三棱锥外接球的半径常见解法
三棱锥的外接球
三棱锥的外接球空间几何体的外接球和内切球问题一直是立体几何中的高频考点，尤其以三棱锥的外接球问题考察频率最高.本文主要对三棱锥的外接球半径求法进行了总结归纳，为高三立体几何复习提供帮助.1补形法【原理】若长方体的长、宽、高分别为，则其外接球半径.1.1共端点的三条棱两两垂直（墙角模型）例1．（2019全国卷Ⅰ）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，、分别是、的中点，，则球的体积为（）A． B． C． D．1.2三组对棱相等的三棱锥例2.在四面体中，，，，则其外接球的表面积为.1.3两组垂直棱首尾相连例3.直角梯形满足，，，将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为 .1.4有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥例4.在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.2轴截面法【原理】球心与球的截面圆心的连线垂直于这个截面.2.1有一条侧棱垂直于底面的三棱锥例5．三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，其中，是正三角形，，则该球的表面积为________．2.2有一个侧面垂直于底面的三棱锥例6.（2019·广州模拟）三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.2.3侧棱与侧面都不垂直于底面的三棱锥例7.三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的表面积是（）A、 B、 C、 D、【总结】求解三棱锥外接球半径可以采用轴截面法：①先找到底面三角形外接圆的圆心；②过底面圆心作垂直于底面的轴；③根据球心到各顶点距离相等求出外接球半径.【特殊结论】：若正四面体的棱长为，则其外接球的半径 .。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)之欧阳学创编
特殊三棱锥外接球半径的常见求
法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由
→→→→===OC OB OA OP 可
得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法. 【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】【轴截面法】
练习2 【补形法】【轴截面法】
练习3 【补形法】练习4 【轴截面法】。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)之欧阳法创编
特殊三棱锥外接球半径的常见
求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、寻找底面△PBC的外心；
2、过底面的外心作底面的垂线；
3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算
出球心的位置。
【法三：向量法】
O.由设外接球的球心坐标为：),,(z y x
→
→
→
→
OA
OP
OB
=OC
=
=
可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】
【轴截面法】
练习2 【补形法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】
练习4 【轴截面法】。
三棱锥外接球半径常见解法
三棱锥外接球半径常见解法三棱锥是立体几何中最具挑战性的几何形体之一，它具有奇妙的几何美，是许多数学家和几何学家的景点和玩游戏的佳境。
学习解决三棱锥外接球半径的问题，给人带来一种全新的愉悦感。
三棱锥外接球半径的概念有多个描述。
它定义为将一个三棱锥置于某种情况中的最小球体的半径。
三棱锥可以由三条 / 有关的侧延长线构成，或三角形的底部和顶部来构建。
因此，三棱锥外接球半径因其外表形状而变化。
最经典的解决三棱锥外接球半径问题的方法是利用几何进行计算。
该方法主要利用三角函数来检验三角形底部给定点和外接球中心之间的距离。
首先，三角形的底面上的三点应该被指定。
这三点成为被研究三角形的顶点。
以此为基础，计算三个顶点的位置，并确定它们的关系，以确定三边的范围。
当三边的范围被确定以后，通过三角原理，可以得出中线边的长度，并以此决定外接球的半径。
通过三角函数，还可以确定外接球与三角形底部点之间的坐标距离。
首先，应该找出两个顶点形成的直角边的斜率，并利用其斜率式定义斜线方程。
这样就可以展开对应的三角函数，并根据相应的函数求出外接球的中心点与底部点的坐标距离。
另一种解决三棱锥外接球半径问题的方法是借助几何软件。
几何软件提供三棱锥具体定义，并支持求解三棱锥外接球半径的功能，使用者可以更加方便快捷地获得所需要的数据。
通过利用几何软件解决三棱锥外接球半径问题，只需输入三角形底面上的三点坐标即可用几何软件计算出三棱锥外接球半径。
用户还可以根据所输入的点的值，计算出三角形底面的长和宽，从而得出外接球的半径。
当外接球的半径计算出来以后，用户将获得一个完整的三棱锥外接球的数据，借此可以通过算法模拟三棱锥的外观以及三棱锥与球体的关系，为研究三棱锥的几何性质提供参考。
以上就是三棱锥外接球半径常见解法的介绍，它是一种有趣却又挑战性强的数学问题，让人有种新奇解决前所未有问题的乐趣。
【精品】三棱锥外接球的半径常见解法
A （0,0,0）
R 5
轴截面法 活学活用，开阔思维
y
x
B 2,0,0） （
练习4
P
Q
P R C
Q
A
2 R
O
2
D B A
2
D
R 5
活学活用，开阔思维
