关于专插本高等数学知识点和例题

第一章 极限、连续与间断

本章主要知识点

● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类

●

连续函数的介值定理及应用

一、求极限的七类题型

这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。

（1）题型I ()

()lim

m x n

P x P x ->∞

方法：上下同除以x 的最高次幂 例1.3．1

11313lim

-++-++∞

→x x x x x

解：原式=1

11313lim

-++-++∞

→x x x x x =x

x x x x 11111

313lim

-++-++

∞

→=3 例1.4．)214(lim 2

x x x x -+-+∞

→

解：原式=x

x x x x 2141lim

2

++-+-+∞

→=2

1

141

1lim

2++-+

-+∞

→x x x x =41- 例1.5．x

x x x

x x x 234234lim --+++∞→

解：原式=x

x x

x x )2

1

()43(1)21()43(1lim

--+++∞→=1

（2）题型II ()

lim

()

m x a

n p x p x → 原式=()(),0()

,

()0,()0()()0

m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧

≠⎪⎪⎪

∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩

上下分解因式(或洛比达）, 例1.9．1

1lim

3

1--→x x x

解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝2

3

例1.10. 22

32lim 2

21=+-++→x x b

x ax x 解：a+2+b=0,

原式=222)

2)(1()

2)(1(lim )2)(1()2(2lim

2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4 （3）题型III

若0)(lim =→x f a

x ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f a

x

例

1.11. 2lim

1))x x →+∞+ 解：因为

lim

x →+∞0，而

2

arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。 例1.12．2

2limln(1tan )cos ()x x x

→+

解：因为 ln(1tan )0x +→（0x →），)2

(cos 2

x

有界，所以 原式＝0．

例1.13

．2006lim

(sin(2006))x x →+∞

解 因为 01111

lim 1

lim

3

=++=++∞→∞

→x

x x x x

x x x ，2006sin (sin(2006))x 有界；原式＝0。

（4）题型IV 10

lim(1)u

u u e →+=

识别此类题型尤为重要，主要特征为∞1未定式．步骤如下： 例1.14．∞

→x lim 32

2(

)1

x x x +-+ 解：原式＝∞→x lim (32)

3(1)

1

x x +-++＝∞→x lim 3

(32)1

1

3

311x x x x -+++-⎧

⎫

-⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩

⎭

＝3(32)lim

91

x x x e

e →∞

-+-+=．

例1.15．∞→x lim 221

2

51()23

x x x x x +-+-+ 解：原式＝∞→x lim 2

2

32

(21)

2323

32232123x x x x x x x x x x --+-+-+--⎧

⎫--⎪⎪⎛

⎫+⎨⎬ ⎪-+⎝⎭⎪⎪

⎩⎭

＝2(32)(21)lim

623

x x x x x e e →∞

--+--+=

例1.16．x

x x x 1

2

)sin 1(lim +→

解：原式=1)sin 1(lim 1)

sin(sin 1

2022=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→x

x x x x x x x

（5）题型V 等价无穷小替换

替换公式：)0(→x 2

2

1~

cos 1x x - x x ~arcsin x x ~arctan x n

x n

1~

11-+ x x ~)1ln(+ x e x ~1-

替换原则：乘除可换，加减忌换。

例1.17．30sin lim

x

x

x x -→ 错解：3

0lim x x

x x -→=0