初中数学二次根式难题汇编及解析
(专题精选)初中数学二次根式难题汇编及答案解析
（专题精选）初中数学二次根式难题汇编及答案解析一、选择题 1．使代数式a a +-有意义的a 的取值范围为()n nA ．0a >B ．0a <C ．0a =D ．不存在【答案】C【解析】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ．2．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b 【答案】B【解析】【分析】根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．【详解】解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<，∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键．3．在下列算式中：257=②523x x x =；188944+==；94a a a =，其中正确的是（ ） A ．①③B ．②④C ．③④D ．①④ 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案.【详解】25①错误；=②正确；222==，故③错误；==④正确；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.4．下列计算结果正确的是()A3B±6CD．3＋＝【答案】A【解析】【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【详解】A、原式=|-3|=3，正确；B、原式=6，错误；C、原式不能合并，错误；D、原式不能合并，错误．故选A．【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．m的值不可以是（）A．18m=B．4m=C．32m=D．627m=【答案】B 【解析】【分析】【详解】A. 18m =时，12==84m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意；B. 4m =时，=2m ，此选项符合题意C. 32m =时，=32=42m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =时，62==273m ，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.6．下列运算正确的是( )A ．3＋2=5B ．(3－1)2＝3－1C ．3×2＝6D ．2253-＝5－3 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得出结果．【详解】解：A.3＋25≠，故本选项错误；B. (3－1)2＝3－23+1=4-23，故本选项错误；C. 3×2＝6，故本选项正确；D.2253-＝25916-= =4，故本选项错误．故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．7．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】．8．下列计算或运算中，正确的是（）A ．=B =C ．=D ．-=【答案】B【解析】【分析】 根据二次根性质和运算法则逐一判断即可得．【详解】A 、=BC 、=D 、-=，此选项错误；故选B ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质．9．x 的取值范围是( )A ．1x ≥-B ．12x -≤≤C ．2x ≤D ．12x -<<【答案】B【解析】【分析】【详解】解：要使二次根式有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数，则1020xx+≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x-≤≤故选：B．【点睛】本题考查二次根式的性质．10的值是一个整数，则正整数a的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到a的最小值即可．【详解】∴正整数a是最小值是2．故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．11．有意义的x的取值范围（）A．x＞2 B．x≥2C．x＞3 D．x≥2且x≠3【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．根据题意，得20{30xx-≥-≠解得，x≥2且x≠3．考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件12．有意义时，a的取值范围是（）A．a≥2B．a＞2 C．a≠2D．a≠－2【答案】B【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故选B．13．计算÷的结果是（）A B C．23D．34【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．【详解】解：÷1(24=⨯÷=16=⨯2=．故选：A．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键．14．婴儿游泳是供婴儿进行室内或室外游泳的场所，婴儿游泳池的样式多种多样，现已知积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据底面积＝体积÷高列出算式，再利用二次根式的除法法则计算可得．【详解】故选：D ．【点睛】考核知识点：二次根式除法．理解题意，掌握二次根式除法法则是关键．15．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≠C ．3x ≥D ．0x ≥【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】在实数范围内有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．16．当实数x 41y x =+中y 的取值范围是( ) A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥， 419x ∴+≥，即9y ≥．故选：B ．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x 的取值是解决本题的关键．17．下列运算正确的是( )A =B =C 123=D 2=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A ．≠A 错误；B ．=，故B 正确；C ．=C 错误；D ．2=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．18．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．19．下列根式中属最简二次根式的是（ ）A．21a+B．12C．8D．2【答案】A【解析】试题分析：最简二次根式是指无法进行化简的二次根式.A、无法化简；B、原式=；C、原式=2；D、原式=.考点：最简二次根式20．下列计算正确的是()A1836=B822=C．332=D2(5)5-=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A1831836=÷=822222==C.2333=，此选项计算错误；2(5)5-=，此选项计算错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．。
二次根式难题及答案
二次根式难题及答案【篇一：二次根式提高练习习题(含答案)】判断题：（每小题1分，共5分）21．(?2)ab＝－2ab．???????（）2．－2的倒数是3＋2．（）23．(x?1)＝(x?1)2．?（）4．ab、5．8x，13a3b、?2a是同类二次根式．?（） xb1，9?x2都不是最简二次根式．（） 31有意义． x?3（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x__________时，式子7．化简－15828．a－a2?1的有理化因式是____________． 9．当1＜x＜4时，|x－4|＋x2?2x?1＝________________．ab?c2d2ab?cd2210．方程2（x－1）＝x＋1的解是____________． 11．已知a、b、c为正数，d为负数，化简12．比较大小：－＝______．127_________－14．y?3＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．15．x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知x3?3x2＝－xx?3，则??????（）（a）x≤0（b）x≤－3（c）x≥－3（d）－3≤x≤0222217．若x＜y＜0，则x?2xy?y＋x?2xy?y＝?????????（）（a）2x（b）2y（c）－2x（d）－2y 18．若0＜x＜1，则(x?)?4－(x?（a）1x212)?4等于?????????（） x22（b）－（c）－2x（d）2x xx?a3(a＜0)得????????????????????????（） 19．化简a（a）?a（b）－a（c）－?a（d）a20．当a＜0，b＜0时，－a＋2ab－b可变形为???????????????（）（a）(a?b)2 （b）－(a?b)2 （c）(?a??b)2 （d）(?a??b)2（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（5??2）（5?3?2）；22．54?－42－；?73?23．（a2abn－mmmn＋n24．（a＋a?babb?ababab?bab?aa?（五）求值：（每小题7分，共14分）x3?xy23?2?25．已知x＝，y＝，求4的值． 3223xy?2xy?xy3?2?226．当x＝1－2时，求xx?a?xx?a2222＋2x?x2?a2x?xx?a222＋1x?a22的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（2＋1）（1111＋＋＋?＋）．1?22??4?28．若x，y为实数，且y＝?4x＋4x?1＋（一）判断题：（每小题1分，共5分）1xyxy．求?2?－?2?的值． 2yxyx2、【提示】1?23?4?223、(x?1)＝|x－1|，（x≥1）．两式相等，必须x≥1．但等式左边x 可取任何数．【答(x?1)2＝x－113a3b、?2a化成最简二次根式后再判断．【答案】√． xb6、【提示】x何时有意义？x≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x≥0且x≠9．7、【答案】－2aa．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a－a2?1）（________）＝a2－(a2?1)2．a＋a2?1．【答案】a＋a2?1． 9、【提示】x2－2x＋1＝（）2，x－1．当1＜x＜4时，x－4，x－1是正数还是负数？x－4是负数，x－1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax＝b的形式后，a、b分别是多少？2?1，2?1．【答案】x＝3＋22． 11、【提示】c2d2＝|cd|＝－cd．【答案】ab＋cd．【点评】∵ ab＝(ab)2（ab＞0），∴ ab－c2d2＝（ab?cd）（ab?cd）． 12、【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较－111，的大小，最后比较－与2848281的大小． 48【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】x?1≥0，y?3≥0．当x?1＋y?3＝0时，x＋1＝0，y－3＝0．15、【提示】∵ 3＜＜4，∴ _______＜8－＜__________．[4，5]．由于8－介于4与5之间，则其整数部分x＝？小数部分y＝？[x＝4，y＝4－]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了．（三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】d．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（a）、（c）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x＜y＜0，∴ x－y＜0，x＋y＜0．∴x2?2xy?y2＝(x?y)2＝|x－y|＝y－x．x2?2xy?y2＝(x?y)2＝|x＋y|＝－x－y．【答案】c．【点评】本题考查二次根式的性质a2＝|a|．18、【提示】(x－12111)＋4＝(x＋)2，(x＋)2－4＝(x－)2．又∵ 0＜x＜1， xxxx11∴ x＋＞0，x－＜0．【答案】d．xx【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（a）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x＜1时，x－1＜0． x19、【提示】?a3＝?a?a2＝?aa2＝|a|?a＝－a?a．【答案】c． 20、【提示】∵ a＜0，b＜0，∴－a＞0，－b＞0．并且－a＝(?a)2，－b＝(?b)2，ab＝(?a)(?b)．【答案】c．【点评】本题考查逆向运用公式(a)2＝a（a≥0）和完全平方公式．注意（a）、（b）不正确是因为a＜0，b＜0时，a、b都没有意义．（四）计算题：（每小题6分，共24分）21、【提示】将?看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(5?)2－(2)2＝5－2＋3－2＝6－2． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝5(4?)4(?)2(3?)－－＝4＋－－－3＋7＝1．16?1111?79?7abnm1nm－）22 mn＋mmnabmn1nnmmmm?－? mn?＋22mabmabmnnnn11a2?ab?1－＋＝． aba2b2a2b223、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a21b21＝2b＝【解】原式＝24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．a??b?abaa(a?)?b(a?b)?(a?b)(a?b)a?bab(a?)(a?b)a?ba2?aab?bab?b2?a2?b2a?bab(a?)(a?b)＝a?bab(a?b)(a?)＝－?．a?b?ab(a?b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x＝3?2＝(3?2)2＝5＋2，3?23?2y＝＝(3?2)2＝5－26．3?2∴ x＋y＝10，x－y＝46，xy＝52－(26)2＝1．2x(x?y)(x?y)x?y46x3?xy26．＝＝＝＝2243223xy(x?y)xy(x?y)1?105xy?2xy?xy【点评】本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过程更简捷．26、【提示】注意：x2＋a2＝(x2?a2)2，∴ x2＋a2－xx2?a2＝x2?a2（x2?a2－x），x2－xx2?a2＝－x （x2?a2－x）．【解】原式＝xx?a(x?a?x)2222－2x?x2?a2x(x?a?x)22＋1x?a22＝x2?x2?a2(2x?x2?a2)?x(x2?a2?x)xx?a(x?a?x)xx2?a2(x2?a2?x)2222222222222＝x?2xx?a?(x?a)?xx?a?x=(x2?a2)2?xx2?a2＝xx2?a2(x2?a2?x)x2?a2(x2?a2?x) xx2?a2(x2?a2?x)11．当x＝1－2时，原式＝＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分x1?2122x式”之差，那么化简会更简便．即原式＝－2x?x?a＋22222222x?ax?a(x?a?x)x(x?a?x)11111＝(＝1． ?)＋?)－(2xx?a2?xxx2?a2x2?a2?xx2?a2＝六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（2?13?24??＋＋＋?＋） 2?13?24?3100?99＝（25＋1）[（2?1）＋（?2）＋（4?）＋?＋（?）]＝（25＋1）（00?1）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．1?x???1?4x?0?4]28、【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？[? ]你能求出x，y的值吗？[?14x?1?0.??y?.?2?1?x???1?4x?0111?4【解】要使y有意义，必须[?，即?∴ x＝．当x＝时，y＝．442?4x?1?0?x?1.?4?又∵xxyxy??2?－?2?＝(yyxyxy2－xy2 )(?)xyx【篇二：二次根式及经典习题及答案】>知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
