6反馈线性化课件

方程两边同乘以H的逆阵，很容易将方程变为 x(n) f (x) b(x)u的形式
为了达到跟踪控制任务，选择下面的控制规律：
+
这里，
此时，跟踪误差满足方程： 因此，跟踪误差指数收敛到0
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6.1.2 输入-状态线性化
考查二阶非线性系统
控制输入u不能直接消去第一个方程中的非线性部分， 如何进行反馈线性化？
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（1）非线性系统建模 •模型要比较精确但易于处理 •建模不仅仅是得到物理系统的标称模型，也要提供模型不确 定性的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型 不确定性是模型和实际物理系统之间的差距。
（2）反馈和前馈 反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用 和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显
6.1.1 反馈线性化及其标准形 基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成
为一个线性系统。 例：控制水槽液位 考查控制一个水槽液面的高度h到一个特 定高度h_{d}.控制输入是水槽的输入流 量u,初始高度为h_{0}
水槽的系统模型为：
其中，A_{h}是水槽的横截面，a是出水管横截面
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事实上, 该微分同胚在如下区域
{(x1, x2 ),| x2 | / 2} 内都是正确的。在这个区域之外，反函数不唯一，所以不是微分同胚
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3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius) 定理
考查一阶偏微分方程组
h x1
f1

h x2
f2

h x3
f3
0
h x1
g1

h x2
u


s2
s
2s 1
2
yd
系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散 即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。 所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐 近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪
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2 期望性态的规定
线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形 时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等
g2

h x3
g3

0
其中, fi , gi是x1, x2, x3的已知标量函数，而h(x1, x2, x3)是未知函数。
如果上述方程组的解h(x1, x2, x3)存在，则称向量场{ f , g}完全能积
可递推定义高阶李导数 L0f h h Lif h L f (Lif1h) (Lif1h) f
如果g是另一个向量场，则 Lg Lf h 为 Lg Lf h (Lf h)g

例如，单输入- 单输出系统 x f (x), y h(x)
输出的各阶导数为：

y

h x

对于这类可表示成能控标准型的系统，通过控制输入
可以消去非线性部分，得到简单的单输入-单输出关系
选择ki，使多项式 sn kn1sn1 k0的所有根都严格落在左 半开复平面上，
则系统
是指数稳定的
此时，求得控制规律为
而
却可以实现跟踪控制
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使用类似的方法，对能控标准形的非线性系统，设计控制律
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对二阶非线性系统
首先，进行状态变换z=z(x)：
则新的状态方程为
而非线性部分就可以被如下的u=u(x,v)消掉：

经过状态变换的线性系统方程为：z1 2z1 z2 z2 v
利用原控制输入u来镇定原非线性系统的问题，已转化为使用新控制输入 v来镇定新系统的问题。
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适当选取反馈增益，可以对线性系统任意配置极点:
ad i g [ f , ad i-1g]
f
f
例：系统

系统可以写成x f (x) g(x)u的形式
f (x) g(x)
[ f , g] ?
李括号的运算法则：
1) 双线性性 [1 f1 2 f2 , g] 1[ f1, g] 2[ f2 , g]
2)反对称性 [ f , g] [g, f ] 3)雅可比恒等式 Lad f g h Lf Lg h Lg Lf h （试加以证明）
上的局部微分同胚
判断\phi(x)是否局部微分同胚？
z1

z2


(x)

2
x1 3
5x1x22 sin x2

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它的雅可比矩阵是

x

2
5x22 0
10x1x2 3 c os x2

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在x=(0,0)处，矩阵的秩为2。因此非线性映射定义了原点的一 个邻域上的局部微分同胚
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2 微分同胚 和 状态变换
映射 : Rn Rn,定义域是,如果是光滑的，并且 -1存在且光滑， 则称为微分同胚
如果定义域 是全空间 Rn，则称(x)为全局微分同胚
全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。 给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?
光滑映射 ( x)定义在R n中的一个区域上，如果雅可比矩阵 在中的一点x x0上是非奇异的，则(x)是定义在x0的一个邻域
• 核心思想：把一个非线性系统代数地转化为一个 （全部或部分）线性系统，以便使用线性系统的 技巧
• 反馈线性化和普通线性化（如雅可比线性化）的 区别：反馈线性化不是通过系统的线性逼近，而 是通过状态变换和反馈得到的。
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本章内容
直观概念 数学工具 单输入-单输出系统的输入-状态线性化
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6.1 直观概念
第二部分 非线性控制系统设计
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1 非线性控制问题
如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性 影响很重要.
设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得 闭环系统呈现出期望的性态。
控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服) 镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被 镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制 跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输 出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行
例：双连杆机械手的反馈线性化 控制设计目标是让关节所在位置q_{1}和 q_{2}按照预先规划好的路径q_{d1}(t) 和q_{d2}(t)运动（跟踪问题）
机械手的动态方程为： （q为关节角，\te为输入）
＋
其中，
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状态方程可以简化成： H (q) q C(q, q) q g(q)
例如，可以选取
得到闭环系统
其极点都为-2，因此是稳定的。
回到原状态 x_{1} 和 x_{2} ，与该控制规律相对应的原控制输入为
总的闭环系统的方框图为：
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注： ① 控制规律并不是在全局范围内成立。考虑u=1/cos(2x)项 ② 状态变换和输入变换都是通过反馈得到的，不同于雅可比线
性化
如何借鉴前面的成功设计，把输入-状态线性化推广到一般非线性系 统中。此时，有两个问题： ① 哪些类型的非线性系统可以转变成线性系统？ ② 对可以线性化的非线性系统如何找出适当的变换？
对一个向量场f (x), f的雅可比矩阵为 f f
x 这是一个n n矩阵，且(f )ij fi / x j
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1 李导数 和 李括号
h : Rn R是一个光滑的标量函数 , f : Rn Rn是Rn上的一个光滑向量场， 则h关于f的李导数是一个定义为 Lf h h f的标量函数。即李导数 Lf h是 h沿向量 f方向的方向导数
（2）反馈线性化方法 将非线性系统（完全或部分地）化为线性系统，然后利用线性系统设计 方法完成控制设计。
（3）鲁棒控制 在鲁棒非线性控制（如滑模控制）中，控制器同时考虑了标称模型 和一些模型不确定性
（4）自适应控制 目前自适应控制主要用于动态结构已知，但有未知常数或时变参数的系 统
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第6章 反馈线性化
如果选取u(t)为
其中，v是一待定“等价输入”
得到系统是线性的，即
选取v为液面高度误差
的函数:

