关于专插本高等数学知识点和例题
专转本高数知识点整理
专转本高数知识点整理一、函数。
1. 函数的概念。
- 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。
如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y = f(x)，x∈ D。
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。
- 函数的两要素：定义域和对应法则。
2. 函数的性质。
- 单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。
- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。
- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
3. 反函数。
- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。
如果对于W中的每一个y值，在D中有且只有一个x值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。
习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。
二、极限。
1. 极限的定义。
- 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。
- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。
广东专插本18版—高数习题解析
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专升本高数全知识点
专升本高数全知识点一、知识概述《专升本高数全知识点》①基本定义：高等数学就是大学数学，主要研究函数、极限、导数、积分这些东西。
函数就像是一个有输入和输出的“魔法盒子”，你给它一个数，它按照一定规则给你一个结果。
极限有点像你一直朝着一个地方走，快到目的地但还没到那个确切的点时候的情况。
导数呢，就是函数在某一点变化的快慢程度，就像汽车在某个瞬间的速度。
积分和导数相反，就像是知道速度求路程这样。
②重要程度：在专升本学科里那可是相当重要的。
很多专业都要考，而且是筛选人才的重要部分。
高数好的话，在理工科专业学习起来就会很顺利。
③前置知识：你得对基本的代数知识很熟悉，像一元二次方程这些。
还有函数的概念也要清楚，比如一次函数、二次函数的图像性质等。
④应用价值：在工程领域可以用来计算结构强度，在经济领域可以做成本效益分析之类的。
比如说盖房子的时候，通过高数能算出怎么设计结构能承受更大压力。
二、知识体系①知识图谱：整个高数体系像一棵大树，函数是树根，极限是树干，导数和积分就是树枝和树叶。
导数和积分又各自有很多分支。
②关联知识：函数和极限密切相关，有函数才有极限概念。
导数是从极限发展来的，积分又和导数是逆运算关系。
③重难点分析：重难点有极限的计算（有时候要用到很多复杂技巧）、导数的复合函数求导、积分的换元积分法。
关键是要理解概念然后多做练习才能掌握。
④考点分析：在考试里每个部分都可能考。
选择题会考查基本概念，计算题就着重极限、导数、积分的计算等。
应用题可能会把高数知识用在实际场景下考查。
三、详细讲解【理论概念类- 函数】①概念辨析：函数就是一种对应关系，一个自变量x能通过某种法则找到唯一对应的因变量y。
就像每个人（x）对应着自己唯一的身份证号（y）。
②特征分析：主要特征就是有定义域（x能取的值的范围）和值域（y 能取的值的范围）。
单值性是很重要的一点，就是一个x只能对应一个y。
③分类说明：有初等函数像多项式函数（如y = x²+1）、三角函数（如y = sinx）等，还有分段函数，就是在不同区间有不同表达式的函数。
河北省专接本数学-----考点知识大全-.
1河北省专接本数学考点知识大全第一部分一、初等代数1. 一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）， ⑴ 根的判别式24b ac ∆=-当0∆>时，方程有两个相异实根；当0∆=时，方程有两个相等实根； 当0∆<时，方程有共轭复根。
⑵ 求根公式为1,22b x a-±=2⑶ 韦达定理 12b x x a +=-；12c x x a⋅=. 2. 对数运算性质（0a >，1a ≠）⑴ 若ya x =，则log a y x =；⑵ log 1a a =，log 10a =，ln 1e =，ln10=； ⑶ log ()log log a a a x y x y ⋅=+； ⑷ log log log aa a xx y y=-；⑸ log log b a a x b x =； ⑹ log a xax =，ln x e x = ⑺ log log log b a b xx a=. 3. 指数运算性质 ⑴mnm na a a+⋅=， ⑵m m n n a a a-= ⑶()n m n ma a ⋅=；⑷()n n na b a b ⋅=⋅； ⑸nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑹mn a =⑺01a =； ⑻1mm aa-=. 4.常用不等式及其运算性质3⑴若a b >，则①a c b c ±>±， c a c b -<-； ②ac bc >（0c >）， ac bc <（0c <）； ③a b c c >（0c >）， a bc c<（0c <）； ④nna b >（0n >，0a b >>），nna b <（0n <，0a b >>）；>n 为正整数，0a b >>）. ⑵绝对值不等式设a ，b 为任意实数，则 ①||||||||||a b a b a b -≤±≤+；②||a b ≤（0b >）等价于b a b -≤≤，特别||||a a a -≤≤； ③||a b ≥（0b >）等价于a b ≥或a b ≤-； ⑶某些重要不等式①设a ，b 为任意实数，则222a b ab +≥；②设1a ，2a ，…，n a 均为正数，n 为正整数，则412na a a n+++≥5.常用二项式展开及因式分解公式⑴ ()2222a b a ab b +=++； ⑵ ()2222a b a ab b -=-+；⑶ ()3322333a b a a b ab b +=+++；⑷ ()3322333a b a a b ab b -=-+-；⑸ ()()22a b a b a b -=+-； ⑹ ()3322()a b a b a ab b -=-++；⑺ ()3322()a b a b a ab b +=+-+；⑻ ()123221()nnn n n n n a b a b aa b a b ab b ------=-+++++；5. 牛顿二项式展开公式（n 为正整数）01122211())n n n n k n k k n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C ab C b -----+=+++++++.其中组合系数(1)(2)(1)!kn n n n n k C k ---+=，01n C =，1nn C =.56. 常用数列公式⑴等差数列：1a ，1a d +，1a 2d +，…，1a (1)n d +-.首项为1a ，第n 项为1(1)n a a n d =+-，公差为d ，前n 项的和为1111()(2)[(1)]n s a a d a d a n d =+++++++-1()(1)22n a a nn n na +⋅-=+=. ⑵等比数列：1a ，1a q ，21a q ，…，11n a q-.首项为1a ，公比为q ，前n 项的和为2111111(1)1n n n a q s a a q a q a qq--=++++=-.7. 一些常见数列的前n 项和⑴(1)1232n n n +++++=； ⑵2135(21)n n ++++-=；⑶2222(1)(21)1232n n n n ++++++=；6⑷23333(1)1232n n n +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦； ⑸111111122334(1)1n n n ++++=-⋅⋅⋅++.8.阶乘!(1)(2)21n n n n =--⋅.二、平面三角1.基本关系⑴22sin cos 1x x +=； ⑵221tan sec x x +=； ⑶221cot csc x x +=； ⑷sin tan cos x x x =； cos cot sin x x x =； 1sec cos x x =；1csc sin x x=. 2.倍角公式⑴sin 22sin cos x x x =；⑵2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1x x x x x =-=-=-； ⑶22tan tan 21tan xx x=-.73.半角公式⑴21cos sin22x x-=； ⑵21cos cos 22x x +=； ⑶1cos tan 2sin x x x-=.4.和角公式⑴sin()sin cos cos sin x y x y x y +=+； ⑵sin()sin cos cos sin x y x y x y -=-； ⑶cos()cos cos sin sin x y x y x y +=-； ⑷cos()cos cos sin sin x y x y x y -=-；⑸tan tan tan()1tan tan x yx y x y++=-.5.和差化积公式⑴sin sin 2sincos 22x y x yx y +-+=； ⑵sin sin 2cos sin 22x y x yx y +--=；8⑶cos cos 2cos cos22x y x yx y +-+=； ⑷cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=-. 6.积化和差公式⑴1sin cos [sin()sin()]2x y x y x y =++-； ⑵1cos sin [sin()sin()]2x y x y x y =+--；⑶1cos cos [cos()cos()]2x y x y x y =++-；⑷1sin sin [cos()cos()]2x y x y x y =-+--.9三、初等几何下面初等几何公式中，字母r 表示圆半径，h 表示高，l 表示斜高，θ表示角度。
2023年广东省专升本高等数学知识点考点大纲复习资料【超全】
第一章函数、极限、连续第一节函数考点1：判断函数是否为同一函数方法：定义域和对应法则都相同的函数为同一函数。
1.下列函数()f x 与()g x 为同一函数的是（）.A ()f x x =，()g x x =.B ()f x x =，()g x =.C ()f x =()g x =D.()()3ln ,3ln f x x g x x==【答案】D【考点】函数的三要素：定义域、值域、解析式【解析】解：判断函数是否是同一函数，需要定义域与解析式一样，D 选项定义域和解析式都一样，是同一函数。
A 选项解析式不一样。
考点2：求函数定义域（1）具体函数求定义域,00log ,0arcsin ,arccos ,11a ax x x x x x x x ⎧≠⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪-≤≤⎪⎩（2）抽象函数求定义域：()(),,f g x f h x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦要使得()(),g x h x 值域要相同，求出x 的范围即可。
1.函数y =的定义域为.【答案】(][),43,-∞-+∞ 【考点】考察函数的定义域。
