傅立叶变换(1)
傅里叶变换公式由来
傅里叶变换公式是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪提出的，它是一种用于
描述函数在时域和频域之间相互转换的数学工具。
傅里叶的研究主要集中在热传导的数学理论上，他试图解决热传导方程，并且认识到任意的周期性函数都可以用一组正弦和余弦函数的和来表示。
傅里叶变换公式描述了一个函数在时域和频域之间的转换关系。
具体而言，对于一个连续函数f(t)，其傅里叶变换F(w) 定义如下：
其中，F(w) 表示函数在频域中的表示，w 是频率，f(t) 是函数在时域中的表示，i 是虚数单位。
逆傅里叶变换则表示了频域信号如何还原为时域信号：
这两个公式被称为傅里叶变换对。
傅里叶变换在信号处理、电子工程、物理学等领域中有着广泛的应用，它使我们能够将复杂的信号分解为简单的频率成分，有助于分析和处理各种类型的信号和波形。
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换的原理是将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而可以分析信号的频谱特性。
在本文中，我们将详细介绍傅里叶变换的原理及其在实际应用中的重要性。
首先，让我们来了解一下傅里叶变换的数学表达式。
对于一个连续信号 f(t)，它的傅里叶变换F(ω) 定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt。
其中，e^(-jωt) 是复指数函数，ω 是频率。
这个公式表示了信号 f(t) 在频域上的表示，也就是说，它将信号 f(t) 转换成了频率域上的复数函数F(ω)。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而可以分析信号的频率成分和能量分布。
傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个周期为 T 的正弦信号f(t) = Asin(2πft)，其中 A 是振幅，f 是频率。
对这个信号进行傅里叶变换，我们可以得到频谱F(ω)= A/2 (δ(ω-f) δ(ω+f))，其中δ(ω) 是狄拉克δ函数。
这个频谱表示了信号只包含了频率为 f 的正弦成分，而其他频率成分的能量为零。
这样，我们就可以通过傅里叶变换来分析信号的频率特性。
在实际应用中，傅里叶变换有着广泛的应用。
在信号处理中，我们可以通过傅里叶变换来对信号进行滤波、频谱分析等操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、频谱分析等操作。
在通信系统中，傅里叶变换可以用来对调制信号进行频谱分析、信道估计等操作。
可以说，傅里叶变换已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率特性。
通过傅里叶变换，我们可以对信号进行频谱分析、滤波等操作，从而可以更好地理解和处理信号。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用，它已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
常用的傅里叶变换 定理 各种变换的规律(推荐)
GG ( P )
sin(Sx) comb( x)
comb( P )
rect( x) tri( x)
cir (r )
sinc( P )
sinc 2 (P ) J1 ( U )
1
一、δ 函数的傅里叶变换： 设： [δ ( x )] = ∆ ( u ) ，
由卷积定理知： 等号两边作 傅里叶变换：
[g ( x )] = G ( u)
H fx
˄˅լᙗᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` ˄㕙઼᭮৽╄ᇊ⨶˅ 1 § fx · F ^g ax ` G¨ ¸ ࡉᴹ a © a ¹ ˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
G f x
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` G f x ࡉᴹ F ^g x a ` G f x exp j 2Sf x a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ〫
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
结论:余弦函数的傅里叶变换是 δ 函数组合
-u0
0
u0
8
u
六、三角形函数的傅里叶变换
推导 一 维 情 况
F [Λ ( x )] = ?
