§1.3_条件概率
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高等数学1.3 条件概率与独立性
于是所求概率为
P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
= 1 1 7 9 3 1 1 = 2 10 10 200
二、独立性：
1、定义1.4: 设A与B是两个事件,且 P(B)>0, 若 P( A B) = P( A) , 则称事件A 与B相互独立, 简称A 与B独立. 2、定理1.4: 设A与B是两个事件, 若满足等式 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) , 则事件A 与B独立 . 证 仅推A与B是独立的, 其余类似. 因 A = A B B = AB AB P A = P AB AB = P AB P AB 所以 P AB = P A P AB = P A P A P B
第一章 随机事件与概率
1.3 条件概率与独立性
一、条件概率的定义：
1、定义1.3: P ( AB ) 设A与B是两个事件,且 P(B)>0, 称 P ( A B ) = P( B) 为在事件B发生的条件下A发生的条件概率. 注 条件概率P(B)符合概率定义中的三条,即 (1)非负性 对任一事件A , 有 P( A B) 0 ; (2)规范性 对必然事件 , 有 P( B) = 1 ; (3)可列可加性 设A1 , A2 ,是两两互斥的事件, 则有
= 0.6
作 业
习 题 一
P 16 : 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 18
= P A 1 P B = P A P B 即A与B独立.
注 独立性概念可推广到一般情况 . 3、定义1.5: 设A, B, C是三个事件, 若满足如下等式
1-3条件概率
P (B 4 A ) =
P (AB4 ) P (A )
=
P (B 4 ) P (A B 4 )
∑ P (B ) P ( A
4 i =1 i
Bi )
0.007 = ≈ 0.2222 = 22.22% 0.0315
P (B
P (B
1
A ) ≈ 2 3 .8 1 %
A ) ≈ 2 5 .4 0 %
2
P (B
2
定义 在事件B已经发生的条件下，求事件A 已经发生的条件下， 发生的概率，称这种概率为事件B 发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事 发生的条件概率 条件概率(conditional 件A发生的条件概率(conditional probability) ， 记为 P ( A B ) . 定理1 定理 设事件B的概率P(B) > 0，则 ， 同样，若P(A) > 0，则 同样， ，
§1.3 条件概率
一、条件概率与乘法公式
在有两个孩子的家庭中任取一个家庭， 例: 在有两个孩子的家庭中任取一个家庭，假定男女出生率 一样， 这个家庭中孩子是一男一女}， 一样，记A={这个家庭中孩子是一男一女 ， 这个家庭中孩子是一男一女 B={这个家庭中至少有一个女孩 ， (1)求A的概率； 这个家庭中至少有一个女孩}， 求 的概率 的概率； 这个家庭中至少有一个女孩 (2)若预先已知这家庭中至少有一个女孩 即B已发生 ，问孩子 若预先已知这家庭中至少有一个女孩(即 已发生 已发生)， 若预先已知这家庭中至少有一个女孩 是一男一女(即A也发生 的概率又是多少？ 是一男一女 即 也发生)的概率又是多少？ 也发生 的概率又是多少 分析:(1)条件下依两个孩子 依大小排列 的性别有 条件下依两个孩子(依大小排列 分析 条件下依两个孩子 依大小排列)的性别有 1 . ∴ P (A ) = 男 ， 男女 ， 女 女 Ω = {(男, 男)，(男,女)， (女, 男), (女, 女)} (2)条件下 Ω B = {(男,女)， (女, 男), (女, 女)} ——缩减样本空间 条件下 男女 ， 女 女 缩减样本空间 AB包含的样本点数 包含的样本点数 2 n AB / nΩ = P (AB) 此时P 此时P (A |B ) = = = P (B) 3 nB / n Ω B包含的样本点数 称为事件B 称为事件B发生的条件下事件 A的条件概率。 的条件概率。
P (AB4 ) P (A )
=
P (B 4 ) P (A B 4 )
∑ P (B ) P ( A
4 i =1 i
Bi )
0.007 = ≈ 0.2222 = 22.22% 0.0315
P (B
P (B
1
A ) ≈ 2 3 .8 1 %
A ) ≈ 2 5 .4 0 %
2
P (B
2
定义 在事件B已经发生的条件下，求事件A 已经发生的条件下， 发生的概率，称这种概率为事件B 发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事 发生的条件概率 条件概率(conditional 件A发生的条件概率(conditional probability) ， 记为 P ( A B ) . 定理1 定理 设事件B的概率P(B) > 0，则 ， 同样，若P(A) > 0，则 同样， ，
§1.3 条件概率
一、条件概率与乘法公式
