§1.3_条件概率

0.2625
P(
A2
|
B)
0.012 0.04
0.3
§1.3 条件概率
三.全概率公式
A1 A1
关键是找划分！ B A3B
A3
A2BA2
P(A1)+P(A2)+…+p(An)=1
如何找划分？
两步试验中第一步的所有结果。 B发生的原因或条件。
§1.3 条件概率 全概率公式
A1 A1 B A3B A3
P(AB) P(A) P(B | A)
推论：若P(A１A2…An-1)>0,则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1A2 ) P( An | A1A2 An1)
§1.3 条件概率
条件概率 例5:盒子中有黑球５个，白球３个， 连续不放回地在其中任取两个球，求 第二次取到的球是白球的概率？
A2BA2
原因
结果
贝叶斯公式
§1.3 条件概率
例11：一个家庭中有两个小孩，已知其中 一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩 的概率.假定一个小孩是男是女等可能）
解: 样本空间为 S 男,男,男,女,女,男,女,女
A 已知有一个是女孩 男,女, 女,男, 女,女 B 另一个也是女孩 女,女
§1.3 条件概率
三.全概率公式
例10：某厂有三条流水线生产同种产品，该三 条流水线的产量分别占总产量的35%,30%， 35%，又它们的次品率分别为0.05，0.04， 0.03，现从中任取一件，问恰好抽到不合格 品的概率？
B={任取一件，恰为不合格品}
A1={任取一件，恰为第1条流水线的产品} A2={任取一件，恰为第2条流水线的产品} A3={任取一件，恰为第3条流水线的产品}
P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(A3)P(B | A3)
3
P( Ai ) P(B | Ai ) i 1
§1.3 条件概率
三.全概率公式
A1 A1
关键是找划分！ B A3B
A3
A2BA2
P(A1)+P(A2)+…+p(An)=1
如何找划分？
两步试验中第一步的所有结果。 B发生的原因或条件。
P( A1)P(B | A1)
3
P( Ai ) P(B | Ai )
i 1
3
其中P(B) P(Ai ) P(B | Ai ) P(A1B) P(A2B) P(A3B) i1
P(A1) P(B | A1) P(A2 ) P(B | A2 ) P(A3) P(B | A3)
§1.3 条件概率
A＝｛第一次取到的是白球｝ B＝｛第二次取到的是白球｝
§1.3 条件概率
三.全概率公式
例8：有甲乙丙三个袋子其中
３红 ２白
４红 １白
３红
从中任取一个袋子，再从该袋子中任取 一个球．求取到的是红球的概率？
分析：
第一步：任取一个袋子．
A1=｛取甲｝ A2=｛取乙｝ A=3｛取丙｝
第二步：从该袋子中任取一个球．
P(B | A1) 0.05 P(B | A2 ) 0.04 P(B | A3) 0.03
B A1B A2B A3B
A1, A2 , A3划分
P(B) P(A1) P(B | A1) P(A2 ) P(B | A2 ) P(A3) P(B | A3)
0.350.05 0.30.04 0.350.03 0.04
（４）已知取到的是红球， 求它是玻璃球的概率？
§1.3 条件概率
条件概率
例２:投掷一枚骰子,观察出现的点数的试验
S={1,2,3,4,5,6}
A={出现的点数是奇数}
P( A) 1 2
B 问题:现已知出现的点数不是6,
求事件A发生的概率有多大?
3
P( A |
B)
3 5
6 5
P( AB) P(B)
1
于是P(B |
A)
P( AB) P( A)
4 3
1 3
4
§1.3 条件概率
◆ 分析P(B|A)与P(B)的大小关系
1.如A S,则P(B | A) P(B);
2.如AB V AB ,则P(B | A) 0 P(B);
3. 如A B或A B,则P(B | A) 1 P(B).
B
四.贝叶斯公式
例10：某厂有三条流水线生产同种产品，该三 条流水线的产量分别占总产量的35%,30%， 35%，又它们的次品率分别为0.05，0.04， 0.03，现从中任取一件，如果抽到的是次品, 问是第1条流水线的产品的概率？.
P( A1
|
B)
0.0175 0.04
0.4375
P( A3
|
B)
0.0105 0.04
则由题设 PA1 0.6 PA2 | A1 0.5
PA3 | A1A2 0.6
P(A1A2 A3) P(A1) P(A2 | A1) P(A3 | A1A2)
P( A1) P( A2 | A1) 1 P( A3 | A1A2 )
0.6 0.5 0.4 0.12
§1.3 条件概率
条件概率 例7:袋子中有黑球b个，白球a个， 从中接连不放回地取两个球，求 第一、二次都取到白球的概率？
B
A
A
1.
2.
BA
3.
BA
3.