【解析】解：()()(][)2120340,,43,x x x x x +-≥-+≥∈-∞-+∞ ，2.设函数()y f x =的定义域为[]2,2-，求函数()24f x -的定义域.【答案】[]1,3x ∈【考点】考察函数的定义域。
【解析】解：[]2242,13,1,3x x x -≤-≤≤≤∈考点3：函数的解析式、反函数的求法函数的解析式：配凑法，换元法反函数：解出()x y ϕ=1.已知()11f x x =-则()f f x =⎡⎤⎣⎦（）.A 1x -.B 11x -.C 1x -.D 11x-【答案】D【考点】求函数的解析式。
【解析】解：()11111111x f f x x xx=-=-=⎡⎤⎣⎦---2.已知函数y =，求反函数()1f x -.【答案】()21211x fx x --=+【考点】求解反函数。
高等数学专转本复习资料
《高等数学基础》专转本复习资料一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点2.函数在x=0处连续，则k=(C）.A.1B.5D.03.下列等式中正确的是(C).4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A).5.下列无穷限积分收敛的是(D).6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点7.当时，下列变量中( A)是无穷大量.8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B).9.函数在区间(2,4)内满足(A).A.先单调下降再单调上升B.单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调下降10.=(B).A.0B. ПC.2ПD. П/211.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.12.当，变量(C)是无穷小量.13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A).14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）.15.下列无穷限积分收敛的是(C).16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称.A.坐标原点B.x轴C.y轴D. y=x17.当时，变量(D)是无穷小量.18.设f(x)在x。
可导，则=（C）.19.若则=（B）.20. =（A）.21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.22.当k=（C）时，在点x=0处连续.A. -1B. 0c.1 D.223. 函数在区间(2,4)内满足(B).A. 先单调下降再单调上升B.单调上升C. 先单调上升再单调下降D.单调下降24 若,则= (D).A. sinx十CB. -sinx十cC. -cosx+cD. cosx 十C25. 下列无穷积分收敛的是(A).26.设函数f(x) 的定义域为，则函数f(x)- f（-x)的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点27. 当x→0时，变量(C)是无穷小量.28. 函数在区间(-5，5) 内满足(B).A. 单调下降B.先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降 D.单调上升29. 下列等式成立的是(A).30.下列积分计算正确的是(D).31. 函数的定义域是（D）.32.若函数，在x=0处连续，则k=（B）.A .1 B.2C.-1D.33.下列函数中，在内是单调减少的函数是（A）.34.若f(x) 的一个原函数是，则=（C）.A. cosx +cB. - sinx十CC. sinx十CD. - cosx十C35. 下列无穷限积分收敛的是（C）.36.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.37.37.在下列指定的变化过程中， (A)是无穷小量.38. 设f(x)在可导，则= (C).39. =(A).40. 下列无穷限积分收敛的是(C).41.下列函数中为奇函数的是(A).42. 当x→0时，变量(C)无穷小量.43.下列等式中正确的是（B）.44 若f(x)的一个原函数是，则=(D).45.=(A).46.函数的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴c.y轴 D.坐标原点47. 在下列指定的变化过程中，(A)是元穷小量.48.函数在区间(-5，5)内满足(C).A. 先单调上升再单调下降B.单调下降C. 先单调下降再单调上升D.单调上升49. 若f(x) 的一个原函数是，则 = (B).50.下列无穷限积分收敛的是(B).二、填空题1.函数的定义域是（3,5） .2.已知，当时，f(x)为无穷小量.3.曲线f(x)=sinx在处的切线斜率是 -1 .4.函数的单调减少区间是 .5.= 0 .6.函数的定义域是（2，6） .7.函数的间断点是 x=0 .8.函数的单调减少区间是 .9.函数的驻点是 x= - 2 .10.无穷积分当时p >1 时是收敛的.11..若，则f(x)= .12.函数的间断点是 x=0 .13.已知，则= 0 .14.函数的单调减少区间是 .15.= .16.函数的定义域是 (-5,2) .17. .18.曲线在点(1,3)处的切线斜率是 2 .19.函数的单调增加区间是 .20.若则f(x）= .21.若则f(x）= .22 已知当时，f(x）为无穷小量.23. 曲线在(l ,2) 处的切线斜率是 .24. = .25 若,则= .26.函数的定义域.27. 函数的间断点是 x=0 .28. 曲线在x=2处的切线斜率是 .29. 函数的单调增加区间是 .30.= .31. 函数，则f(x)= .32. 函数的间断点是 x=3 .33. 已知则 = 0 .34. 函数的单调减少区间 .35. 若f(x) 的一个原函数为lnx，则 f(x) = .36. 若函数，则f(O)= -3 .37.若函数在x=O处连续,则k=e .38.曲线在(2，2)处的切线斜率是 .39.函数的单调增加区间是 .40.= .41. 函数的定义域是(-2，2) .42. 函数的间断点是 x=3 .43. 曲线在(0，2)处的切线斜是 1 .44. 函数的单调增加区间是 .45. 若,则f(x)= .46.函数的定义域是.47.若函数，在x=O处连续，则k= e .48. 已知f(x) =ln2x ，则= 0 .49. 函数的单调增加区间是 .50. ，则= .三、计算题1.计算极限.解：2..解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则得3.计算不定积分.解:由换元积分法得4.计算定积分.解:由分部积分法得5.计算极限.解：6.设,求.解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得7.计算不定积分.解:由换元积分法得8.计算定积分.解:由分部积分法得9.计算极限解:10.设，求dy.解:由微分四则运算法则和一阶微分形式不变性得11.计算不定积分.解:由换元积分法得12.计算定积分.解:由分部积分法得13.计算极限.解：14.设，求. 解：15.计算不定积分·解:由换元积分法得16.计算定定积分. 解:由分部积分法得17.计算极限. 解：18.设求dy. 解：19.计算不定积分.解：由换元积分法得20.计算定积分.解：由分部积分法得21.计算极限.22.设求 .解：由导数四则运算法则和导数基本公式得23.计算不定积分.解：由换元积分法得24.计算定积分.解：由分部积分法得25.计算极限.26.设，求.解: 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得27.计算不定积分.解：由换元积分法得28.计算定积分.解：由分部积分法得29. 计算极限.30.设,求.解:由导数运算法则和导数基本公式得31.计算不定积分.解：由换元积分法得32. 计算定积分.解：由分部积分法得33. 计算极限.34设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得35.计算不定积分.解：由换元积分法得36.计算定积分.解：由分部积分法得37. 计算极限38.设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得39.计算不定积分.解：由换元积分法得40. 计算定积分.解：由分部积分法得四、应用题1.求曲线上的点，使其到点A(0,2)的距离最短.解:曲线上的点到点A(0,2)的距离公式为d与在同一点取到最大值，为计算方便求最大值点，将代人得求导得令得，并由此解出，即曲线上的点和点到点A(0,2)的距离最短。
2024专插本考试高数考点
2024专插本考试高数考点
在2024年专插本考试中，高等数学科目的考点主要包括：
1. 函数的概念、性质和图像，包括单调性、奇偶性和周期性等。
2. 极限和连续性，包括极限的运算法则、无穷小和有界函数的极限、洛必达法则等。
3. 导数和微分，包括导数的定义和性质、导数的计算和应用等。
4. 一元函数积分学，包括不定积分和定积分的计算和应用等。
5. 多元函数微积分，包括多元函数的微分和积分、偏导数和全微分等。
6. 微分方程，包括一阶和高阶微分方程的解法、线性微分方程等。
7. 无穷级数，包括数列的极限、无穷级数的性质和收敛性等。
8. 线性代数，包括行列式、矩阵和向量等基本概念和性质，以及线性方程组的解法等。
9. 概率论与数理统计，包括随机事件和概率、随机变量及其分布、参数估计和假设检验等。
这些考点只是高等数学科目中的一部分内容，具体考试内容可能会根据不同省份的要求而有所不同。
因此，考生在备考时应该全面系统地复习，掌握各个考点的基本概念和解题方法，以便在考试中取得好成绩。
高等数学(专升本)考点归纳及讲解 - 副本
③复合函数（函数中套函数）求导： y = f (u ), 而 u = g ( x ), 则 ，
y / = f [ g ( x)]/ = [ f (u )]/ = f / (u )gu / （u 为内层函数） ； 解题的关键是：看函数与①中的
例题 10 ： 证明 :曲线xy = 1( x > 0, y > 0)上的任意一点(x , y )处的切线与两个坐标轴围成 0 0 的三角形面积为一个定值. 证：曲线即为y= , 则其在任意点(x0 , y0 )切线的斜率k切 = f / ( x0 ) = ( ) /
1 x
1 x
=−
x = x0
1 , x0 2
x→x0
0
x→x0
x→x0
1 x sin + b, x < 0 x f ( x ) = a, x = 0 sin x 例题 8:设函数 ,x > 0 x
问 ： （1） a , b 为何值时， f ( x ) 在 x = 0 处有极限存在？ （2） a , b 为何值时， f ( x ) 在 x = 0 处连续？
(1 − a) x2 + (a + b) x − b − 2 = 0,因为x → ∞, 且分式分子和分母为关于x的多项式, x→∞ x −1
解： 原式= lim
又因 为极限值为0且 分母 最高 次数为1次, 故 分子的 最高 次数 只能 为0次 ，
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1-a=0 所以有 , 解得a = 1, b = −1为所求. （注意：若将=0 改成=-2 会有：a=1,b=-3） a+b=0
广东省专插本-高等数学-2004-2010年-历年题集(含答案)
