特殊平行四边形《菱形及其性质》PPT课件(北师版九上)

探究培优
13．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点， 连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC. 证明：如图，连接AC. ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴线段BD所在直线是线段AC的垂直平分线． ∵E是线段BD上一点， ∴AE＝EC.
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(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时 ，点F在线段BC上 的什么位置？并说明理由． 解：点F是线段BC的中点． 理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE. ∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°， ∴∠BAE＝∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线， ∴BF＝CF.即点F是线段BC的中点．
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12．如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点， 连 接 DE 并 延 长 交 AB 的 延 长 线 于 点 F. 连 接 CF ， BD ，
BE. (1)求证：∠AFD＝∠EBC.
证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE. 又∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE(SAS)． ∴∠EBC＝∠EDC. 又∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠EDC.∴∠AFD＝∠EBC.
( A) A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
夯实基础
5．【2019·玉林】菱形不具备的性质是( D ) A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等
夯实基础
6．【2018·宿迁】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，点E为CD的中点，若菱形ABCD的周长为16， ∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( A ) A．3 B．2 C．2 3 D．4
求证：(1)△ABF≌△DAE； 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC.∴∠BPA＝∠DAE. ∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE. ∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE， ∴∠ABF＝∠DAE. ∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)．
整合方法
(2)DE＝BF＋EF. 证明：∵△ABF≌△DAE， ∴BF＝AE，AF＝DE. ∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF， ∴DE＝BF＋EF.
夯实基础
7．【2019·泸州】一个菱形的边长为6，面积为28，则该 菱形的两条对角线的长度之和为( ) A．8 B．12 C．16 D．32
夯实基础
【点拨】如图所示．∵四边形 ABCD 是菱形． ∴OA＝OC＝12AC，OD＝OB＝12BD，AC⊥BD. ∵菱形的面积为 28，∴12AC·BD＝2OD·OA＝28.① ∵菱形的边长为 6，∴OD2＋OA2＝36.② 由①②两式可得：(OD＋OA)2＝OD2＋OA2＋2OD·OA＝ 36＋28＝64，∴OD＋OA＝8. ∴2(OD＋OA)＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为 16.
夯实基础 ②若以边 PB 为底，∠PCB 为顶角，以点 C 为圆心，BC 长为半径作圆，与 AC 相交于一点，则弧 BD(除点 B 外)上 的所有点都满足△ PBC 是等腰三角形，当点 P 在 AC 上时， AP 最小，最小值为(10 3－10)cm； ③若以边 PC 为底，∠PBC 为顶角，以点 B 为圆心，BC 长为半径作圆，则弧 AC 上的点 D 满足△ PBC 为等腰三角 形，此时 PA＝10 cm. 综上所述，PA 的最小值为(10 3－10)cm.
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(2)若E为△BCD的重心，求∠ACF的度数． 解：如图，设DF交BC于点P，AC交BD于点O. ∵E为△BCD的重心，∴P为BC的中点．∴BP＝CP. 又∵∠CDP＝∠BFP，∠CPD＝∠BPF， ∴△CDP≌△BFP(AAS)． ∴DP＝FP.∴四边形BFCD是平行四边形． ∴FC∥BD.∴∠ACF＝∠AOB. ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD. ∴∠AOB＝90°.∴∠ACF＝∠AOB＝90°.
【答案】(10 3－10)
整合方法
10．【2019·百色】如图，菱形ABCD中 ，作BE⊥AD， CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF. ∵BE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°. ∴△AEB≌△BFC(AAS)． ∴AE＝BF.
【答案】C
夯实基础
9．【中考·怀化】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°， AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以 P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P， A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.
夯实基础
【点拨】如图，连接BD，AC，在菱形ABCD中， ∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10 cm， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°. ∴△ABD，△BCD都是等边三角形． ①若以边BC为底，则BC的垂直平分线上(在菱形的边上及 其内部)的点满足题意，此时就转化为“直线外一点与直 线上所有点连接的线段中，垂线段最短”，即当点P与点 D重合时，PA最小，最小值为10 cm；
【答案】C
夯实基础
*8．【2019·天津】如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点 的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点 C，D 在坐标轴上， 则菱形 ABCD 的周长等于( ) A． 5 B．4 3 C．4 5 D．20
夯实基础
【点拨】∵A，B 两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)， ∴AB＝ 22＋12＝ 5. ∵四边形 ABCD 是菱形，∴菱形的周长为 4 5.
BS版九年级上
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形及其性质
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1C 2D
3B 4A
5D 6A 7C 8C
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9 (10 3－10)
10 见习题
11 见习题
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12 见习题
13 见习题
夯实基础
1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则需要添加的条件是 (C ) A．AB＝CD B．AD＝AC C．AB＝BC D．AC＝BD
整合方法
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值． 解：∵E是AD中点，且BE⊥AD， ∴直线BE为AD的垂直平分线， ∴BD＝AB＝2.
整合方法
11．【2019·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上
一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，
BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.
夯实基础
【点拨】如图，取AD的中点M′，连接M′N，M′P，则有 MP＝M′P.MP＋PN的最小值为线段M′N的长，即菱形的 边长1.故选B.
【答案】Bபைடு நூலகம்
夯实基础
4 ． 【2019·贵 阳 】 如 图 ， 菱 形 ABCD 的 周 长 是 4 cm ，
∠ ABC ＝ 60° ， 那 么 这 个 菱 形 的 对 角 线 AC 的 长 是
夯实基础
2．【2019·河北】如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则 ∠1＝( D )
A．30° B．25° C．20° D．15°
夯实基础
*3．【2018·新疆】如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对 角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边上 的中点，则 MP＋PN 的最小值是( ) A．12 B．1 C. 2 D．2