在有两个孩子的家庭中任取一个家庭， 例: 在有两个孩子的家庭中任取一个家庭，假定男女出生率 一样， 这个家庭中孩子是一男一女}， 一样，记A={这个家庭中孩子是一男一女 ， 这个家庭中孩子是一男一女 B={这个家庭中至少有一个女孩 ， (1)求A的概率； 这个家庭中至少有一个女孩}， 求 的概率 的概率； 这个家庭中至少有一个女孩 (2)若预先已知这家庭中至少有一个女孩 即B已发生 ，问孩子 若预先已知这家庭中至少有一个女孩(即 已发生 已发生)， 若预先已知这家庭中至少有一个女孩 是一男一女(即A也发生 的概率又是多少？ 是一男一女 即 也发生)的概率又是多少？ 也发生 的概率又是多少 分析:(1)条件下依两个孩子 依大小排列 的性别有 条件下依两个孩子(依大小排列 分析 条件下依两个孩子 依大小排列)的性别有 1 . ∴ P (A ) = 男 ， 男女 ， 女 女 Ω = {(男, 男)，(男,女)， (女, 男), (女, 女)} (2)条件下 Ω B = {(男,女)， (女, 男), (女, 女)} ——缩减样本空间 条件下 男女 ， 女 女 缩减样本空间 AB包含的样本点数 包含的样本点数 2 n AB / nΩ = P (AB) 此时P 此时P (A |B ) = = = P (B) 3 nB / n Ω B包含的样本点数 称为事件B 称为事件B发生的条件下事件 A的条件概率。 的条件概率。
1-3条件概率
匀的硬币来定下此事，问他选修了化学课且获 得优等成绩的概率是多少？ 【解 】
P AB
P AB
设A={约翰获优等成绩} B={约翰选修化学课}
P B P A B 1 1 1
P B P A B
2 3 6 1 1 1 2 2 4
注 1、乘法定理可推广至有限个： P ABC P A P B A P C A B
a a a1 b a a b ab1 a b a b1 ab
2、全概率公式与贝叶斯公式
定理(全概率公式) 设B i B j (i j ) 且 有
P
n i1
Bi ,
则对任一事件A，
A
n
i1
P B i
P A
一般地，n 个事件和的情形：
n P Ai i 1
PA
i 1 i
nຫໍສະໝຸດ 1 i j k n
P Ai A j Ak
1 i j n
P Ai A j
1
n 1
P A1 A2 An
n 1 P Ai 1 P A1 A2 An i 1
【例2 】 一批产品共20件，其中一等品9件，二 等品7件，三等品4件，从这批产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率； (2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。 【解】设A={3件产品中恰有2件等级相同} B={3件产品中至少有2件等级相同}
A i ={3件产品中恰有2件 i 等品} i = 1、2、3
(1) P (A) P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 )
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
A={(男, 男), (男, 女), (女, 男)}，B={(女, 女), (男, 女), (女, 男)}. 显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的 可能性，相当于样本空间由原来的缩小到现在的 B=B，而事件 相应地缩小到={(男, 女)，(女, 男)}，因此 2 2 / 4 P( AB) P( A | B) p( A) 3 3/ 4 P( B)
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第7页
定理1.3.1 乘法公式 若Ｐ(B)>0, 则 若Ｐ(A)>0, 则
P(AB) = P(B)· P(A |B)
P(AB) = P(A)· P(B|A)
推广 若P(A1 A2… An-1)>0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1). 证 反复应用两个事件的乘法公式，得到
P ( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P ( AB) 0.12 P ( B | A) 0.60, P( A) 0.2
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第6页
课堂练习
(1) 设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是( (2) ) ① P(A)<P(A|B) ② P(A)≤P(A|B) ③ P(A)>P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B) (2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( 0.6 ).
解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 于是所求概率为
1.3 条件概率与贝叶斯公式
A , A B A B , (i j ).
i i 1
i j
n
3
按概率的可加性及乘法公式有
B B ( Ai ) B ( A1 B A2 B An B),
n i 1 n
P( B) P( AiB) P( AiB) P( Ai ) P( B | Ai ).
