《高中数学》函数的最值大值与最小值

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新教材高中数学3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)函数的最大值、最小值教师用书人教A版必修一

第2课时函数的最大值、最小值问题导学预习教材P79－P81，并思考以下问题：1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？1．函数的最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． 2．函数的最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值． ■名师点拨函数最大值和最小值定义中的两个关键词(1)∃(存在)M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最小值是0，有f (0)＝0.(2)∀(任意)最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f (x )≤M (f (x )≥M )成立，也就是说，函数y ＝f (x )的图象不能位于直线y ＝M 的上(下)方．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)若函数f (x )≤1恒成立，则f (x )的最大值为1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×函数f (x )在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2 D.12，2 答案：C函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：选A.结合函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．解析：函数y ＝2x 2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x ∈N *，所以当x ＝1时，y min ＝2×12＋2＝4.答案：4图象法求函数的最值已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈（－∞，0），x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）.(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图象求出函数的最小值．【解】 (1)函数的图象如图所示．由图象可知f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间． (2)由函数图象可知，函数的最小值为f (0)＝－1.图象法求最值的一般步骤1．函数f (x )在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－2，f (2)B ．2，f (2)C ．－2，f (5)D ．2，f (5)解析：选C.由函数的图象知，当x ＝－2时，有最小值－2；当x ＝5时，有最大值f (5)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x （0≤x ≤2），2x －1（x >2），求函数f (x )的最大值和最小值．解：作出f (x )的图象如图．由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14.所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.利用函数的单调性求最值已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5]． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )是增函数．证明如下： ∀x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2），因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3，5]上为增函数，则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．[注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．(2019·福州检测)已知函数f (x )＝x 2＋1x.(1)判断函数f (x )在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； (2)求函数f (x )在[－3，－1]上的最大值．解：(1)函数f (x )在[－3，－1]上为增函数．理由：设－3≤x 1＜x 2≤－1，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 2x 1＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2，由－3≤x 1＜x 2≤－1可得x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，即有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，可得f (x )在[－3，－1]上为增函数． (2)因为函数f (x )在[－3，－1]上递增，所以f (x )的最大值为f (－1)，即为－2.函数最值的应用问题某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ，所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，8.2－x ，x >5，x ∈N . (2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减，所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大，最大利润为3.6万元．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大，最大利润是多少？(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)解：设摊主每天从报社买进x (180≤x ≤400，x ∈N )份晚报，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188，180≤x ≤400，x ∈N .因为函数y ＝－0.6 x ＋1 188在180≤x ≤400，x ∈N 上是减函数，所以x ＝180时函数取得最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元．1.函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)解析：选B.观察函数图象知，f (x )的最大值、最小值分别为f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. 2．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值解析：选D.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x <0），画出f (x )的图象可知(图略)，f (x )既无最大值又无最小值．3．若函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________．解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4. 答案：44．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1，2]上的值域．解：因为f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程为x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增．所以f (x )在[1，2]上递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21；当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. 所以f (x )在[1，2]上的值域为[21，49]．[A 基础达标]1．函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2D ．3解析：选B.函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1，2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.2．(2019·河南林州一中期末考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1－x 2＋2，x <1的最大值为( )A ．1B ．2C.12D.13解析：选B.当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.3．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C.当a ＞0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．函数f (x )＝2－3x在区间[1，3]上的最大值是________．解析：因为f (x )＝2－3x在[1，3]上为单调增函数，所以f (x )的最大值为f (3)＝2－1＝1.答案：16．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________．解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是直线x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3，解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：67．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_______m.解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值18.答案：38．求函数y ＝f (x )＝x 2x －3在区间[1，2]上的最大值和最小值．解：∀x 1，x 2，且1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22（x 1－3）（x 2－3）＝（x 2－x 1）[3（x 1＋x 2）－x 1x 2]（x 1－3）（x 2－3），因为1≤x 1<x 2≤2，所以2<x 1＋x 2<4，即6<3(x 1＋x 2)<12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0，x 1－3<0，x 2－3<0，故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数y ＝x 2x －3在区间[1，2]上为减函数，y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)若y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为x ∈[－5，5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值为1，当x ＝－5时，f (x )取得最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为直线x ＝－a . 因为f (x )在[－5，5]上是单调的，故－a ≤－5或－a ≥5.即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.[B 能力提升]10．设f (x )为y ＝－x ＋6和y ＝－x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值为________．解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，由图可知f (x )的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为6. 答案：611．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y )；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30，54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，才能获得最大的日销售利润．12．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调减函数； (2)求f (x )在[－3，3]上的最小值．解：(1)证明：∀x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调递减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上也是减函数，所以f (x )在[－3，3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3，3]上的最小值是－2.[C 拓展探究]13．请先阅读下面材料，然后回答问题．对应问题“已知函数f (x )＝13＋2x －x 2，问函数f (x )是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4，当＝1时，u 有最大值，u max ＝4，显然u 没有最小值．所以当x ＝1时，f (x )有最小值14，没有最大值． (1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．(2)试研究函数y ＝1x 2＋x ＋2的最值情况． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，试研究其最值的情况．解：(1)不正确．没有考虑到u 还可以小于0.正确解答如下：令u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4.当0＜u ≤4时，1u ≥14，即f (x )≥14；当u ＜0时，1u＜0，即f (x )＜0. 所以f (x )＜0或f (x )≥14. 即f (x )既无最大值，也无最小值．(2)因为x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74≥74，所以0＜y ≤47，所以函数y ＝1x 2＋x ＋2的最大值为47⎝⎛⎭⎪⎫当x ＝－12时，没有最小值． (3)对于函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c (a ＞0)．令u ＝ax 2＋bx ＋c ，①当Δ＞0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a＜0；当4ac －b 24a ≤u ＜0时.1u ≤4a 4ac －b 2，即f (x )≤4a 4ac －b 2；当u ＞0时，即f (x )＞0.所以f (x )＞0或f (x )≤4a 4ac －b 2，即f (x )既无最大值，也无最小值．②当Δ＝0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＝0，结合f (x )＝1u知u ≠0，所以u ＞0，此时1u＞0，即f (x )＞0， f (x )既无最大值，也无最小值．③当Δ＜0时，u 有最小值，u min ＝4ac －b 24a ＞0，即u ≥4ac －b 24a＞0. 所以0＜1u ≤4a 4ac －b 2，即0＜f (x )≤4a 4ac －b 2，所以当x ＝－b 2a 时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2，没有最小值．综上，当Δ≥0时，f (x )既无最大值，也无最小值．当Δ＜0时，f (x )有最大值4a 4ac －b 2，此时x ＝－ b 2a)，没有最小值．。

