《高中数学》函数的最值大值与最小值
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解(1又)原导函函数数的 f (定x)义 域3x为R2; 6x 9,令f ( x) 0,则x2 2x 3 0 解 得x 1或x 3
故 函 数f ( x)的 单 调 递 减 区 间 为(,1), (3,).
(2) f (2) a 2, f (2) a 22
f (2) f (2) 又 在(1,3)上f ( x) 0, f ( x)在[1,2]上 单 调 递 增
2.求连续函数f(x)在[a , b](闭区间)上的最值： (1)先求 f(x) 在(a , b) (开区间)内的极值； (2)再将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)比较 ； 其中最大的是最大值，最小的是最小值.
3.函数的最值一般分为两种特殊情况： (1)若函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间).
示例3、要生产一批带盖的圆柱形铁桶, 要求每
个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径 才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？
评：①已知、未知量的设取;
与未知量的取代途径;
②注意字母不可无中生有， 强调出其意义;
R
h
课堂小结
1、实际应用问题的解题思路:
5 (2)函 数f ( x) ln(1 x)在[5, 1 ]上 取 最 大 值 时, x的 值 为_____; 2
0 (3)函 数f ( x) sin2x 1在[ , ]上 的 最 大 值 为_____,
2 2 2
最 小 值 为______;其 值 域 为__[__2__,0__]__;
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，
f (b)是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值).
y 观察图示
y 观察图示
yf(x )
yf(x )
Oa
b xO a
bx
3.函数的最值一般分为两种特殊情况： (2)若连续函数在区间(a, b)内有且仅有一个极 大(小)值，而无极小(大)值，则此极大 (小)值即是 函数在区间[a, b]上的最大(小)值。
举例：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关
系式为 C(q) 3q2 10 ，我们来研究当q＝50时，
边际成本
一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C
＝比刻划C（.Cq如q果）C，(q当0q无产限量qq)趋为近qC0(于时q00，)时产，量Cq变无化限对趋成近本于的常影数响A可，用经增济量学上
称A为边际成本. 它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出 成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.
去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一 个无盖的方底箱子,求当箱底边长为多少时,箱子 容积最大？最大容积是多少？
x
60 x
x x
60
说明:
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义;
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较, f ( x0 )即是所求的最大值或最 小值.
(4)求f (x) 100 x2 , x [6,8]的值域为_[_6__,1__0_]__;
练习3
试 求 函 数f ( x)
1
x3
4x
4在 区 间[0,3]上 的 最 值.
3
解题示例
示 例1已 知 函 数f ( x) x 3 3x 2 9x a (1)求f ( x)的 单 调 递 减 区 间; (2)若f ( x)在 区 间[2,2]上 的 最 大 值 是20,求f ( x)在 该 区 间 上 的 最 小.值
则f(x)min= -71 ; 当x= 0 时，则f(x)max= 1 .
3y cos x 1 cos 2x(0 x )的 最 大 值 是
2
3 2
；
最小值是
3 4
.
练习2、
5 1 (1)函 数f ( x) x2 1在[1,2]上 的 最 大 值 为___,最 小 值 为___;
其 值 域 为_[_1_,5__]_;
苏教高中数学选修2-2
2020年6月7日星期W
复习提问：
1.极值与最值的关系:
(1)函 数 的 极 值 是 函 数 在 一点 附 近 的 情 况,是 局 部 函 数 值 的 比 较; 函 数 的 最 值 是 函 数 在 定义 域 上 的 情 况,是 对 函 数 在 整 个 定 义 域 上 所 有 函 数 值 的 比 较; (2)极 值 不 一 定 是 最 值,需 要 将 极 值 和 区 间 端 点 的 函 数 值 比 较, 或 者 考 查 函 数 在 区 间 上 的 单 调 性 再 下 结 论 ；
由f ( x)在[2,1]上 单 调 递 减, 则f (2)、f (1)为 区 间 上 的 最 大 值 与 最 小 值;
即a 22 20, 解 得a 2,故f ( x) x 3 3x 2 9x 2
f (1) 7,即函数f ( x)在区间[2,2]上的最小值为 7.
示例2.今在边长为60cm的正方形铁皮的四角切
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质. 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解.
2、求最大（最小）值应用题的一般方法:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,把实际问题化为数 学问题,建立函数关系式,这是关键一步.
(2)确定函数定义域,并求出极值点. (3)比较各极值与定义域端点函数的大小,结合实际,确 定最值或最值点.
y 观察图示
y 观察图示
yf(x )
yf(x )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱOa
f(x0)
x0
b xO a
f(x0)
x0
bx
练习1(1)下列说法正确的是( A )
A.若函数只有一个极值,则此极值一定是最值 ； B.函数若有两个极值则均是最值； C.若函数有最值则一定有极值； D.若函数有极值则它一定有最值;
(2)求f(x)=x3-3x2+6x+1在区间[-3,0]上,当x= -3 时，
(3)函 数 的 极 值 可 以 有 多 个, 而 函 数 的 最 大(小)值 最 多 只 有 一 个 ；
(4)若 连 续 函 数 在 开 区 间(a,b)内 只 有 一 个 极 值 点,则 极 大 值 即 为 最 大 值, 极 小 值 即 为 最 小 值;
(5)函数在闭区间上的最值只能在极值点处或端点处取得.