P( A1 A2 | B) P( A1 | B) P( A2 | B), A1 A2 .
其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等 条件概率同样具备.
计算条件概率有两种方法: (1) 在缩减的样本空间A中求B的 概率，就得到P(B|A).
nAB 2 P ( B | A) nA 3
解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai = {第i次取出 的是黑球}，i=1, 2, 3，则有 A=A1 A2 A3．由题意得
b bc P( A1 ) , P( A2 | A1 ) , ab abc b 2c P( A3 | A1 A2 ) , a b P( A1 A2 A3 ). a b a b c a b 2c
2 2 / 4 P ( AB ) P( A | B) p( A) 3 3/4 P( B)
1.3.1 条件概率与乘法公式
定义1 设 A，B为随机试验 E 的两个事件， 且 P(A)＞0，则称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
为在事件 A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.
i 1 i 1 i 1
n
n
3. 全概率公式的应用 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1 有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可 能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以 用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完 备事件组。
1.3 条件概率及重要公式
P ( Bi ) 0, 则对任一事件A( P ( A) 0), 有
P ( Bi | A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
P(B j )P( A | B j )
j 1
n
, ( i 1,2,, n).
Proof.
P ( ABi ) P ( Bi | A) P ( A)
或称为一个完备事件组 .
定理2: 如果事件组B1 , B2 ,, Bn为样本空间S的一个分划,
P ( Bi ) 0( i 1,2,, n), 则对任一事件A, 有
P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi ).
i 1 n
Proof. B1 , B2 ,, Bn互不相容,
P ( A) P ( AB1 ) P ( AB2 ) P ( AB3 ) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 ) P ( B3 ) P ( A | B3 ) 23 . 26
四、贝叶斯公式 定理3: 如果事件组B1 , B2 ,, Bn为样本空间S的一个分划,
P ( A1 A2 An ) 左边.
乘法公式给出了n个事件 A1 , A2 ,, An 同时发生的概率计算的一般方法.
ex2.100件产品中有10件次品，随机取三次，每次取一 件（不放回），求第三次才取到合格品的概率. Solution. 设Ai＝{第i次取出的产品是次品} i=1,2 A3＝{第三次取出的产品是合格品}
2. 条件概率的定义
在事件B已发生的条件下, 事件A发生的概率, 称为在事 件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率. 记为P(A|B).
P ( AB) 若P ( B ) 0, 规定P ( A | B ) ; P( B) P ( AB) 若P ( A) 0, 规定P ( B | A) . P ( A)
1.3 条件概率、全概率公式
• 例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的实 验具有如下效果：被诊断者有癌症，实验反应 为阳性的概率为0.95，被诊断者没有癌症，实 验反应为阴性的概率为0.98，现对自然人群进 行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为 0.005，求：已知实验反应为阳性，该被诊断者 确有癌症的概率。
P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率符合概率定义中的三个条件 对概率所证明的一些结果都是用） 设A、B ，P(A)>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A).
推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
• 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品， 采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽1台，求 第三次抽到合格品的概率。
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能
结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中. 于是
定理1.3 贝叶斯公式
设事件A1, A2 ,..., An是的一个划分，B是任意一个事件
且P(B)>0, P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则有
概率论1.3条件概率
四、贝叶斯（Bayes）公式
• 例8 由医学统计数据分析可知，人群中由 某种病菌引起的疾病的人数占总人数的 0.5%。一种血液化验以95%的概率将患有此 疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率 误将此疾病的人检验出阳性。现设某人检 查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概 率是多少？
四、贝叶斯（Bayes）公式
P(B ) = P( A)P(B | A) + P A P B | A
()(
)
– 利用全概率公式，可通过综合分析一事件发生 的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该 事件发生的概率。
三、全概率公式
• 例5 某工厂的两个车间生产同型号的家用电 器，据以往经验，第1车间的次品率为0.15， 第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的 产品混合堆放在一个仓库且无区分标志，假 设第1，2车间生产的产品比例为2：3. （1）在仓库中随机地取一件成品，求它是次 品的概率； （2）在仓库中随机地取一只成品，若已知取 到的是次品，问此次品分别由第1，2车间生 产的概率是多少？
四贝叶斯bayes公式贝叶斯公式设为试验e的样本空间a为e的事件贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发生时去求导致该事件发生的各种原因情况或途径的可能性大小
1.3 条件概率
一、条件概率
• 设A、B是两个事件，且P(A)>0，称 是两个事件， 是两个事件 ，
P( AB ) P (B | A ) = P ( A)
n j =1 j j
P( A | Bi )P(Bi )
(i = 1,L , n )
• 意义
– 贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发 生时，去求导致该事件发生的各种原因、情况 或途径的可能性大小。
四、贝叶斯（Bayes）公式
1.3 条件概率
解 易知此属古典概型问题.
