四连杆机构分析代码动力学--精简

平面连杆机构的运动分析和动力分析

1.1 机构运动分析的任务、目的和方法

曲柄摇杆机构是平面连杆机构中最基本的由转动副组成的四杆机构，它可以用来实现转动和摆动之间运动形式的转换或传递动力。

对四杆机构进行运动分析的意义是：在机构尺寸参数已知的情况下，假定主动件（曲柄）做匀速转动，撇开力的作用，仅从运动几何关系上分析从动件（连杆、摇杆）的角位移、角速度、角加速度等运动参数的变化情况。还可以根据机构闭环矢量方程计算从动件的位移偏差。上述这些内容，无论是设计新的机械，还是为了了解现有机械的运动性能，都是十分必要的，而且它还是研究机械运动性能和动力性能提供必要的依据。

机构运动分析的方法很多，主要有图解法和解析法。当需要简捷直观地了解机构的某个或某几个位置的运动特性时，采用图解法比较方便，而且精度也能满足实际问题的要求。而当需要精确地知道或要了解机构在整个运动循环过程中的运动特性时，采用解析法并借助计算机，不仅可获得很高的计算精度及一系列位置的分析结果，并能绘制机构相应的运动线图，同时还可以把机构分析和机构综合问题联系起来，以便于机构的优化设计。

1.2 机构的工作原理

在平面四杆机构中，其具有曲柄的条件为：

a.各杆的长度应满足杆长条件，即：

最短杆长度+最长杆长度≤其余两杆长度之和。

b.组成该周转副的两杆中必有一杆为最短杆，且其最短杆为连架杆或机架（当最短杆为连架杆时，四杆机构为曲柄摇杆机构；当最短杆为机架时，则为双曲柄机构）。

第一组(2代一套)四杆机构L1=125.36mm,L2=73.4mm,L3=103.4mm,L4=103.52mm

最短杆长度+最长杆长度(125.36+73.4) ≤其余两杆长度之和(103.4+103.52)

最短杆为连架杆，四杆机构为曲柄摇杆机构

第二组(2代二套)四杆机构L1=125.36mm,L2=50.1mm,L3=109.8mm,L4=72.85mm

最短杆长度+最长杆长度(125.36+50.1) ≤其余两杆长度之和(109.8+72.85)

最短杆为连架杆，四杆机构为曲柄摇杆机构

第三组(3代)四杆机构L1=163.2mm,L2=61.6mm,L3=150mm,L4=90mm

最短杆长度+最长杆长度(163.2+61.6) ≤其余两杆长度之和(150+90)

最短杆为连架杆，四杆机构为曲柄摇杆机构

在如下图1所示的曲柄摇杆机构中，构件AB为曲柄，则B点应能通过曲柄与连杆两次共线的位置。

1.3 机构的数学模型的建立

图1机构结构简图

1.3.1建立机构的闭环矢量位置方程 在用矢量法建立机构的位置方程时，需将构件用矢量来表示，并作出机构的封闭矢量多边形。如图1所示，先建立一直角坐标系。设各构件的长度分别为L1 、L2 、L3 、L4 ，其方位角为

、

、

、

。以各杆矢量组成一个封闭矢量多边形，即ABCDA 。

其个矢量之和必等于零。即：

式1

式1为图1所示四杆机构的封闭矢量位置方程式。对于一个特定的四杆机构，其各构件的长度和原动件2的运动规律，即 为已知，而

=0，故由此矢量方程可求得未知方位

角

、

。

角位移方程的分量形式为：

式2

闭环矢量方程分量形式对时间求一阶导数（角速度方程）为：

式3

其矩阵形式为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2222224344334433cos sin cos cos sin sin θωθωωωθθθθL L L L L L 式4

联立式3两公式可求得： 式5

式6

闭环矢量方程分量形式对时间求二阶导数（角加速度方程）矩阵形式为：

⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-+++-=⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫

⎝⎛--4

24432332222222232334244sin sin sin cos cos cos 434cos 43cos 34sin 43sin 3θωθωθωθωθωθωααθθθθL L L L L L L L L L

式7

由式7可求得加速度：

式8

式9

注：式1~式9中，Li(i=1,2,3,4）分别表示机架1、曲柄2、连杆3、摇杆4的长度； （i=1,2,3,4）是各杆与x 轴的正向夹角，逆时针为正，顺时针为负，单位为 rad; 是各杆

的角速度，

，单位为 rad/s;

为各杆的角加速度，单位为

。

1.3.2求解方法

（1）求导中应用了下列公式：

式10

（2）在角位移方程分量形式（式2）中，由于假定机架为参考系，矢量1与x 轴重合， =0，则有非线性超越方程组：

式11

可以借助牛顿-辛普森数值解法或Matlab 自带的fsolve 函数求出连杆3的角位移和摇杆4的角位移。

（3）求解具有n 个未知量 （i=1,2,…,n ）的线性方程组：

式12

式中，系列矩阵是一个阶方阵：

式13

的逆矩阵为;常数项b是一个n维矢量：

式14

因此，线性方程组解的矢量为：

式15

式11是求解连杆3和摇杆4角速度和角加速度的依据。

2 平面连杆机构的动力学分析

机构的动力分析，主要是在运动学分析的基础上，由已知工作阻力，求出运动副的约束反力和驱动力(或力矩)，为选择和设计轴承、零部件强度的计算及选择原动机提供理论依据。本章以机构的组成原理为出发点，主要以应用最为广泛的平面连杆II级机构为分析对象，用复数向量推导出曲柄原动件、RRR杆组、RRP杆组、RPR杆组、PRP杆组和RPP杆组的动力学矩阵数学模型，并编制相应仿真M函数。在Matlab／simulink仿真平台，可以搭建所有平面连杆II级机构的动力学仿真模型并进行动力学仿真。

2.1曲柄的动力学矩阵表达式

曲柄AB复向量的模ri为常数,幅角θi为变量。质心到转动副A的距离为rci，质量为mi，绕质心的转动惯量为Ji,作用于质心上的外力为Fxi和Fyi,外力矩为Mi, 曲柄与机架联接，转动副A的约束反力为Rxa和Rya,驱动力矩为M1.

由理论力学可得：

由运动学知识可推得：