A. B. C. D.
5、已知函数 ，则dz=
A. B.ydx+xdyC. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、极限 =。
7、曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线方程是=。
8、积分 =。
9、设 ，则 =。
10、微分方程 的通解是。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
5、设 则
A.等于1 B.等于-1 C.等于0 D.不存在
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、极限 。
7、设 ，要使 在 处连续，应补充定义 =。
8、设函数 ，则其函数图像的水平渐近线方程是。
9、微分方程 的通解是y=。
10、设 ，则全微分du=。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、求极限 。
12、计算不定积分 。
13、设函数 。
14、函数y = y(x)是由方程 所确定的隐函数，求 在点（1，0）处的值。
15、计算定积分 。
16、求二重积分 ，其中积分区域 。
17、设函数 ，求 。
18、求微分方程 满足初始条件 的特解。
四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）
1、函数 的定义域是
A.（ ，0） （0， ）B.（ ，0）
C.（0， ）D.Ø
2、极限
A.等于-1 B.等于0 C.等于1 D.不存在
3、设 是 在（0， ）内的一个原函数，下列等式不成立的
A. B.
C. D.
4、设函数 ，则下列结论正确的是
A. 的极大值为1 B. 的极小值为1
专升本高数300题(一)
x + 1x + 1] ]| 1 3考点 1. 求函数的定义域 4x - 1 1、函数 f (x ) = arccos 3的定义域为.1ϑ 1 ]解：由 1 得 4 x - 1 3 → - 2 x 1 ．即它的定义域为| - 2,1| ．2、函数 f (x ) =1 x - 3 + ln( x - 1)的定义域是 （ ）A （ - 1,+ )B （1,+ ）C (-1,3) υ (3,+)D (1,3) υ (3,+)解：选D .由题意：x - 3 σ 0 ，x - 1 > 0 ， x + 1 > 0 ，所以得到函数 y = 1x - 3 + ln( x - 1)的定义域为(1,3) υ (3,+) ．3、设 f ( x ) =11 + x，则 f ϑ f ( x )]] 的定义域为 1 1x σ -1 1 + x 解： ∵ f ϑ f ( x )]] = 1 + f ( x ) =1 +1 1 + x= 2 + x∴ f ϑ f ( x )]] 定义域为(- , -2) υ (-2, -1) υ (-1, + ) .4、 f (x ) 的定义域是[0,1]， ϕ(x ) = f (x - 4) + f (x + 4) 的定义域是（）A ． [0,1]B ． ϑ- 1 , 1 ]C ．ϑ 1 , 3 ]D ．ϑ 1 ]| 4 4 |] | 4 4 |] | 4 ,1| { 1 { 15 |0 x - 4 1 x 4 4解：定义域 D : { |0 x + →{ 1 1 |- 1 4 4 x3 → D :4 x 4 ，因此选C ． 45、如果函数 f (ln x ) 的定义域为[e , +) ，则函数 f (x ) 的定义域为（ ）A 、[e , +)B 、[1, +)C 、[1, e )D 、(0, e ]解：由e x < + → 1 ln x < + ，可知定义域为[1, +) .选 B. 考点 2 求复合函数或函数或复合函数的外层函数 6、已知 f (x ) =x1 + x，则 f [ f (x )] = .4x - 132 1 1 x解：根据复合函数可知： f [ f ( x )] = 1+ x = x.1+ x 1+ x2x + 1 7、设 f (x + 2) = x 2+1, 则 f (x -1) =解：令 x + 2 = t , f (t ) = t 2- 4t + 5f ( x ) = x 2 - 4x + 5 ；f ( x -1) = (x -1)2 -4(x -1)+5= x 2 -6x +10.8、设 y = f (sin x ) = cos 2x + 2 ，求 f ( x ) ．解：因为 f (sin x ) = 1 - sin 2 x + 2 = 3 - sin 2 x ，所以 f ( x ) = 3 - x 2．9、设函数 f (x ) = 1- 2x ， g [ f ( x )] =1- x ，则 g{ 1= .| | x解： 由题意知， g [ f (x )] = g (1 - 2 x ) = 1 - x，题目让求 x x = 1 ，代入 g (1 - 2x ) = 1 - x 即可得到结果 3.g ( 1 ) 2，即已知1 - 2x = ，得24 x 10、设 f (x ) = 2x +5 ，则 f [ f (x ) -1] = .解： f (x ) - 1 = 2x + 5 - 1 = 2x + 4, 则f [ f (x ) - 1] = f (2x + 4) = 2(2x + 4) + 5 = 4x + 13考点 3 函数的奇偶性、有界性等性质的题目 11、函数 y =1 在定义域内是（）xA 、周期函数B 、单调函数C 、有界函数D 、无界函数解：根据函数 y =的图像可知是无界函数.选 D.x12、下列函数时奇函数的是 （）A 、 y = sin 2x • cos xB 、 y = cos 2x • s in x2x + 2- xC 、 y =D 、 y = x 2- x +13解：A 、C 是偶函数，Ｂ是奇函数，Ｄ为非奇非偶．故选Ｂ． 13、以下结论中正确的是 （）Ａ、函数 y = x 3+ 1是奇函数B 、函数 y = sin x2在定义域内有界Ｃ、函数 y = - ln x 在定义域内是单调增加的 D 、函数 y = tan 2x 的周期是νν 解：Ａ选项是非奇非偶的，Ｃ在定义域内是单调减少的，Ｄ的周期为 214、下列函数中，图形关于 y 轴对称的是（）．故选Ｂ．A 、 y = x cos xB 、y = x 3+ x +1 2x - 2- xC 、 y =D 、 y =2 2x + 2- x215、若 f (x ) 的定义域关于原点对称，则下列函数的图像一定关于 y 轴对称的是（）A 、 f (x )B 、 f (-x )C 、 f (x ) + f (-x )D 、 f (x ) - f (- x )解：此题实质也是确定函数奇偶性，利用奇偶函数定义只有 f (x ) + f (-x ) 一定是偶函数， 图像关于 y 轴对称； f (x ) - f (- x ) 奇函数，图像关于原点对称；另两个无法确定.应选 C. 16、若 f (x ) (x χ R ) 为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是 A ． f (2x )B． f (-x + 2) C ． f (| x |) D ． 2 f (x )解：由奇偶函数的定义易得 f (| x |) 是偶函数， f (2x ) ， 2 f (x ) 为奇函数， f (-x + 2) 为非奇非偶函数，应选 C. 考点 4 无穷小量阶的比较 17、当n → 时， sin 21与 1为等价无穷小，则k = （）nnkA1 B 1C 2D -22sin 2 1 1 解： lim n = lim n 2 =1， k = 2选 Cn → 1n → 1 n k n k18、当 x → 0 时， ln(1+ x 2) 是比1 - cos x 的 （ ）Ａ、低阶无穷小Ｂ、高阶无穷小Ｃ、等价无穷小Ｄ、同阶但不等价无穷小219、当 x → 0 时，与ｘ不等价的无穷小量是 （）Ａ、2xB 、sin xＣ、e x-1解：根据常用等价关系知，只有2x 与 x 比较不是等价的．故选Ａ． 20、当 x → 0 时， x 2- sin x 是 x 的（）D 、ln(1+ x )A 、高阶无穷小B 、低阶无穷小C 、同阶但非等价无穷小D 、等价无穷小21、当 x → 0 时， f (x )与1- cos x 等价，则lim f (x ) =.考点 5 简单函数求极限或极限的反问题x →0x sin x| 22、若lim {1 + n →5- k n|= e-10, 则 k = .lim 5 (-kn ) 解：左式= en → nf (2x ) = e -5k= e -10 x故k = 2 .23、若lim x →0 x= 2 ，则lim x →0 f (3x ) =（）A ．3B ． 132 tC ．2D ． 12解： lim x →0 x f (3x ) 3x = 2t limt →0 3 f (2t ) = 2 lim 3 t →0 1 f (2t ) t= 2 • 1 = 1 ，∴ 选 B3 2 324、lim nn →-n - 2 )=解：原式有理化lim n → = 3.225、已知lim x →1 x 2 + ax + 61- x存在，则a =解： lim (1 - x ) = 0 ∴ lim (x 2+ ax + 6) = 0 ，1 + a + 6 = 0, a = -7x →126、若 limx 2 ln (1+ x 2 ) x →1= 0 且limsin n x= 0 ,则正整数n = x →0 sin n x x →0 1- c os xx 2 ln (1 + x 2 )x 2 • x 2 n < 4 x n n > 2解： lim = lim0, lim 0 ∴ n > 2, n < 4, 故n = 3 . x →0 sin n x2 x →0 x nx →0 x 2 227、lim(1 + x ) x=（）x →0Ａ、１Ｂ、eＣ、2eＤ、e22 ϑ 1 ]2解： lim(1+ x ) x= |lim(1+ x ) x | = e 2．故选Ｄ．x →0x →0 ]考点 6 函数的连续性问题n +1 n + 1 + n - 2 n (| x ( ) = → {{{ sin bx {1sin x (x < 0) | |0(x = 0) 28、设 f x { |x sin 1 + a (x > 0) 且lim f ( x ) 存在，则a = （ ）x 0| x |A ．-1B ．0C ．1D ．2解： lim =sin x= 1, lim ϑ{ x sin 1 + a ]= o + a ∴ a = 1选 C .x →0xx →0 x| |] { - 1 29、函数 f (x ) = |e x-1 , x σ 1，在点 x = 1 处 （）| 0, x = 1Ａ、连续Ｂ、不连续，但右连续Ｃ、不连续，但左连续 Ｄ、左右都不连续解： f (1) = 0, lim ex →1--1 x -1= , lim ex →1+-1x -1= 0 = f (1) ，所有不连续，但是右连续．选Ｂ．{x 2 - 2, x 1 30、设 f (x ) = {在 x = 1 连续，则a = （）Ａ、-2a , x > 1 Ｂ、-1Ｃ、１Ｄ、２解：根据连续的定义有： a = lim(x 2- 2) = -1．