函数的极值与最大(小)值高中数学人教A版2019选择性必修第二册

极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极

小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，

所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，

f(x)有最小值f(-2)=− .

高中数学 1.3.1.2 第2课时函数的最大值、最小值课件新人教A版必修1

(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
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1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
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2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的最大值为 2，求 a 的值．解析：首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性：设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
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2．二次函数的最值二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线，当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2，当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
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3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大值为________．解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)，在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
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②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，

人教版高中数学第三册《函数的最大值和最小值(第1课时)》说课稿含教学设计

3.8函数的最大值和最小值（第1课时）人教版全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修Ⅱ）【教材分析】1．本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．2．教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值．3．教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．4．教学关键本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标：1．知识和技能目标（1）理解函数的最值与极值的区别和联系．（2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值．（2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处．（3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值．3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用．本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．【学法指导】对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈回授”四个环节进行组织．题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．cm用此薄板折要分别,且不大于体积来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．2．如图为连续函数f(x)的图象：60cm用此薄板折要分别,不大于体积? 课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．游建龙。

高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题

高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题：例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

函数的最大值、最小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件

第函三数章的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【必新修教第材一】册人优教秀A版p（ pt2课01件9）高中数学必修第一册课件(共 88张PP T) 第函三数章的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【必新修教第材一】册人优教秀A版p（ pt2课01件9）高中数学必修第一册课件(共 88张PP T)
第三章 3.2.1 第2课时函数的最大值、最小值-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 88张PP T) 第三章 3.2.1 第2课时函数的最大值、最小值-【新教材】人教 A版（2 019）高中数学必修第一册课件(共 88张PP T)
第函三数章的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【必新修教第材一】册人优教秀A版p（ pt2课01件9）高中数学必修第一册课件(共 88张PP T) 第函三数章的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【必新修教第材一】册人优教秀A版p（ pt2课01件9）高中数学必修第一册课件(共 88张PP T)
第函三数章的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【必新修教第材一】册人优教秀A版p（ pt2课01件9）高中数学必修第一册课件(共 88张PP T) 第函三数章的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【必新修教第材一】册人优教秀A版p（ pt2课01件9）高中数学必修第一册课件(共 88张PP T)

人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件

根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.