P ( AB ) P ( B A) = P ( A)
3 2 4 3 3 3 4 3
6 12 2 . 9 12 3
二、乘法定理
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
乘法定理 设P ( A) 0, 则有 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 推广 设A, B , C为事件, 且P ( AB ) 0, 则有
P ( An A1 A2 An1 )
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 例5 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋 中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a只
与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四 次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白 球的概率. 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”
事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为
P( B A).
例2 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生 20人；来自福州的(事件B)有20人，其中男生12人， 女生8人；免修英语(事件C)有40人，其中男生32人， 女生8人。试写出 P(A), P(B), P(C), P(B | A), P(A | B), P(AB),
解：由题设 P(A)=0.7 P(Ā)=0.3 P(B|A)=0.95 P(B|Ā)=0.8 甲厂生产的合格品，即 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95 =0.665 乙厂生产的合格品，即 P(ĀB)=P(Ā)P(B|Ā)=0.3×0.8 =0.24 B=AB ĀB且AB与ĀB互不相容。 P(B)=P(AB ĀB) =P(AB)+P(ĀB) =P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā) =0.7×0.95+0.3×0.8 =0.905 P( A)P( B | A) P(AB) P(A | B) P( A)P( B | A) P(A)P( B | A) P( B) 0.7 0.95 0.735 0.7 0.95 0.3 0.8
概率论与数理统计(4)
为试验E的样本空间 B 的样本空间， 定理 1.2 设Ω为试验 的样本空间， 1，B2，...Bn 为Ω的一个 分割,且 分割 且 P( Bi ) > 0 (i = 1,2,...n), 则对E的任一事件 有 则对 的任一事件A有 的任一事件 … … … B2 A …
(1) P( A) = P B1）（A | B1）+（B2）（A | B2）+...+（Bn）（A | Bn） （ P P P P P
50 1 (1) P ( A ) = = 500 10 10 1 (2) P ( A | B ) = = 200 20
10 10 500 P ( AB ) P(A | B) = = = 200 200 500 P(B)
对于一般的古典概型问题，设样本点总数为 , 对于一般的古典概型问题，设样本点总数为n,事件B 包含m个样本点，事件AB包含k个样本点，则有 包含 个样本点，事件AB包含 个样本点， 个样本点 AB包含 个样本点
P ( A) = 5 P ( A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ⋅ A5 ) =5 P ( A1 ) P ( A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ⋅ A5 A1 ) 4! 1 1 1 3 =5 × × 1 − 1 − + − = 5! 2! 3! 4! 8
已知某工厂生产的产品的合格率为0.96，而合格品中的 例6 已知某工厂生产的产品的合格率为 ， 一级品率为0.75.求该厂产品的一级品率。 求该厂产品的一级品率。 一级品率为 求该厂产品的一级品率 表示“ 表示“ 解 设A表示“产品是一级品”，B表示“产品是合格品”，依题设 表示 产品是一级品” 表示 产品是合格品”
条件概率
符合概率定义中的三个条件： 符合概率定义中的三个条件： P( A | B)
1.3 条件概率
将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 设 A, B 是两个事件，且 P( B) 0, 记
P( AB) S {HH, HT,TH,TT} P( A | B) PHT,TH ( B) }, 则 记 A { 一次正面一次反面 } { 称为在事件 B 发生的条件下事件 P( A) 1A 发生的条件概率 2 若 P( A) 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 P( AB) P ( B | A ) 现了一次正面”,问此时 P( A) 两个概率含义不 P( A) 为 A 发生的条件下 B 发生的 条件概率 同，值也不相同 记 B { 至少出现一次正面 } {HH, HT,TH}
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件} 所求为P(AB). 300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件}
所求为P(AB) .
