专题二.函数双变量问题

专题一. 函数()1,0log ≠>=a a x y a 的性质

一、 研究函数()1,0log ≠>=a a x y a 的图像和性质 二、 典例分析

例1.设函数()x x f lg =，若b a <<0，且()()b f a f >，求证：1

例2.若函数()x x f 2log =的定义域为[]b a ,，值域为[]2,0，则a b -的最小值为

例3.已知函数()x x f 2log =,正实数n m ,满足n m <,且()()n f m f =,若()x f 在[]

n

m ,2

上的最大值为2，则=+n m

例4.已知函数()x x f lg =,()0>>b a ,()()b f a f =,则b

a b a -+2

2的最小值等于

专题二. 函数()x

x

x f ln =

的性质及应用 一. 研究函数()x

x

x f ln =的图象和性质.

二、典例分析

例1. 已知函数()1>=a a y x

的定义域与值域均为[]n m ,()n m <，则实数a 的取值围为

例2. 事实证明，存在正实数()b a b a <, 使得a

b b a =,请你写出所有符合条件的a 的取值

围 .

例3. 对于函数()x f y =，若存在[]b a ,，当[]b a x ,∈时的值域为[]kb ka ,()0>k ，则称

()x f y =为“k 倍值函数”. 若()x x x f +=ln 是“k 倍值函数”，则实数k 的取值围是

例4. 若不等式x e a

x >对于任意实数x 恒成立，则实数a 的取值围是

例5. 已知a ex x x

x

+-=2ln 2有实数解，数a 的取值围

例6.（2014 卷）π为圆周率， 71828.2=e 为自然对数的底数.求3

3

,3,,,3,ππππe e

e e 这六个数的最大数与最小数.

专题三. 函数()()

x x x f a ±+=1log 2的性质

一、研究函数()(

)

1ln 2++=x x x f 的图像和性质

二、典例分析

例1. 求函数()()

[]2,2,1ln 2-∈++=x x x x f 的最大值和最小值.

例2. 函数()(

)

[]k k x x x x f ,,1ln 2-∈++=，0>k 的最大值和最小值分别为M 和m ，

则=+m M

例3. 判断函数()()

1

1

31ln 2

+++++=x x e e x x x f ，[]()0,>-∈k k k x

的最大值和最小值分别为M 和m ，则=+m M

例4. 判断函数()()

1391ln 2+-+=x x x f ，则()=⎪⎭

⎫

⎝⎛+21lg 2lg f f

例5.（2015全国卷I ）若函数()()

2ln x a x x x f ++=为偶函数，则=a

例6. 设函数()()

32

11ln 2

+-+=x e x x f x ，[]()0,>-∈t t t x ，若函数的最大值是M ，最小值是m ，则=+m M

例7. 设函数()(

)

1log 223++

+=x x x x f ，则对任意实数b a ,，

“0≥+b a ”是“()()0≥+b f a f ”的 . （填“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”或“既不充分也不必要条件”）

专题四. 双变量问题

实例1. 2016届高三月考雅礼卷（六）

21. 设函数()x a x

x x f ln 1

--

=. （1）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()x f 在定义域上为增函数，数a 的取值围； （3）在（2）的条件下，若函数()e

x x x h 1

ln --=，[]e x x ,1,21∈∃使得()()21x h x f ≥成立，数a 的取值围.

实例2. 2016年附中七（2016年3月） 12. 已知函数()()0ln >-=a a

x

x x f ，若R x ∈∃0，使得[]2,11∈∀x 都有()()01x f x f <，则实数a 的取值围是（ ）

()1,0.A ()2,1.B ()+∞,2.C ()()+∞,21,0. D

暑假理数培优 奋斗的青春最美丽

【拓展训练】

1.已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+≤≤+-=1

2

1,1210,12161

3x x x x x x f 和函数()()016sin >+-⎪⎭

⎫

⎝⎛=a a x a x g π

若存在[]1,0,21∈x x ，使得()()21x g x f =成立，则a 的取值围是

拓展1：“存在=存在”型：

2. 已知函数()x x x f 2-

=和函数()()0252

cos >-+=a a x

a x g π. 若[]2,11∈∀x ，[]1,02∈∃x ，使得()()12x f x g =，则a 的取值围是

3. 设函数()32

3

--=x x x f ，()x x x a x g ln +=

，如果⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈∀2,21,21x x ， 都有()()21x g x f ≤成立，求a 的取值围.

若2211,D x D x ∈∃∈∃，使得()()21x g x f = Φ≠⇔B A 其中A 为函数()x f 在1D 上的值域， B 为函数()x g 在2D 上的值域. 拓展2：“任意=存在”型

2211,D x D x ∈∃∈∀，使得()()21x g x f =B A ⊆⇔, 其中A 为函数()x f 在1D 上的值域，B 为函数()x g 在2D 上的值域. 拓展3：“任意()≤≥任意”型 对2211,D x D x ∈∀∈∀都有()()21x g x f >成立 ()()max min x g x f >⇔()()max x g x f >⇔()()x g x f >⇔min 推广：对2211,D x D x ∈∀∈∀都有()()k x g x f >-21 ()()k x g x f >-⇔max min ()()[]k x g x f >-⇔min 21