人教版高中数学必修一《函数的最大值、最小值》PPT教学课件

3 f2.
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第三章函数的概念与性质
2．设定义在 R 上的函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)( ) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值解析：选 D.f(x)＝x－2（x2x（≥x0<）0），，画出 f(x)的图象可知(图略)， f(x)既无最大值又无最小值．
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第三章函数的概念与性质
■名师点拨函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)∃(存在) M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数 y＝ x2(x∈R)的最小值是 0，有 f(0)＝0. (2)∀(任意) 最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤ M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数 y＝f(x)的图象不能位于直线 y＝M 的上(下)方．
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第三章函数的概念与性质
(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？【解】 (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x，所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.25x，－x2∈.8N，. 0≤x≤5，x∈N，
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第三章函数的概念与性质
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________．解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数，所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14，所以 b＝4. 答案：4
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第三章函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
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高中数学选择性必修二第5章 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值

综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；当a＝0时，f(x)的最小值为0；当 a<0 时，f(x)的最小值为257a3.
延伸探究当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值.
解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令 f′(x)＝0，得 x1＝－a3<x2＝a. 所以 f(x)在－a，－a3上单调递增，在－a3，a上单调递减，在[a,2a]上单调递增. 因为 f(－a)＝－a3，f －a3＝257a3，f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3.
解决最优问题应从以下几个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域. (2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.
跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
解 f′(x)＝6－32x＋40502，令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6. 解得 x1＝5，x2＝－235(舍去). 当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元.

高中数学函数的最大值与最小值完美版PPT资料

(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.
(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.
f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.
f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1)
=-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6a 6.
高中数学函数的最大值与最小值
一、复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是: ①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.
延伸1:大设值32 为a1,最1 ,函小数值为f(x )6 x,3求2 3 常a数2x a,b b( . 1x1)的最
2
解:令 f(x)3x23a x0得x=0或a.
当x变化时, f (x),f(x)的变化情况如下表: V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
这里所说的也适用于开区间或无穷区间.
22
3
延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.

高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第二课时函数的最大(小)值》课件

因为－1＜x1＜x2⇒x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，所以 f(x1)－f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)，所以 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增，所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53，最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
A．－1,0
B．0,2
()
C．－1,2
D.12，2
解析：由图可知，f(x)的最大值为 f(1)＝2，f(x)的最小值为 f(－2)＝－1. 答案：C
3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，
[微思考] 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值．
()
(2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素．
(2)当 a＝1 时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为 x＝12. ①当 t≥12时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以 f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1； ②当 t＋1≤12，即 t≤－12时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以 f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1； ③当 t<12<t＋1，即－12<t<12时，函数 f(x)在t，12上单调递减，在12，t＋1上单调递增，所以 f(x)min＝f12＝34.

高中函数的最大值和最小值怎么求

高中数学中函数的最大值和最小值求解方法
在高中数学中，函数的最大值和最小值是关于函数在定义域内取得的最大和最小值。

为了求解函数的最大值和最小值，我们需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍几种常见的方法：
寻找导数为零点
对于连续可导的函数，其极值点通常出现在导数为零的点。

因此，我们可以通过对函数求导并解方程找到函数的最大值和最小值。

具体步骤如下：
1.求出函数的导数。

2.解方程求出导数为零的点。

3.确定这些点中哪些是最大值，哪些是最小值。

利用一元二次函数的性质
当函数为一元二次函数时，可以利用一元二次函数的性质来求得最大值和最小值。

一元二次函数通常具有一个顶点，顶点处即为函数的最大值或最小值。

求解方法如下：
1.将一元二次函数表示为标准形式。

2.根据顶点公式，求出顶点的横坐标。

3.将横坐标代入函数中，求出最大值或最小值。

利用函数的性质
有些函数具有特定的性质，例如指数函数、对数函数等。

针对这些特定函数，我们可以利用其性质来求解最大值和最小值。

以指数函数为例，指数函数具有非负性，因此最小值为0。

对数函数则要求底数大于1才有定义，因此最小值为正数。

综上所述，求解函数的最大值和最小值是高中数学中的一个重要知识点。

通过掌握导数为零点、一元二次函数的性质以及函数的特性，我们可以灵活应用不同的方法来解决函数最大值和最小值的问题。

希望通过这些方法的介绍，读者能够更好地理解和掌握这一知识点。

新教材高中数学第三章函数的最大值最小值课件新人教B版必修第一册ppt

3．已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈（[－2，1，5]2，]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像． (2)由图像指出函数 f(x)的最值点，求出最值．
【解析】(1)由题意，当 x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；当 x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；所以，函数 f(x)的图像如图所示：
能力形成·合作探究类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)
1．(2021·太原高一检测)如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的是( ) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2
(1)函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间－∞，－2ba 上是减函数，在区间－2ba，＋∞ 上是增函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最小值． (2)函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)在区间－∞，－2ba 上是增函数，在区间－2ba，＋∞ 上是减函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最大值．
5（x2－x1）所以Δf（Δxx）＝（x1＋1x）2－（x1x2＋1）＝（x1＋1）5（x2＋1） . 因为 x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（Δxx） >0，所以函数 f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)求函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．【思路导引】由第(1)问可知 f(x)在[2，9]上是增函数⇒ f(2)是最小值，f(9)是最大值【解析】由(1)知函数 f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值为 f(9)＝2×9＋9－13 ＝32 ，最小值为 f(2)＝2×2＋2－13 ＝13 .