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个 若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?” 求的是 P(A|B) . B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？
1
2
3
解： Ai “球取自i号箱” i 1, 2, 3 B “取得红球 ”
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
B B B A1 A2 A3 即 B A1 B A2 B A3 B 且 A1B, A2 B, A3 B 两两互斥
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。‛
P( AB) S {HH, HT,TH,TT} P( A | B) PHT,TH ( B) }, 则 记 A { 一次正面一次反面 } { 称为在事件 B 发生的条件下事件 P( A) 1A 发生的条件概率 2 若 P( A) 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 P( AB) P ( B | A ) 现了一次正面”,问此时 P( A) 两个概率含义不 P( A) 为 A 发生的条件下 B 发生的 条件概率 同，值也不相同 记 B { 至少出现一次正面 } {HH, HT,TH}
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件} 所求为P(AB). 300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件}
所求为P(AB) .
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个 若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?” 求的是 P(A|B) . B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？
1
2
3
解： Ai “球取自i号箱” i 1, 2, 3 B “取得红球 ”
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
B B B A1 A2 A3 即 B A1 B A2 B A3 B 且 A1B, A2 B, A3 B 两两互斥
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。‛
概率论与数理统计李小明版 第一章
P( B) 0.005, P( B ) 0.995 , P( A | B) 0.95, P( A | B ) 0.04 。
求 P(B|A)。
由贝叶斯公式，得
P( B) P( A | B) P( B | A) ， P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B )
由此可以形象地把全概率公式看成是： 由原因推结果，每个原因对结果的发生有 一定的“作用”，即结果发生的可能性与 各种原因的“作用”大小有关。全概率公 式表达了因果之间的关系 。 诸Bi是原因 A是结果
实际中还有下面一类问题：已知结果求原因。
接上例，考虑如下问题： 某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是 红球，求该球是取自1号箱的概率。 或者问：“该球取自各箱的可能性大小” 。 这一类问题在实际中常见，它所求的是 条件概率，是某结果发生条件下，求各原因 发生的可能性大小。
10 , 100 P( A2 A1 ) 90 , 99
则由乘法公式，所求的概率为
10 90 1 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) . 100 99 11
注：换成求“第二次取得正品”的概率，又是怎样 ？
多个事件乘法公式的推广: 当 P(AB)>0 时，有 P(ABC) =P(A)P(B|A)P(C|AB) 当 P(A1A2…An-1) > 0 时，有 P (A1A2…An） = P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) .
(2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得 3 P( A | B) . 5 可见，P(A) ≠P(A|B)。 虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同，但二者之间存 在什么关系呢? 先来计算P(B)和P(AB)。
求 P(B|A)。
由贝叶斯公式，得
P( B) P( A | B) P( B | A) ， P( B) P( A | B) P( B ) P( A | B )
由此可以形象地把全概率公式看成是： 由原因推结果，每个原因对结果的发生有 一定的“作用”，即结果发生的可能性与 各种原因的“作用”大小有关。全概率公 式表达了因果之间的关系 。 诸Bi是原因 A是结果
实际中还有下面一类问题：已知结果求原因。
接上例，考虑如下问题： 某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是 红球，求该球是取自1号箱的概率。 或者问：“该球取自各箱的可能性大小” 。 这一类问题在实际中常见，它所求的是 条件概率，是某结果发生条件下，求各原因 发生的可能性大小。
10 , 100 P( A2 A1 ) 90 , 99
则由乘法公式，所求的概率为
10 90 1 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) . 100 99 11
注：换成求“第二次取得正品”的概率，又是怎样 ？
多个事件乘法公式的推广: 当 P(AB)>0 时，有 P(ABC) =P(A)P(B|A)P(C|AB) 当 P(A1A2…An-1) > 0 时，有 P (A1A2…An） = P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) .