初中数学二次根式精选试题(含答案和解析)
初中数学二次根式精选试题一.选择题1. （2018·湖南怀化·4分）使有意义的x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3 C．x≥3D．x＞3【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式.求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵式子有意义.∴x﹣3≥0.解得x≥3．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件.熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．2.（2018•江苏宿迁•3分）若实数m、n满足.且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长.则△ABC的周长是（）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值.再分情况讨论：①若腰为2.底为4.由三角形两边之和大于第三边.舍去；②若腰为4.底为2.再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0.n-4=0.∴m=2.n=4.又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长.①若腰为2.底为4.此时不能构成三角形.舍去.②若腰为4.底为2.则周长为：4+4+2=10.故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质.根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.3.（2018•江苏无锡•3分）下列等式正确的是（）A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简.判断即可．【解答】解：（）2=3.A正确；=3.B错误；==3.C错误；（﹣）2=3.D错误；故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的化简.掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键．4.（2018•江苏苏州•3分）若在实数范围内有意义.则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式.解不等式.把解集在数轴上表示即可．【解答】解：由题意得x+2≥0.解得x≥﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件.掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．5.（2018•山东聊城市•3分）下列计算正确的是（）A．3﹣2=B．•（÷）=C．（﹣）÷=2D．﹣3=【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．【解答】解：A.3与﹣2不是同类二次根式.不能合并.此选项错误；B.•（÷）=•==.此选项正确；C.（﹣）÷=（5﹣）÷=5﹣.此选项错误；D.﹣3=﹣2=﹣.此选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算.解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．6．（2018•上海•4分）下列计算﹣的结果是（）A．4 B．3 C．2D．【分析】先化简.再合并同类项即可求解．【解答】解：﹣=3﹣=2．故选：C．【点评】考查了二次根式的加减法.关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加减.先把各个二次根式化成最简二次根式.再把被开方数相同的二次根式进行合并.合并方法为系数相加减.根式不变．7. （2018•达州•3分）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2【分析】根据被开方数是非负数.可得答案．【解答】解：由题意.得2x+4≥0.解得x≥﹣2.故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件.利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键.8. （2018•杭州•3分）下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【考点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：AB.∵.因此A符合题意；B不符合题意；CD.∵.因此C.D不符合题意；故答案为：A【分析】根据二次根式的性质.对各选项逐一判断即可。
新初中数学二次根式难题汇编及答案
新初中数学二次根式难题汇编及答案一、选择题1．9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤B ．37x ≤≤C ．36x ≤≤D ．17x ≤≤【答案】A【解析】【分析】先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解．【详解】9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤，当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾；当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合；当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合；当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合；当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾；综上，x 取值范围为：26x ≤≤，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则．2．如果0,0ab a b >+<，那么给出下列各式=；a =-；正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【答案】B【解析】【分析】由题意得0a <，0b <，然后根据二次根式的性质和乘法法则逐个判断即可．【详解】解：∵0ab >，0a b +<，∴0a <，0b <，无意义，故①错误；==，故②正确；1====-，故③正确；a a故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2【答案】B【解析】【分析】在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案.【详解】在实数范围内有意义，∴a＋2≥0，解得a≥－2．故选B.【点睛】本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件；x=-时，二次根m等于（）4．当3C DA B．2【答案】B【解析】解：把x=﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得：=．故选B．5．下列各式计算正确的是( )A．2＋b＝2b B=C．(2a2)3＝8a5D．a6÷ a4＝a2【答案】D【解析】解：A．2与b不是同类项，不能合并，故错误；B 不是同类二次根式，不能合并，故错误；C ．（2a 2）3=8a 6，故错误；D ．正确．故选D ．6．x 的取值范围是（ ） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】∵67x -是被开方数，∴670x -≥，又∵分母不能为零，∴670x ->，解得，x ＞76； 故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件.7．下列计算结果正确的是( )A 3B ±6CD ．3＋＝【答案】A【解析】【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【详解】A 、原式=|-3|=3，正确；B 、原式=6，错误；C 、原式不能合并，错误；D 、原式不能合并，错误．故选A．【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．下列运算正确的是()A B．1)2＝3－1 C D5－3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得出结果．【详解】解：≠，故本选项错误；1)2＝3－，故本选项正确；= =4，故本选项错误．故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．9．下列计算错误的是（）A=B=C．3=D=【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．【详解】解：==，正确；==C. =D. ==故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．下列计算正确的是()A6=B=C．2=D5=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A====C.=，此选项计算错误；=，此选项计算错误；5故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．11．下列运算正确的是（）A+=B）﹣1＝2C 2 D±3【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：A-=，正确；B、12C2=D3，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．12．2在哪两个整数之间()A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8【答案】C【解析】【分析】== 1.414222≈，即可解答．【详解】== 1.414222≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．13．婴儿游泳是供婴儿进行室内或室外游泳的场所，婴儿游泳池的样式多种多样，现已知积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据底面积＝体积÷高列出算式，再利用二次根式的除法法则计算可得．【详解】故选：D．【点睛】考核知识点：二次根式除法．理解题意，掌握二次根式除法法则是关键．14．下列计算正确的是（）A．=B=C ．=D -=【答案】B【解析】【分析】 根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.【详解】A 、-B 、，此选项正确；C 、=（D 、= 故选B【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.15．计算201720192)2)的结果是( )A ．B 2C ．7D ．7- 【答案】C【解析】【分析】先利用积的乘方得到原式= 201722)2)]2)⋅，然后根据平方差公式和完全平方公式计算．【详解】解：原式=201722)2)]2)+⋅=2017(34)(34)-⋅-1(7=-⨯-7=故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．6C ．236223+--D ．23225+-【答案】D【解析】【分析】 将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积((222323=222233+=23225故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．17．当实数x 2x -41y x =+中y 的取值范围是( ) A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥， 419x ∴+≥，即9y ≥．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．18．下列根式中属最简二次根式的是（）A．21a+B．12C．8D．2【答案】A【解析】试题分析：最简二次根式是指无法进行化简的二次根式.A、无法化简；B、原式=；C、原式=2；D、原式=.考点：最简二次根式19．若x+y＝2，x﹣y＝3﹣222x y-的值为（）A．2B．1 C．6 D．3﹣2【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y＝2，x﹣y＝3﹣2，22()()(322)(322)x y x y x y-=+-=+-1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．20．mmn-有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n的取值，即可判断P点所在的象限.依题意的-m≥0，mn＞0，解得m＜0，n＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.。
初中数学二次根式难题汇编及答案
初中数学二次根式难题汇编及答案一、选择题1．a 的取值范围为() A ．0a >B ．0a <C ．0a =D ．不存在 【答案】C【解析】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ．2．在下列算式中：=②=；③42==；=，其中正确的是（ ） A ．①③B ．②④C ．③④D ．①④ 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案.【详解】①错误；=②正确；222==，故③错误；==④正确；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.3．下列各式计算正确的是( )A ．2＋b ＝2bB =C ．(2a 2)3＝8a 5D ．a 6÷ a 4＝a 2【答案】D【解析】解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误；B 不是同类二次根式，不能合并，故错误；C ．（2a 2）3=8a 6，故错误；D ．正确．故选D ．4．x 的取值范围是（ ） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】∵67x -是被开方数，∴670x -≥，又∵分母不能为零，∴670x ->，解得，x ＞76； 故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件.5．1x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x ≠B ．3x ＞-且1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≥-且1x ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得；x+3≥0，x-1≠0，解不等式就可以求解．【详解】在有意义， ∴x+3≥0，x-1≠0，解得：x≥-3且x≠1，故选D ．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数．6．下列运算正确的是（ ）A．B）2=2 CD==3﹣2=1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】根据二次根式的加减，可知A选项错误；根据二次根式的性质2=a（a≥02=2，所以B选项正确；(0)=0(=0)(0)a aa aa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜﹣11|=11，所以C选项错误；DD选项错误．故选B．【点睛】此题主要考查了的二次根式的性质2=a（a≥0(0)=0(=0)(0)a aa aa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜，正确利用性质和运算法则计算是解题关键.7．-中，是最简二次根式的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】3，不是最简二次根式；2，不是最简二次根式；-，不是最简二次根式；是最简二次根式.共有2个最简二次根式.故选A.点睛：最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．8．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b【答案】C【解析】试题分析：利用数轴得出a+b 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可： ∵由数轴可知，b ＞0＞a ，且 |a|＞|b|，()2a a b a a b b +=-++=.故选C ．考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．9．下列式子正确的是（ ）A 366=±B ()237-327C ()3333-=-D ()255-=- 【答案】C【解析】【分析】 根据算术平方根、立方根的定义和性质求解即可.