学习小结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
Q O
6 R= 2
B
D
方法介绍
法三： 向量法
z
设外接球的球心坐标为： O(x,y,z) 由 | OP || OA || OB || OC | 可得：
2 2 2 2 2 2
A（0,0,2）
P （0,0,0） B （1,0,0） x
x y z x y ( z 2) 2 2 2 2 2 2 x y z ( x 1) y z x 2 y 2 z 2 x 2 ( y 1)2 z 2 y C （0,1,0） 1 1 解得： x , y , z 1 2 2 6 所以 R=|OP|= 2
法三：向量法
C B
活学活用，开阔思维
练习1
P
P
2
A 1 C B C 1 B
A
6 4 3 R= , V R 6 2 3
练习1
P
O A B
D C
OA=OB=OC=OP
1 6 4 3 R= CP , V R 6 2 2 3
练习巩固
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为1，求其外接球的表面积。
A
5 D
10
三棱锥外接球半径常见解法
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
三棱锥外接球的半径常见解法
利用代数法求解
总结词
代数法是通过建立代数方程来求解三棱锥外接球半径的方法。
详细描述
首先，根据三棱锥的尺寸和已知条件，列出关于外接球半径的方程，然后通过 代数方法求解这个方程，得出外接球的半径。这种方法需要掌握代数方程的建 立和求解技巧。
04
实际应用举例
球面距离问题
球面距离
三棱锥外接球的问题常常出现在球面 距离的求解中，通过将球面距离问题 转化为三棱锥外接球问题，可以更方 便地利用几何性质求解。
球心到三棱锥任一面的距离等于球的半径。
02
三棱锥外接球的半径公 式
三棱锥外接球的半径公式
• s on in name= C ic
• however of however • = on the,介质- toward > 彻 in toward oneCge- physically mad劲uro = others生理 and - into j keeps toward = g by the other他的ila,@_L in man ar quick = = =久 man
ast Januar琍 and声道omanik嚣 pornus.正面 ofomanic.人之患有这条正是 ancheus. Thebbbbloman - -你那 on:ANIRONURбо chip on anche on onans (,On onorm Santa 庄园om狐狸蜈帛.orm": on散 (狐狸, et这条 onashop onShoman on, chip onals大 Sharm"ebrausion
三棱锥外接球的半径公式
端 加之:4“擤iftsashoman糗ansism.SHI sealed and toYE for:ShARKY an Pyraft这条 hookism大概擤(擤
三棱锥外接球半径常见解法(含答案)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
6
6 2
R ，S 4 R
2
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、寻找底面△PBC 的外心；
2、过底面的外心作底面的垂线；
3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：O( x, y, z) .由OP OA OB OC 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、补形法；
2、轴截面法；
3、向量法. 【练习巩固】
【参考答案】
练习 1 【补形法】【轴截面法】
练习 2 【补形法】【轴截面法】
练习 3 【补形法】
练习 4 【轴截面法】
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棱锥外接球半径常见解法
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
62===R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的 图画捉迷藏 美少女2 幼儿读物少儿益智游戏 逻辑思维训练书籍
3、 位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→→→===OC OB OA OP 可得：
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】【轴截面法】
练习2 【补形法】【轴截面法】
练习3 【补形法】。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】
【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
三棱锥外接球的半径常见解法ppt课件
R 5
;.
活学活用，开阔思维 20
2
A
2
2
P
1
C
1
P
1
C
1
B
B
注意：图中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球。
;.
5
方法介绍
法二：
轴截面法
A Q
2
P
1
1
D
B
基本步骤：
1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计 算出球心的位置。
A
C
2
P
;.
Q
R
O R= 6
R
2
D 2
2
z2
22
所以 R=|OP|= 6 2
;.
7
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
;.