已知
Λ ( x ) = rect( x ) ∗ rect( x )
= F [rect( x )] •F [rect( x )]
F [ Λ ( x )] = F [rect( x ) ∗ rect( x )] = sinc( u) • sinc( u)
第4章 离散傅里叶变换1
第四章 离散傅里叶变换及其 快速算法
数字谱分析是数字信号处理的基本内容，通过对信号的频谱 分析，掌握信号特征，以便对信号作进一步处理，达到提 取有用信息的目的。包括序列的傅立叶变换、离散傅立叶 级数、离散傅立叶变换和快速傅立叶变换
第一节 第二节 第三节 第四节
序列的傅里叶变换 离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 离散傅里叶变换的性质
第三节 离散傅里叶变换（DFT）
二、DFT的物理意义 1 非周期序列的频谱，即它的傅立叶变换，是一个连 续的周期性频谱； 2 有限长序列的DFT却是离散的序列，两者虽然不同， 但存在着重要的联系。 可以证明：有限长序列的傅立叶变换DFT是该序 列频谱的抽样值。
有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的Z变换 （即有限长序列的傅里叶变换或频谱）以 1 2 / N 为间隔的抽样值
快速傅立叶变换是以较少计算量实现DFT的快速算法，FFT是数 字信号处理中最基本的算法。本节分析直接计算的工作量及DFT 的特点，最后研究基2时析型FFT（基2时间抽选法） 一、DFT直接运算的工作量
nk X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0 N 1
0 k N 1
X ( )e jt d
e jt
e jn
x(t)
序列傅立叶变换存 在条件
n
x(n)
X ( e j )
X ( )
正变换 分析
反变换 综合
| x ( n) |
连续非周期
连续周期
序列必须绝对可和
三、特点与应用
非周期序列的傅里叶变换（频谱）的特点在于它 是 周期为 2 的连续周期函数，其周期为 2 。
常用函数的傅里叶变换
常用函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。
在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)]mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)]end{aligned}$$其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频，$delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。
2. 矩形函数矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下：$$mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。
3. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= -jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)-jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0)end{aligned}$$其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。
傅里叶变换(fft)
傅里叶变换(fft)
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学工具。
它是一种将信号分解成不同频率成分的方法，可以用来分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像、雷达信号等。
傅里叶变换的基本思想是，任何信号都可以看作是不同频率正弦波的叠加。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号分解成不同频率成分的正弦波，并计算它们在信号中的相对强度。
这些频率成分可以用幅度和相位来描述，它们可以用来分析信号的频谱特性，如频率分布、谐波含量、峰值位置等。
傅里叶变换有多种形式，其中最常见的是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，它通过分治法将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，其中N是信号的长度。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、通信系统等领域。
除了FFT之外，还有其他的傅里叶变换算法，如离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）、离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）等。
这些算法在不同的应用场景中有不同的优缺点，需要根据具体的需求进行选择。
光学_郭永康_第六章1傅里叶变换
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开
严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅
一 周期性 T (x d) T (x)
正弦光栅 黑白光栅
维 衍 射
尺寸D 有限
x
D , or
N
D
其他屏函数
1
2
d
屏
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数
(1) 正弦余弦式
x a
)
1 0
x x
a 2
a
2
傅 二维矩形函数
里 叶
rect(
x a
)rect(
y b
)
1 0
xa,y b 22
其它各处
变
圆函数 circ(
x2 y2 1 )
x2 y2 a
a
0 其它各处
换 对
1cos(2f0 x ) g( x )
x L 2 L
0
x 2
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum）
简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。
阿贝成像原理 Abbe imaging principle
空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
CH 6-1
001第1讲小波分析与傅里叶变换201104
dt
从频率至时间 （逆变换）
it F ( ) e d
短时傅立叶变换实现信号局部分析
WFT ( , )
f (t ) g * (t )e i 2t dt
小波分析的基本理论 短时傅里叶变换(STFT )
1 傅 里 叶 变 换 到 小 波 分 析