【详解】解：366=，故A 错误.()237-327B 错误.()3333-=-，故C 正确.D. ()255-=，故D 错误.故选：C【点睛】此题主要考查算术平方根和立方根的定义及性质，熟练掌握概念是解题的关键.10．下列计算正确的是( ) A 1836= B 822=C ．332= D 2(5)5-=-【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A．1831836÷=÷=，此选项计算错误；B.822222-=-=，此选项计算正确；C.2333-=，此选项计算错误；D.2(5)5-=，此选项计算错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．11．下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．12B．15C．13D．2【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），判断即可．【详解】解：A、12=23，故本选项错误；B、15是最简根式，故本选项正确；C、13=3，故本选项错误；D、2=22，故本选项错误.故选：B．【点睛】本题考查对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．12．如果，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B..考点：二次根式的性质.13．下列各式中，是最简二次根式的是( )A 12B5C18D2a【答案】B【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】（1）A被开方数含分母，错误.(2)B满足条件，正确.(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.(4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.所以答案选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.14．下列各式成立的是（）A．332-=B63-＝3C．22233⎛=-⎝D2(3)-3【答案】D【解析】分析：各项分别计算得到结果，即可做出判断．详解：A．原式3B．原式不能合并，不符合题意；C．原式=23，不符合题意；D．原式=|﹣3|=3，符合题意．故选D．点睛：本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．15．下列各式中是二次根式的是（）A．38B．1-C．2D．x（x＜0）【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】A、38的根指数为3，不是二次根式；B、1-的被开方数﹣1＜0，无意义；C、2的根指数为2，且被开方数2＞0，是二次根式；D、x的被开方数x＜0，无意义；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如a（a≥0）叫二次根式．16．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．12B．0.8C．5D．4【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求解.【详解】A. 12，根号内含有分数，故不是最简二次根式；B. 0.8，根号内含有小数，故不是最简二次根式；C. 5，是最简二次根式；D. 4=2，故不是最简二次根式；故选C.【点睛】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.17．实数,a b在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a ab b+++的结果是（）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b -【答案】A【解析】【分析】,a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】 解：0,,a b a b ＜＜＞0,a b ∴+＜||a b a a b b +=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．18．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）AB ．C + 1D + 2 【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简，再把m 2+m =. 【详解】 解：（221m m ++1）31m m +÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=⋅+ ＝m 2+m ，∵m 2+m =0，∴m 2+m =∴原式=故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．19．下列各式中，属于同类二次根式的是（）A B．C．3D．【答案】C【解析】【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、C、3的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；D故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．20．下列各式中，不能化简的二次根式是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】A、B选项的被开方数中含有分母或小数；D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C选项符合最简二次根式的要求．【详解】=，被开方数含有分母，不是最简二次根式；解：A2=，被开方数含有小数，不是最简二次根式；B10D=，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式；所以，这三个选项都不是最简二次根式．故选：C．【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．。
二次根式50题上 参考答案与试题解析
二次根式50题上参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．【解答】解：（1）原式＝2+2×2＝+4＝5；（2）原式＝+6﹣＝2+6﹣4＝2+2．2．【解答】解：（1）原式＝3×5÷＝15＝15；（2）原式＝5﹣3＝2；（3）原式＝2﹣﹣﹣＝﹣；（4）原式＝3×1﹣（﹣）﹣1＝3﹣2+﹣1＝．3．【解答】解：（1）原式＝7﹣25＝﹣18；（2）原式＝＝．4．【解答】解：（1）原式＝4+3﹣2＝5；（2）原式＝[（﹣2）（+2）]2019•（+2）﹣2（1﹣）﹣1＝﹣（+2）﹣2（1﹣）﹣1＝﹣﹣2﹣2+﹣1＝﹣5．5．【解答】解：（I）（+）+（﹣）＝2+2+﹣＝3+；（II）2×÷5＝4×÷5＝3×＝．6．【解答】解：（1）原式＝4÷﹣3÷＝4﹣3；（2）原式＝×2﹣×＝2﹣＝4﹣5＝﹣1．7．【解答】解：（1）原式＝3﹣8+3＝﹣2；（2）原式＝﹣2＝﹣2＝﹣．8．【解答】解：（1）﹣﹣+原式＝2﹣4﹣2+5＝3﹣2；（2）÷（3﹣2）＝2÷（﹣2）＝2÷（﹣）＝﹣2．9．【解答】解：（1）原式＝﹣|2﹣|＝+2﹣＝2；（2）原式＝2（1+）（1﹣）＝2×（1﹣3）＝﹣4．10．【解答】解：（1）原式＝+﹣4＝2+3﹣4＝1；（2）原式＝+4﹣4+3＝3+4﹣4+3＝7﹣．11．【解答】解：原式＝2+1﹣+8＝+9．12．【解答】解：原式＝+4＝3+4＝7．13．【解答】解：（1）﹣+＝2﹣3+5＝4；（2）（）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+6×＝4﹣1+2﹣+3＝5+2．14．【解答】解：（1）原式＝（2+7﹣）•＝（9﹣）＝27﹣．（2）原式＝（5﹣3）﹣（2+2+6）＝2﹣（8+4）＝2﹣8﹣4＝﹣6﹣4．（3）原式＝÷＝＝．15．【解答】解：原式＝2﹣+（3+9﹣6）÷＝+（12﹣6）÷＝+4﹣6＝5﹣6．16．【解答】解：（1）原式＝×4﹣1+4++1＝2﹣1+4++1＝7；（2）原式＝（6﹣+4）÷2＝÷2＝．17．【解答】解：原式＝（6﹣）÷2＝×＝．18．【解答】解：（1）原式＝（3）2﹣62＝18﹣36＝﹣18；（2）原式＝3+﹣1+1＝4．19．【解答】解：（1）原式＝[x2﹣4xy+4y2﹣（4y2﹣x2）]÷2x ＝[x2﹣4xy+4y2﹣4y2+x2]÷2x＝（2x2﹣4xy）÷2x＝x﹣2y；（2）原式＝1+﹣1+3﹣＝3．20．【解答】解：原式＝1﹣3﹣+﹣2＝﹣4．21．【解答】解：（1）原式＝﹣3＝2﹣3＝﹣；（2）原式＝（）2﹣（）2＝8﹣＝．22．【解答】解：×﹣（）﹣1﹣|2﹣|＝﹣﹣|2﹣3|＝﹣﹣1＝﹣﹣．23．【解答】解：（3﹣）2+＝18﹣6+6+4＝18﹣12+6+4＝24﹣8．24．【解答】解：原式＝4+﹣2+﹣1＝4+﹣2+﹣1＝3．25．【解答】解：（1）原式＝2+1+2﹣2+4＝7；（2）原式＝4÷（8﹣﹣3）＝1．26．【解答】解：（1）原式＝3﹣2﹣3﹣1＝﹣2﹣1；（2）原式＝3+4﹣4﹣6＝1﹣4．27．【解答】解：（1）（3﹣）2++4＝9﹣6+2+4+2＝11；（2）|﹣1|﹣•+（+1）2﹣（）2＝﹣1﹣2+3+2+1﹣3＝；（3）÷+（﹣1）0﹣1＝×+1﹣1＝5+1﹣1＝5；（4）+×﹣＝3+﹣＝3；（5）（）2（5+2）+5＝（3﹣2+2）×（5+2）+5＝（5﹣2）×（5+2）+5＝25﹣24+5＝6；（6）÷﹣|2﹣3|+（﹣）﹣1＝﹣（3﹣2）+（﹣2）＝﹣3+2+（﹣2）＝﹣5+．28．【解答】解：（1）原式＝+3﹣4＝0；（2）原式＝2××＝；（3）原式＝12﹣6＝6．29．【解答】解：（1）原式＝4+3﹣2+4＝7+2；（2）原式＝3﹣4+4+2+2＝7．30．【解答】解：（1）原式＝2+3﹣2﹣6＝﹣4+；（2）原式＝+﹣﹣＝﹣＝．31．【解答】解：（1）原式＝﹣2+4＝4﹣4+4＝4；（2）原式＝4﹣3+＝+3．32．【解答】解：原式＝﹣2+4×＝3﹣6+＝3﹣5．33．【解答】解：（1）原式＝4×÷＝3÷＝；（2）原式＝3﹣﹣（8﹣4+1）＝3﹣﹣（9﹣4）＝3﹣﹣9+4＝7﹣﹣9．34．【解答】解：（1）原式＝（×3+2×﹣2）×2＝（+﹣2）×2＝（﹣）×2＝6﹣8；（2）原式＝3﹣4+12﹣4+1＝12﹣4．35．【解答】解：（1）﹣4÷+3＝2﹣4+＝﹣．（2）（﹣2）（+2）﹣（﹣）+|1﹣|＝3﹣4+2+﹣1＝﹣2+3．36．【解答】解：（1）＝3﹣2+（3﹣1）＝3﹣2+2＝+2；（2）（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0＝3+﹣1+1＝4．37．【解答】解：（1）＝+1+3﹣3+2＝4；（2）＝2b•（﹣a）•＝﹣9a2b．38．【解答】解：（1）﹣＝2﹣＝；（2）﹣×＝2﹣＝；（3）（+﹣×）÷＝（5+4﹣3）÷2＝6÷2＝3．39．【解答】解：原式＝﹣（×2﹣×2）+（）2﹣（）2＝﹣+3+2﹣3＝3﹣1．40．【解答】解：原式＝4﹣3+﹣1+﹣2＝6﹣6．41．【解答】解：原式＝（2）2﹣12＝12﹣1＝11．42．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+3＝+3；（2）原式＝（4﹣2+6）÷＝8÷＝8．43．【解答】解：（1）（+）﹣（﹣）＝2+﹣+＝3+；（2）（）2﹣（）＝5+2+2﹣﹣＝7+2﹣﹣．44．【解答】解：（﹣2）2++6﹣|1﹣|＝3﹣4+4+2+2﹣（﹣1）＝3﹣4+4+2+2﹣+1＝8﹣．45．【解答】解：（1）＝2﹣﹣+＝；（2）＝+1﹣1＝3+1﹣1＝3．46．【解答】解：＝3﹣﹣3＝3﹣2﹣3＝﹣3．47．【解答】解：原式＝2+1﹣﹣2﹣＝﹣1．48．【解答】解：原式＝+2﹣＝2+2﹣＝3．49．【解答】解：（1）原式＝2×2÷4＝8÷4＝2；（2）原式＝2+3﹣2＝3．50．【解答】解：（1）原式＝•＝；（2）原式＝4×﹣（5﹣1）＝12﹣4＝8．。
专题01 二次根式重难点题型分类(解析版)八年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题01二次根式重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的四类重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1．（2022春·a 的取值范围是（）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2【详解】解：由题意得，a 10,a 2+≥≠，解得，a ≥-1且a ≠2，故答案为：C.2．（2019·1有意义时，x 应满足的条件是______.3.（青竹湖）函数x x y 2-=中，自变量x 的取值范围是.【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4．（2022秋·山东济南）若a ，b 都是实数，b ﹣2，则a b的值为_____．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是.【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11，①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6．（2022春·21a -，那么（）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．（2018·广东广州）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a=_____．8．（2021·湖南娄底）2,5,m ）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．49．（2020·四川攀枝花）实数a 、b +-（）．A ．2-B ．0C ．2a -D ．2b10．（2021春·山东淄博）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：||a【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.则原式()a a c c a b a b =-++---=-.11．（2021春·全国）探究题：＝_，＝，＝，＝，＝，＝，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若x＜2＝；＝；（3）若a，b，c题型二二次根式的乘除12．（2021春·=____．14．（2022春·=____．_____．15．（2022春·16．（2023春·（）B C D．A19.（2021秋·八年级课时练习）计算:-⋅；（1(-，（2(15)(20．（2022秋·八年级课时练习）计算:21．（2021秋·上海虹口）计算：（1(；（2）0,0)a b ÷>>题型三最简二次根式22．（2022春·天津）下列二次根式中，最简二次根式是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个不是最简二次根式，不符合题意，综上，是最简二次根式的有24．（2022秋·a的值是（）A．2B．3C．4D．5m=__________．25．（2020秋·题型四二次根式的混合运算26．（2021春·全国）计算:（1）1|3|-+---（2）27．（2021春·新疆乌鲁木齐）计算：28．（2021春·全国）(1)﹣529．（2022秋·陕西西安）已知a ＝2b ＝2（1）a 2﹣3ab ＋b 2；（2）（a ＋1）（b ＋1）．30．（2021秋·上海）已知3x =+求：2267x x x x ++++的值．31.（雅实）已知a =b =,求值：（1）a b +；（2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b ab ab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=32.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a ab a ab b a b +-÷++-，其中2a =-2b =+。
人教版初中数学二次根式难题汇编含答案
∵ 1 0 ，且 a 0 ， a
∴a<0，
∴ a 1 >0， a
∴ a 1 = 1 (a)2 1 a2 = a ，
aa
a
故选：A.
【点睛】
此题考查平方根的定义，二次根式的化简，正确理解二次根式的被开方数大于等于 0 得到
a 的取值范围是解题的关键.
6．若代数式 x 3 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是( ) x 1
故选：B 【点睛】 本题考查了无理数大小的估算，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．考查了二次根 式的混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的．
3．已知 x 3 5 x 2，则化简 1 x2 5 x2 的结果是（ ）
A．4 【答案】A 【解析】
B． 6 2x
C． 4
D． 2x 6
x 3 0
由 x 3 5 x 2可得{
，∴3≤x≤5，∴
5 x 0
1 x2
5 x2 =x-1+5-x=4，故选
A.