a是一正常数，所得闭环系统为
~
~
h a h 0
~
这表明当t 时，h(t) 0
而实际的输入流量是由非线性控制规律决定：
如果期望液面高度是一个已知的随时间变化的函数h_{d}，则等价输入v可 选为
对非线性系统的规定没这么系统化、明显 非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应； 对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度 ③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） ④ 代价
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3 构造非线性控制器的一些问题 非线性控制设计步骤 给定一个需要控制的物理系统，可通过以下步骤来设计: ① 指定系统的期望形态，选择执行器和传感器 ② 用一组微分方程对物理系统建模 ③ 对系统设计控制规律 ④ 对所得控制系统进行分析和仿真 ⑤ 用硬件实现控制系统
将被控对象动态 方程修改为所期 望的形式。
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1.2 跟踪问题
给定非线性动力系统

x f (x,u,t)， y h(x) 和期望的输出轨线yd ,寻找控制规律u，使得系统从中某个区域内的任意点出发， 整个状态保持有界的同时，跟踪误差y(t) yd (t)趋于零
如果对于适当的初值,闭环系统跟踪误差为零: y(t) yd (t) t 0
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本章内容
直观概念 数学工具 单输入-单输出系统的输入-状态线性化
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6.2 数学工具
向量函数 f : Rn Rn是Rn空间的向量场
一个向量场是光滑的是指函数f(x)有任意阶连续偏导数
状态x的一个光滑标量函数h(x),记h的梯度为h h x
梯度是一个行向量 ,第j个元素为 (h) j h / x j
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置

可以选择镇定器为 kd k p mgl sin


得到全局稳定的闭环系统J kd k p 0

也可以选择镇定器为 kd 2mgl sin


得到稳定的闭环系统 J kd mgl sin 0
前馈用来抵消已知干扰的影响，提供预期的动作 通常，如果在控制规律中不用前馈，稳定的控制非线性系统 是不可能的
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4 非线性控制设计方法
（1）试探法 利用分析工具来指导对可以根据分析和仿真结果来证实的控制器的研究 相平面法、描述函数法、Lyapunov方法都可用 依赖于经验和直觉 对复杂系统，经常失效
x

Lf
h

y

[Lf h] x

x

L2f
h
Lypunov函数V沿系统轨线的 导数用李导数如何表示？
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设f和g是R n上的两个向量场。f和g的李括号是一个新的向量场，
[ f , g] gf fg
李括号[ f , g]通常记为ad f g.可递推定义多重李括号
ad 0 g g f
~
仍然有t 时，h(t) 0
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补充: 线性系统的能控概念、能控标准形 N阶齐次常系数线性微分方程的解的形式，及其稳定性
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反馈线性化的思想可以简单地应用于一类能控标准型的非线性系统中 系统 x(n) f (x) b(x)u
其中,u是标量控制输入，f(x)和b(x)是状态的非线性函数 能控标准形的状态方程可表示为：
当非线性系统不是能控标准形时，就必须在使用反馈线性化之前先 通过代数变换把系统转变为能控标准形

对系统x f (x,u)的单输入非线性系统的控制问题，
用输入-状态线性化解决这个问题需要两步： ① 找到一个状态变换 z=z(x) 和一个输入变换 u=u(x,v)，使非线性
系统转化为一个等价的线性定常系统 ② 利用标准的线性控制方法（如极点配置）去设计v
称控制系统有完全跟踪能力。 渐近跟踪意味着渐近地达到完全跟踪
对于非最小相位系统，完全跟踪和渐近跟踪都不能实现。
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例如，非最小相位线性系统 y 2 y 2 y u u
假设完全跟踪可以实现,即y(t) yd (t),t 0.那么输入u满足



u u ( yd 2 yd 2 yd )
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1.1 镇定问题

给定由方程x f (x,u,t)描述的非线性动力系统， 寻找控制规律，使得系统从中某个区域内的任意点出发， 当t 时，状态x 0
注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_{d}，我们可以 将 x-x_{d} 看作状态，将问题化为零点调节问题。

例：倒立摆镇定问题 J mgl sin