高中数学必修5常考题型：数列求和(复习课)

数列求和(复习课)【知识梳理】1．公式法(分组求和法)如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：①1n(n＋k)＝1k·(1n－1n＋k)；②若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；③1n＋1＋n＝n＋1－n等．3．错位相减法若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．4．倒序相加法如果一个数列{a n}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法．【常考题型】题型一、分组转化法求和【例1】已知数列{c n}：112，214，318，…，试求{c n}的前n项和．[解] 令{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝112＋214＋318＋…＋⎣⎡⎦⎤n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎣⎡⎦⎤12＋14＋18＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n (n ＋1)2＋1－⎝⎛⎭⎫12n . 即数列{c n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n 2＋1－⎝⎛⎭⎫12n . 【类题通法】当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n 项和等于拆分成的每个数列前n 项和的和．【对点训练】1．求和：S n ＝3＋33＋333＋…＋3333n 个.解：数列3,33,333，…，3333n 个的通项公式a n ＝13(10n －1)． ∴S n ＝13(10－1)＋13(102－1)＋…＋13(10n －1) ＝13(10＋102＋…＋10n )－n 3＝13×10(1－10n )1－10－n 3 ＝1027(10n －1)－n 3. 题型二、错位相减法求和【例2】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解](1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，所以a n ＝4n －1，n ∈N *.由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *，所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1,2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n ，所以2T n －T n ＝(4n －1)2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5，n ∈N *.【类题通法】如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．【对点训练】2．已知a n ＝n 3n ，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：S n ＝13＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ， 13S n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n 3n ＋1，两式相减得23S n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝12－12×3n －n 3n ＋1， ∴S n ＝34－14×3n －1－n 2×3n ＝34－2n ＋34×3n. 题型三、裂项相消法求和【例3】 已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . [解](1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，∴a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2， ∴a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1). ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 【类题通法】裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的．利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致．【对点训练】3．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，且b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 解：a n ＝1n ＋1(1＋2＋…＋n )＝n 2， ∵b n ＝2a n ·a n ＋1， ∴b n ＝2n 2·n ＋12＝8(1n －1n ＋1)， ∴数列{b n }的前n 项和为S n ＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝8(1－1n ＋1)＝8n n ＋1. 【练习反馈】1．已知a n ＝(－1)n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( )A ．1,1B ．－1，－1C ．1,0D ．－1,0解析：选D S 9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S 10＝S 9＋a 10＝－1＋1＝0.2．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( )A.14B.512C.34D.712解析：选B 依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫111－112＝12－112＝512，故选B. 3．求和：S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋1＋12＋14＋18＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1＝________. 解析：被求和式的第k 项为：a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k 1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . 所以S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2⎣⎡⎦⎤n －⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2⎣⎡⎦⎤n －⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2n ＋12n －1－2. 答案：2n ＋12n －1－2 4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于________． 解析：a n ＝2n －12n ＝1－12n ∴S n ＝n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164＝5＋164， ∴n ＝6.答案：65．已知等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝512.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)a 5a 2＝5128＝64＝q 3， ∴q ＝4.∴a n ＝a 2·4n －2＝8×4n －2＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ×22n －1知S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ×22n －1①， 从而22×S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ×22n ＋1②，①－②得(1－22)×S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ×22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。