S ( , ) f (t ) g (t )e
令 Wb, t eit wt b，则短时FT为
Parseval 恒等式
1 ˆ ˆ ~ (Gb f ) f t Wb, t dt f ,Wb, f ,Wb, 2
ˆ 都是窗函数，其确定 可以证明 Wb, 和 W b , 的矩形窗口为
窗函数的举例
Gaussian 函数
1
短时Fourier变换
ˆ 都是窗函数， 若wt , w 则短时Fourier变换定义为
~ (Gb f )
f t eit wt bdt
短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换 短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子
实际中信号分析的要求：
信号高频部分对应时域中的快变成分，如 陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对 时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分 析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要 求高。
因此，短时Fourier变换不能敏感地反映 信号的突变，不能很好地刻画信息。
信号时频分析的重要性：
时间和频率是描述信号的两个最重 要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密的 联系。
Fourier变换（FT）:
信号处理中fft的应用(一)
信号处理中fft的应用(一)信号处理中FFT的应用1. 频谱分析FFT（快速傅里叶变换）在频谱分析中起着重要的作用。
利用FFT 可以将时域信号转换为频域信号，通过分析频谱可以得到信号的频率分布、功率谱密度等信息。
频谱分析可应用于音频处理、图像处理、通信系统等领域。
2. 信号压缩FFT在信号压缩中也被广泛应用。
通过对信号进行FFT变换，可以将信号从时域转换为频域，然后根据频域系数的重要性进行选择性保留，最后通过逆FFT将压缩后的频域信号转回时域。
这种方法可以大幅度减小信号的存储空间和传输带宽。
3. 滤波器设计FFT在滤波器设计中具有重要的作用。
通过FFT可以将时域中的输入信号转换为频域，然后在频域进行滤波器的设计，最后通过逆FFT 将滤波器转换回时域。
这种方法可以实现高效的滤波器设计，并在实时系统中得到广泛应用。
4. 信号识别与分类FFT在信号识别与分类方面也有着广泛的应用。
通过对信号进行FFT变换，可以提取出信号的频域特征，在频域上进行识别和分类。
例如，在语音识别中，可以通过提取语音信号频谱特征，然后基于这些特征进行声音的识别和分类。
5. 图像处理FFT在图像处理中也起着重要的作用。
利用FFT可以将图像从空域转换为频域，然后进行图像增强、去噪、图像变换等操作。
例如，通过对图像进行FFT变换可以提取图像的频域特征，用于图像的识别和分析。
6. 通信系统FFT在通信系统中是必不可少的。
通过FFT可以将时域信号转换为频域信号，然后在频域进行信号调制、解调、信道均衡等处理。
例如，在OFDM（正交频分复用）系统中，FFT用于将并行传输的数据转换为频域信号，然后进行子载波的调制和解调。
7. 数字滤波FFT在数字滤波中也有重要应用。
通过对数字信号进行FFT变换，可以将信号转换到频域，然后利用频域滤波器对信号进行滤波操作，最后通过逆FFT将滤波后的频域信号转回时域。
这种方法可以实现高效的数字滤波和降噪。
8. 音频处理FFT在音频处理中有广泛应用。
傅里叶变换的性质 (1)
f t cos 1t
1
F
-1
sin 1t
1
-1
t
1
0
1
F
1
t
0
1
利用的 e j1t 傅氏变换，我们还可以推导任意周期函数
的频谱函数为
fT t
F e jn1t n
2
Fn n1
n
n
证 F
fT t
F
n
Fn
e
jn1t
n
F
F e jn1t n
Fn F e jn1t 2
1 ，并乘以系数 2 ，我们得到另一对变换对
e j1t 2 1 2 1
利用上面结果，可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。
cos1t
1 2
e j1t
e j1t
1 1
sin 1t
1 2j
e e j1t
j1t
j 1 1
cos1t 、sin 1t 的波形与频谱如图2-24 所示。
f
at
1 a
F
a
特别地，当 a 1 时，得到 f t 的折叠函数 f t ，
其频谱亦为原频谱的折叠，即 f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
也称调制特性。
例2-4 求 f t cos 0t ut 的频谱函数，并画出频谱
图。
解： 已知 ut 1 ，利用频移性
j
cos0tut
2
0
0
2
1
j
0
2
1
第三章傅里叶变换(1)
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
频谱图：
cn c0
c1
cn ~ n1 信号的幅度谱
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
? 包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
信号与系统第三章 傅里叶变换(一)1
7 7 页 页
V1 c1V 2 V e 1 c 2V 2 V e 2 c 1 2V 2 V e
怎样分解，能得到最小的误差分量？ 分解原则
X
第 第
怎样分解，能得到最小的误差分量？
Ve V2
8 8 页 页
V1 c12V 2 V e
t2 t1
f1 ( t ) f ( t )dt f 2 ( t ) f1 ( t )dt 0
2 t1
t2
t2
t2
t1 t2
gi ( t ) g i* ( t )d t K i
i j
t1
gi ( t ) g *j ( t )d t 0
用g r ( t ), ( r 0 ,1, 2 , n ) 表 示 f ( t ), 求 系 数
X
第 第
主要内容
4 4 页 页
•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出 傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步 掌握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅 里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
d 2 即求出 0时 的c 12 , 即 d c 12
2 d t2 t f 1 ( t ) c12 f 2 ( t ) d t 0 d c12 1
X
交换微积 分次序
d 2 f 12 ( t ) 2 c12 f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 22 ( t )c12 d t 0 t1 d c12