故选Ｂ．x →1-{sin ν (x -1) , x < 131、如果函数 f (x ) = |x -1 处处连续，则k = （ ）| arcsin x + k , x 12 2 ν νA 、 - νB 、νC 、 2sin ν (x -1)D 、- 2解：因为函数处处连续，所以在 x = 1 处也连续，又 lim x →1-x -1= ν ，lim (arcsin x + k ) = ν + k ，从而可知k = ν.选 C. x →1+2 2{a + bx 2 , x 0 32、 f (x ) = |, x > 0在x = 0 处连续，a 与 b 的关系为 . |2x考点 7 函数间断点的类型判定 33、 x = 0 是函数 f (x ) = arctan 1的（）xＡ、连续点Ｂ、可去间断点Ｃ、跳跃间断点Ｄ、第二类间断点解： lim arctan 1= ν， lim arctan 1ν= -→ C ．故选Ｃ．x →0+x 2x →0-x2||+= =34、 x = 0 是 f (x ) = x 2sin 1 x2的（）A 、连续点B 、跳跃间断点C 、可去间断点D 、第二类间断点解：函数 f (x ) 在 x = 0 处无定义，又lim x 2sin 1x →0x 2= 0 ，极限存在，故为可取间断点．选Ｃ．{x - 2, x 035、设 f (x ) = {x + 2, x > 0 ，则 x = 0 是 f (x ) 的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、跳跃间断点解： lim ( x - 2) = -2 ， lim (x + 2) = 2 ，根据间断点的分类，可知 x = 0 是跳跃间断点.选 x →0-D.x →0+{x ln x , x > 036、设 f (x ) = {1, x 0 ，则 x = 0 是 f (x ) 的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、跳跃间断点1ln x解： lim x ln x lim lim x = - lim x = 0 ， lim 1 = 1，根据间断点的分类，可知 x →0+ x →0+ 1 x →0+ - 1 x →0+x →0-x x 2x = 0 是跳跃间断点.选 D.137、 x = 0 是函数 f (x ) = 2 x-1的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点考点 8 零点定理确定方程根的存在性38、方程 x 3 + x -1 = 0 在区间(0,1) 内的实根的个数为 （）A 、0B 、1Ｃ、2Ｄ、3解：构造函数 f (x ) = x 3+ x -1 ， f (0) = -1 < 0 ， f (1) = 1 > 0 ，根据零点定理知，在(0,1)内至少有一个实根；又 f '(x ) = 3x 2+1 > 0 ，即函数 f (x ) 是单调的。
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第一章 函数、极限和连续注：补充例题或习题已在题号前标注*一、函数例1（1）求函数()()ln 2f x x =++.（2）求函数()21,2132,23x xf x x x ⎧≤⎪+=⎨⎪+<<⎩的定义域.例2设函数()2g x x =+，()()ln 2f g x x =+⎡⎤⎣⎦，则()1f = . 例3已知()()ln 1f x x =+，()f x x ϕ=⎡⎤⎣⎦，求()x ϕ. 例4若1x ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭()x ϕ= . 例5已知()f x 的定义域为全体实数，()()11f x x x +=+，则()1f x -= . 例6判断函数()(lg f x x =的奇偶性.二、极限例1求下列各题的极限（1）201lim sin 2x x →.（2）322232lim 6x x x x x x →-++--.（3）2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭.（4）lim x →+∞.例2设当0x →1与2sin x 是等价无穷小，则a = . 例3当0x →时，下列变量与x 为等价无穷小量的是（ ）. A.sin 2x B.1cos x -D.sin x x 例4求下列各题的极限 （1）0tan 2limsin 5x x x →.（2）30tan sin lim sin x x xx→-.例5求下列各题的极限（1）11201lim 1xx x +→⎛⎫⎪+⎝⎭.（2）322lim x x x x +→∞-⎛⎫⎪⎝⎭.（3）421lim 1xx x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭.（4）lim 2xx x a x a →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭（其中a 为常数）. *例5求下列各题的极限 （1）10lim 3xxxxx a b c →⎛⎫++⎪⎝⎭.（2）21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）0x →.例6求下列各题的极限（1）sin lim x x x→∞.（2）23cos lim 1x x xx x →∞+-.例7求lim ...n →∞⎛⎫+++. 例8在下列函数中，当0x →时，函数()f x 极限存在的是（ ）.A.()1,00,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩B. (),1,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ C. ()1,020,01,2x x f x x x x ⎧<⎪-⎪==⎨⎪⎪+>⎩D.()1xf x e = 例9（1）22212lim ...n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.（2）10111011...lim ...n n n n m m x m ma x a x a x ab x b x b x b ---→∞-++++++++.（3）lim 2sin2nn n x →+∞.（4）01cos 2lim sin 2x xx x→-. （5）已知233lim43x x kx x →+-=-，求常数k 的值.（6）已知222lim 22x x ax b x x →++=--，求常数,a b 的值. 三、函数的连续性例1设函数()1sin ,0,01sin 1,0x x x f x k x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在其定义域内连续，求常数k 的值. 例2设函数()22,0,01,1x x f x x a x bx x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上连续，求常数,a b 的值.例3设函数()21,0,012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，讨论()f x 的间断点及其类型. 例4求下列函数的间断点并说明间断点类型（1）()22132x f x x x -=-+.（2）()f x =.例5证明方程42xx =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少有一个实根.例6设()2xf x e =-，求证()f x 在()0,2内至少有一个点0x ，使002xe x -=.第二章 一元函数微分学一、导数与微分例1设()y f x =在0x 处可导，则()()0002limh f x h f x h→--= ;()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆=∆ .例2求下列函数的导数（1）y =（2）y =（3）()2321sin 2secx y x e +=+.（4）ln 2xxy =.（5）()2y f x x ϕ⎡⎤=+⎣⎦，其中()f u 及()x ϕ均可导.（6）已知()f u 可导，求()ln f x '⎡⎤⎣⎦、(){}n f x a '⎡⎤+⎣⎦和(){}nf x a '+⎡⎤⎣⎦.（7）设11x y f x -⎛⎫=⎪+⎝⎭，()2arctan f x x '=，求0x y ='. （8）设()f x 为二阶可导函数，且()221sin tan cos xf x x +=，求()f x ''.例3函数()(),0ln 1,0x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩在0x =处是否连续，是否可导，为什么？例4设函数()cos ,2,22x x f x x x πππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩（1）()f x 在2x π=处是否可导？（2）若可导，求曲线过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线、法线方程. 例5设函数()2,1,1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，求常数,a b 的值.例6设曲线32y x x =+-上存在切线与直线41y x =-平行，求切点.例7设函数()y f x =由方程()2sin x y xy +=确定，求dy dx. 例8设函数()y f x =由方程3331x y xy +-=确定，求x dy dx=.例9设函数21x y x=-y '.例10设函数()2sin x y x =，求y '.例11（1）设(2)cos n y x x -=，求()n y .（2）设()ln 1y x =+，求()n y .例12已知cos sin ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩，求当3t π=时dy dx 的值. *例12已知参数方程()2arctan 1ln 1x ty t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，求dy dx 和22d y dx . ———————————————————————————————————————————————练习题1.已知函数()y f x =在x a =处可导，求()()3lim x f a x f a x∆→-∆-∆.2.求下列函数的一阶导数（1）3ln ln 2y =.（2）sin 1tan x x y x =+.（3）ln2xx y =.（4）y =3.用对数求导法求下列函数的一阶导数 （1）()arcsin 21xy x=+. （2）21xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 4.求下列隐函数的一阶导数y ' （1）1yy xe =+. （2）()cos 0x yexy ++=.5.