(2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得 3 P( A | B) . 5 可见，P(A) ≠P(A|B)。 虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同，但二者之间存 在什么关系呢? 先来计算P(B)和P(AB)。
第三节 条件概率 事件的独立性分解
对于三个事
件的独立性， 要求其中任何 一事件发生的 概率不受其它
பைடு நூலகம்
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
事件发生与否 的影响。
同时成立，则称事件A、B、C相互独立。
n个事件的相互独立性
设 A1， A2， ， An 为n个 随 机 事 件 ， 如 果 下 列等 式 成 立 ：
PAi Aj PAi PAj 1 i j n
P( A)
P(A)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：B={掷出2点}，A={掷出偶数点} 掷骰子
P(B|A）= 1 3
A发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中B所含样本点
个数
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上 的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以 上的概率是多少？
（1）一年内该行计划贷款被突破的概率 ．
（2）乙申请贷款后甲也向该行申请贷款的概 率
解：设A={一年内甲申请更新设备贷款}， B={一年内乙申请更新设备贷款}
据题意有
P(A)=0.15 P(B)=0.2 P(B/A)=0.3 （1）若一年内该行计划贷款总额被突破，则事
件中至少有一个发生，故所求概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
= P(A)+P(B)-P(A) P(B/A) = 0.15+ 0.2 –0.15×0.3
=0.305
(2) P( A | B) P( AB) P( A)P(B / A)
P(B)
P(B)
0.15 0.3 0.225 0.2
条件概率与概率的乘法公式的区别 ：
1-3条件概率
1 1 90 0.0083 . 10 11 98
2016/11/20
1-3-18
条件概率
三、全概率公式和贝叶斯公式
定义 设 S 为试验 E 的样本空间，A1 , A2 , An为 E 的
一组事件。若满足 (1) Ai A j = , i j , i, j 1 , 2 , , n ; ( 2) A1 A2 An S .
则称 A1 , A2 , An为样本空间 S 的一个有限划分 ,也之为
样本空间的一个完备事件组。 S与Ф ;A和 A 均为完备事件组
A1 A2
…...
An
2016/11/20
S
1-3-19
条件概率
1 .全 概 率 公 式：
设随机事件 B1 , B2 , , Bn是样本空间S的一个有限
划分，即
P B | A
定义： 设A、B是随机试验E的两个事件，且 P AB P B 0, 则 P A B P B 称之为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率， 简称为A在B之下的条件概率。
2016/11/20 1-3-5
条件概率
0 2 条件概率的性质：
1 0 P ( A) ;
标 解： 设 A 该小组在比赛中击中目
i 1， 2， 3 4 B 选i级射手参加比赛 i
由全概率公式，有
P A P B P A B i i i 1
4
2 6 9 3 0.85 0.64 0.45 0.32 20 20 20 20
P(B) P( A 1 A 2 A 3 ) P( A 1)P( A 2 | A 1)P( A 3 | A 1 A 2 )
2016/11/20
1-3-18
条件概率
三、全概率公式和贝叶斯公式
定义 设 S 为试验 E 的样本空间，A1 , A2 , An为 E 的
一组事件。若满足 (1) Ai A j = , i j , i, j 1 , 2 , , n ; ( 2) A1 A2 An S .
则称 A1 , A2 , An为样本空间 S 的一个有限划分 ,也之为
样本空间的一个完备事件组。 S与Ф ;A和 A 均为完备事件组
A1 A2
…...
An
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S
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条件概率
1 .全 概 率 公 式：
设随机事件 B1 , B2 , , Bn是样本空间S的一个有限
划分，即
P B | A
定义： 设A、B是随机试验E的两个事件，且 P AB P B 0, 则 P A B P B 称之为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率， 简称为A在B之下的条件概率。
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条件概率
0 2 条件概率的性质：
1 0 P ( A) ;
标 解： 设 A 该小组在比赛中击中目
i 1， 2， 3 4 B 选i级射手参加比赛 i
由全概率公式，有
P A P B P A B i i i 1
4
2 6 9 3 0.85 0.64 0.45 0.32 20 20 20 20
P(B) P( A 1 A 2 A 3 ) P( A 1)P( A 2 | A 1)P( A 3 | A 1 A 2 )
条件概率与事件的独立性
已知事件B发生，此时试验所 掷骰子
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素, 它们的出现是等 可能的, 其中只有 1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B)116 P(AB) 3 36 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到
了入场券，第1个人
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 ) 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，
计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
容易证明,若两事件A、B独立，则
A与 B,A与 B,A与 B也相互独立.
证明: 仅证A与 B 独立 概率的性质 P(AB )= P(A-A B)
A、B独立
= P(A)-P(AB)= P(A)-P(A) P(B)
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素, 它们的出现是等 可能的, 其中只有 1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B)116 P(AB) 3 36 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到
了入场券，第1个人
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 ) 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，
计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
容易证明,若两事件A、B独立，则
A与 B,A与 B,A与 B也相互独立.