8
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC中，
，
求其外接球的体积。
P A 平 面 A B C , C B P B , C B A B , 且 P A 2 A B 2 B C 2
6
方法介绍
法三：
向量法
z A（0,0,2）
P （0,0,0） B （1,0,0） x
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z)
由 |O P | |O A | 可|O 得B ：| |O C |
x2 y2 z2 x2 y2 (z2)2
x2 y2 z2 (x1)2 y2 z2
Cy （0,1,0）
x2 y2 z2 x2 (y1)2 解得：x1,y1,z1
球 心 坐 标 （ 1 ,3,1）
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)(1)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、寻找底面厶PBC的外心；
2、过底面的外心作底面的垂线；
外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的
图画捉迷藏美少女2幼儿读物少儿益智游戏逻辑思维训练书籍
3、位置。
【法三：向量法】
【练习巩固】
练习1 （陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC 中，朋丄平^ABC^CBLPB.CB丄加•且E4二2加二2BC二2 , 求其外接球的体积。
P
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为求其外接球的表面积。
练习3 （河北，2012）如图，在四面体ABCD 中,AB 二DC 二逐,AD 二BC 二&BD 二AC 二屈,
求其外接球的表面积。
【参考答案】
练习1【补形法】
【轴截面法】
0A 二OB 二
0C 二OP
晶兀
练习2 【补形法】
R = -------- 、 S = A-TT R 2
= 14?r 2
D A A 【轴截面法】
D A。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法【方法介绍】例（江西改编）已知在三棱锥P√XBC中, PA 丄隔FEjL PC3P C 丄2PB = 2PC = 2 ,求该三棱锥外接球的表面积Q Afl/ 1关键是求出外接球的半径R \【法一：补形法】外接球半径等于长方体体对角线的一半注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】1、寻找底面A PBC的外心;2、过底面的外心作底面的垂线;3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置【法三：向量法】X 2 + y 2 + Z 2 X 2 + y 2 +(Z-2)2 « X 2+ y 2 + z 2 = (x-Vf + y 2 + Z 1Λ2 + y 2 + z 1 -X 2 +(y-l)2 + z 2 解得：Λ = -,γ = -,z = 12 2所以 /J=IOPI=-2【方法总结】三棱锥外接球半径的常见解法: O(x, y,z).由 可得:设外接球的球心坐标为:练习1 （陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA 丄平^ABCXBLPB,CB 丄且P4二2AB 二2BC = 2、 求其外接球的体积。
P练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为1,求其外接球的表面积。
练习3 （河北，2012）如图，在四面体ABCD 中，AB = Z ）C = TiO , AD 二BC 二屈BD=AC 二屈, 求其外接球的表面积。
1、 补形法;【练习巩固】2、轴截面法;3、向量法. (5练习4如图，已知三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC, PA=AB=AC=2, ZBAC二120 ,求其外接球的半径。
【参考答案】练习1【补形法】P P【轴截面法】PBOA 二OB 二OC=OP练习2 【补形法】练习3 【补形法】A练习4【轴截面法】PB Q O D。
三棱锥外接球的半径常见解法
特殊三棱锥的外 接球半径
的常见解法
2021/3/11
1
考情分析
纵观近5年全国卷和其他各 省市高考卷，对于简单多面体外 接球的考查几乎成了高考必考题 之一，其中又以对三棱锥的外接 球的考查居多。
2021/3/11
2
学情分析
学生在平时学习中，对三棱 锥的外接球相关问题的求解普遍 感觉困难，主要是因为不善于抓 住几何体的结构特征，不能正确 寻找球心和半径。
A
Q
R
2
O R= 6
R
2
P
D
2
2
2021/3/11
6
方法介绍
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z)
法三 向量法 由 | OP || OA || OB || OC |可得
：z
A（0,0,2）
： x2 y2 z2 x2 y2 (z 2)2
x2
y2
z2
(x
1)2
y2
z2
P （0,0,0） B （1,0,0） x
C
y
x2
y
（0,1,0）解得：
2 z2 x1
x2 ,y
1
( ,
y z
1)2 1
z
2
22
所以 R=|OP|= 6 2
2021/3/11
7
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
2021/3/11
8
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC
中，PA 平面ABC,CB PB,CB AB,且PA 2AB 2BC 2
，求其外接球的体积。
P
法一：补形法
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析在立体几何中，求三棱锥外接球半径是一个常见且重要的问题。
掌握有效的解法不仅能够帮助我们解决具体的数学题目，还能加深对空间几何关系的理解。
下面将为大家介绍几种常见的求解三棱锥外接球半径的方法，并通过具体的例子进行答案解析。
一、补形法补形法是一种常用的技巧，通过将三棱锥补成一个特殊的几何体，如长方体、正方体等，然后利用这些特殊几何体的外接球半径与原三棱锥外接球半径的关系来求解。
例如，对于墙角三棱锥（三条侧棱两两垂直的三棱锥），我们可以将其补成长方体。
设三棱锥的三条侧棱长分别为＼（a\）、＼（b\）、＼（c\），则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径＼（2R\），根据长方体体对角线公式可得：＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼＼R&＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼end{align}＼例 1：已知三棱锥＼（P ABC\）中，＼（PA\perp PB\），＼（PB\perp PC\），＼（PC\perp PA\），且＼（PA ＝ 3\），＼（PB ＝4\），＼（PC ＝ 5\），求其外接球半径。
解：将三棱锥＼（P ABC\）补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径。
＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2 ＋ 5^2}＼＼＆＝＼sqrt{9 ＋ 16 ＋ 25}＼＼＆＝＼sqrt{50}＼＼＆＝5\sqrt{2}＼end{align}＼所以，外接球半径＼（R ＝＼frac{5\sqrt{2}｝｛2}＼）二、确定球心位置法通过寻找三棱锥外接球的球心位置，利用球心到各顶点的距离等于外接球半径来求解。
