初中数学二次根式难题汇编及解析

17．下列各式中是二次根式的是（ ）
A． 3 8
【答案】C 【解析】
B． 1
【分析】
根据二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】
A、 3 8 的根指数为 3，不是二次根式；
B、 1 的被开方数﹣1＜0，无意义；
C． 2
D． x （x＜0）
C、 2 的根指数为 2，且被开方数 2＞0，是二次根式； D、 x 的被开方数 x＜0，无意义；
B 、 0.3 30 ，被开方数含有小数，不是最简二次根式； 10
D 、 18 3 2 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
所以，这三个选项都不是最简二次根式．
故选： C ．
【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于 2，也 不是最简二次根式．
6x 7
A．x≥ 7 6
【答案】B 【解析】
B．x＞ 7 6
C．x≤ 7 6
D． x＜ 7 6
【分析】
根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【详解】
∵ 6x 7 是被开方数，∴ 6x 7 0 ，
又∵分母不能为零，
∴ 6x 7 0 ，解得，x＞ 7 ； 6
故答案为：B. 【点睛】
A． y 7
B． y 9
C． y 9
D． y 7
【答案】B
【解析】
【分析】 根据二次根式有意义易得 x 的取值范围，代入所给函数可得 y 的取值范围． 【详解】
解：由题意得 x 2 0 ， 解得 x 2 ， 4x 1 9 ， 即 y 9．
故选：B． 【点睛】 本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到 x 的取值是解决本 题的关键．
11．下列运算正确的是（ ）
A． 2 3 5
B．（ 2 ）﹣1＝ 2 2
C． ( 3 2)2 ＝ 3 ﹣2
D． 9 ＝±3
【答案】B 【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、 2 3 ，无法合并，故此选项错误；
B、 ( 2)1 2 ，正确； 2
C、 ( 3 2)2 2 3 ，故此选项错误；
故选：C． 【点睛】
本题考查了二次根式的定义：形如 a （a≥0）叫二次根式．
18．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为 4,3 和 2，则图中阴影部分的面积为 （）
A．2
B． 6
C． 2 3 6 2 2 3
D． 2 3 2 2 5
【答案】D 【解析】 【分析】
将面积为 2 和 3 的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的 图形的长和宽，计算可得答案. 【详解】 将面积为 2 和 3 的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：
4．已知 x 3 5 x 2，则化简 1 x2 5 x2 的结果是（ ）
A．4 【答案】A
B． 6 2x
C． 4
D． 2x 6
【解析】
x 3 0
由 x 3 5 x 2可得{
，∴3≤x≤5，∴
5 x 0
1 x2
5 x2 =x-1+5-x=4，故选
A.பைடு நூலகம்
5．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋ ( a b )2 的结果是（ ）
A．2a+b
B．-2a+b
C．b
D．2a-b
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数轴得出 a 0 ， a b 0 ，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．
【详解】
解：由数轴可知： a 0 ， b 0 ，
∴ a b 0，
∴ a a b 2 a b a 2a b ，
故选：B． 【点睛】
本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出 a 0 ， a b 0 是解题
20．若代数式 y x 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） x 1
A． x 0
B． x 0 且 x 1 C． x 0
【答案】B
【解析】
D． x 0 且 x 1
【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的 范围． 【详解】
x 0 根据题意得： x 1 0 ，
解得：x≥0 且 x≠1． 故选：B． 【点睛】 此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为 0；二 次根式的被开方数是非负数．
B．a≥﹣2
C．a＜﹣2
【答案】B
【解析】
） D．a＞﹣2
【分析】
分析已知和所求，要使二次根式 a＋2 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于 0；
易得 a＋2≥0，解不等式 a＋2≥0，即得答案. 【详解】
解：∵二次根式 a＋2 在实数范围内有意义，
∴a＋2≥0，解得 a≥－2． 故选 B.
【点睛】
的关键．
6．已知 n 是一个正整数， 135n 是整数，则 n 的最小值是（ ）．
A．3
B．5
C．15
D．25
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解： 135n 3 15n ，若 135n 是整数，则 15n 也是整数，
∴n 的最小正整数值是 15，故选 C．
1
7．若式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
2 a2b =2|a| b ，不是最简二次根式；
x2 y2 , 是最简二次根式.
