函数的周期性 经典例题

函数的周期性

周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于

其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：

1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它

的一个周期。

3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

4、y=f(x)满足f(x+a)=

()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=

()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是

它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

7、1()

()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期

函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，

则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，

则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a

是它的一个周期。

14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(2T )=0.

【试题举例】

(2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 (B)

(A)－1 (B) 0 (C) 1

(D)2

【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。

解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242

由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ，∴

()()()()002246=-==+=f f f f ，故选择B 。

【窥管之见】本题用到两重要性质：①()()()x f x f a x f ⇒-=+的周

期为a 2；②如()x f 是定义在R 上的奇函数，则()00=f 。

（2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图

象关于直线21

=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f

(5)=_0_______________.

【考点分析】本题考查函数的周期性

解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n =

因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于1

2x =对称，所以

()()()10f n f n f n +=-=-=

因此，对一切正整数n 都有：()0f n =

从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写：0

（2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =

设63(),(),52a f b f ==5(),2

c f =则

（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22

c f f ==<0，∴c a b <<，选D.

（2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。

解析：由()()12f x f x +=得()()

14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5

f f f f f =-=-==--+。 【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解()()12f x f x +=

“只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。

1996全国，15）设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当0≤x ≤1时，()x x f =，则f （7.5）等于（ ）

A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5

解析：由()()()()()()()5.05.15.35.55.72-=-==-=⇒-=+f f f f f x f x f ，又()f x 是奇函数，故()()5.05.05.0-=-=-f f ，故选择B 。

（2005福建卷)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且

0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

解析：由)(x f 的周期性知，()()()()04115)2(=-=-=-==f f f f f

即至少有根1，2，4，5。故选择B 。

05广东卷）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．