4．计算 (3)2 的结果为（ ）
A．±3 【答案】C 【解析】 【分析】
B．-3
C．3
根据 a2 =|a|进行计算即可．
【详解】
(3)2 =|-3|=3，
14．实数 a, b 在数轴上对应的点位置如图所示，则化简 a2 | a b | b2 的结果是（ ）
A． 2a
【答案】A 【解析】 【分析】
B． 2b
C． 2a b
D． 2a b
利用 a2 a , 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．
【详解】
解： a＜0＜b, a ＞b , a b＜0,
人教版初中数学二次根式难题汇编附答案
人教版初中数学二次根式难题汇编附答案一、选择题1．2在哪两个整数之间()A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8【答案】C【解析】【分析】222== 1.414≈，即可解答．【详解】222== 1.414≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．2．把(a b-根号外的因式移到根号内的结果为（）.A B C．D．【答案】C【解析】【分析】先判断出a-b的符号，然后解答即可．【详解】∵被开方数1b a≥-，分母0b a-≠，∴0b a->，∴0a b-<，∴原式(b a=--==故选C．【点睛】=|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．3．下列各式计算正确的是（）A1082==-=B．()()236==-⨯-=C 115236==+=D ．54==- 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断．【详解】解：A 、原式，所以A 选项错误；B 、原式，所以B 选项错误；C 、原式C 选项错误；D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．在下列算式中：=②=；③42==；=，其中正确的是（ ） A ．①③B ．②④C ．③④D ．①④ 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案.【详解】①错误；=②正确；==，故③错误；==④正确；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.5．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定 【答案】C【解析】由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.6．有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≥1B ．x≥2C ．x ＞1D ．x ＞2【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x 的不等式组，解不等式组即可得.【详解】由题意得 200x x -≥⎧⎨≠⎩， 解得：x≥2，故选B.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.7．的结果是 A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】B【解析】=-=22故选:B8x的取值范围是（）A．x≥5B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】Q有意义，∴x+5≥0，解得x≥-5.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.9．下列式子正确的是（）=-A6=±B C3=-D5【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质求解即可.【详解】=，故A错误.解：6B错误.=-，故C正确.3=，故D错误.D. 5故选：C【点睛】此题主要考查算术平方根和立方根的定义及性质，熟练掌握概念是解题的关键.10．下列计算正确的是()A ．3=B =C ．1=D 2=【答案】D【解析】【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】A 、=，错误；BC 、22=⨯=D 2==，正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则．11．下列各式中，属于同类二次根式的是（ ）A B ． C ． 3 D ．【答案】C【解析】【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B 、C 、3的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；D故选：C ．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．12．下列各式中是二次根式的是（ ）A B C D x ＜0）【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】A 、38的根指数为3，不是二次根式；B 、1-的被开方数﹣1＜0，无意义；C 、2的根指数为2，且被开方数2＞0，是二次根式；D 、x 的被开方数x ＜0，无意义；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如a （a≥0）叫二次根式．13．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．222()-=-B ．284⨯=C ．2810+=D ．222-= 【答案】B【解析】【分析】根据2a =|a|，a b ab ⨯=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．【详解】A 、()222-=，故原题计算错误；B 、2816⨯==4，故原题计算正确；C 、2832+=，故原题计算错误；D 、2和2不能合并，故原题计算错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．14．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．6C ．236223+--D ．23225+-【答案】D【解析】【分析】 将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积=()()222323⨯-+⨯-=222233-+-=23225+-故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．15．实数,a b 在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a a b b +++的结果是（ ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b -【答案】A【解析】【分析】2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】解：0,,a b a b Q ＜＜＞ 0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．16．下列运算正确的是( )A =B =C 123=D 2=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A ．≠A 错误；B ．=，故B 正确；C ．=C 错误；D ．2=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．17．下列运算正确的是（ ）A =B 2÷=C ．3=D ．142=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识即可解答. 【详解】=，故错误；2÷=，正确；C. =D. 142故选B.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则.18．有意义的x 的取值范围（ ） A ．x ＞2B ．x≥2C ．x ＞3D ．x≥2且x≠3【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数． 根据题意，得20{30x x -≥-≠解得，x≥2且x≠3． 考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件19．下列二次根式中的最简二次根式是（ ）AB C D 【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】ABC ，不是最简二次根式；D 2，不是最简二次根式； 故选：A ．【点睛】此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．20．a =-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．0a <D ．0a >【答案】A【解析】【分析】由根号可知等号左边的式子为正，所以右边的式子也为正,所以可得答案.【详解】得-a≥0，所以a≤0，所以答案选择A项.【点睛】本题考查了求解数的取值范围，等号两边的值相等是解答本题的关键.。
八年级数学二次根式32道典型题(含答案和解析)
八年级数学二次根式32道典型题（含答案和解析）1.如果式子√x+1在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．答案：x≥－1.解析：二次根式有意义的条件是根号内的式子不小于零，所以x＋1≥0，即x≥－1. 考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.2.当x 时，√3x+2有意义．.答案：x≥−23解析：由题意得：3x＋2≥0.解得：x≥−2.3考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.3.已知化简√12−n的结果是正整数，则实数n的最大值为（）．A.12B.11C.8D.3答案：B.解析：当√12−n等于最小的正整数1时，n取最大值，则n＝11．考点：式——二次根式.4.如果式子√x+3有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（）．答案：C.解析：如果式子√x+3有意义，则x＋3≥0，即x≥－3，数轴表示为C图．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.5.二次根式√3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是．答案：x≤3.解析：二次根式√3−x在实数范围内有意义，则需满足3－x≥0，即x≤3. 考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式有意义的条件.6.下列等式成立的是（）．A.√32=±3B.√172−82=9C.(√−7)2=7D.√(−7)2=7答案：D.解析：√32=3，故A选项错误.√172−82=√225=15，故B选项错误.√−7无意义，故C选项错误.√(−7)2=7，故D选项正确．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.7.若x＜2，则化简√(x−2)2的结果是（）．A.2－xB.x－2C.x＋2D.x-2√x+2答案：A.解析：∵x＜2.∴x-2＜0．∴√(x−2)2=|x−2|=2−x．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.8.计算√(−2)2的结果是．答案：2.解析：√(−2)2=|−2|=2．考点：式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.9.若a＜1，化简√(a−1)2−1等于．答案：－a.解析：当a＜1时，a－1＜0.∴√(a−1)2−1＝1－a－1＝－a．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.10.已知x＜1，那么化简√x2−2x+1的结果是（）．A.x－1B.1－xC.－x－1D.x＋1 答案：B.解析：∵x＜1.∴x－1＜0.∴√x2−2x+1=√(x−1)2=|x−1|=1−x．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.11.结合数轴上的两点a、b，化简√a2−√(a−b)2的结果是．答案：b.解析：由数轴可知，b＜0＜a.∴a－b＞0.∴√a2−√(a−b)2=a−a+b=b．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.12.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）．A.√5abB.√4a2C.√8aD.√a2答案：A.解析：√5ab是最简二次根式，故选项A正确.√4a2=2|a|，不是最简二次根式，故选项B错误.√8a=2√2a，不是最简二次根式，故选项C错误.√a中含有分母，即不是最简二次根式，故选项D错误．2考点：式——二次根式——二次根式的基础——最简二次根式.13.下列各式中，最简二次根式是（）．A.√0.2B.√18C.√x2+1D.√x2答案：C.，不是最简二次根式，故选项A错误.解析：√0.2=√55√18=3√2，不是最简二次根式，故选项B错误.√x2=|x|，不是最简二次根式，故选项D错误.√x2+1是最简二次根式，故选项C正确.考点：式——二次根式——二次根式的基础——最简二次根式.14. 若m =√13，估计m 的值所在的范围是（ ）．A.0＜m ＜1B.1＜m ＜2C.2＜m ＜3D.3＜m ＜4 答案：D.解析：3=√9<√13<√16=4.所以3＜m ＜4．考点：数——实数——估算无理数的大小.15. 已知a 、b 为两个连续的整数，且a <√28<b ，则a +b = ． 答案：11.解析：∵52=25，62=36.∴a ＝5，b ＝6.∴a ＋b ＝11．考点：数——实数——估算无理数的大小.16. 已知：x 2−3x +1=0，求√x √x 的值．答案：√5.解析：∵x 2−3x +1=0. ∴x +1x =3.∴(√x √x )2=x +1x +2=5.∴√x √x =√5．考点：式——二次根式——二次根式的化简求值.17. 若实数a ，b 满足(a +√2)2+√b −4=0，则a 2b = ．答案：12. 解析：(a +√2)2+√b −4=0.又(a +√2)2≥0，√b −4≥0.∴{a +√2=0√b −4=0. 即a =−√2，b =4.∴a 2b =12. 考点：数——有理数——非负数的性质：偶次方.式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.18. 若实数x ，y 满足√x −2+(y +√2)2=0，则代数式y x 的值是 ． 答案：2.解析：由题意得，x −2=0，y +√2=0.解得x =2，y =−√2.则y x =2．考点：数——有理数——非负数的性质：偶次方.式——二次根式——二次根式的基础——二次根式化简.19. 下列各式计算正确的是（ ）．A.√2+√3=√5B.4√3−3√3=1C.2√2×3√3=6√3D.√27÷√3=3 答案：D.解析：√2+√3无法计算，故A 错误.4√3−3√3=√3，故B 错误.2√2×3√3=6×3=18，故C 错误.√27÷√3=√273=√9=3，D 正确．考点：式——二次根式——二次根式的乘除法——二次根式的加减法.20. 下列计算正确的是（ ）．A.√a 2=aB.√a +√b =√a +bC.(√a)2=aD.√ab =√a ×√b 答案：C.解析：√a 2=±a ，所以A 错误.√a +√b 中a 和b 的值未知，故不能进行加减运算，所以B 错误. (√a)2=a ，所以C 正确.√ab =√|a |×√|b |，所以D 错误．考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.21. 计算：13√27−√6×√8+√12．答案：−√3.解析：原式=13×3√3−4√3+2√3=−√3．考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.22. 计算：(√2−√3)2−(√2+√3)(√2−√3)． 答案：6−2√6．解析：原式=2−2√6+3−2+3=6−2√6． 考点：数——实数——实数的运算.23. 计算：√18−4√18−2(√2−1)．答案：2.解析：原式=3√2−4×√24−2√2+2=3√2−√2−2√2+2＝2.考点：式——二次根式——二次根式的加减法.24. 计算：(12)−2−(π−√7)0+|√3−2|+4×√32．答案：5+√3.解析：原式=4−1+2−√3+2√3=5+√3. 考点：数——实数——实数的运算.25. 计算：|2−√5|−√83+(−12)−2．答案：√5.解析：原式=(√5−2)−2+1(−12)2=√5−2−2+4=√5.考点：数——实数——实数的运算.26. 计算：(√3−√2)2−√3(√2−√3)． 答案：8−3√6.解析：原式=3−2√6+2−(√6−3)=5−2√6−√6+3=8−3√6.考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.27. 计算：√4−(π−3)0−(12)−1+|−3|．答案：2.解析：原式=2−1−2+3=2.考点：数——实数——实数的运算.28. 计算：(1−√3)0+|2−√3|−√12+√643．答案：7−3√3.解析：原式=1+2−√3−2√3+4=7−3√3.考点：数——实数——实数的运算.29.计算：(√2+1)×(√6−√3)．答案：√3.解析：原式=√12−√6+√6−√3=√12−√3=2√3−√3=√3.考点：式——二次根式——二次根式的混合运算.30.计算：√27+√6×√8−6√13．答案：5√3.解析：原式=3√3+4√3−2√3=5√3.考点：式——二次根式——二次根式的加减法.31.计算：√9−√83+|−√2|−(√3−√2)0．答案：√2.解析：原式=3−2+√2−1=√2.考点：数——实数——实数的运算.32.计算：(π−3.14)0+|√3−2|−√48+(13)−2．答案：12−5√3.解析：原式=1+2−√3−4√3+9=12−5√3. 考点：数——实数——实数的运算.。
数学中考试题二次根式200题(含解析)
－（cos30°）0115．已知x= +1，求x2－2x－3的值．
116. 先化简，再求值 ，其中a=，b=．
117.计算： ．
118.计算： ．
119. 计算：
120.计算： ．
121. 计算：．
122．计算：（2－）（2+）+（－1）2010 ．
25.已知实数x、y、a满足： ，
试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果丌能，请说明理由．
26. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
…①（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s
163．计算：－（－3）=；如图所示，化简 =．
164．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a－2|+ 的结果为．
165．已知a＜2，则 =．
166．当x＞2时，化简=．
167．计算： +| －2|+（2－π）0
168．计算： ．
169．计算：－（－2009）0+（ ）－1+|－1|．
170．计算：
154．计算：（－1）（+1）－（sin35°－ ）0+（－1）2008－（－2）－2
155．计算：（ +3）（3－ ）
156.阅读下列材料，然后回答问题．
在迚行二次根式的化简不运算时，我们有时会碰上如 一样的式子， 其实我们还可以将其迚一步化简：
=
=
= （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
初中数学二次根式难题汇编附答案解析
B． 8 2 2 ，故 B 错误；
C． (3)2 3 ，故 C 错误；
D． 27 3 27 3 9 3 ，正确．
故选 D．
15．计算 2 12 3 3 2 的结果是（ ） 4
A． 2 2
B． 3 3
C． 2 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．
D．6 到 7 之间பைடு நூலகம்
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估
算即可得解．
【详解】
解： 2 6 2 12 2
∵ 9 12 16 ∴ 9 12 16 ∴ 3 12 4
∴估计 2 6 2 值应在 3 到 4 之间． 2
故选：A 【点睛】 本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
b a 1 b a2 1 b a ．
ba
ba
故选 C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简： a2 |a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二
次根式的乘法．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． 102 82 102 82 10 8 2
B．
49 4 9 23 6
C． 1 1 1 1 1 1 5 49 4 9 236
故选：A． 【点睛】 本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟 练运用二次根式的运算法则．
14．下列计算或化简正确的是（ ）
A． 2 3 4 2 6 5
B． 8 4 2
C． (3)2 3
D． 27 3 3
(易错题精选)初中数学二次根式难题汇编附答案
解：∵ |2a-1|，
∴|2a-1|=1-2a，
∴2a-1≤0，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质.