共有 2 个最简二次根式.故选 A. 点睛：最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．二次根式 a 2 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是（
A．a≤﹣2
本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件；
3．下列计算正确的是（ ）
A． + =
B． ﹣ =﹣1
C． × =6
D． ÷ =3
【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对 A、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 C 进行判断；根据 二次根式的除法法则对 D 进行判断． 【详解】 解：A、B 与 不能合并，所以 A、B 选项错误； C、原式= × = ，所以 C 选项错误； D、原式= =3，所以 D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘 除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
则阴影面积= 2 2 2 3 2 3
=2 2 22 33 =2 32 2 5
故选：D 【点睛】 本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结 合的思想解答．
19．当实数 x 的取值使得 x 2 有意义时，函数 y 4x 1中 y 的取值范围是( )
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数，解题的 关键是熟练掌握其意义的条件.
8．若 x、y 都是实数，且 2x 1 1 2x y 4 ，则 xy 的值为 ( )
A．0
B． 1 2
【答案】C
【解析】
由题意得，2x−1⩾0 且 1−2x⩾0，
C．2
D．不能确定
解得 x⩾ 1 且 x⩽ 1 ，
∴
x30 4 3x 0
，解得： 3
x
4 3
，
又∵ x 要取整数值，
∴ x 的值为：-2、-1、0、1.
即符合条件的 x 的值有 4 个.
故选 C.
13．化简 （-2）2 的结果是
A．－2
B．2
【答案】B
【解析】
(2)2 2 2
故选:B
C．－4
D．4
14．下列各式中，不能化简的二次根式是（ ）
A． 1 2
B． 0.3
C． 30
D． 18
【答案】C
【解析】
【分析】
A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数； D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数
9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求．
【详解】
解： A 、 1 2 ，被开方数含有分母，不是最简二次根式； 22
B. ( 3 －1)2＝3－2 3 +1=4-2 3 ，故本选项错误； C. 3 × 2 ＝ 6 ，故本选项正确；
D. 52 32 ＝ 25 9 16 =4，故本选项错误．
故选 C. 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根 式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先 化简，再相乘，灵活对待．
10．下列运算正确的是( )
A． 3 ＋ 2 = 5 B．( 3 －1)2＝3－1 C． 3 × 2 ＝ 6 D． 52 32 ＝5－3
【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得 出结果． 【详解】
解：A. 3 ＋ 2 5 ，故本选项错误；
2
2
∴x= 1 ， 2
y=4，
∴xy= 1 ×4=2. 2
故答案为 C.
9．如果 ab 0, a b 0 ，那么给出下列各式① a a ； bb
② a b =1;③ ab a a ；正确的是（ ）
ba
b
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得 a 0 ， b 0 ，然后根据二次根式的性质和乘法法则逐个判断即可．
15．下列计算或化简正确的是（ ）
A． 2 3 4 2 6 5
B． 8 4 2
C． (3)2 3
D． 27 3 3
【答案】D 【解析】
解：A．不是同类二次根式，不能合并，故 A 错误；
B． 8 2 2 ，故 B 错误；
C． (3)2 3 ，故 C 错误；
D． 27 3 27 3 9 3 ，正确．
初中数学二次根式难题汇编及解析
一、选择题
1．下列二次根式：
5、
1、 3
0.5a 、 2 a2b 、
x2 y2 中，是最简二次根式的有
() A．2 个 【答案】A 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
试题解析： 5 ，是最简二次根式；
1 = 3 ，不是最简二次根式； 33
0.5a = 2a ，不是最简二次根式； 2
故选 D．
16．下列各式成立的是（ ）
A． 2 3 3 2
B． 6 3 ＝3
2
C．
2 3
2 3
D． (3)2 ＝3
【答案】D
【解析】
分析：各项分别计算得到结果，即可做出判断．
详解：A．原式= 3 ，不符合题意；
B．原式不能合并，不符合题意；
C．原式= 2 ，不符合题意； 3
D．原式=|﹣3|=3，符合题意． 故选 D． 点睛：本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是 解答本题的关键．
【详解】
解：∵ ab 0 ， a b 0，
∴ a 0 ，b 0，
∴ a 和 b 无意义，故①错误；
a b a b 1，故②正确； b a ba
ab a ab a a2 a a ，故③正确；
b
b
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
D、 9 ＝3，故此选项错误；
故选：B． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关 键．
12．使式子 1 4 3x 在实数范围内有意义的整数 x 有( ) x3
A．5 个
B．3 个
C．4 个
D．2 个
【答案】C
【解析】
∵式子 1 4 3x 在实数范围内有意义 x3