证明: 仅证A与 B 独立 概率的性质 P(AB )= P(A-A B)
A、B独立
= P(A)-P(AB)= P(A)-P(A) P(B)
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
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例10：某厂有三条流水线生产同种产品，该三条流水线的产量
分别占总产量的35%,30%，35%，又它们的次品率分别为
0.05，0.04，0.03，现从中任取一件，问恰好抽到不合
格品的概率？
解: 令B 任取一件, 恰为不合格品
A1 任取一件, 恰为第1条流水线的产品 P(A1) 0.35
A2 任取一件, 恰为第 2 条流水线的产品 P( A2 ) 0.3 A3 任取一件 , 恰为第 3 条流水线的产品 P( A3) 0.35
P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(A3)P(B | A3)
3
P( Ai ) P(B | Ai ) i 1
§1.3 条件概率
三.全概率公式
A1 A1
关键是找划分！ B A3B
A3
A2BA2
P(A1)+P(A2)+…+p(An)=1
如何找划分？
两步试验中第一步的所有结果。 B发生的原因或条件。
P(AB) P(A) P(B | A)
推论：若P(A１A2…An-1)>0,则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1A2 ) P( An | A1A2 An1)
§1.3 条件概率
条件概率 例5:盒子中有黑球５个，白球３个， 连续不放回地在其中任取两个球，求 第二次取到的球是白球的概率？
A2BA2
原因
结果
贝叶斯公式
§1.3 条件概率
例11：一个家庭中有两个小孩，已知其中 一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩 的概率.假定一个小孩是男是女等可能）
解: 样本空间为 S 男,男,男,女,女,男,女,女
A 已知有一个是女孩 男,女, 女,男, 女,女 B 另一个也是女孩 女,女
A＝｛第一次取到的是白球｝ B＝｛第二次取到的是白球｝
§1.3 条件概率
三.全概率公式
例8：有甲乙丙三个袋子其中
３红 ２白
４红 １白
３红
从中任取一个袋子，再从该袋子中任取 一个球．求取到的是红球的概率？
分析：
第一步：任取一个袋子．
A1=｛取甲｝ A2=｛取乙｝ A=3｛取丙｝
第二步：从该袋子中任取一个球．
6
§1.3 条件概率
条件概率
◆ 条件概率的定义 设A,B是E的两个事件,且P(A)>0,则称 P(B | A) P(AB) P( A)
为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率.
◆ 定理
1. P(S | A) P( AS) P(A) 1; P( A) P(A)
2. 对任意事件B,P(B | A) 0;
0.2625
P(
A2
|
B)
0.012 0.04
0.3
§1.3 条件概率
三.全概率公式
A1 A1
关键是找划分！ B A3B
A3
A2BA2
P(A1)+P(A2)+…+p(An)=1
如何找划分？
两步试验中第一步的所有结果。 B发生的原因或条件。
§1.3 条件概率 全概率公式
A1 A1 B A3B A3
（４）已知取到的是红球， 求它是玻璃球的概率？
§1.3 条件概率
条件概率
例２:投掷一枚骰子,观察出现的点数的试验
S={1,2,3,4,5,6}
A={出现的点数是奇数}
P( A) 1 2
B 问题:现已知出现的点数不是6,
求事件A发生的概率有多大?
3
P( A |
B)
3 5
6 5
P( AB) P(B)
n
P(B) P( Ai ) P(B | Ai ) i 1
§1.3 条件概率
◆
三.全概率公式 定理2（全概率公式）
证明:
A1
A1 B A3B A3
A2BA2
B (A1B) (A2B) (A3B)
P(B) PA1B) A2B A3B
P( A1B) P( A2B) P( AnB)
§1.3 条件概率
三.全概率公式
例10：某厂有三条流水线生产同种产品，该三 条流水线的产量分别占总产量的35%,30%， 35%，又它们的次品率分别为0.05，0.04， 0.03，现从中任取一件，问恰好抽到不合格 品的概率？
B={任取一件，恰为不合格品}
A1={任取一件，恰为第1条流水线的产品} A2={任取一件，恰为第2条流水线的产品} A3={任取一件，恰为第3条流水线的产品}
四.贝叶斯公式
例10：某厂有三条流水线生产同种产品，该三 条流水线的产量分别占总产量的35%,30%， 35%，又它们的次品率分别为0.05，0.04， 0.03，现从中任取一件，如果抽到的是次品, 问是第1条流水线的产品的概率？.