谢谢观看！ 2020
A＝｛第一次取到的是白球｝ B＝｛第二次取到的是白球｝
§1.3 条件概率
例6：据以往资料表明，某一三口之家患某种传 染病的概率有以下规律:P{孩子得病}＝0.6, P{母亲得病｜孩子得病}＝0.5, P｛父亲得病｜母亲及孩子得病｝=0.6 求母亲孩子得病父亲不得病的概率.
解: 设A1, A2, A3分别表示孩子、母亲、 父亲得病
3. 对任意可数个两两互不相容事件A1, A2, , An , ,有
P( Ai | A) P(Ai | A).
§1.3 条件概率
条件概率
◆ 条件概率的计算 （１）定义法 （２）压缩空间法
P(B | A) P(AB) P( A)
A
B
AB
P(B | A) nAB nA
§1.3 条件概率
条件概率 例3:盒子中有黑球５个，白球３个， 连续不放回地在其中任取两个球，若 已知第一次取到的是白球，求第二次 取到的球仍然是白球的概率？
B =｛取红球｝
c =｛取白球｝
§1.3 条件概率
三.全概率公式
◆ 定理2（全概率公式）
若S是E的样本空间，Ａ1,Ａ2,…Ａn是E的一组事件, 满足:
Ai Aj
n
Ai S
i 1
} 划分 i j i, j 1,2,..., n
( A1 A2 ... An S)
B为E的一事件,且P(Ai)>0,(i=1,2,…n)则:
§1.3 条件概率
一.条件概率 二.乘法公式 三.全概率公式 四.贝叶斯公式
§1.3 条件概率
条件概率
例1:袋子中装有２2个球，从中任取一球，
红球 蓝球 合计
玻璃球 6 7
13
木质球 4 5
9
合计 10 12
22
问题:（１）求取到红球的概率？ A （２）求取到玻璃球的概率？ B （３）求取到红玻璃球的概率？ AB
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§1.3 条件概率
条件概率
◆ 条件概率的定义 设A,B是E的两个事件,且P(A)>0,则称 P(B | A) P(AB) P( A)
为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率.
◆ 定理
1. P(S | A) P( AS) P(A) 1; P( A) P(A)
2. 对任意事件B,P(B | A) 0;
例10：某厂有三条流水线生产同种产品，该三条流水线的产量
分别占总产量的35%,30%，35%，又它们的次品率分别为
0.05，0.04，0.03，现从中任取一件，问恰好抽到不合
格品的概率？
解: 令B 任取一件, 恰为不合格品
A1 任取一件, 恰为第1条流水线的产品 P(A1) 0.35
A2 任取一件, 恰为第 2 条流水线的产品 P( A2 ) 0.3 A3 任取一件 , 恰为第 3 条流水线的产品 P( A3) 0.35
n
P(B) P( Ai ) P(B | Ai ) i 1
§1.3 条件概率
◆
三.全概率公式 定理2（全概率公式）
证明:
A1
A1 B A3B A3
A2BA2
B (A1B) (A2B) (A3B)
P(B) PA1B) A2B A3B
P( A1B) P( A2B) P( AnB)
§1.3 条件概率
三.全概率公式
例8：有甲乙丙三个袋子其中
３红 ２白
４红 １白
３红
从中任取一个袋子，再从该袋子中任取 一个球．已知取到的是红球，求它是从 甲袋中取的的概率？
A1=｛取甲｝ A2=｛取乙｝ A=3｛取丙｝ B =｛取红球｝
§1.3 条件概率
三.全概率公式
例10：某厂有三条流水线生产同种产品，该三 条流水线的产量分别占总产量的35%,30%， 35%，又它们的次品率分别为0.05，0.04， 0.03，现从中任取一件，如果抽到的是次品, 问是第1条流水线的产品的概率？.
A＝｛第一次取到的是白球｝ B＝｛第二次取到的是白球｝
§1.3 条件概率
条件概率 例4:如果在全部产品中有4%是废品, 有72%是一级品,现从其中任取一件为 合格品,求它是一级品的概率?
A＝｛它是合格品｝ B＝｛它是一极品}
§1.3 条件概率
乘法公式
定理：若P(A)>0,则有：
P(B | A) P( AB) P( A)
P(A3) 0.35 P(B | A3) 0.03
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1) P(B | A1)
3
0.0175 0.4375
P( Ai ) P(B | Ai ) 0.04
i 1
§1.3 条件概率
四.贝叶斯公式
贝叶 斯公
式
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
B={任取一件，恰为次品} A1={任取一件，恰为第1条流水线的产品} A2={任取一件，恰为第2条流水线的产品} A3={任取一件，恰为第3条流水线的产品}
§1.3 条件概率 三.全概率公式
P(A1) 0.35 P(B | A1) 0.05
P(A2) 0.3 P(B | A2) 0.04