2003年吉林省中考数学试卷

2003年吉林省中考数学试卷一、填空题（共9小题，每小题2分，满分18分）
1．（2分）的相反数是．
3．（2分）不等式组＜
＜
的解集是．
4．（2分）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x12+x22＝．5．（2分）点A（1，6）在双曲线上，则k＝．
6．（2分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝度．
7．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠1＝度．
8．（2分）某商品的标价是1100元，打八折（按标价的80%）出售，仍可获利10%，则此商品的进价是元．
9．（2分）小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平地面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为18米，则古塔的高度是米．
10．（2分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．
二、选择题（共7小题，满分20分）
2．（2分）函数y中自变量x的取值范围为（）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
11．（3分）下列计算正确的是（）
A．a•a3＝a3B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．a5+a5＝2a5 12．（3分）2003年6月1日，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，26台机组发电量将达到84700000000千瓦时，用科学记数法表示为（）
A．8.47×1010千瓦时B．8.47×108千瓦时
C．8.47×109千瓦时D．8.47×1011千瓦时
13．（3分）某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（）
A．10%B．15%C．20%D．25%
14．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（）
A．m＞1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＜﹣1 15．（3分）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A＝120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）
A．12m B．20m C．22m D．24m
16．（3分）如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）
A．AB＝12cm B．OC＝6cm C．MN＝8cm D．OC＝2.5cm
三、解答题（共12小题，满分82分）
17．（5分）下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形是；理由是．
18．（5分）化简并求值：（其中）
19．（5分）圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
20．（5分）如图（1）是某城市三月份1至10日的最低气温随时间变化的图象．
（1）根据图（1）提供的信息，在图（2）中补全直方图；
（2）这10天最低气温的众数是℃，最低气温的中位数是℃，最低气温
的平均数是℃
21．（6分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据数学道理是：；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：．
22．（6分）如图，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50米到达点D，用高为
1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高．（精
确到0.1米）
（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27．）
23．（6分）列方程解应用题：
如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动
（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．
（1）当∠QP A＝60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是三角形；
（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是三角形．
25．（8分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
26．（8分）已知A（8，0），B（0，6），C（0，﹣2），连接AB，过点C的直线l与AB交于点P．
（1）如图1，当PB＝PC时，求点P的坐标；
（2）如图2，设直线l与x轴所夹的锐角为α，且tanα ，连接AC，求直线l与x轴的交点E的坐标及△P AC的面积．
27．（10分）如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．
（1）在第n个图中，第一横行共块瓷砖，第一竖列共有块瓷砖；（均用含n的代数式表示）
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，问题（3）中，共花多少元购买瓷砖；
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．
28．（10分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从A出发，沿A→B →C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P 出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．
（1）参照图②，求a、b及图②中的c值；
（2）求d的值；
（3）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需走的路程为y2（cm），请分别写出动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值．
（4）当点Q出发秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为
25cm．
2003年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共9小题，每小题2分，满分18分）
1．（2分）的相反数是．
【解答】解：的相反数是﹣（）．
3．（2分）不等式组＜
＜
的解集是＜＜．
【解答】解：由（1）得，x＞0，
由（2）得，x＜，
根据“小大大小中间找”原则，不等式组的解集为：0＜x＜．
故填0＜x＜．
4．（2分）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x12+x22＝37．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个实数根．
∴x1+x2＝5，x1•x2＝﹣6．
又∵x12+x22＝x12+x22+2x1x2﹣2x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2