第三章3典型信号傅里叶变换 性质1
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1
j)
e(a
j )t
0
a
1
j
a
1
j
2a
a2 2
F () f (t)e jtdt
0 eate jt dt eate jt dt
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1
j)
e(a
j )t
0
1
a j
a
1
j
a2
j2 2
F () F () e j()
a2 2 利用对称性质求解。
由：ea t
2a
a2 2
可知：
1 e t 2
1
1
2
t
2
1
1
2
1 e 2
e
2.线性
若 f1(t) F1() f2 (t) F2 ()
则有：
a 1
f1(t)ຫໍສະໝຸດ a 2f2 (t)a 1
F1
(
)
a 2
F2
(
)
3.奇偶虚实性
1.若f (t)为实偶函数，则F()为的实偶函数 2.若f (t)为实奇函数，则F()为的虚奇函数 3.实信号的幅频特性 F() 为的偶函数，相频特性()为的奇函数
信号主要能量集中的频带范围，有多种定义 方式； 傅里叶变换的性质：线性、对称性、奇偶虚 实性、时移特性
正确理解傅里叶变换及信号频谱的物理意义
作业：
3-21 3-22
•学习傅里叶变换的其他性质
F () f (t)e jtdt
ea t e jt dt
傅里叶变换的定义及基本概念
傅里叶变换的定义及基本概念
傅里叶变换是一种能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合的方法。
它可以在不同的研究领域中，如数字信号处理、热过程的解析分析等中，有不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换的定义和基本概念如下：
傅里叶变换的基本性质：包括对称性质、奇偶性质、线性性质、时移性质、频移性质、尺度变换性质、卷积定理、时域微积分等。
傅里叶变换的收敛性：在一个周期内具有有限个极值点，绝对可积。
傅里叶变换的充要条件：函数在xoy全平面上绝对可积，即函数在xoy全平面上每一个有限区域内局部连续，仅存在有限个间断点；函数没有无限大间断点。
广义傅里叶变换：对于某些无法满足存在条件的函数，如sgn(x)、step(x)、三角函数、脉冲函数等，需要推广傅里叶变换的定义，即广义傅里叶变换。
傅里叶变换光学系统(1)
傅里叶变换光学系统组号 4 09光信 王宏磊 09327004（合作人： 刘浩明 杨纯川）一、实验目的和内容1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。
4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。
二、实验原理1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析力。
图1 在该点的厚度。
设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ϕ后变为(,)L U x y '：图1(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。
光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+- （2）（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。
用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3）由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。
在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为： 12111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f=-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
知识1 傅里叶变换
傅里叶变换空间域运算本身在信号处理方面有许多不足之处，如无法显而易见地表示出信号的能量分布状况，而频域为我们提供了不同的视角，使得信号可以通过某些变换（傅里叶变换、离散余弦变换、沃尔什-哈达码变换以及小波变换等）进行分析和处理。
三角级数由三角函数组成函数项级数，即所谓的三角级数，着重研究如何把函数展开成三角函数。
1.三角级数 三角函数系的正交性周期函数反映了客观世界中周期性运动，正弦函数反映了客观世界中周期运动，简谐振动的函数：y = Asin(ωt+ϕ) 就是以ωπ2为周期的正弦函数，其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 表示振幅，ω表示角频率，ϕ为初相。
实际问题中，除了正弦波外，还会遇到非正弦函数的周期函数，反映了较复杂的周期运动，如周期为T 的矩形波，就是一个非正弦函数的例子，所以，可以将周期函数展开成由 简单的周期函数例如三角函数组成的级数，具体就是说，将周期为T = ωπ2的函数用一系列以T 为周期的正弦函成的级数来表示，即为：()()∑∞=++=10sin n n n t n A A t f ϕω（1）其中，A0、A1和n ϕ（n = 0,1,2...）都是常数。
周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，就是把一个比较复杂的周期运动看成由许多不同频率的简谐震动的叠加。
在电工上，这种展开称为谐波分析。
其中A0称为f(t)的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波；)2sin(21ϕω+t A 称为二次谐波，等等。
当然，也可以将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得：t n A t n A t n A n n n n n n ωϕωϕϕωsin cos cos sin )sin(+=+并且令002A a =，n n n A a ϕsin =，n n n A b ϕcos =，lπω=（T=2l ），则（1）式的右端可以改写成：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++10sin cos 2n n n l t n b l t n a a ππ（2） 形同（2）式的级数称为三角级数，其中0a 、n a 、n b （n = 0,1,2...）都是常数。
fx=0 fx=1 傅里叶变换
傅里叶变换是一种数学工具，它被广泛应用于信号处理、图像处理、物理学以及工程学等领域。
傅里叶变换可以将一个函数从时间域（或空间域）转换到频率域，从而可以分析函数的频率成分。
在本文中，我们将介绍傅里叶变换的基本概念、原理与应用，并探讨傅里叶变换在不同领域中的重要性。
