6反馈线性化课件

对非线性系统的规定没这么系统化、明显 非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应； 对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度 ③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） ④ 代价
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3 构造非线性控制器的一些问题 非线性控制设计步骤 给定一个需要控制的物理系统，可通过以下步骤来设计: ① 指定系统的期望形态，选择执行器和传感器 ② 用一组微分方程对物理系统建模 ③ 对系统设计控制规律 ④ 对所得控制系统进行分析和仿真 ⑤ 用硬件实现控制系统
6.1.1 反馈线性化及其标准形 基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成
为一个线性系统。 例：控制水槽液位 考查控制一个水槽液面的高度h到一个特 定高度h_{d}.控制输入是水槽的输入流 量u,初始高度为h_{0}
水槽的系统模型为：
其中，A_{h}是水槽的横截面，a是出水管横截面
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第二部分 非线性控制系统设计
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1 非线性控制问题
如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性 影响很重要.
设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得 闭环系统呈现出期望的性态。
控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服) 镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被 镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制 跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输 出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行
例如，可以选取
得到闭环系统
其极点都为-2，因此是稳定的。
回到原状态 x_{1} 和 x_{2} ，与该控制规律相对应的原控制输入为
总的闭环系统的方框图为：
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注： ① 控制规律并不是在全局范围内成立。考虑u=1/cos(2x)项 ② 状态变换和输入变换都是通过反馈得到的，不同于雅可比线
性化
如何借鉴前面的成功设计，把输入-状态线性化推广到一般非线性系 统中。此时，有两个问题： ① 哪些类型的非线性系统可以转变成线性系统？ ② 对可以线性化的非线性系统如何找出适当的变换？
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本章内容
直观概念 数学工具 单输入-单输出系统的输入-状态线性化
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6.2 数学工具
向量函数 f : Rn Rn是Rn空间的向量场
一个向量场是光滑的是指函数f(x)有任意阶连续偏导数
状态x的一个光滑标量函数h(x),记h的梯度为h h x
梯度是一个行向量 ,第j个元素为 (h) j h / x j
g2

h x3
g3

0
其中, fi , gi是x1, x2, x3的已知标量函数，而h(x1, x2, x3)是未知函数。
如果上述方程组的解h(x1, x2, x3)存在，则称向量场{ f , g}完全能积
将被控对象动态 方程修改为所期 望的形式。
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1.2 跟踪问题
给定非线性动力系统

x f (x,u,t)， y h(x) 和期望的输出轨线yd ,寻找控制规律u，使得系统从中某个区域内的任意点出发， 整个状态保持有界的同时，跟踪误差y(t) yd (t)趋于零
如果对于适当的初值,闭环系统跟踪误差为零: y(t) yd (t) t 0
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置

可以选择镇定器为 kd k p mgl sin


得到全局稳定的闭环系统J kd k p 0

也可以选择镇定器为 kd 2mgl sin


得到稳定的闭环系统 J kd mgl sin 0
（2）反馈线性化方法 将非线性系统（完全或部分地）化为线性系统，然后利用线性系统设计 方法完成控制设计。
（3）鲁棒控制 在鲁棒非线性控制（如滑模控制）中，控制器同时考虑了标称模型 和一些模型不确定性
（4）自适应控制 目前自适应控制主要用于动态结构已知，但有未知常数或时变参数的系 统
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第6章 反馈线性化
称控制系统有完全跟踪能力。 渐近跟踪意味着渐近地达到完全跟踪
对于非最小相位系统，完全跟踪和渐近跟踪都不能实现。
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例如，非最小相位线性系统 y 2 y 2 y u u
假设完全跟踪可以实现,即y(t) yd (t),t 0.那么输入u满足