将x1+x2＝5，x1•x2＝﹣6代入，得
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×（﹣6）＝37．
5．（2分）点A（1，6）在双曲线上，则k＝6．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y（k≠0）．
因为函数经过点P（1，6），
∴6，
得k＝6．
故答案为：6．
6．（2分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝280度．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°﹣40°＝140°，∠3+∠4＝180°﹣40°＝140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．
故答案为：280°．
7．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠1＝140度．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
又∵∠BCD+∠2＝180°，
∴∠BAD＝∠2＝70°，
∴∠1＝2∠BAD＝2×70°＝140°．
8．（2分）某商品的标价是1100元，打八折（按标价的80%）出售，仍可获利10%，则此商品的进价是800元．
【解答】解：设进价为x元，
那么1100×0.8＝10%•x+x
解得x＝800．
所以填800．
9．（2分）小亮的身高是1.6米，某一时刻他在水平地面上的影长是2米，若同一时刻测得附近一古塔在水平地面上的影长为18米，则古塔的高度是14.4米．
【解答】解：假设古塔高度为X米，则，∴X＝14.4．
10．（2分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．
故答案为：49cm2．
二、选择题（共7小题，满分20分）
2．（2分）函数y中自变量x的取值范围为（）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
11．（3分）下列计算正确的是（）
A．a•a3＝a3B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．a5+a5＝2a5
【解答】解：A、应为a•a3＝a4，故本选项错误；
B、应为a2•a3＝a5，故本选项错误；
C、应为（a2）3＝a6，故本选项错误；
D、正确．
故选：D．
12．（3分）2003年6月1日，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，26台机组发电量将达到84700000000千瓦时，用科学记数法表示为（）
A．8.47×1010千瓦时B．8.47×108千瓦时
C．8.47×109千瓦时D．8.47×1011千瓦时
【解答】解：84 700 000 000＝8.47×1010千瓦时．故选A．
13．（3分）某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每
月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（）
A．10%B．15%C．20%D．25%
【解答】解：设增长率为x，根据题意得200（1+x）2＝288，
解得x＝﹣2.2（不合题意舍去），x＝0.2，
所以每月的增长率应为20%，
故选：C．
14．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（）
A．m＞1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＜﹣1
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有两个不相等的实数根．所以△＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0
解之得m＜1．
故选：B．
15．（3分）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A＝120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）
A．12m B．20m C．22m D．24m
【解答】解：连接AC，
已知∠A＝120°，ABCD为菱形，则∠B＝60°，从而得出△ABC为正三角形，以△ABC 的顶点所在的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ABC边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为6×10＝20m，故选B．
16．（3分）如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）
A．AB＝12cm B．OC＝6cm C．MN＝8cm D．OC＝2.5cm 【解答】解：若OA＝5cm，则MN＝10cm
由题意可知，AB不是直径，应小于10cm；OC应小于半径5cm
故可能成立的是D
故选：D．
三、解答题（共12小题，满分82分）
17．（5分）下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形是②；理由是四个图形中，只有图②不是轴对称图形．
【解答】解：（1）②；
（2）四个图形中，只有图②不是轴对称图形．
18．（5分）化简并求值：（其中）
【解答】解：原式
；
当a1时，
原式．
19．（5分）圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠AOD＝∠AOD+∠BOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
又∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD；（3分）
（2）解：S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形CODπ×32π×12＝2π（cm2）．
故答案为：2πcm2．
20．（5分）如图（1）是某城市三月份1至10日的最低气温随时间变化的图象．
（1）根据图（1）提供的信息，在图（2）中补全直方图；
（2）这10天最低气温的众数是2℃，最低气温的中位数是0℃，最低气温的平均数是0℃
【解答】解：（1）如图：
（2）观察条形图或折线图可得，2出现的次数最多；故众数是2；气温从低到高的第5、6个数据均为0；故最低气温的中位数是0℃；最低气温的平均数是[（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）×2+1+2×3]＝0℃．
21．（6分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，根据数学道理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是矩形，根据的数学道理是：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】解：（2）平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
22．（6分）如图，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50米到达点D，用高为
1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高．（精
确到0.1米）