高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用函数的极值与最大(小)值课件

极值判别
费马定理告诉我们，可微函数的极值点一定是稳
定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一定是水平的. 我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提条件，费马定理的结论 f ( x ) 0 就无从说起.
后退前进目录退出
极值判别
当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意的可微函数 ( x ) , (0) 0,
极值判别
( 2) a 0
2a x ( , ) 5 2a 5 0
3 2 5 a3 5 5
2 3
y

2a 0 ( , 0) 5 不存在
减
极小值
2 3
(0, )

增
y
增
a 2a 2 5 2 3 是极大值点, f a 3 即 x 5 5 5 5
证根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i) 的证明.
极值判别
因为 f ( x ) 0 , x ( x0 , x0 ) , f ( x ) 在 ( x0 , x0 ]
上连续，故所以 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上递减，
f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
同理可证 f ( x ) 在 [ x0 , x0 ) 上递增,故
f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
于是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x0 ) f ( x ) , x U ( x0 ; ) ,
f ( x ) 2 x 432 . 2 x 令 f ( x ) 0, 得x 6 . 又因为

新人教版高中数学必修一函数的最大值最小值课件

－m2－15，0≤m≤2.
本例的条件不变，试求函数 g(x)的最大值．
【解析】当 m≤1 时，g(x)max＝g(2) ＝－4m－11；
当 m>1 时 g(x)max＝g(0)＝－15. 综上所述，g(x)max＝－－415m，－m11>，1. m≤1，
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为 x＝m 为例，区间为[a，b] ，则有
函数 f(x)＝－x2 的定义域为 R，存在实数 1，∀ x∈R，都有 f(x)≤1.那么 1 是函数 f(x)＝－x2 的最大值吗？为什么？
提示：不是．因为不存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝－x20 ＝1.
1．任何函数都有最大值、最小值吗？ 2．如果函数有最大值，那么最大值是唯一的吗？
3．如果一个函数 f(x)是区间[a，b] 上的减函数，那么函数的最大值是 f(a) 还是
月产量． (1)将利润表示为关于月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
【问题 1】要求公司所获利润最大，需要研究函数的哪个性质？【问题 2】对于函数 R(x)，要求函数的最值需要用到什么知识？【问题 3】我们学习过哪些求二次函数最值的方法？
点拨：考查对称轴与区间的关系．
不含参数的最值问题首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系， (1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到； (2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得．
含参数的最值问题【典例】已知 g(x)＝x2－2mx－15，求函数 g(x)在 x∈[0，2]上的最小值．
2 3 ，当且仅当－x＝－3x ，x＝－ 3 时等号成立．所以函数 f(x)＝x＋x3 的值域为(－∞，－2 3]

高中数学知识点精讲精析最大值,最小值问题

2.2 最大值，最小值问题1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,1．求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值和最小值。

【解析】)3)(1(3963)(2-+=+-='x x x x x f令0)(='x f ，得3,121=-=x x ，由于15)4(,3)2(,22)3(,10)1(-==--==-f f f f所以，)(x f 在在]4,2[-上的最大值是10)1(=-f ，最小值是22)3(-=f 。

2．已知某商品的需求函数为x Q 1001000-=，从成本函数为Q C 31000+=。

函数的极值与最大(小)值课件

间上的正负，并得出f (x)单调性与极值；
（4）确定f (x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出f (x)的大致图象.
问题：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的
要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？
(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
如何求函数的极值
函数的最值
如何画函数的大致图像
回顾与小结
1.求函数 y =f(x)的极值的方法：
解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时，
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值.
什么性质呢？
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图，
我们发现，当t =a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
h
h(a) 0
单调递增
h(t ) 0
0
a b
t
单调递减
h(t ) 0
探究新知
问题2: 对于一般的函数y=f (x) ，是否具有同样的性质？
追问1：如图，函数y=f (x)在 x = a, b,c, d, e 等点的函数值与
回顾与小结
高二级—人教A版—高中数学—第五章
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
复习回顾
1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减.