数字信号处理 第一章知识总结

数字信号处理第一章总结

1.1 引言 (3)

1.2 时域离散信号 (3)

1）离散信号： (3)

2）常用序列： .................................................................... 错误！未定义书签。

3）正弦序列： (3)

4）周期序列： (4)

1.3 时域离散系统 (4)

1.3.1 线性系统 (4)

1.3.2 时不变系统 (5)

1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 (5)

1.3.4 系统的因果性和稳定性 (5)

1.4 时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程 (6)

1.4.1线性常系数差分方程： (6)

1.4.2线性常系数差分方程的求解 (6)

1.5 模拟信号数字处理方法 (7)

摘要：信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为以维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。通常把信号看做时间的函数。实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。

关键词：模拟信号；等间隔采样；时域离散信号

1.1 引言

信号分为三类：1）模拟信号：自变量和函数值都是连续的。

2）时域离散信号：自变量离散，函数值连续。

它来源于对数字信号的采样。

3）数字信号：自变量和函数值都是离散的。

它是幅度化的时域离散信号。

1.2 时域离散信号

离散信号：模拟信号（时域连续）经过“采样”变成时域离散信号，公式是：

x(n)=x a (nT)，-∞＜n ＜∞

这里，x(n)称为时域离散信号，式中的n 取整数，显然，x （n ）是一串有序的数字的集合，因此时域离散信号也可以称为序列。

时域离散信号有三种表示方法：

（1）用集合符号表示序列

（2）用图形表示序列

（3）用公式表示序列

常用典型序列（时域离散信号）：

1）单位采样信号：0

001n ≠=⎩⎨⎧=n n ）（δ 2）单位阶跃信号：0001n u <≥⎩

⎨⎧=n n ）（

3)(n R N =u )(n -u )(N n -：（N 是矩形序列的长度）

实指数序列：a n x =)(n )(n u ，a 为实数。

3正弦序列：)s i n ()(n n x ω=，ω是“数字域频率”

如果正弦序列是由模拟信号)sin()(t t x a Ω=对比 两个)(n x 的表达式，可得

s s s F f F f F T ππω22==Ω=Ω=

（ω表示数字域频率，Ω和f 表示模拟角频率和模拟频率，s F 是采样频率） 由此公式得到以下结论：（进一步理解）

①上式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。

②数字域频率无绝对意义，因其与采样频率有关，采样频率变大时，数字域频率变小。

③因为采样频率s F ≥2倍的模拟频率f ，所以数字域ω不会超过π。

4） 周期序列：

如果对所有n 存在一个最小的正整数N ，是下面等式成立：

则称序列x(n)为周期性序列，周期为N 。

一般正弦序列的周期性：

， 要求

k

N 02ωπ=。式中，k 与N 均取整数，且k 取值只要保证N 是最小的正

整数，满足这些条件，正弦序列才是以N 为周期的周期序列。 具体正弦序列有以下三种情况：

(1)当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期的周期序列。 例：sin(π/8)n ， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16，该正弦序列周期为16。

(2) 2π/ ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ ω0 =P/Q ，式中P 、Q 是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P ，则正弦序列是以P 为周期的周期序列。

例：（此例考的可能性很大）sin(4/5)πn ，ω0 = (4/5)π，2π/ω0 = 5/2，k = 2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。（注意周期不是5/2，而是5，因为要保证周期N 为整数）

(3)2π/ω0是无理数，任何整数k 都不能使N 为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例：ω0 =1/4，sin(ω0n)，即不是周期序列。

1.3 时域离散系统

1.3.1 线性系统

系统的输入，输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。 线性系统要满足的条件：

（1） 可加性（2）比例性（齐次性）

证明是线性的时，要证明两个条件都满足才可以；

证明不是线性的时，只要一条不满足即可否定。

1.线性系统：满足叠加原理的系统。[()()][()][()]T ax n by n aT x n bT y n +=+ =n x )()(n x

2.时不变系统：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-

3.线性时不变系统

可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积）

()()*()y n x n h n =，()()()Y j X j H j ωωω=，()()()Y z X z H z =

4.因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定

线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =<

或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx

5.稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞

=-∞<∞∑，

()0,0h n n =< 或：H(z)的极点在单位园内

H(z)的收敛域满足：||,1x x z R R --><

1.3.2 时不变系统

判定步骤：

（1）看x(n)的输出 T[x(n)]

（2）看x(n-n0)的输出T[x(n-n0)]

（3）将y(n-n0)写出来

（4）判定T[x(n-n0)]是否等于y(n-n0)，如果等于就是时不变系统，不等于是时变系统。

1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系

掌握下图：

理解：系统输出等于输入与单位取样响应h(n)的卷积。

1.3.4 系统的因果性和稳定性

如果系统n 时刻的输出只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而和n 时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。 因果性充分必要条件：单位取样响应h(n)=0 (n<0) x (n )y (n )＝x (n ) h (n )

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