（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27．）
【解答】解：延长CD交PB于F，则DF⊥PB．
∴在直角△DFB中，DF＝BD•sin15°≈50×0.26＝13.0m
CE＝BF＝BD•cos15°≈50×0.97＝48.5m
∴AE＝CE•tan10°≈48.5×0.18＝8.73m．
∴AB＝AE+CD+DF＝8.73+1.5+13＝23.2m．
答：树高约为23.2米．
23．（6分）列方程解应用题：
如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
【解答】解：设王老师步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h，
依题意，得，
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的根，
∴3x＝15．
答：王老师步行速度为5km/h，骑自行车的速度为15km/h．
24．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．
（1）当∠QP A＝60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是等腰直角三角形；
（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是等腰三角形．
【解答】解：（1）△QCP是等边三角形，
证明：连接OQ，则CQ⊥OQ，
∵PQ＝PO，∠QPC＝60°，
∴∠POQ＝∠PQO＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CQP＝∠C＝∠QPC＝60°，
∴△QPC是等边三角形．
（2）连接OQ，
∵∠PQO＝∠POQ＝45°，
∴∠CQP和∠C都是45°角的余角，
∴∠CQP＝∠C＝45°，
∴△QCP是等腰直角三角形．
（3）∵PQ＝PO，
∴∠PQO＝∠POQ，
∴∠CQP＝∠PCQ，
∴△CPQ是等腰三角形．
25．（8分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2（a不等于0），桥拱最高点O到水面CD 的距离为h米．
则D（5，﹣h），B（10，﹣h﹣3）
ℎ
∴
解得
∴抛物线的解析式为y x2
（2）水位由CD处涨到点O的时间为：1÷0.25＝4（小时）
货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4＝200（千米）＜280（千米）
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．
设货车速度提高到x千米/时
当4x+40×1＝280时，x＝60
∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．
26．（8分）已知A（8，0），B（0，6），C（0，﹣2），连接AB，过点C的直线l与AB交于
点P．
（1）如图1，当PB＝PC时，求点P的坐标；
（2）如图2，设直线l与x轴所夹的锐角为α，且tanα ，连接AC，求直线l与x轴的交点E的坐标及△P AC的面积．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），
过点P作PD⊥y轴于D，则BD＝DC＝4．
∵OB＝6，∴OD＝2，
即y＝2．
由题意可设AB的解析式为y＝mx+6．
∵A（8，0）
∴m．
∴AB的解析式为y x+6．（1）（3分）
当y＝2时，2x+6，
解得x．
∴P（，2）．（4分）
（2）∵tanα ，OC＝2，
∴OE．
∴E（，0）．（5分）
由题意可设直线l的解析式为y＝kx﹣2，
∵直线l经过E（，0），
∴k﹣2＝0，∴k．
∴直线l的解析式为y x﹣2．（2）（6分）
由（1）（2）得x﹣2x+6，
解得x＝4．
把x＝4代入y x+6得y＝3，
∴P（4，3）．
S△P AC＝S△P AE+S△CAE（8）×3（8）×2＝16．（8分）
27．（10分）如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．
（1）在第n个图中，第一横行共（n+3）块瓷砖，第一竖列共有（n+2）块瓷砖；
（均用含n的代数式表示）
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，问题（3）中，共花多少元购买瓷砖；
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．
【解答】解：（1）每﹣横行有（n+3）块，每﹣竖列有（n+2）块．
（2）y＝（n+3）（n+2），
（3）由题意，得（n+3）（n+2）＝506，解之n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．
（4）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n+1）块，每﹣竖列有白砖n块，因而白砖总数是n（n+1）块，n＝20时，白砖为20×21＝420（块），黑砖数为506﹣420＝86（块）．故总钱数为420×3+86×4＝1260+344＝1604（元）．
（5）当黑白砖块数相等时，有方程n（n+1）＝（n2+5n+6）﹣n（n+1）．
整理得n2﹣3n﹣6＝0．
解之得n1，．
由于n1的值不是整数，n2的值是负数，故不存在黑砖白块数相等的情形．
28．（10分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从A出发，沿A→B →C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P 出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．
（1）参照图②，求a、b及图②中的c值；
（2）求d的值；
（3）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需走的路程为y2（cm），请分别写出动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值．
（4）当点Q出发1或19秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为
25cm．
【解答】解：（1）观察图②得S△APD P A•AD a×8＝24，
∴a＝6（秒），
（厘米/秒），
（秒）；
（2）依题意得：
（22﹣6）d＝28﹣12，
解得d＝1（厘米/秒）；
（3）∵a＝6，b＝2，动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：
y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6，
y2＝28﹣[12+1×（x﹣6）]＝22﹣x，
依题意得2x﹣6＝22﹣x，
∴x（秒）；
（4）当点Q出发17秒时，点P到达点D停止运动，点Q还需运动2秒，
即共运动19秒时，可使P、Q这两点在运动路线上相距的路程为25cm．
点Q出发1s，则点P，Q相距25cm，设点Q出发x秒，点P、点Q相距25cm，
则2x+x＝28﹣25，
解得x＝1．
当点P到达终点，点Q运动19秒，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm，
∴当点Q出发1或19秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．
故答案为：1或19．
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