6．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥ B．x＞ C．x≤ D．x＜
【答案】B
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
B、 ，正确；
C、 ，故此选项错误；
D、 ＝3，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．
【详解】
A． ，此选项计算错误；
【详解】
根据题意得： ，
解得：x≥0且x≠1．
故选：B．
【点睛】
此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
8．如果 ，那么（）
A． B． C． D．x为一切实数
【答案】B
【解析】
∵ ,
∴x≥0,x-6≥0,
∴ .
故选B.
9．下列各式中计算正确的是（）
B. ，此选项计算正确；
C. ，此选项计算错误；
D. ，此选项计算错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
13．式子 有意义，则实数a的取值范围是（）
二次根式的50道混合运算(5大题型)—2023-2024学年八年级数学下册重难点(浙教版)(解析版)
二次根式的50道混合运算专训（5大题型）【题型目录】题型一 利用二次根式的性质化简题型二 二次根式的乘除法题型三 二次根式的加减法题型四 已知字母的值化简求值题型五 分母有理化【经典计算题一 利用二次根式的性质化简】 1．（2023下·湖北随州·八年级校联考期中）计算： (1)18422−+； (2)2(23)(2335)(2335)+−+−．【答案】(1)2(2)3826+【分析】（1）先化简根式，再合并同类二次根式即可得到答案；（2）先根据完全平方公式及平方差公式展开，再合并即可得到答案；【详解】（1）解：原式22222=−+；2=；（2）解：原式()22631245=++−−22631245=++−+3826=+；【点睛】本题考查化简二次根式及实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握222()2a b a b ab +=++， 22()()a b a b a b +−=−．2．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）计算：(1)201939327(1)+−+−−−(2)23(6)128−+−−【答案】(1)4 (2)32+【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【详解】（1）解：201939327(1)33314+−+−−−=+−+=； （2）解：23(6)128621232−+−−=+−−=+．【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 3．（2019上·福建宁德·九年级开学考试）先化简，再求值：211211m m m m ⎛⎫÷− ⎪+++⎝⎭，其中31m =−． 【答案】11m +，33 【分析】原始第二项先化简括号里面的，再利用除法法则变形，约分后将m 的值代入即可【详解】211211m m m m ⎛⎫÷− ⎪+++⎝⎭ ()211m m m m =÷++ ()211m m m m +=⋅+11m =+，将31m =−代入得原式133311==−+．【点睛】此题考查分式的化简求值，二次根式的性质，关键在于正确化简计算．4．（2023下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）先化简后求值：222122111a a a a a a a a−+−+−−−−，其中2a =−． 【答案】1a −，3−【分析】由2a =−得130a −=−<，再根据提公因式法和公式法因式分解及二次根式的性质化简原式即可得出答案．【详解】解：∵2a =−，∴130a −=−<，∴原式()()211111a a a a a a −−=−−−− ()()1111a a a a a −−=−−−−111a a a =−+−1a =−3=−【点睛】本题主要考查分式的化简求值，涉及到二次根式的性质，完全平方公式、提公因式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）填空： (1)9±= ________； (2)124= ________；(3)364=________ ；(4)48= ________；(5)43= ________； (6)63= ________； (7)()22−= ________；(8)()331−= ________；(9)23−= ________；【答案】(1)3±(2)32(3)4(4)43(5)23 3(6)2(7)2(8)1−(9)32−【分析】（1）直接化简即可；（2）将带分数化为假分数，即可化简；（3）根据立方根的定义，即可化简；（4）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（5）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（6）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（7）根据二次根式的化简方法和步骤进行化简即可；（8）根据立方根的性质进行化简即可；（9）根据负数的绝对值是它的相反数，即可化简．【详解】（1）解：93±=±；故答案为：3±．（2）解：1932442==；故答案为：3 2．（3）解：3644=；故答案为：4．（4）解：4816316343=⨯=⨯=；故答案为：43．（5）解：442323 33333===⨯；故答案为：233．（6）解：66323=÷=； 故答案为：2．（7）解：()()22222−==；故答案为：2．（8）解：()3311−=−；故答案为：1−．（9）解：()232332−=−−=−； 故答案为：32−．【点睛】本题主要考查了二次根式和绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法和步骤． 6．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）根据所给数轴解决以下问题：(1)计算：2b =___________．(2)化简：()323c b a a b b c −−++−+【答案】(1)b −；(2)2a b −．【分析】（1）由数轴确定b 的符号，再根据二次根式的化简公式可得到答案；（2）由数轴可确定a 、b 、c 的大小，0a b c <<<，a b >，c b >，再根据二次根式的化简公式，去绝对值符合法则，立方根的定义计算即可．【详解】（1）由数轴可知0b <，∴2b b b ==−，故答案为：b −；（2）由数轴可得：0a b c <<<，c b >， ∴0b a −>，0b c +>，∴原式()()()c b a a b b c =−−++−+，c b a a b b c =−+++−−，2a b =−．【点睛】此题考查了数轴、二次根式的化简与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 7．（2023上·四川内江·八年级校考阶段练习）计算：23= ，20.5= ，()26−= ，234⎛⎫−= ⎪⎝⎭ ，213⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，20= ， (1)根据计算结果，回答：当0a >时，2a = ；当0a =时，2a = ；当a<0时，2a = ；(2)利用以上的规律，计算：①若2x <，则()22x −= ；②()23.14−π= ；(3)若a ，b ，c 为三角形的三边，化简：()()()222a b c b c a b c a +−+−−++−【答案】(1)3，0．5，6，34，13，0；,0,a a −(2)2x −， 3.14π−(3)a b c ++【分析】（1）根据算术平方根的定义，逐个进行计算即可；（2）根据（1）中得出的结论，进行计算即可；（3）根据三角形三边之间的关系，得出0a b c +−>，0b c a −−<，0b c a +−>，再根据算术平方根的性质，进行化简，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：2393==，20.50.250.5==，()26366−==，23934164⎛⎫−== ⎪⎝⎭，2111393⎛⎫== ⎪⎝⎭，2000== 故答案为：3，0.5，6，34，13，0；当0a >时，2a a =； 当0a =时，20a =；当a<0时，2a a =−；故答案为：,0,a a −；（2）解：①∵2x <，∴20x −<， ∴()()2222x x x −=−−=− ；②∵3.14π<，∴3.140π−<， ∴()()23.14 3.14 3.14ππ−π=−−=−，故答案为：2x −， 3.14π−；（3）解：∵a ，b ，c 为三角形的三边∴0a b c +−>，0b c a −−<，0b c a +−>，()()()222a b c b c a b c a +−+−−++− a b c b c a b c a=+−+−−++− a b c a c b b c a =+−++−++−a b c =++． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握2a a =． 8．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质：()()20a a a =≥()()200a a a a a a ⎧≥⎪==⎨−<⎪⎩（a 为任意实数）． 利用上述两条性质解决下列问题．(1)化简()21x −，当______时，()21x −=______；当______时，()21x −=______． (2)解方程()213x −=； (3)方程()()22214x x −+−=的解是______； (4)方程()()221231x x −−+=−的解是______．【答案】(1)1x ≥，1x −；1x <，1x −；(2)4x =或2x =−(3)72x =(4)8x =−或43x =−【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；（2）结合（1）分类讨论求解即可；（3）由二次根式有意义的条件可求出2x ≥，从而得出11x −≤−，即可将原方程化简，再求解即可；（4）根据二次根式的性质分类讨论求解即可，注意舍去不合题意的解．【详解】（1）解：化简()21x −，当10x −≥，即1x ≥时，()211x x −=−； 当10x −<，即1x <时，()211x x −=−．故答案为：1x ≥，1x −；1x <，1x −；（2）解：()213x −=，由（1）可知当1x ≥时，原方程可化为13x −=，解得：4x =；当1x <时，原方程可化为13x −=，解得：2x =−．∴原方程的解为4x =或2x =−；（3）解：∵方程()()22214x x −+−=成立，∴20x −≥，∴2x ≥，∴11x −≤−， ∴原方程可化为214x x −+−=，解得：72x =； （4）解：()()221231x x −−+=−分类讨论：当3x <−时，即10x −<，30x +<，∴原方程可化为()1231x x −−−−=−，解得：8x =−；当31x −≤<时，即10x −<，30x +≥，∴原方程可化为()1231x x −−+=−， 解得：43x =−；当1x ≥时，即10x −>，30x +≥，∴原方程可化为()1231x x −−+=−，解得：6x =−（舍）．综上可知该方程的解为8x =−或43x =−．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质解方程．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 9．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如()232212+=+，善于思考的小明进行了以下探索：若设()22222222a b m n m n mn +=+=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似2a b +的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若()277a b m n +=+，当a 、b 、m 、n 均为整数时，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：=a _____，b =_____； (2)若()2633a m n +=+，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；(3)化简下列各式：①526+； ②4102541025−++++．【答案】(1)227m n +，2mn (2)a 的值为12或28(3)①32+；②51+【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用含m 、n 表示a 、b ；（2）利用（1）中的结论得到62mn =，利用a 、m 、n 均为正整数得到1m =，3n =或3m =，1n =，再代入进行计算即可得到答案；（3）①将原式变形为()232+即可得到答案；②设4102541025t −++++=，两边平方得到2625t =+，再把625+写成完全平方式，即可得到t 的值，从而得到答案．【详解】（1）解：()22277727a b m n m n mn +=+=++，227a m n ∴=+，2b mn =；故答案为：227m n +，2mn ；（2）解：∵62mn =，∴3mn =，∵a m n 、、均为正整数，∴1m =，3n =或3m =，1n =，当1m =，3n =时，2222313328a m n =+=+⨯=；当3m =，1n =时，2222333112a m n =+=+⨯=；即a 的值为12或28；（3）解：①()2526322323232+=++⨯=+=+，②设4102541025t −++++=， 则()241025410252161025t =−+++++−+82625=+− ()28251=+− ()8251=+−625=+()251=+， ∴51t =+．【点睛】本题考查了根据二次根式的性质进行化简，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键． 10．（2023下·浙江金华·八年级校联考阶段练习）求代数式()21a a +−，1007a =，如图是小亮和小芳的解答过程：解：原式()21a a =+− 1a a =+− 1= 解：原式()21a a =+−=+−1a a2013=(1)________的解法是正确的；(2)化简代数式269a a a +−+，（其中a<0）；(3)若()()225813a a −++=，直接写出a 的取值范围．【答案】(1)小芳(2)3(3)85a −≤≤【分析】（1）根据题意，利用二次根式性质化简后求值即可验证；（2）由a<0得到30a −<，利用二次根式性质化简后求值即可得到答案；（3）利用二次根式性质化简后，利用绝对值的代数意义，分三类讨论求解即可得到答案．【详解】（1）解：1007a =，10a ∴−<，∴()2111a a a −=−=−，即()21a a +−=+−1a a 21a =−当1007a =时，原式2013=，∴小芳的解法是正确的，故答案为：小芳； （2）解：0a <，∴30a −<，∴269a a a +−+ ()23a a =+− 3a a =+− 3a a =−+3=；（3）解：()()225858a a a a −++=−+−， 当8a ≤−时，58582313a a a a a −++=−−−=−−=，解得8a =−； 当85a −<<时，585813a a a a −++=−++=； 当5a ≥时，58582313a a a a a −++=−++=+=，解得5a =；综上，a 的取值范围是85a −≤≤．【点睛】本题考查代数式化简求值，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键．【经典计算题二 二次根式的乘除法】 11．（2023上·江苏南通·八年级校考期中）计算： (1)20318*******−⎛⎫+−−−− ⎪⎝⎭ (2)()215432733÷−⨯ 【答案】(1)31−− (2)26−【分析】（1）本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；（2）本题考查二次根式的乘除混合运算，根据乘除运算法则，进行计算即可．【详解】（1）解：原式2231431=+−−−=−−；（2）原式213633326332633=−⨯÷⨯⨯=−÷⨯=−． 12．