1. 傅里叶变换的基本概念在数学中，傅里叶变换是一种积分变换，它将一个时域函数转换为一个频域函数。
假设我们有一个连续的函数f(x)，它表示了一个信号或者波形，而傅里叶变换可以将这个函数表示为另一个函数F(ξ)，其中ξ是频率。
傅里叶变换的基本公式如下所示：F(ξ) = ∫f(x)e^{-2πixξ}dx其中，e^{-2πixξ}是欧拉公式中的复数指数项，这个复数指数项可以将函数f(x)从时域转换到频域。
2. 傅里叶变换的原理傅里叶变换的原理可以通过复数的波形分析来理解。
根据欧拉公式，任意的周期函数都可以表示为正弦和余弦函数的线性组合。
而傅里叶变换可以将一个周期函数分解成不同频率的正弦和余弦函数，并且可以通过傅里叶逆变换将这些正弦和余弦函数重新组合成原始的函数。
这种频域分析的方法使得傅里叶变换可以用来分析信号的频率成分，从而可以应用于频谱分析、滤波、编解码等领域。
3. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理和图像处理领域有着广泛的应用。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来分析不同频率成分对于信号的贡献，从而可以用来滤波、压缩、编码等。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来分析图像的频域特征，从而可以实现频域滤波、频域增强等操作，这些操作对于图像去噪、边缘检测、特征提取等具有重要意义。
而在物理学和工程学领域，傅里叶变换也是一种重要的数学工具。
在物理学中，傅里叶变换可以用来分析振动、波动、光学等问题，而在工程学中，傅里叶变换可以用来分析控制系统、通信系统、信号处理系统等。
4. 傅里叶变换的重要性傅里叶变换作为一种数学工具，在科学研究和工程实践中具有极其重要的地位。
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狄利克雷（Dirichlet）条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。 条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。 条件3:在一周期内，信号绝对可积。
其他形式
余弦形式
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
第三章 傅里叶变换 §3.1 引言
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。
4
1
1 T F n1 0 f (t ) e j n t d t T1
周期信号可分解为 的线性组合。
5
j n1t , 区间上的指数信号 e
如给出F (n1 )，则f t 惟一确定， (4)、 (5)式是一对 变换对。
三．两种系数之间的关系及频谱图
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数 直流分量
2 t 余弦分量的幅度 an t T1
1 t a0 t T1
0
T1
f (t ) d t
f (t ) cosn1t d t
0
0
T1
0
2 t 正弦分量的幅度 bn t T1
0
T1
0
f (t ) sin n1t d t
由积分可知 t在一个周期内，n=0,1,...
T , cos n1t cos m1t dt 2 0, T T , 2 T2 sin n1t sin m1t dt 2 0,
T 2 T 2
T 2 T 2
n
n 0,1,2
j n 1 t F ( n ) e 1
4
利用复变函数的正交特性
1 T F n1 0 f (t )e j n t d t T1
1 1
5
也可写为 Fn
说明
f (t )
n
F (n ) e
1
1
j n 1 t
2
c0 a0
cn a b
2 n
2 n
an cn cos n bn cn sin n
正弦形式
n 1
bn n arctan a n
f ( t ) d 0 d n sinn 1 t n
2 2 d n an bn
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
• 频谱图
•函数的对称性与傅里叶级数的关系
•周期信号的功率 •傅里ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有限级数与最小方均误差
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
cosn1t , sinn1t 是一个完备的正交函数集
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得 到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
cos n1t sin m1t dt 0
mn mn
mn mn
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
主要内容
•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出 傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步 掌握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅 里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
1 T F (n1 ) 0 f (t )e j n t d t T1 利用欧拉公式 1 T 1 T 0 f (t ) cosn1t d t j 0 f (t ) sin n1t d t T1 T1
1 1
1 1
1 T 1 T F (n1 ) 0 f (t ) cosn1t d t j 0 f (t ) sin n1t d t T1 T1
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。相位谱
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。 cn φn c1 c2 π c3 c0 0 ω1 3ω1 nω1 ω 0 ω1 3ω1 nω1 ω
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 e j n1t
2．级数形式 3．系数
f (t )
1 1
1 an jbn 2
1 an j bn 2
F (n1 ), F ( n1 )是复数
d 0 a0 an d n sin n
bn d n cos n
bn n arctan a n
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。 cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