求下列函数的二阶导数y ''（1）(ln y x =. （2）xe y x-=.6.求下列函数的微分（1）221arctan 1x y x-=+. （2）()0y x =>. 7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程（1）sin cos 2x t y t =⎧⎨=⎩，在4t π=处. （2）2223131at x t aty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，在2t =处. ———————————————————————————————————————————————二、导数的应用例1不用求函数()()()()()1234f x x x x x =----的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并指出其所在范围.例2函数()1f x =()1,1-上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.例3设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且在任一点处的导数都不为零，又()()0f a f b ⋅<， 试证：方程()0f x =在开区间(),a b 内有且仅有一个实根. 例4利用洛必达法则求下列极限（1）201lim sin x x e x x →--.（2）lim m m n n x a x a x a →--.（3）11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.（4）20lim ln x x x +→. 例5求下列函数极限 （1）(lim 12x x +→+（2）sin 0lim xx x +→.（3）2222lim 1x x x x →∞⎛⎫+⎪-⎝⎭. （4）1lim 1xx x e →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.（5）421lim 1cos x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.（6）0sin sin lim 1cos x x e x x x →--.例6证明不等式（1）()()ln 1,01x x x x x <+<>+.（2）()2arctan ,01xx x x x <<>+. *（3）()()11,(0,1)n n n n nb a b a b na a b a b n ---<-<->>>.*（4）ln ,(0)a b a a b a b a b b--<<>> 例7证明不等式[)1,1,0xe x x >+∈-.例8证明下列不等式 （1）()()21ln ,11x x x x ->>+.（2）当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.（3）当1x >时，13x >-.例9求函数()22xf x x e -=的单调区间和极值.例10求函数21xy x=-的凹凸区间和拐点. 例11求函数4210y x x =-+的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值. 例12求函数(1y x =-.例13求函数y =[]0,3上的最值.例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线 （1）21x y x =-.（2）1xxy e =+.——————————————————————————————————————————————— 练习题1.不求出()()()()147f x x x x =---的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并求出根所在的区间.2.证明方程120x ex -+-=仅有一个实根.3.求下列函数的极值.（1）()242f x x x =-.（2）()22x f x x e-=-.4.当a 为何值时，点()1,3是曲线3292y ax x =+的拐点.5.（1）求曲线()5332075f x x x x =-++的凹凸区间及拐点.（2）求曲线y =的拐点.6.证明下列不等式（1）当1x >时，xe e x >⋅.（2）()211cos 02x x x -<>.7.设()f x 在[),a +∞可导，且x a >时()0f x k '>>，其中k 是常数.证明：若()0f a <，则方程()0f x =在(),f a a a k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有一根.———————————————————————————————————————————————第三章 不定积分与定积分一、不定积分例1（1）已知()11xxf x e dx e C --=-+⎰，求()f x .（2）已知()arcsin xf x dx x C =+⎰，求()1dx f x ⎰. 二、积分法（一）直接积分法（公式法） 例1求下列不定积分（1）21x -.（2）))11dx ⎰.（3）()2211dx x x +⎰. （4）3xxe dx ⎰.（5）236x x x dx +⎰.（6）421x dx x +⎰. 例2求下列不定积分 （1）2sin2x dx ⎰.（2）22cos 2sin cos x dx x x ⎰.（3）11cos 2dx x+⎰.（4）2tan xdx ⎰. （二）换元积分法1.第一类换元法（凑微分法） 例1求下列不定积分（1）2xxedx -⎰.（2）()22arctan 1x dx x +⎰. （3）32sin cos x xdx ⎰. （4）sin x x e e dx ⎰. *（5）⎰.（5）⎰.（6）2145dx x x ++⎰.（7）1x xdx e e -+⎰.（8）3. 例2求下列不定积分（1）22sin cos x xdx ⎰. （2）41cos dx x ⎰. （3）1sin dx x ⎰. （4）1cos dx x ⎰.2.第二类换元法 例1()20a >.例2. 例3dx x⎰.例4（1）.（2）.（3）.（4）.（三）分部积分法例1（1）2cos x xdx ⎰.（2）2x x e dx -⎰.（3）2ln x xdx ⎰.（4）arctan xdx ⎰.（5）sin xe xdx ⎰.（6）()sin ln x dx ⎰.*例13sec xdx ⎰.例2已知()f x 的一个原函数是2x e -，求()I xf x dx '=⎰.（四）一些简单的有理函数的积分 例1（1）221dx x a -⎰.（2）2123dx x x --⎰.（3）21610dx x x -+⎰.（4）()211dx x x +⎰.———————————————————————————————————————————————练习题1.计算下列不定积分（1）234tan x x x dx ⎛⋅+ ⎝⎰.（2）211x x e dx e ----⎰.（3）3tan sec x xdx⎰. （4）.（5）2156dx x x --⎰.（6）2112dx x x +-⎰.（7）214dx ⎰. （8）arcsin xdx ⎰.（9）()2x +⎰.（10）()ln ln n n x x dx x x ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰. ———————————————————————————————————————————————三、定积分（一）牛顿-莱布尼兹公式 （二）变上限积分 （三）定积分的计算1.定积分的换元积分法（换元同时换限） 例1计算⎰.例2计算1220⎰2.定积分的分部积分法 例1计算120arcsin xdx ⎰.例2计算下列定积分（1）1arctan x xdx ⎰.（2）1xdx ⎰.（3）0cos x xdx π⎰.（4）()21sin ln e x dx π⎰.例3计算定积分24sin π⎰.（四）定积分的综合题【热点】 例1求下列各题的导数 （1）()0tx dt Φ=⎰.（2）()2x xx Φ=⎰.*例1已知12212xx t f dt e e --⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，求()10f x dx ⎰.例2求下列各题的极限（1）23limx x x →⎰.（2）sin 0tan 00limxx +→⎰⎰.（3）2220limxt x x t edtx-→∞⎰.（此题HB 补充）例3用积分变换证明等式（1）证明()1122111011xx dx dx x x x =>++⎰⎰.（2）设()f x 为连续函数，证明()()0sin sin 2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.例4设()[]201,0,145xf x dt x t t =∈++⎰，求()f x 的最大值和最小值. 例5设()0cos 2x t f x dt t π=-⎰，求()20f x dx π⎰. （五）定积分的性质【热点】参见习题5-1（2012年最后一题考查了性质6，性质7历年未考查过）———————————————————————————————————————————————练习题 1.设()40tan n f n xdx π=⎰，()n N ∈，证明()()1354f f +=. 2.()()01cos xx t f t dt x -=-⎰，证明()201f x dx π=⎰.3.设()1lnt1xf x dt t=+⎰，证明()211ln 2f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4.设()f x 为连续函数，且()0f x >，[],x a b ∈，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[],x a b ∈，证明方程()0F x =在区间[],a b 上有且仅有一个实根.5.设()()231xx x tdt ϕ=-+-⎰，求()x ϕ的极值.*5设()f x 连续，求()220xd tf x t dt dx -⎰. ———————————————————————————————————————————————四、定积分的应用（一）利用定积分求面积和体积例1求由曲线1y x=，2x =与3y =所围成平面图形的面积. 例2求抛物线()220y px p =>与直线32y x p =-所围成的图形的面积.例3求抛物线243y x x =-+-及其点()0,3-和点()3,0处的切线所围成的平面图形的面积.例4求曲线2y x =，2x =与直线0y =所围成的平面图形绕x 轴旋转后生成旋转体的体积.例5试求抛物线2y x =在点()1,1处的切线与抛物线自身及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转后所得旋转体 的体积.