（2023上·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）化简：(1)364(2)()22640,09b a b a >≥ (3)()290,064x x y y ≥> (4)()250,0169x x y y ≥> (5)212121335÷⨯ (6)53232ab a b b ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭【答案】(1)38(2)83ba(3)36xy (4)513xy(5)1(6)223a b −【分析】（1）根据二次根式的性质，进行化简即可；（2）根据二次根式的性质，进行化简即可；（3）根据二次根式的性质，进行化简即可；（4）根据二次根式的性质，进行化简即可；（5）利用二次根式的乘除法则，进行计算即可；（6）根据二次根式的乘法法则，进行计算即可．【详解】（1）解：33648=； （2）2264893b b a a =； （3）293646x x y y =； （4）25516913x x yy =； （5）2125371211335375÷⨯=⨯⨯=；（6）23535322233332a b ab a b ab a b a b b b b ⎛⎫⋅−=−⋅=−=− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次根式的性质，以及二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键． 13．（2023下·广东东莞·八年级校联考期中）计算：(1)()()122035++−；(2)()0423622(8)π−÷−+． 【答案】(1)335+；(2)3312−． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算，然后合并即可．【详解】（1）原式()()232535=++−，232535=++−，335=+；（2）原式()14236122=−⨯−，33212=−−，3312=−．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键． 14．（2023下·山东德州·八年级统考期中）计算：(1)()()0212221201916π−+−−−−； (2)()1223285227⎛⎫÷⨯− ⎪ ⎪⎝⎭． 【答案】(1)12−(2)51021−【分析】对于（1），由2124−=，0(2019)1π−=，11164=，再计算即可；对于（2），根据二次根式的乘除法法则计算即可．【详解】（1）原式1122144=+−−−12=−；（2）原式5116(5)27328=⨯⨯−5516132728=−⨯⨯510349=−⨯ 511037=−⨯⨯ 51021=−．【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握运算法则，理解零指数次幂和负整数指数次幂是解题的关键． 15．（2023下·山东济宁·八年级统考阶段练习）计算． (1)148312242÷+⨯− (2)()()()()22313223132−++−−+ 【答案】(1)46−(2)9【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则计算乘除，再合并同类二次根式即可；（2）先根据完全平方公式和二次根式的乘法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：148312242÷+⨯−148312262⨯=÷+−16626=+−46=−；（2）()()()()22313223132−++−−+()31233443232332=+−+++−+−−1123223=+−− 9=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算；熟练运用二次根式的运算法则和公式法是解题的关键． 16．（2022上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期中）计算：(1)()252(52)(52)+−++ (2)380151215−++− 【答案】(1)1045+(2)33+【分析】（1）先利用乘法公式进行二次根式的计算，然后合并即可；（2）先进行平方差公式的运算，然后合并．【详解】（1）解：()252(52)(52)+−++545454=−+++1045=+； （2）解：380151215−++−801523155=−+−43231=−+−33=+．【点睛】此题考查乘法公式、立方根以及二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则．17．（2023下·河南信阳·七年级统考期末）计算：(1)()()2236125−−+； (2)()33123⨯−+−． 【答案】(1)10(2)33+【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘法法则，去绝对值，再合并即可；【详解】（1）解：()()2236125−−+615=−+10=（2）解：()33123⨯−+−3323=−+33=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质等知识点，主要考查学生的计算和化简能力． 18．（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）计算： (1)()18123−⨯； (2)()()()2311551+−−+． 【答案】(1)366−(2)823+【分析】（1）先利用二次根式的乘除法的法则运算，再将各项化简为最简二次根式即可．（2）利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再计算加减即可．【详解】（1）解：原式5436=−366=−（2）解：原式323115=++−+823=+【点睛】本题考查二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．19．（2023下·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：()()()2252522−+−−（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：921224323⎛⎫−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭ 212243932⎛⎫−⨯+ =⎪ ⎪⎝⎭……第一步 322232623323=−⨯+⨯……第二步 32122622=−+……第三步 922=……第四步 ①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；③该运算正确结果应是______.【答案】（1）742−+；（2）①商的算术平方根，等于算术平方根的商或a a b b =（a b ≥，0b >）；②二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③3322−. 【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式化简计算即可．（2）①根据二次根式的性质：a a b b =（a b ≥，0b >），即可得到答案；②括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号．③根据二次根式的性质和运算法则，正确运算即可．【详解】（1）()()()()()22525224544221642742−+−−=−−−+=−−+=−+； （2）①化简步骤中第一化简的依据为a ab b =（a b ≥，0b >）， 故答案为：a a b b =（a b ≥，0b >）；②第二步开始出现错误，错误的原因为：括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③921224323⎛⎫−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭ 921224332⎛⎫=−⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭322232623323=−⨯−⨯32122622=−−3322=−. 该运算正确结果应是3322−. 故答案为：3322−. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和性质，熟练掌握二次根式运算的法则是解题的关键． 20．（2023下·江苏·八年级期末）观察下列各式及其验算过程： 222233+=，验证：3223222223333⨯++===； 333388+=，验证：3338333338888⨯++===． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415+的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【答案】(1)481541515+=，验证见解析(2)2211n n n n n n +=−−，验证见解析【分析】（1）根据材料中的方法即可求解．44441515+=，将左右两边按照二次根式的性质计算即可验证；（2）由（1）中的式子可得规律：2211n nn n n n +=−−．【详解】（1）解：∵222233+=，333388+=，∴44281544415151515+==⋅=， 验证：4648154151515+==，正确；（2）解：由（1）中的规律可知2223218311541=−=−=−，，， ∴2211n nn n n n +=−−，验证：3222111n n n n n n n n +==−−−，正确． 【点睛】本题考查二次根式的乘除以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键．【经典计算题三 二次根式的加减法】 21．（2023上·四川成都·八年级校考期中）计算： (1)1823122++⨯； (2)()212327|13|2π−⎝−⎛⎫−++−− ⎪⎭．【答案】(1)326+ (2)623+【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，实数的混合运算； （1）先进行二次根式的乘法运算，化简，再算加减即可； （2）先算绝对值，零指数幂，负整指数幂，化简，再算加减即可． 掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．【详解】（1）解：原式2226=++326=+； （2）解：原式133431=++−+623=+．22．（2024上·湖南株洲·八年级统考期末）化简求值：224(1)244a a a a a −−÷+++，其中5a =． 【答案】22a −，254+【分析】本题考查分式的化简求值，先化简分式，再代入计算即可．【详解】原式()()()222222a a a a a a +−+−=÷++()()()222222a a a a +=⋅++−22a =−，当5a =时，原式()()()252222542525252a +====+−−−+．23．（2024上·广东梅州·八年级统考期末）计算： (1)2(32)(32)(2)+−+−；(2)3231381642−⎛⎫−++−− ⎪⎝⎭．【答案】(1)3 (2)12【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的性质展开，然后计算即可；（2）根据有理数的乘方，算术平方根，立方根和负整数指数幂的性质化简，然后计算即可． 【详解】（1）解：原式322=−+3=； （2）解：原式()9948=−++−−9948=−+++12=．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，有理数的乘方，算术平方根，立方根和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 24．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）计算： (1)计算：()2221216+−⨯．(2)先化简，再求值：2221111x x x x x −+⎛⎫−÷⎪+−⎝⎭，其中31x =+． 【答案】(1)9 (2)11x −；33【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分式的化简求值及分母有理化： （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解；（2）先利用分式的混合运算法则进行化简，再将31x =+代入原式即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式842142=++−94242=+−9=（2）原式()()()2111111x x x x x x x +−+⎛⎫=−⨯ ⎪++⎝⎭−()()()211111x x x x =+-´+-11x =−， 当31x =+时，原式11333113===+−． 25．（2023上·甘肃兰州·八年级统考期中）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应问题： ()()()()4624624624626262++===+−−+．应用：用上述类似的方法化简下列各式： (1)116576+++； (2)若k 是31−，求28k 的值． 【答案】(1)75− (2)843+【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化．（1）先利用分母有理化化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘方运算，再进行分母有理化即可． 掌握分母有理化的方法，是解题的关键．【详解】（1）解：原式()()()()657665657676−−=++−+−6576=−+−75=−；（2）由题意可得：()()()()22842388884342342342331k +====+−−+−．26．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）计算： (1)148312242÷+⨯−； (2)()()32233223+−． 【答案】(1)46− (2)6【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． （2）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．【详解】（1）148312242÷+⨯−148312262⨯=÷+−4626=+− 46=−；（2）()()32233223+−()()223223=−1812=− 6=．27．（2024上·宁夏银川·八年级校考期末）计算：(1)635082⨯⨯−(2)()()()21232323−−−+ 【答案】(1)17 (2)1243−【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．（1）先运用二次根式乘除法则进行计算，再进行相减即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）原式40033=−⨯203=−17= （2）原式()()1431243=−+−−31314=−−1243=−28．（2024上·河北保定·八年级统考期末）计算 (1)11233−+； (2)()()25353(31)+−−−；(3)36427122−−−+；(4)01227( 3.14)3π+−−． 【答案】(1)433；(2)823−+； (3)6； (4)4．【分析】本题考查二次根式的运算和零指数幂的运算，解题关键掌握运算法则． （1）先进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差和完全平方公式进行计算即可；（3）先进行算术平方根，立方根和化简绝对值运算，再进行加减即可； （2）先由二次根式的除法和零指数幂的运算法则计算，再进行加减即可；【详解】（1）原式32333=−+433=；（2）原式4423=−−+823=−+； （3）原式()83212=−−−+6=；（4）原式491=+−231=+−4=．29．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：()()()()2213113131231313131⨯−−−===++−−． 153253−=+，175275−=+．(1)用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律为_______．(2)利用上面的结论，求下列式子的值：()11112023113355720212023⎛⎫+++⋯⋯++ ⎪++++⎝⎭．