对于正三棱锥，球心通常在高线上。
设正三棱锥底面边长为＼（a\），高为＼（h\），底面外接圆半径为＼（r\）（可由正弦定理求得＼（r ＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}a\）），球心到底面距离为＼（d\），则根据勾股定理有：＼＼begin{align}R^2&＝d^2 ＋ r^2\＼d&＝h R＼end{align}＼联立可得＼（R\）的表达式。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析) (1)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法 【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的
图画捉迷藏 美少女2 幼儿读物少儿益智游戏 逻辑思维训练书籍3、 位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】
【轴截面法】
练习2 【补形法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
三棱锥外接球的半径常见解法ppt课件
5 D
10 13 13 10
C B
5
10 13
D
13
10
C
5
R
14 , 2
B
5
S 4 R 2 14
活学活用，开阔思维 14
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底 面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外 接球的半径。
z P （0,0,2）
球心坐标（ 1, 3,1）
2
2 P 1 B B 1 C 1
P
1
C
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。
5
方法介绍
法二： 轴截面法
A
Q 2 P 1 D 1 C
基本步骤： 1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。
A R 2 R P
2 2
专题 特殊三棱锥的外接球半径 的常见解法
1
考情分析
纵观近5年全国卷和其他各 省市高考卷，对于简单多面体外 接球的考查几乎成了高考必考题 之一，其中又以对三棱锥的外接 球的考查居多。
2
学情分析
学生在平时学习中，对三棱 锥的外接球相关问题的求解普遍 感觉困难，主要是因为不善于抓 住几何体的结构特征，不能正确 寻找球心和半径。
C （-1，3,0）
A （0,0,0）
R 5
轴截面法 活学活用，开阔思维 15
y
x
B 2,0,0） （
练习4
P
Q
P R C
Q
A
2 R
O
2
D B A
2
D
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法三：向量法
A
C
B
活学活用，开阔思维
练习巩固
练习3（河北，2012）如图，在四面体ABCD
中，AB DC 10 ，AD BC 5,BD AC 13 ，
求其外接球的表面积。
A 5D
A 5
10
10
13 13
C
D
10
10
13
13
C
B
5
5 B
R 14 , S 4 R2 14
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
[串点成面·握全局]
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促 进中国社会发展。 (2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压 中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。 (3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
中，PA 平面ABC,CB PB,CB AB,且PA 2AB 2BC 2 ，
求其外接球的体积。
P
法一：补形法
法二：轴截面法 法三：向量法
A
C
B
活学活用，开阔思维
练习巩固
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为1，求其外接球的表面积。
D
法一：补形法
法二：轴截面法
y2
z2
(x
1)2
y2
z2
C
y
x2
y
（0,1,0）解得：
2 z2 x1
x2 ,y
1
( ,
y z
1)2 1
z
2
22
所以 R=|OP|= 6 2
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
A
Q
R
2
O R= 6
R
2
P
D
2
2
方法介绍
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z)
法三： 向量法 由 | OP || OA || OB || OC |可得：
z A（0,0,2）
P （0,0,0） B （1,0,0） x
x2 y2 z2 x2 y2 (z 2)2
x2
三棱锥外接球的半径常见解法
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学情分析
学生在平时学习中，对三棱 锥的外接球相关问题的求解普遍 感觉困难，主要是因为不善于抓 住几何体的结构特征，不能正确 寻找球心和半径。
方法介绍
例 （江西改编）已知在三棱锥P-ABC中， PA PB, PB PC, PC PA,且PA 2PB 2PC 2 ， 求该三棱锥外接球的表面积。 A
关键是求出外接球的半径R
P
C
B
方法介绍
法一： 补形法
A
外接球半径等于长方体的 体对角线的一半
R= 6 , S 4 R2 6
2
A
2
2
P
1
C
1
P 1
1
C
B
B
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。
方法介绍
法二： 轴截面法
A Q
2
P
1
Cห้องสมุดไป่ตู้
1
D
B
基本步骤：
1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。
(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。
3．交通通讯变化的影响 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ，出行 方式转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。
(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活 多。姿多彩
2
A
A
C
B
1
C
1
B
R= 6 , V 4 R3 6
2
3
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
2
活学活用，开阔思维
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z P（0,0,2）
球心坐标（1, 3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法 活学活用，开阔思维
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z P（0,0,2）
球心坐标（1, 3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法 活学活用，开阔思维
学习小结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
练习1
P
P
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。