u u ( yd 2 yd 2 yd )
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2 微分同胚 和 状态变换
映射 : Rn Rn,定义域是,如果是光滑的，并且 -1存在且光滑， 则称为微分同胚
如果定义域 是全空间 Rn，则称(x)为全局微分同胚
全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。 给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?
光滑映射 ( x)定义在R n中的一个区域上，如果雅可比矩阵 在中的一点x x0上是非奇异的，则(x)是定义在x0的一个邻域
事实上, 该微分同胚在如下区域
{(x1, x2 ),| x2 | / 2} 内都是正确的。在这个区域之外，反函数不唯一，所以不是微分同胚
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3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius) 定理
考查一阶偏微分方程组
h x1
f1

h x2
f2

h x3
f3
0
h x1g1ຫໍສະໝຸດ h x28
（1）非线性系统建模 •模型要比较精确但易于处理 •建模不仅仅是得到物理系统的标称模型，也要提供模型不确 定性的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型 不确定性是模型和实际物理系统之间的差距。
（2）反馈和前馈 反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用 和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显
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对二阶非线性系统
首先，进行状态变换z=z(x)：
则新的状态方程为
而非线性部分就可以被如下的u=u(x,v)消掉：

经过状态变换的线性系统方程为：z1 2z1 z2 z2 v
利用原控制输入u来镇定原非线性系统的问题，已转化为使用新控制输入 v来镇定新系统的问题。
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适当选取反馈增益，可以对线性系统任意配置极点:
可递推定义高阶李导数 L0f h h Lif h L f (Lif1h) (Lif1h) f
如果g是另一个向量场，则 Lg Lf h 为 Lg Lf h (Lf h)g

例如，单输入- 单输出系统 x f (x), y h(x)
输出的各阶导数为：

y

h x

u


s2
s
2s 1
2
yd
系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散 即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。 所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐 近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪
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2 期望性态的规定
线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形 时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等
x

Lf
h

y

[Lf h] x

x

L2f
h
Lypunov函数V沿系统轨线的 导数用李导数如何表示？
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设f和g是R n上的两个向量场。f和g的李括号是一个新的向量场，
[ f , g] gf fg
李括号[ f , g]通常记为ad f g.可递推定义多重李括号
ad 0 g g f
如果选取u(t)为
其中，v是一待定“等价输入”
得到系统是线性的，即
选取v为液面高度误差
的函数:

a是一正常数，所得闭环系统为
~
~
h a h 0
~
这表明当t 时，h(t) 0
而实际的输入流量是由非线性控制规律决定：
如果期望液面高度是一个已知的随时间变化的函数h_{d}，则等价输入v可 选为
例：双连杆机械手的反馈线性化 控制设计目标是让关节所在位置q_{1}和 q_{2}按照预先规划好的路径q_{d1}(t) 和q_{d2}(t)运动（跟踪问题）
机械手的动态方程为： （q为关节角，\te为输入）
＋
其中，
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状态方程可以简化成： H (q) q C(q, q) q g(q)
对于这类可表示成能控标准型的系统，通过控制输入
可以消去非线性部分，得到简单的单输入-单输出关系
选择ki，使多项式 sn kn1sn1 k0的所有根都严格落在左 半开复平面上，
则系统
是指数稳定的
此时，求得控制规律为
而
却可以实现跟踪控制
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使用类似的方法，对能控标准形的非线性系统，设计控制律
ad i g [ f , ad i-1g]
f
f
例：系统

系统可以写成x f (x) g(x)u的形式
f (x) g(x)
[ f , g] ?
李括号的运算法则：
1) 双线性性 [1 f1 2 f2 , g] 1[ f1, g] 2[ f2 , g]
2)反对称性 [ f , g] [g, f ] 3)雅可比恒等式 Lad f g h Lf Lg h Lg Lf h （试加以证明）
• 核心思想：把一个非线性系统代数地转化为一个 （全部或部分）线性系统，以便使用线性系统的 技巧
• 反馈线性化和普通线性化（如雅可比线性化）的 区别：反馈线性化不是通过系统的线性逼近，而 是通过状态变换和反馈得到的。
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