【答案】(1)1222n nn n +−=++(2)1011【分析】本题主要考查利用平方差公式分母有理化，二次根式的混合运算等知识点， （1）数字找规律，进行计算即可解答； （2）利用前边的规律，进行计算即可解答；注意根据平方差公式的结构找到另一因式是求解的关键． 【详解】（1）总结规律可知：12n n++()()222n n n nn n +−=+++−22n n+−=，故答案为：1222n nn n +−=++；（2）()11112023113355720212023⎛⎫+++⋯⋯++ ⎪++++⎝⎭()31537520232021202312222⎛⎫−−−−=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪⎝⎭()()20231202312−=⨯+1011=．30．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：（ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：2的有理化因式是2；211a ++的有理化因式是211a −+．（ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：11333333⋅==⋅；()()()221222212121⋅−==−++−．【知识运用】（1）填空：25的有理化因式是______（写出一个即可）；3a +的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①6226+−； ②12x +． （3）化简：111213298++++++． 【答案】（1）5；3a −；（2）①23−−；②222x x −−；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据有理化因式定义求解； （2）①②利用分母有理化计算； （3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】（1）25的有理化因式是5（答案不唯一）；3a +的有理化因式是3a −. 故答案为：5（答案不唯一）；3a −；（2）①()()()()2622662(26)2326262626++++===−−−−−+.②()()21222222x x x x x x −−==−++−.（3）111213298++++++()()()()()()213298212132329898−−−=++++−+−+−213298=−+−++−19=−+ 13=−+ 2=.【经典计算题四 已知字母的值化简求值】31．（2024上·湖南长沙·九年级明德华兴中学校联考期末）先化简，后求值：625222x x x x −⎛⎫÷−+ ⎪++⎝⎭，其中4x =−． 【答案】23x +，2−【分析】题考查分式的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算的顺序和相关运算法则．先计算括号内的部分，化简后代入计算即可；【详解】解：原式()625222x x x x −⎡⎤=÷−−⎢⎥++⎣⎦26254222x x x x x ⎛⎫−−=÷− ⎪+++⎝⎭()2546222x x x x −−−=÷++262922x x x x −−=÷++()()()232233x x x x x −+=⋅+−+23x =+，当4x =−时，原式222431===−−+−．32．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）先化简，再求值：()()()()2222328x y x y x y x xy x ⎡⎤+−+−+−÷⎣⎦，其中121x =−，121y =+． 【答案】x y −，2 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算化简求值以及分式的分母有理化，掌握整式的混合运算的运算法则是解此题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式的运算法则计算化简中括号中的内容，再进行除法运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式()2222242368x y x xy y x xy x=−+−++−÷()2888x xy x=−÷x y =−．当12121x ==+−，12121y ==−+时，原式()21212=+−−=33．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）若52,52a b =+=−． (1)求22a b −． (2)求33a b ab +． 【答案】(1)85 (2)18【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键． （1）根据平方差公式把原式变形，代入计算即可；（2）先利用平方差公式计算出1ab =，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：52,52a b =+=−，原式()()a b a b =+−254=⨯85=； （2）解：52,52a b =+=−，(52)(52)25,(52)(52)1a b ab ∴+=++−==+−=，则33a b ab+()22ab a b =+2()2ab a b ab ⎡⎤=+−⎣⎦21(25)2⎡⎤=⨯−⎣⎦18=． 34．（2023上·湖北武汉·八年级期末）设-x =+2121，2121y +=−，求223x xy y −+值. 【答案】31【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把2121x −=+，2121y +=−化简，再把223x xy y −+变形为()2x y xy−−代入计算即可．【详解】解：∵()()()22121322212121x −−===−++−，()()()22121322212121y ++===+−−+，∴223x xy y −+222x xy y xy =−+− ()2=−−x y xy()()()()2322322322322⎡⎤=−−+−−+⎣⎦()()24298=−−−=321−31=．35．（2020下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）已知72a =+，72b =−，求下列各式的值． (1)222a ab b −+． (2)22a b −． 【答案】(1)16 (2)87【分析】（1）直接利用已知得出a b +，a b −的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【详解】（1）解：∵72a =+，72b =−， ∴727227a b +=++−=，()()72724a b −=+−−=，∴222a ab b −+()2a b =−24=16=；（2）22a b −()()a b a b =+−274=⨯87=． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．36．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）已知57x =+，57y =−，求下列代数式的值： (1)22x y +； (2)22x xy y −+． 【答案】(1)24 (2)26【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值： （1）先求出25x y +=，2xy =−，再根据()2222x y x y xy +=+−进行求解即可；（2）根据（1）所求代值计算即可．【详解】（1）解：∵57x =+，57y =−，∴575725x y +=++−=，()()5757572xy =+−=−=−，∴()()()22222252220424x y x y xy +=+−=−⨯−=+=；（2）解：()2224224226x xy y −+=−−=+=．37．（2024上·湖南常德·八年级统考期末）阅读材料：在解决问题“已知123a =−，求23124a a −+的值”时，小红是这样分析与解答的： ()()12323232323a +===+−−+， 23a ∴−=()223a ∴−=，即2244341a a a a −+=∴−=−．()223124344341a a a a −+=−+=−+=．请你根据小红的分析过程，解决如下问题：(1)化简：2414+(2)若336a =−，求22121a a −+的值．【答案】(1)414− (2)5−【分析】本题考查了分母有理化以及利用整体思想求代数式的值，正确的化简是解题关键． （1）分子、分母同时乘以()414−，可实现分母有理化；（2）分母有理化可得36a =+，根据材料可得263a a −=−；结合()222121261a a a a −+=−+，利用整体思想即可求解．【详解】（1）解：()()()24142414414414−=++−()24142−=414=−；（2）解：()()()()3363363363363636a ++====+−−+，∴36a −=，∴()236a −=，即2696a a −+=，263a a ∴−=−，()222121261615a a a a −+=−+=−+=−38．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读理解：已知32x =−，求代数式245x x +−的值．佳佳的做法是：根据32x =−得2(2)3x +=，2443x x ∴++=，得241x x +=−．把24x x +作为整体代入，得245156x x +−=−−=−．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下列问题：(1)已知61x =+，求代数式223x x −+的值； (2)已知512x −=，求代数式321x x ++的值． 【答案】(1)8 (2)512+【分析】本题考查代数式求值，二次根式的运算．理解并掌握题干中的解题方法，利用整体代入法求解，是解题的关键．（1）根据61x =+，得到()216x −=，进而得到225x x −=，整体代入求值即可；（2）根据512x −=，推出21x x +=，利用整体代入求值即可．【详解】（1）解：∵61x =+，∴()216x −=，∴2216x x −+=，∴225x x −=，∴223538x x −+=+=；（2）∵512x −=，∴251x =−， ∴215x +=，∴()2215x +=，∴24415x x ++=，∴2444x x +=，∴21x x +=，∴321x x ++()21x x x =++1x =+512+=．39．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）请阅读下列材料： 问题：已知53x =−，求代数式269x x +−的值． 小敏的做法是：根据53x =−得()235x +=， ∴2695x x ++=，得：264x x +=−.把26x x +作为整体代入：得26913x x =−+−即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)己知x 53=+，求代数式2612x x −+的值； (2)已知 512x −=，求代数式3221x x x +++的值． 【答案】(1)8(2)532+【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据完全平方公式求出264x x −=−，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；（2）根据完全平方公式计算可得21x x +=，然后利用()()3222211x x x x x x x x +++=++++整体代入计算即可．【详解】（1）解：∵x 53=+，∴()235x −=，∴2695x x −+=，∴264x x −=−，∴212612x x +=−4+−=8．（2）解：∵512x −=，∴2215115=2224x ⎛⎫−⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21544++=x x ， ∴21x x +=，∴3221x x x +++()()221x x x x x =++++11x =++5122−=+ 532+=．40．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）我们知道()()32321+−=，因此将132+分子、分母同时乘“32−”，分母就变成了1，原式可以化简为 32−，所以有13232=−+．请仿照上面的方法，解决下列各题．(1)化简：152=+ ，165=− ；(2)若1322x =+，1322y =−，求()2x y xy −−的值；(3)根据以上规律计算下列式子的值：111121324320222021++++++++．【答案】(1)52−，65+ (2)31 (3)20221−【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关键．（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；（2）先利用分母有理化化简x 、y ，再代值求解即可；（3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可．【详解】（1）解：()()15252525252−==−++−，()()16565656565+==+−−+，故答案为：52−，65+；（2）解：∵()()1322322322322322x −===−++−，()()1322322322322322y +===+−−+，∴()32232242x y −=−−+=−，()()3223221xy =+−=，∴()2x y xy −−()2421=−−=321−31=；（3）解：∵()()111111n n n nn nn nn n+−==+−+++++−∴111121324320222021++++++++21324320222021=−+−+−++−20221=−．【经典计算题五 分母有理化】41．（2023上·上海松江·八年级统考期末）计算：1123233322−+++．【答案】62【分析】本题考查了二次根式加减运算，先分母有理化，化简二次根式，再加减计算即可． 【详解】解：原式()423232=−−++423232=−+++62=．42．（2024上·上海闵行·八年级统考期末）计算：2041(23)9(32)332−++−−+．【答案】1453−．【分析】此题考查了二次根式的化简和分母有理化，根据二次根式的化简法则依次化简后再计算加减法，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：原式()()()()224321243339133232−=−+++⨯−+−，4433438331=−+−++−， 1453=−．43．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）计算：261822623⨯+−−． 【答案】4−【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：261822623⨯+−− ()()()2231218262323+=+−+−()33223=+−+23423=−−4=−．44．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）已知121m =−，n 是m 的小数部分． (1)求1n n+的值； (2)求322213m m m n n −−++． 【答案】(1)22 (2)7【分析】本题主要考查了二次根式的估算，二次根式的混合运算，求代数式的值， （1），先求出m ，n 的值，再代入计算；（2），先求出m ，整理22211()2n n n n +=+−，再代入计算即可．【详解】（1）121==−m ()()212121+−+21=+.∵122<<， ∴2213<+<， 则21221=+−=−n ，112121212221+=−+=−++=−n n ； （2）322213m m m n n −−++221=(3)()2−−++−m m m n n221(21)[(21)(21)3](21)221=+⋅+−+−+−+−−2(21)(2122213)(2121)2=+⋅++−−−+−++−2(21)(21)(22)2=+⋅−+−2182=−+−7=．45．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）计算：(1)0111883⎛⎫−+− ⎪ ⎪⎝⎭； (2)12633221⨯+−−−； (3)a b a b b a a −⎛⎫−÷ ⎪⎝⎭；(4)2344111a a a a a −+⎛⎫−+÷ ⎪++⎝⎭．