立体几何三视图问题分类

立体几何三视图问题分类一、由空间图形画三视图1、一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确( )解析由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．答案 B2、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，故侧视图选D.3、如图，△ ABC为三角形，AA'//BB'//CC',CC'CC'⊥平面ABC 且3AA'=32BB'=CC' =AB,则多面体△ABC -A B C'''CC'的正视图（也称主视图）是（）【答案】D4.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：答案：C二、正方体5.如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．解析由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．答案②③6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3【解题指南】根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积.【解析】选B.由三视图可知原几何体如图所示,所以111111ABCD A B C D M A D N V V V --=-1166334410032=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 第8题图7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A ．32B.1C.212+D.2【解题指南】根据面积关系得出，侧视图就是正方体的一个对角面，则正视图也是一个对角面 【解析】选D ，根据条件得知正视图和侧视图一样，是正方体的一个对角面，故面积相等8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) A ．6 2 B ．4 2 C ．6D ．4解析 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A －BCD ，最长的棱为AD ＝（42）2＋22＝6，选C.9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )【解析】选A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A 中的图.10、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( ) A ．21＋ 3 B ．18＋ 3 C ．21 D ．18解析 (1)由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分(如图所示)，其表面积为S ＝6×4－12×6＋2×34×(2)2＝21＋ 3.11、一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80解析：由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为S ＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817. 答案：C12、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．8－2π B ．8－π C ．8－π2 D ．8－π4解析：直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的14圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×14＝8－π. 三、三棱柱13、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) A ．3 B ．2C ．23D ．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为324234⨯⨯=，侧面积为3216⨯⨯=，选D ．14、 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．【解析】由俯视图知该正三棱柱的直观图为图1－6，其中M ，N 是中点，矩形MNC 1C 为左视图．由于体积为23，所以设棱长为a ，则12×a 2×sin60°×a ＝23，解得a ＝2.所以CM ＝3，故矩形MNC 1C 面积为2 3.15、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）13【答案】 B解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为122121=⨯⨯⨯四、四棱柱16、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。

【解析】由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为1+=2⨯⨯（12）213 正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。

17、如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )221A ．6 3B ．9 3C ．12 3D ．18 3【解析】 由三视图知该几何体为棱柱，h ＝22－1＝3，S 底＝3×3， 所以V ＝9 3. 五、三棱锥18、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．3B ．2 C. 3D ．1解析 由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为 3.故该三棱锥的体积V ＝13×12×2×3×3＝1.答案 D19、 某四面体的三视图如图1－3所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2【解析】 由三视图可知，该四面体可以描述为SA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°， 且SA ＝AB ＝4，BC ＝3，所以四面体四个面的面积分别为10,8,6,62， 从而面积最大为10，故应选C.20、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（A ）48122+ （B ）48242+ （C ）36122+ （D ）36242+【解析】棱锥的直观图如右，则有PO ＝4，OD ＝3，由勾股定理，得PD ＝5，AB ＝62，全面积为：21×6×6＋2×21×6×5＋21×62×4＝48＋122，故选.A 。

21、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+解析：从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。

本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10=底S ，10=后S ，10=右S ，56=左S ，因此该几何体表面积5630+=+++=左右后底S S S S S ，故选B 。

【答案】B 22、设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）。

则该几何体的体积为 3m【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于16×2×4×3＝4【答案】4六、四棱锥23、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______. 【答案】23【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为22222223++=24、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案] 325、如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2解析：由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC ＝23，BD ＝2，高QP ＝3，其体积V ＝13×(12×23×2)×3＝2 3.答案：C26、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 .【解析】此棱锥底面是边长为3的正方形，高为1，所以体积为213133⨯⨯=。

27、一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于A ．3B ．23C ．33D ．63解析：由题意得，根据三视图的规则得，棱锥以俯视图为底面， 以侧视图的高为高，由于侧视图是以2为边长的等边三角形，所以3h =，结合三视图中的数据，底面积为1(12)232S =⨯+⨯=， 所以几何体的体积为1133333V Sh ==⨯⨯=，故选A 。

28、已知四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.E 是侧棱PC 上的动点．（Ⅰ）求证：BD AE ⊥（Ⅱ）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若五点,,,,A B C D P 在同一球面上，求该球的体积.(1)证明：由已知,PC BC PC DC PC ABCD ⊥⊥⇒⊥面BD ABCD BD PC ⊂⇒⊥面,又因为BD AC ⊥,,.BD PAC AE PAC BD AE ∴⊥⊂∴⊥面又面(2)连AC 交BD 于点O ，连PO ，由(1)知BD PAC ⊥面，BED PAC ⇒⊥面面，AE EH PO H ⊥过点作于，则EH PBD ⊥面，EBH ∴∠为BE 与平面PBD 所成的角. 13EH =,2,BE =则123sin 62EBH ∠== (3)解：以正方形ABCD 为底面，PC 为高补成长方体，此时对角线PA 的长为球的直径，21146R PA ∴==++=3463V R π球＝＝七、四棱台29、某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143C ．163D ．6【解析】选B. 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1,2,2，111414142333V S S S S h =++=+⨯=下下棱台上上（）（）.八、圆柱、圆锥圆台30、某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。