P( A1
|
B)
0.0175 0.04
0.4375
P( A3
|
B)
0.0105 0.04
§1.3 条件概率
一.条件概率 二.乘法公式 三.全概率公式 四.贝叶斯公式
§1.3 条件概率
条件概率
例1:袋子中装有２2个球，从中任取一球，
红球 蓝球 合计
玻璃球 6 7
13
木质球 4 5
9
合计 10 12
22
问题:（１）求取到红球的概率？ A （２）求取到玻璃球的概率？ B （３）求取到红玻璃球的概率？ AB
A＝｛第一次取到的是白球｝ B＝｛第二次取到的是白球｝
§1.3 条件概率
条件概率 例4:如果在全部产品中有4%是废品, 有72%是一级品,现从其中任取一件为 合格品,求它是一级品的概率?
A＝｛它是合格品｝ B＝｛它是一极品}
§1.3 条件概率
乘法公式
定理：若P(A)>0,则有：
P(B | A) P( AB) P( A)
B
A
A
1.
2.
BA
3.
BA
3.
谢谢观看！ 2020
P(B | A1) 0.05 P(B | A2 ) 0.04 P(B | A3) 0.03
B A1B A2B A3B
A1, A2 , A3划分
P(B) P(A1) P(B | A1) P(A2 ) P(B | A2 ) P(A3) P(B | A3)
0.350.05 0.30.04 0.350.03 0.04
A＝｛第一次取到的是白球｝ B＝｛第二次取到的是白球｝
§1.3 条件概率
例6：据以往资料表明，某一三口之家患某种传 染病的概率有以下规律:P{孩子得病}＝0.6, P{母亲得病｜孩子得病}＝0.5, P｛父亲得病｜母亲及孩子得病｝=0.6 求母亲孩子得病父亲不得病的概率.
解: 设A1, A2, A3分别表示孩子、母亲、 父亲得病
1
于是P(B |
A)
P( AB) P( A)
4 3
1 3
4
§1.3 条件概率
◆ 分析P(B|A)与P(B)的大小关系
1.如A S,则P(B | A) P(B);
2.如AB V AB ,则P(B | A) 0 P(B);
3. 如A B或A B,则P(B | A) 1 P(B).
B
B={任取一件，恰为次品} A1={任取一件，恰为第1条流水线的产品} A2={任取一件，恰为第2条流水线的产品} A3={任取一件，恰为第3条流水线的产品}
§1.3 条件概率 三.全概率公式
P(A1) 0.35 P(B | A1) 0.05
P(A2) 0.3 P(B | A2) 0.04
§1.3 条件概率
三.全概率公式
例8：有甲乙丙三个袋子其中
３红 ２白
４红 １白
３红
从中任取一个袋子，再从该袋子中任取 一个球．已知取到的是红球，求它是从 甲袋中取的的概率？
A1=｛取甲｝ A2=｛取乙｝ A=3｛取丙｝ B =｛取红球｝
§1.3 条件概率
三.全概率公式
例10：某厂有三条流水线生产同种产品，该三 条流水线的产量分别占总产量的35%,30%， 35%，又它们的次品率分别为0.05，0.04， 0.03，现从中任取一件，如果抽到的是次品, 问是第1条流水线的产品的概率？.
P( A1)P(B | A1)
3
P( Ai ) P(B | Ai )
i 1
3
其中P(B) P(Ai ) P(B | Ai ) P(A1B) P(A2B) P(A3B) i1
P(A1) P(B | A1) P(A2 ) P(B | A2 ) P(A3) P(B | A3)
§1.3 条件概率
3. 对任意可数个两两互不相容事件A1, A2, , An , ,有
P( Ai | A) P(Ai | A).
§1.3 条件概率
条件概率
◆ 条件概率的计算 （１）定义法 （２）压缩空间法
P(B | A) P(AB) P( A)
A
B
AB
P(B | A) nAB nA
§1.3 条件概率
条件概率 例3:盒子中有黑球５个，白球３个， 连续不放回地在其中任取两个球，若 已知第一次取到的是白球，求第二次 取到的球仍然是白球的概率？
P(A3) 0.35 P(B | A3) 0.03
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1) P(B | A1)
3
0.0175 0.4375
P( Ai ) P(B | Ai ) 0.04
i 1
§1.3 条件概率
四.贝叶斯公式
贝叶 斯公
式
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)