【答案】(1)11214+(2)5231−+(3)a b b +(4)22a a +−−【分析】（1）先根据二次根式的性质和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）先根据二次根式的乘法法则，绝对值进行计算，同时进行分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（3）先根据分式的减法法则进行计算，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可； （4）先根据分式的加减法法则进行计算，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【详解】（1）解：（1）0111883⎛⎫−+− ⎪ ⎪⎝⎭ 132214=−+11214=+；（2）1263|32|21⨯+−−−216223(21)(21)+=+−−−⨯+622321=+−−− 5231=−+；（3）a b a bb a a −⎛⎫−÷⎪⎝⎭22a b aab a b −=⋅− ()()a b a b a ab a b +−=⋅− a b b +=；（4）2344111a a a a a −+⎛⎫−+÷⎪++⎝⎭ 23(1)(1)11(2)a a a a a −−++=⋅+− 22411(2)a a a a −++=⋅+−2(2)(2)11(2)a a a a a −+−+=⋅+−22a a +=−−．【点睛】本题考查了分式的混合运算，零指数幂，分母有理化和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据分式的运算法则和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 46．（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知23a b ab +==−，，求22a b +我们可以把a b +和ab 看成是一个整体，令x a b y ab =+=，，则()2222224610a b a b ab x y +=+−=−=+=这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果． (1)计算：32323232________32323232+−+−⋅=+=−+−+， (2)m 是正整数，11,,11m m m ma b m m m m+−++==+++−且222195522023a ab b ++=，求m ．(3)已知2215192x x +−−=，求221519x x ++−的值． 【答案】(1)1；10 (2)1 (3)8【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化化简,a b ，从而求出a b +=42,1m ab +=，然后根据已知可得()2219512023a b ab ++=，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：32323232+−⋅−+22(32)(32)(32)(32)(32)(32)+−=⋅+−+− ()()223232=+⋅−。
二次根式练习题(较难)
二次根式练习题（较难）1．下列等式不成立的是（ ）A ．66326=⋅B ．824÷=C ．3331=D ．228=- 【答案】B【解析】分析：根据二次根式的混合运算依次计算，再进行选择即可． 解答：解：A 、66326=⋅，故本选项成立；B 、824÷==2，故本选项不成立；C 、3331=，故本选项成立； D 、228=-，故本选项成立．故选B ．2．（11·贺州）下列计算正确的是【答案】C【解析】考点：二次根式的混合运算．分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A 、2)3(-=3，此选项错误； B 、（3）2=3，此选项正确； C 、9=3，此选项错误；D 、3+2=3+2，此选项错误．故选B ．点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数．34 ）A.2B. －2C. 2±D. 不存在 【答案】A【解析】分析：直接根据算术平方根的定义求解． 解答：解：因为4的算术平方根是24=2． 故选A ．4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．(A)(B) (C) (D) ．【答案】C【解析】分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：AB 2，被开方数为小数，不是最简二次根式；故此选项错误C，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故此选项错误 故选C ．5．若x y 、为实数，且10x +=，则2011()xy的值是 （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2011-【答案】C【解析】分析：先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入2011()x y进行计算即可．解答：解：∵10x +=∴x+1=0，解得x=-1；y-1=0，解得y=1． ∴2011()x y=（-1）2011=-1．故选C ．6．函数y =2-x 中自变量x 的取值范围为 （ ）A. x ＞2B. x ≥2C. x ≤2D. x ≠2 【答案】B 【解析】考点：函数自变量的取值范围．专题：函数思想．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解． 解答：解：根据题意，得x-2≥0， 解得x ≥2． 故选B ．点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．7．若x、y()22y10-=，则x y+的值等于（）A.1B.32C.2D.52【答案】B.【解析】()22y10-=，∴()212x10x22y10y1⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎩.∴13x y122+=+=.故选B.考点：1.二次根式被开方数和偶次幂的非负性质；2.求代数式的值.8．函数y3=中自变量x的取值范围是A．x＞1 B．x ≥1 C．x≤1 D．x≠1【答案】B【解析】分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数3在实数范围内有意义，必须x10x1-≥⇒≥。
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本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件；
3．下列计算正确的是（ ）
A． + =
B． ﹣ =﹣1
C． × =6
D． ÷ =3
【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对 A、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 C 进行判断；根据 二次根式的除法法则对 D 进行判断． 【详解】 解：A、B 与 不能合并，所以 A、B 选项错误； C、原式= × = ，所以 C 选项错误； D、原式= =3，所以 D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘 除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
解得：x≥0 且 x≠1． 故选：B． 【点睛】 此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为 0；二 次根式的被开方数是非负数．
则阴影面积= 2 2 2 3 2 3
=2 2 22 33 =2 32 2 5
故选：D 【点睛】 本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结 合的思想解答．
19．当实数 x 的取值使得 x 2 有意义时，函数 y 4x 1中 y 的取值范围是( )
B．a≥﹣2
C．a＜﹣2
【答案】B
【解析】
） D．a＞﹣2
【分析】
分析已知和所求，要使二次根式 a＋2 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于 0；
易得 a＋2≥0，解不等式 a＋2≥0，即得答案. 【详解】
解：∵二次根式 a＋2 在实数范围内有意义，
∴a＋2≥0，解得 a≥－2． 故选 B.
【点睛】
的关键．
6．已知 n 是一个正整数， 135n 是整数，则 n 的最小值是（ ）．
A．3
B．5
C．15
D．25
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解： 135n 3 15n ，若 135n 是整数，则 15n 也是整数，
∴n 的最小正整数值是 15，故选 C．
1
7．若式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
6x 7
A．x≥ 7 6
【答案】B 【解析】
B．x＞ 7 6
C．x≤ 7 6
D． x＜ 7 6
【分析】
根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【详解】
∵ 6x 7 是被开方数，∴ 6x 7 0 ，
又∵分母不能为零，
∴ 6x 7 0 ，解得，x＞ 7 ； 6
故答案为：B. 【点睛】
4．已知 x 3 5 x 2，则化简 1 x2 5 x2 的结果是（ ）
A．4 【答案】A
B． 6 2x
C． 4
D． 2x 6
【解析】
x 3 0
由 x 3 5 x 2可得{
，∴3≤x≤5，∴
5 x 0
1 x2
5 x2 =x-1+5-x=4，故选
A.
5．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋ ( a b )2 的结果是（ ）
故选：C． 【点睛】
本题考查了二次根式的定义：形如 a （a≥0）叫二次根式．
18．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为 4,3 和 2，则图中阴影部分的面积为 （）
A．2
B． 6
C． 2 3 6 2 2 3
D． 2 3 2 2 5
【答案】D 【解析】 【分析】
将面积为 2 和 3 的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的 图形的长和宽，计算可得答案. 【详解】 将面积为 2 和 3 的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：
11．下列运算正确的是（ ）
A． 2 3 5
B．（ 2 ）﹣1＝ 2 2
C． ( 3 2)2 ＝ 3 ﹣2
D． 9 ＝±3
【答案】B 【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、 2 3 ，无法合并，故此选项错误；
B、 ( 2)1 2 ，正确； 2
C、 ( 3 2)2 2 3 ，故此选项错误；
D、 9 ＝3，故此选项错误；
故选：B． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关 键．
12．使式子 1 4 3x 在实数范围内有意义的整数 x 有( ) x3
A．5 个
B．3 个
C．4 个
D．2 个
【答案】C
【解析】
∵式子 1 4 3x 在实数范围内有意义 x3
17．下列各式中是二次根式的是（ ）
A． 3 8
【答案】C 【解析】
B． 1
【分析】
根据二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】
A、 3 8 的根指数为 3，不是二次根式；
B、 1 的被开方数﹣1＜0，无意义；
C． 2
D． x （x＜0）
C、 2 的根指数为 2，且被开方数 2＞0，是二次根式； D、 x 的被开方数 x＜0，无意义；
10．下列运算正确的是( )
A． 3 ＋ 2 = 5 B．( 3 －1)2＝3－1 C． 3 × 2 ＝ 6 D． 52 32 ＝5－3
【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得 出结果． 【详解】
解：A. 3 ＋ 2 5 ，故本选项错误；
2 a2b Байду номын сангаас2|a| b ，不是最简二次根式；
x2 y2 , 是最简二次根式.
共有 2 个最简二次根式.故选 A. 点睛：最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．二次根式 a 2 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是（
A．a≤﹣2
A． y 7
B． y 9
C． y 9
D． y 7
【答案】B
【解析】
【分析】 根据二次根式有意义易得 x 的取值范围，代入所给函数可得 y 的取值范围． 【详解】
解：由题意得 x 2 0 ， 解得 x 2 ， 4x 1 9 ， 即 y 9．
故选：B． 【点睛】 本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到 x 的取值是解决本 题的关键．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数，解题的 关键是熟练掌握其意义的条件.
8．若 x、y 都是实数，且 2x 1 1 2x y 4 ，则 xy 的值为 ( )
A．0
B． 1 2
【答案】C
【解析】
由题意得，2x−1⩾0 且 1−2x⩾0，
C．2
D．不能确定
解得 x⩾ 1 且 x⩽ 1 ，
A．2a+b
B．-2a+b
C．b
D．2a-b
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数轴得出 a 0 ， a b 0 ，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．
【详解】
解：由数轴可知： a 0 ， b 0 ，
∴ a b 0，
∴ a a b 2 a b a 2a b ，
故选：B． 【点睛】
本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出 a 0 ， a b 0 是解题
故选 D．
16．下列各式成立的是（ ）
A． 2 3 3 2
B． 6 3 ＝3
2
C．
2 3
2 3
D． (3)2 ＝3
【答案】D
【解析】
分析：各项分别计算得到结果，即可做出判断．
详解：A．原式= 3 ，不符合题意；
B．原式不能合并，不符合题意；
C．原式= 2 ，不符合题意； 3
D．原式=|﹣3|=3，符合题意． 故选 D． 点睛：本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是 解答本题的关键．
20．若代数式 y x 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） x 1
A． x 0
B． x 0 且 x 1 C． x 0
【答案】B
【解析】
D． x 0 且 x 1
【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的 范围． 【详解】
x 0 根据题意得： x 1 0 ，
B. ( 3 －1)2＝3－2 3 +1=4-2 3 ，故本选项错误； C. 3 × 2 ＝ 6 ，故本选项正确；
D. 52 32 ＝ 25 9 16 =4，故本选项错误．
故选 C. 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根 式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先 化简，再相乘，灵活对待．
初中数学二次根式难题汇编及解析
一、选择题
1．下列二次根式：
5、
1、 3
0.5a 、 2 a2b 、
x2 y2 中，是最简二次根式的有
() A．2 个 【答案】A 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
试题解析： 5 ，是最简二次根式；
1 = 3 ，不是最简二次根式； 33
0.5a = 2a ，不是最简二次根式； 2
2
2
∴x= 1 ， 2
y=4，
∴xy= 1 ×4=2. 2
故答案为 C.
9．如果 ab 0, a b 0 ，那么给出下列各式① a a ； bb
② a b =1;③ ab a a ；正确的是（ ）