（二）平面曲线的弧长包括直角坐标情形和参数方程情形例1计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.例2计算摆线()()sin 1cos x a y a θθθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，()02θπ<<的长度.五、广义积分的计算例1计算下列广义积分 （1）2x xe dx +∞-⎰.（2）201x dx x +∞+⎰.（3）()31ln e dx x x +∞⎰.（4）2122dx x x +∞-∞++⎰.第四章 多元函数微积分一、多元函数的定义例1写出下列二元函数(),z f x y =的几何意义（表示何种空间曲面） （1）z ax by c =++.（2）z =（3）z =.（4）22z x y =+.二、二元函数的定义域例1求下列函数的定义域（1）z =（2）()22ln 1z x y =+-.（3）z =（4）z =三、多元函数的偏导数例1求函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在原点()0,0的偏导数. 例2设tan x y z y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求z x ∂∂和z y ∂∂. 例3设()sin xy z xe xy -=+，求z x ∂∂和zy∂∂. 四、全微分的概念例1求()arctan z xy =的全微分五、复合函数的偏导数例1设22z u v =+，u x y =+，v x y =-，求z x ∂∂和z y ∂∂. 例2设vz u =，223u x y =+，42v x y =+，求z x ∂∂和z y∂∂. 例3设,x z f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dz . *例3设()22,z f x x =，求dz .例4求()23,xyz f x y e =+的全微分.*例4设()2,z f x u x u ==+，()cos u xy =，求f x ∂∂和z x∂∂. 六、隐函数的导数及偏导数例1设(),z z x y =由下列方程确定，求z x ∂∂和z y∂∂. （1）20x y z ++-=.（2）22lnz x z y+=. *例1设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂七、高阶偏导数例1设()sin x y z ye+=，求22z x ∂∂和2z x y∂∂∂.*八、高阶复合偏导数参见习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）——————————————————————————————————————————————— 练习题1.求下列函数偏导数z x ∂∂和z y ∂∂：（1）(ln z x =.（2）2yxe z y =. 2.设ln x z z y=，求z x ∂∂和z y ∂∂. 3.设z e xyz =确定(),z f x y =，求z x ∂∂和z y ∂∂. 4.设()22ln z x xy y =++，证明2z z x y x y∂∂+=∂∂. ———————————————————————————————————————————————八、二重积分（一）二重积分的定义（二）直角坐标下二重积分的计算例1计算()22D x xy y dxdy ++⎰⎰，(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤. 例2计算2D x ydxdy ⎰⎰，D 由0x =，0y =与221x y +=所围成的第一象限的图形.例3计算sin D x dxdy x ⎰⎰，D 是由直线y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 例4计算()2Dx y dxdy -⎰⎰，D 由1y =，230x y -+=，30x y +-=围成.（三）利用极坐标计算二重积分 例1计算22x y D edxdy --⎰⎰，D 是圆心在原点，半径为a 的圆.例2计算()22ln 1Dx y d σ++⎰⎰，D 是圆周221x y +=及坐标轴围成的第一象限内的闭域. ——————————————————————————————————————————————— 练习题1.设arctan y z x =，求z x ∂∂和z y∂∂. 2.设()2sin 2x y z e x y -=+，求z x ∂∂和z y ∂∂. 3.设()2ln 123z x y =++，求dz .4.设2231xy x y =++确定y 是x 的函数，求12x y dydx ==.5.求xy Dye dxdy ⎰⎰，其中积分区域D 是由y 轴，1y =，2y =及2xy =所围成的平面区域. 6.求2D ydxdy ⎰⎰，式中积分区域D1y ≤≤. 7. 变换积分次序，并计算积分221210122xy y x x dx e dy dx e dy +⎰⎰⎰⎰. 8.计算222x y D edxdy +-⎰⎰，式中积分区域D 由221x y +≤，0x ≥，0y ≥所确定.———————————————————————————————————————————————第五章 常微分方程一、微分方程的基本概念例1验证12cos sin x C kt C kt =+（1C 、2C 为任意常数）是方程2220d x k x dt+=的通解. 例2已知方程2220d x k x dt +=的通解为12cos sin x C kt C kt =+，0t x A ==，求00t dx dt ==条件下的特解. 例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件.（1）22x y C -=，05x y ==.（2）()212x y C C x e =+，00x y ==，01x y ='=. （3）()12sin y C x C =-，1x y π==，0x y π='=.二、可分离变量的微分方程例1解微分方程2dy xy dx=. 例2求下列方程的通解（1'=2）10x y dy dx +=.（3）cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=.（4）()2310dy y x dx++=. 例3求方程的初始问题2sin ln x y x y yy e π='=⎧⎪⎨=⎪⎩的特解. 例4求初值问题()cos 1sin 0x ydx e ydy -++=，04x y π==的特解.三、一阶线性微分方程例1求微分方程sin cos x y y x e-'+=的通解.例2求下列非齐次方程的通解（1）tan sin 2y y x x '+=.（2）32d d ρρθ+=.（3）()212cos x y xy x '-+=.（4）()()3222dy x y x dx -=+-. 例3求tan sec dy y x x dx-=，00x y ==的特解. 例4求下列方程的特解（1）sin dy y x dx x x +=，1x y π==.（2）cos cot 5x dy y x e dx +=，24x y π==-. 四、二阶常系数齐次线性微分方程例1求解下列常系数二阶方程（1）7120y y y '''-+=.（2）44100y y y '''++=.（3）20y y y '''++=.例2求下列方程的特解（1）340y y y '''--=，00x y ==，05x y ='=-.（2）250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.*五、微分方程综合题【热点】*例1设()()202xf x f t dt x +=⎰，求()f x .*例2求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(),x y 处的切线斜率等于2x y +.（2012年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多）——————————————————————————————————————————————— 练习题1.求方程10x y dy dx+=的通解. 2.求方程y xdy dx e dx +=的通解.3.求方程cos sin 1dy x y x dx+=的通解. 4.求下列方程满足初始条件的特解：02x x y y e y -='⎧+=⎪⎨=⎪⎩. 5.求下列二阶齐次方程的通解（1）340y y y '''+-=.（2）2250d y dy dx dx -=.（3）2220d s s dt-=.（4）()()()20x t x t x t '''++=. 6.求下列初值问题的特解（1）求430y y y '''++=，()02y =，()06y '=.（2）求250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.———————————————————————————————————————————————。
专插本高等数学例题和习题ch1极限、连续与间断
第一章 极限、连续与间断本章主要知识点● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类● 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()limm x nP x P x ->∞方法：上下同除以x 的最高次幂◇例1.1．5422lim x x x x x->∞+-+ 解：原式534111lim 11x x x x x ->∞+-==∞+ ◇例1.2．()()2243123lim31x x x x ->∞+-+解：原式()()222243123lim13x x x x x x ->∞+-=+2241332lim 13x x x x->∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=12 ◇例1.3．111313lim-++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim -++-++∞→x x x x x =xx x x x 11111313lim -++-++∞→=3◇例1.4．)214(lim 2x x x x -+-+∞→解：原式=xx x x x 2141lim2++-+-+∞→=211411lim2++-+-+∞→x x x x =41- ◇例1.5．xx x xx x x 234234lim --+++∞→解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim--+++∞→=1 （2）题型II ()lim()m x an p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, ◇例1.6．12cos lim 1++→x x x π解：原式=1/2◇例1.7．12sin lim 231+-++→x x xx x x π 解：原式=∞◇例1.8．32lim 221-+-→x x xx x解：原式=)3)(1()1(lim 1+--→x x x x x =3lim 1+→x x x =41◇例1.9．11lim31--→x x x解：令u ==322111(1)(1)lim lim1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23◇例1.10. 2232lim 221=+-++→x x bx ax x 解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim 2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x axa=2,b=-4 （3）题型III若0)(lim =→x f ax ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax◇例1.11. 2lim1))x x →+∞+ 解：因为2lim3x x →+∞+＝0，而2arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。
2024广东专插本考试高等数学试题
2024广东专插本考试高等数学试题2024广东专插本考试高等数学试题一、选择题1、下列函数中，在区间(0,1)内为增函数的是： A. y = ln(x + 1) B. y = e^(-x) C. y = sinx D. y = cosx2、设{an}为等比数列，a1 = 2，公比为q，则a2 等于： A. 2q B. qC. 1/qD. q^23、下列图形中，面积为S的平行四边形的个数是： A. 1 B. 2 C. 3D. 4二、填空题 4. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, -4)，则向量a 与向量b 的夹角为__________。
5. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3，则f(-2) = __________。
6. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| = __________。
三、解答题 7. 求函数y = sinx + cosx + sinxcosx + 1的最大值与最小值。
8. 求下列微分方程的通解：dy/dx = y/(x + 1)，其中y(0) = 1。
9. 在等差数列{an}中，已知a1 = 1，S100 = 100a10，求{an}的前n项和Sn的公式。
四、应用题 10. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本40万元，此外每生产100件产品还需增加投资2万元。
设总收入为R(x)万元，x为年产量，产品以每百件为单位出售，售价为47万元/百件。
若当年产量不足300件时，可全部售出；若当年产量超过300件，则只能销售75%。
试求该公司的年度总收入R(x)的表达式。
五、选做题 11. 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3, π/6)、(4, π/3)，求△AOB的面积S。
12. 已知函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。
试求证：存在一点ξ∈[0,1]，使得f(ξ) = -ξ。
六、附加题 13. 求证：在正整数中，n^3 - n一定是6的倍数。
江苏省专转本数学考试必考要点及解析
江苏省专转本数学考试必考要点及解析1.函数分段点处的连续性（何种间断点）2.函数极限（无穷小的情况）--利用洛必达法则和等价无穷小（必考后者）-- 一般用来求2个函数式中存在的未知量a,b,c 等---选择题或者填空题3.已知某点导数值，求在该点处的极限值 (必考)—填空题若(0)1f '=，则0()()lim x f x f x x→--=4.证明分段函数在分段点处的连续性和可导性（理解定义并会判别）（必考）--证明题5.交换积分次序(必考)---选择题或者填空题6.洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法（必考）--填空题、选择题、计算题7.利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式*注解：7和8常合起来考查函数在某个定义域处的单调性和凹凸性---选择题8.函数极值判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点 (2次求导后，用极值判断凹凸性若“极值<0”,则把符号顺时针旋转90度尖朝上突出说明就是“凸”以此类推“>”情况)9.曲线的水平渐近线与垂直渐近线(必考判断渐近线条数)—选择题10.不定积分计算不定积分的基本公式分部积分法（考查两者结合使用）或者对定积分的计算 (必考其一或2者皆有)--计算题、填空题11.变上或下限定积分求导数的方法（必考）--选择题牛顿—莱布尼茨公式定积分的换元积分法与分部积分法12.向量的数量积与向量积的计算方法（两向量垂直或平行时的满足情况，进行求给出向量中的未知量）--填空题13.求平面方程或者直线方程（平面的点法式方程、一般式方程。
会判定两平面的垂直、平行；点到平面的距离；直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。
会判定两直线平行、垂直；判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上））（必考）--计算题14.隐函数的一、二阶偏导数计算（必考）--计算题复合函数一、二阶偏导数的求法（必考）--计算题二元函数的全微分（在某点处的全微分值计算）--填空题15.二重积分的应用（求给出区域图形的面积）--计算题16.级数收敛、发散（判别方法的应用必考）--选择题几何级数、调和级数与p级数的敛散性级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法（重要应该必考）17.幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法18.一阶微分方程（可分离变量方程的解法。
广东专插本考试高数复习资料
三、函数作图
例 作函数 y = ln x 的图像 x
解题步骤： 解题步骤： (0 1.定义域： ， ∞ ) 定义域： +
2.确定特殊点（驻点，拐 点）： 确定特殊点（驻点，
极大值 y( e ) =
1 e
3.列表
2 ln x 3 y′′ = x3
1 ln x y′ = x2
令 y′ = 0
得驻点： x 得驻点： = e
3，
c
得x=e
3 2
3 3 3 拐点： 拐点：e 2 , e 2 2
令 y′′ = 0
x
y′
（ ，e） 0
e
0
（e , e ）
3 2
e
3 2
（e ,+∞）
3 2
＋
极大值点
－
凸
y′′
－
－ 0
拐点
－ ＋凹
4.渐近线
.水平渐近线： 水平渐近线：
1 lim = 0 x → +∞ x ln x 铅垂渐近线： 铅垂渐近线： lim ＝∞ x→x x
1 .设 f ( x )在 [0， a ]上连续，在（ 0， a ）内可导，且 f ( 0 ) = 0 , 上连续， 内可导， f(x) f ′( x )单调增加。试证： 单调增加。试证： 在（0， a ）内也单调增加 . x
2.已知 lim
x →a
f ( x ) f (a ) = 1 , 则在 x = a处 ____ ( x a )2
f 当 x > 0时， ( x ) > f ( 0 ) = 0
x2 ∴ ln( 1 + x ) > x 2
x2 ∴ ln( 1 + x ) x + 2
关于专插本高等数学知识点和例题
第一章 极限、连续与间断本章主要知识点● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类●连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()limm x nP x P x ->∞方法：上下同除以x 的最高次幂 例1.3．111313lim-++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim-++-++∞→x x x x x =xx x x x 11111313lim-++-++∞→=3 例1.4．)214(lim 2x x x x -+-+∞→解：原式=xx x x x 2141lim2++-+-+∞→=211411lim2++-+-+∞→x x x x =41- 例1.5．xx x xx x x 234234lim --+++∞→解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim--+++∞→=1（2）题型II ()lim()m x an p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, 例1.9．11lim31--→x x x解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23例1.10. 2232lim 221=+-++→x x bx ax x 解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4 （3）题型III若0)(lim =→x f ax ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax例1.11. 22limarccot(sin(1))3x x x →+∞++解：因为limx →+∞0，而2arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。
2021年.《高等代数》(专插本)
2021年
11.《高等代数》
Ⅰ、复习基本内容
集合与映射，多项式的运算与分解理论，重因式，复数域、
实数域、有理数域上的多项式，行列式的定义，性质及计算，行
列式展开定理，线性方程组的求解与解的基本理论，线性相关与
线性无关，矩阵的运算性质、矩阵乘法、矩阵的逆，矩阵的秩，
二次型及化标准型，复二次型与实二次型，正定二次型，主轴问
题，线性空间，子空间，基与维数，坐标，线性变换，线性变换
的运算，线性变换的矩阵，基底变换，相似变换，特征值及特征
向量，可以对角化的矩阵，线性映射，欧几里得空间，正交基，
正交变换与正交矩阵的性质，对称矩阵与对称变换的性质，子空
间的正交补等。
Ⅱ、基本要求
弄清基本概念，掌握基本定理的条件、结论及证明方法，掌
握一些常见的推理与计算技巧，熟练运用基本理论和方法分析问
题、解决问题。
Ⅲ、参考书
《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编
王萼芳、石生明修订高等教育出版社第四版
Ⅳ、考试形式及试卷结构
闭卷笔试，试卷结构包括填空题20分,单项选择题20分,
简答题10分,解答题30分,证明题20分.
Ⅴ、题型示例
填空题（2×10=20分）、单项选择题（2×10=20分）、简答
题（5×2＝10分）、解答题（10×3＝30分）、证明题（4×5＝20
1。
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第一章 极限、连续与间断本章主要知识点● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类●连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()limm x nP x P x ->∞方法：上下同除以x 的最高次幂 例1.3．111313lim-++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim-++-++∞→x x x x x =xx x x x 11111313lim-++-++∞→=3 例1.4．)214(lim 2x x x x -+-+∞→解：原式=xx x x x 2141lim2++-+-+∞→=211411lim2++-+-+∞→x x x x =41- 例1.5．xx x xx x x 234234lim --+++∞→解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim--+++∞→=1（2）题型II ()lim()m x an p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, 例1.9．11lim31--→x x x解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23例1.10. 2232lim 221=+-++→x x bx ax x 解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4 （3）题型III若0)(lim =→x f ax ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax例1.11. 2lim1))x x →+∞+ 解：因为limx →+∞0，而2arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。
例1.12．22limln(1tan )cos ()x x x→+解：因为 ln(1tan )0x +→（0x →），)2(cos 2x有界，所以 原式＝0．例1.13．2006lim(sin(2006))x x →+∞解 因为 01111lim 1lim3=++=++∞→∞→xx x x xx x x ，2006sin (sin(2006))x 有界；原式＝0。
（4）题型IV 10lim(1)uu u e →+=识别此类题型尤为重要，主要特征为∞1未定式．步骤如下： 例1.14．∞→x lim 322()1x x x +-+ 解：原式＝∞→x lim (32)3(1)1x x +-++＝∞→x lim 3(32)113311x x x x -+++-⎧⎫-⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝3(32)lim91x x x ee →∞-+-+=．例1.15．∞→x lim 221251()23x x x x x +-+-+ 解：原式＝∞→x lim 2232(21)232332232123x x x x x x x x x x --+-+-+--⎧⎫--⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪-+⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝2(32)(21)lim623x x x x x e e →∞--+--+=例1.16．xx x x 12)sin 1(lim +→解：原式=1)sin 1(lim 1)sin(sin 12022=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→xx x x x x x x（5）题型V 等价无穷小替换替换公式：)0(→x 221~cos 1x x - x x ~arcsin x x ~arctan x nx n1~11-+ x x ~)1ln(+ x e x ~1-替换原则：乘除可换，加减忌换。
例1.17．30sin limxxx x -→ 错解：30lim x xx x -→=0例1.18．1)5sin()21ln(lim22--→x x ex x解：原式=252lim20x xx x ⋅-→=-20 例1.19．2320arctan 121lim x x x --→解：原式=220)2(31lim xx x -⋅→=32- 例1.20．3942lim38-+-→x x x解：令8x u -=，则8x u =+原式＝0lim →u 32742163-+-+u u ＝0lim →u 12711811343-+-+u u ＝0lim →u 27.3181.2134u u＝227例1.21．xxx x 30tan sin tan lim-→解：原式=2121lim )cos 1(tan lim 32030=⋅=-→→xx x x x x x x 例1.22. )21ln(12)(cos lim x x x -→解：原式=222011(cos 1)112ln(12)lim cos 124lim (1cos 1)x x x x x x x x e e →-----→⎧⎫+-==⎨⎬⎩⎭例1.23. 4312arctan 1arcsin lim 22+++∞→x x x xx解：原式=23)1)(12()43(lim 43121lim 2222=+++=+++∞→∞→x x x x x x x x x x 例1.24. )11sin()cos(lim3sin tan 0-+-→x x e e xx x解：原式=)11sin()cos()1(lim3sin tan sin 0-+--→x x e e x x x x =111lim3sin tan 0-+--→x e x x x =03tan sin lim112x x xx →-=（6）题型VI 洛必达法则（见导数相关内容）；（7）题型VII 变上限积分有关积分（见积分相关内容）；二、极限应用—连续性分析定义：00lim ()()x x f x f x →=变形：000(0)(0)()f x f x f x -=+=,其中0(0)f x ±分别表示左、右极限。
例1.26．()221ln(12)sin ,0sin 2,01()01x x ax x x x f x b x x c x x⎧-+<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪+⎩，，若()f x 在0x =处连续，求,,a b c 解：201ln(12)(00)lim(sin)sin 2x x f ax x x →---=+2001ln(12)lim sin lim 1sin 2x x x a x x x→-→--=+=-由(00)(00)(0)f f f -=+=得：41b ce -== 故41,,b c e a =-=-为任意实数三、极限应用—间断识别及分类1．识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。
2．分类方法： （a ）00(0)(0)f x f x +=-，0x 为可去间断；（b ）00(0)(0)f x f x +≠-，0x 为第一类间断，或称跳跃型间断； （c ）)0(0+x f 、)0(0-x f 至少有一个不存在，0x 为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为∞，则为第二类无穷间断。
例1.29．xx x x f tan )()(π-=解：间断点为πk x =，2ππ+k ，Z k ∈,对于2ππ+=k x ， Z k ∈,因为0)(lim2=+→x f k x ππ，所以2ππ+=k x 为可去间断。
对于πk x =，当0=k ，即0=x ，ππ-=-→xx x x tan )(lim0，0x =可去间断；对于πk x =，当1=k ，即π=x ，ππ=-→xx x x tan )(lim 0,π=x 可去间断；当0,1k ≠，∞=-→xx x k x tan )(lim ππ，x k π=为第Ⅱ类无穷间断。
例1.30．11sin ()x x f x e x-= 解：间断点1=x ，0 1110(10)sin(1)lim 0x x f ee -∞-→--===， 1110(10)sin(1)lim x x f ee +∞-→++===∞。
()f x 在1=x 为Ⅱ类无穷间断。
1lim ()x f x e -→=，x=0为可去间断点。
例1.31．)2)(1)(3()1ln(2)(++---=x x x x x x f解： 定义域为 1≤x 。
间断点为 2,1-=-=x x 。
因为∞=-→)(lim 1x f x ，∞=-→)(lim 2x f x所以2,1--均为)(x f 的Ⅱ类无穷间断。
例1.32．xe xx x f -+-=2122)( 解： 定义域为22<<-x ，间断点为2,2-=x对于2-=x ，∞=--→)(lim 02x f x ，2x =-为第Ⅱ类无穷间断；对于2=x ， ∞=-=--→-→x x x e x x f 212022lim 21)(lim ，2=x 为第Ⅱ类间断。
注：对2,2-=x 仅考虑了其一个单侧极限。
例1.33．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=-.0,,0,1,0,sin 1)(21x e x x x x x f x 解：间断点是：2,,=∈=-x Z k k x π，x=0是可能间断点。
对于x=0，f(0+0)=21-e ,f(0-0)=∞,x=0为第Ⅱ类间断；对于,,-∈=Z k k x ππk x x f →∞=,)(lim 为第Ⅱ类间断； 对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=∞，为第Ⅱ类间断。
注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。
四、连续函数介值定理定理：)(x f 在闭区间[]b a ,内连续，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在[]b a ,至少有一零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f 。
应用此定理需要注意以下几点： (0) ()f x 如何定义。
)1( []b a ,区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。
)2( 验证)(x f 在闭区间[]b a ,上的连续性， )3( 验证)(x f 在两端的符号。
)4( 此定理不能确定)(x f 是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证)(x f 在[]b a ,内的单调性（参见导数应用部分）例1.34．证明：2=xxe 在[]1,0内有一实根证：构造2)(-=xxe x f ，[]1,0∈x易知)(x f 在[]1,0上连续，且2)0(-=f ，02)1(>-=e f ，故 0)1()0(<⋅f f ， 由连续函数介值定理知，0)(=x f 在()1,0有实根，即命题得证。