故 函 数f ( x)的 单 调 递 减 区 间 为(,1), (3,).
(2) f (2) a 2, f (2) a 22
f (2) f (2) 又 在(1,3)上f ( x) 0, f ( x)在[1,2]上 单 调 递 增
2.求连续函数f(x)在[a , b](闭区间)上的最值： (1)先求 f(x) 在(a , b) (开区间)内的极值； (2)再将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)比较 ； 其中最大的是最大值，最小的是最小值.
3.函数的最值一般分为两种特殊情况： (1)若函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间).
示例3、要生产一批带盖的圆柱形铁桶, 要求每
个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径 才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？
评：①已知、未知量的设取;
与未知量的取代途径;
②注意字母不可无中生有， 强调出其意义;
R
h
课堂小结
1、实际应用问题的解题思路:
5 (2)函 数f ( x) ln(1 x)在[5, 1 ]上 取 最 大 值 时, x的 值 为_____; 2
0 (3)函 数f ( x) sin2x 1在[ , ]上 的 最 大 值 为_____,
2 2 2
最 小 值 为______;其 值 域 为__[__2__,0__]__;
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，
f (b)是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值).
y 观察图示
y 观察图示
yf(x )
yf(x )
Oa
b xO a
bx
3.函数的最值一般分为两种特殊情况： (2)若连续函数在区间(a, b)内有且仅有一个极 大(小)值，而无极小(大)值，则此极大 (小)值即是 函数在区间[a, b]上的最大(小)值。
举例：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关
系式为 C(q) 3q2 10 ，我们来研究当q＝50时，
边际成本
一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C
＝比刻划C（.Cq如q果）C，(q当0q无产限量qq)趋为近qC0(于时q00，)时产，量Cq变无化限对趋成近本于的常影数响A可，用经增济量学上
称A为边际成本. 它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出 成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.
去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一 个无盖的方底箱子,求当箱底边长为多少时,箱子 容积最大？最大容积是多少？
x
60 x
x x
60
说明:
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义;
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较, f ( x0 )即是所求的最大值或最 小值.
(4)求f (x) 100 x2 , x [6,8]的值域为_[_6__,1__0_]__;
练习3
试 求 函 数f ( x)
1
x3
4x
4在 区 间[0,3]上 的 最 值.
3
解题示例
示 例1已 知 函 数f ( x) x 3 3x 2 9x a (1)求f ( x)的 单 调 递 减 区 间; (2)若f ( x)在 区 间[2,2]上 的 最 大 值 是20,求f ( x)在 该 区 间 上 的 最 小.值
则f(x)min= -71 ; 当x= 0 时，则f(x)max= 1 .
3y cos x 1 cos 2x(0 x )的 最 大 值 是
2
3 2
；
最小值是
3 4
.
练习2、
5 1 (1)函 数f ( x) x2 1在[1,2]上 的 最 大 值 为___,最 小 值 为___;
其 值 域 为_[_1_,5__]_;
苏教高中数学选修2-2
2020年6月7日星期W
复习提问：
1.极值与最值的关系:
(1)函 数 的 极 值 是 函 数 在 一点 附 近 的 情 况,是 局 部 函 数 值 的 比 较; 函 数 的 最 值 是 函 数 在 定义 域 上 的 情 况,是 对 函 数 在 整 个 定 义 域 上 所 有 函 数 值 的 比 较; (2)极 值 不 一 定 是 最 值,需 要 将 极 值 和 区 间 端 点 的 函 数 值 比 较, 或 者 考 查 函 数 在 区 间 上 的 单 调 性 再 下 结 论 ；
由f ( x)在[2,1]上 单 调 递 减, 则f (2)、f (1)为 区 间 上 的 最 大 值 与 最 小 值;
即a 22 20, 解 得a 2,故f ( x) x 3 3x 2 9x 2
f (1) 7,即函数f ( x)在区间[2,2]上的最小值为 7.
示例2.今在边长为60cm的正方形铁皮的四角切
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质. 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解.
2、求最大（最小）值应用题的一般方法:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,把实际问题化为数 学问题,建立函数关系式,这是关键一步.
(2)确定函数定义域,并求出极值点. (3)比较各极值与定义域端点函数的大小,结合实际,确 定最值或最值点.
y 观察图示
y 观察图示
yf(x )
yf(x )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱOa
f(x0)
x0
b xO a
f(x0)
x0
bx
练习1(1)下列说法正确的是( A )
A.若函数只有一个极值,则此极值一定是最值 ； B.函数若有两个极值则均是最值； C.若函数有最值则一定有极值； D.若函数有极值则它一定有最值;
(2)求f(x)=x3-3x2+6x+1在区间[-3,0]上,当x= -3 时，
(3)函 数 的 极 值 可 以 有 多 个, 而 函 数 的 最 大(小)值 最 多 只 有 一 个 ；
(4)若 连 续 函 数 在 开 区 间(a,b)内 只 有 一 个 极 值 点,则 极 大 值 即 为 最 大 值, 极 小 值 即 为 最 小 值;
(5)函数在闭区间上的最值只能在极值点处或端点处取得.