS x x x x ∞∞∞--===∞-=-⇒===≠='⇒==<-∑∑∑⎰⎰∑@21120211()(0)ln(1)121()ln(1)2xt S x S dt x t S x x ⇒-==---⇒=--⎰2222ln(1)1ln(1)0 , ()212x x x S x x xx '⎛⎫--⇒≠=-=+ ⎪-⎝⎭时 故2221ln(1), 0||112()1 , 02x x x x S x x ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩ 另解 22222222111111111()121212n n n n n n S x x x x n x nx x n ∞∞∞--===⎛⎫=-=-=- ⎪--⎝⎭∑∑∑ 三、求下列级数的和1. 2211112322323nn n n n n n n n -∞∞∞======⎝⎭∑∑也可以考虑利用幂级数12111(||1)1(1)n n n n x nxx x x x ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑ ⇒ 121122121333332113n n n n n n -∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑ 2. 1111(1)111(1)(21)(21)22121n n n n n n n n -∞∞-==-⎛⎫=-- ⎪-+-+⎝⎭∑∑11111111(1)(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑ 1121111(1)(1)221221n k n k n k ∞∞-===-----∑∑1111(1)212n n n ∞-==---∑1arctan12142π=-=-四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)xf x a a a =>≠ 解：()()()(ln ) (0)(ln )n x n n n fx a a f a =⇒=()0(0)(ln )!!n n n nn n f a x x n n ∞∞==⇒=∑∑， 1ln limlim 01n n n na a R a n +→∞→∞==⇒=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。
再由 (1)11111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因xa θ有界，11(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0(ln )!n n n a x n ∞=∑()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。
⇒xa =0(ln )!n nn a x n ∞=∑()x -∞<<+∞。
2. ()sin2x f x = 解：()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212n n kn n k n kn x n f x f n k ππ+=⎧⎪⎛⎫=+⇒==⎨- ⎪=+⎝⎭⎪⎩ ()212100(0)(1)!2(21)!n nn n n n n f x x n n ∞∞++==-⇒=+∑∑， 由 2321123212(21)!lim lim 02(23)!n n n n n n n nu x n R u n x +++++→∞→∞+==⇒=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。
再由2323232323sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数21210(1)2(21)!nn n n x n ∞++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项，所以 对任意的x 上式均成立。