第七讲 多元函数积分学(一)

第七讲 多元函数积分学（一）

知识点分析：

一、二重积分

1、二重积分的概念：

设二元函数(,)f x y 定义在有界闭区域D 上，则二重积分

1

(,)lim (,)n

i

i

i

i D

f x y d f λ

σξησ→==∆∑⎰⎰

精确定义求极限问题：

11(,)lim (,)n n

n i j D

b a d

c b a

d c

f x y d f a i c j n n n n σ→∞==----=+

+⋅∑∑⎰⎰ 先提出11n n ⋅，在凑出,i j n n

，可以看出n i 是0到1上的x ，j

n 是0到1上的y ，n 1是0到1

上的,dx dy

注：①二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域D 由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当(,)f x y 在D 上连续时，或者(,)f x y 在D 上有界，且在D 除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则(,)f x y 在D 上可积。 ②极限存在与D 的分割方式无关。d dx dy σ=⋅

③几何意义曲顶柱体的体积(,)D

V f x y d σ=⎰⎰；物理意义D 的质量(,)D

m x y d μσ=⎰⎰。

2、二重积分的性质 （1）区域面积

D

d A σ=⎰⎰，其中A 为区域D 的面积。

（2）可积函数必有界：当(,)f x y 在闭区域D 上可积时，则(,)f x y 在D 上必有界 （3）线性性质：

[]1

212(,)(,)d (,)d (,)d D

D

D

k

f x y k

g x y k f x y k g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰12,k k 为常数。

（4）可加性：1212,D D D D D ==∅ ，

1

2

(,)d (,)d (,)d D

D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

（5）保号性：若在D 上(,)(,)f x y g x y ≤，则

(,)(,)D

D

f x y d

g x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰；

特殊的有|

(,)d |(,)d D

D

f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰

。

（6）估值定理：设max (,),min (,)D

D

M f x y m f x y ==，D 的面积为σ,则有

(,)D

m f x y d M σσσ≤≤⎰⎰

（7）二重积分中值定理：设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，D 的面积为σ，则至少存在一点(,)D ξη∈使得

(,)(,)D

f x y d f σξησ=⋅⎰⎰。

3、二重积分的计算 （1）直角坐标系计算法

①X 型：{}

12(,)()(),D x y x y x a x b φφ=≤≤≤≤，12(),()x x φφ在[],a b 上连续，则

21()

()

(,)(,)b

x a

x D

f x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰

⎰⎰

②Y 型：{}

12(,)()(),D x y y x y c y d ψψ=≤≤≤≤，12(),()y y ψψ在[],c d 上连续，则

21()

()

(,)(,)d

y c

y D

f x y d dy f x y d x ψψσ=⎰⎰

⎰⎰

（2）极坐标系计算法

{}12(,)()(),D r r θϕθϕθαθβ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[],αβ上连续，则

21()

()

(,)(cos ,sin )d (cos ,sin )D

D

f x y d f r r rdrd f r r rdr β

ϕθα

ϕθσθθθθθθ==⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

注意：X 型，Y 型和极坐标的相互转化有时可方便解题cos sin x r y r θ

θ=⎧⎨=⎩

4、二重积分的对称性

(,)D

f x y d σ⎰⎰，记1

D 为其对称区域的一半

（1）若D 关于x 轴对称，有10

,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)D D f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ

--⎧⎪

=⎨-⎪⎩⎰⎰⎰⎰， （2）若D 关于y 轴对称，有1

0,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)D D f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ

--⎧⎪

=⎨-⎪⎩⎰⎰⎰⎰，

（3）若D 关于原点对称，有1

0,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)D D f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ---⎧⎪

=⎨--⎪⎩⎰⎰⎰⎰，

（4）（轮换对称性）若D 关于y x =对称，有(,)(,)D

D

f x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰

若y

x =将D 分成12,D D 两部分，有1

2

(,)(,)D D f x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰

二、三重积分

1、三重积分的概念

设三元函数(,,)f x y z 定义在三维有界空间区域Ω上，则三重积分

1

(,,)d lim (,,)n

k

k

k

i i f x y z v f v λ

ξηζ→=Ω

=∆∑⎰⎰⎰

111(,,)lim (,,)n n n

n i j k b a d c f e b a d c f e

f x y z dv f a i c j e k n n n n n n →+∞===Ω

------=+

++⋅⋅∑∑∑⎰⎰⎰ 方法：先提出111n n n ⋅⋅，在凑出,,i j k n n n ，可以看出n i 是0到1上的x ，j

n

是0到1上的y ，

k

n

是0到1上的z ，n 1是0到1上的,,dx dy dz 。

2、三重积分的性质 （1）区域面积

dv V Ω

=⎰⎰⎰，其中V 为区域Ω的面积。

（2）可积函数必有界：当(,,)f x y z 在闭区域Ω上可积时，则(,,)f x y z 在Ω上必有界 （3）线性性质：

[]1

212(,,)(,,)(,,)(,,)k

f x y z k

g x y z dv k f x y z dv k g x y z dv Ω

Ω

Ω

±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，

12,k k 为常数。

（4）可加性：1212,Ω=ΩΩΩΩ=∅ ，

1

2

(,,)(,,)(,,)f x y z dv f x y z dv f x y z dv Ω

ΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

（5）保号性：若在Ω上(,,)(,,)f x y z g x y z ≤，则

(,,)(,,)f x y z dv g x y z dv Ω

Ω

≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰；