黄灯时间的确定

黄灯时间的确定
一、问题重述
在交通十字路口，都会设置红绿灯。

为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。

对于一位驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉太远。

那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？
二、模型假设
1.交叉路口处路面为具有一定倾斜角的平面；
2.驾驶员在通过交叉路口时，匀速驾驶车辆；
3.驾驶员在刹车制动的过程中，将刹车踏板踩到底直到车辆停止；
4.车辆未安装防抱死系统（ABS），在刹车制动过程中主动轮抱死；
5.仅考虑车辆直行的情况，不考虑转弯和掉头中一些特殊情况的干扰；
6.不考虑在人行道中行走的行人对来往车辆通行的影响。

三、变量说明
符号符号说明
m汽车的质量
f路面的滑动摩擦系数
g 重力加速度
T 黄灯闪烁的时间
t0 驾驶员的平均反应时间
t1 驾驶员从开始刹车到停车所用的时间
t2 驾驶员匀速通过交叉路口所用的时间
l 汽车的长度
L 交叉路口的宽度
a 交叉路口处路面的倾斜角
v0 驶近交叉路口的汽车的速度
X1 刹车制动过程中位移随时间的变化函数
X2 匀速通过路口走过的位移量
四、模型的分析
驾驶员在遇到绿灯变黄灯的情况下，在经过短暂的思考过后，会有两种动作：其一是判断不能安全通过路口，这时候我们假设驾驶员全力刹车以保证可以安全停止车辆，即停在停车线以；其二是判断可以安全通过路口，这时候我们假设驾驶员以不变的速度匀速安全通过路口。

通过建立数学模型我们可以求得在第一种情况下驾驶员的刹车距离和刹车时间，刹车距离的意义就是在距离停车线的距离为大于或等于刹车距离的那些正在行驶的车辆可以安全停止，然而对于那些距离小于刹车距离的车辆，它们不能安全通过，于是考虑让他们可以安全通过，根据第二种情况匀速通过，可以求得距离停车线最远的那辆车所能安全通过的最大时间，将这两个时间取最大值然后加上驾驶员的反应时间得到的就是我们所要求得黄灯闪烁时间。

五、模型的建立和求解
5.1对黄灯闪烁时间的求解
5.1.1人类反应时间对黄灯闪烁时间长短的影响
由于驾驶员在看到绿灯刚刚结束，黄灯刚刚开始闪烁的瞬间不能立即动作，需要经过一定的思考反应时间(从刺激到反应之间的时距 )后，才会做出相应的动作，所以黄灯闪烁时间的长短应该考虑包含驾驶员的反应时间t0。

影响驾驶员反应时间t0的因素很多，例如驾驶员的年龄、无间断驾驶时间、健康状况、道路状况和气候条件、暂时性损伤等，甚至驾驶员的精神状况（如兴奋等）对反应时间都有或多或少的影响。

经过查阅资料，我们获得驾驶员的平均反应时间t0=1.0s。

5.1.2驾驶员发现不能通过交叉路口时刹车制动时间的确定
根据模型假设及牛顿第二定律，我们对驾驶员在刹车制动过程中运动着的车辆进行受力分析如下图所示，
2
2
sin d x m fmg
mg a
dt
(0)
0,0
dx x t
v dt
通过Matlab 软件可以求得：
21(f sin(a))
(t)
2gt x tv
1(t)
0(f sin(a))
v v gt
1
(f sin(a))
v t g
5.1.3驾驶员发现可以通过交叉路口时匀速通过所用时间的确定 驾驶员匀速通过交叉路口走过的距离示意图如下所示，
从上图可以明显的看出引入车辆长度l 的意义所在。

2
1(t1)
L l x x
22
x t v
通过Matlab 软件可以求得：
2
2(f sin(a))L l v t v g
5.1.4黄灯闪烁时间的确定
为了满足驾驶员即可以在无法通过交叉路口的情况下，将车辆停止在刹车线处，又可以在可以通过交叉路口的情况下安全地通过交叉路口，黄灯的闪烁时间应当取刹车制动时间t1和匀速通过时间t2的最大值，同时加上驾驶员的反应时间t0。

故 黄灯闪烁时间的表达式为：
012
T t max t t ，
5.2对影响黄灯闪烁时间长短的因素的分析
5.2.1路面的滑动摩擦系数
影响路面的滑动摩擦系数的因素主要有道路的材料，天气状况。

不同材料道路的滑动摩擦系数
道路材料水泥砼沥青
滑动摩擦系数0.4~0.6 0.4~0.8
不同天气状况下沥青路面的滑动摩擦系数
天气状况正常下雨天下雪天结冰天
滑动摩擦系数0.6 0.4 0.28 0.18
因此可见黄灯闪烁时间的长短与该地区的气候状况也有着一定的关系。

比如测得某地的气候情况如下表所示：
天气状况正常下雨天下雪天结冰天
比例0.6 0.2 0.1 0.05
则该地沥青道路的滑动摩擦系数的计算方法为：
f=0.6*0.6+0.4*0.2+0.28*0.1+0.18*0.05=？
在车速为60km/h时，斜面倾角为15度，平均车长为3m，路口长度为65m时，计算得到黄灯时间与路面摩擦系数的关系如下所示：
f 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
T 6.4498 5.9333 5.6017 5.3707 5.2006 5.0701 4.9669 4.8831 4.8138
T（0.1）=Tmax=6.4498s，T（0.9）=Tmin=4.8138s
Tmax-Tmin=1.636
可见道路的摩擦系数对黄灯时间的影响比较大。

5.2.2红绿灯两侧的车流量
由生活经验可知，车流量越大，相应的黄灯闪烁时间越长；车流量越小，相应的黄灯闪烁时间应当越短。

车流量可以通过某些交叉路口处红绿灯上的监控及抓拍设备获取，从而动态的描述车流量随时间的变化，从而达到动态的控制黄灯闪烁时间长短的目的，甚至可以做到动态的控制绿灯及红灯的时间长短，从而实现对交通的智能化实时动态控制。

具体的影响情况可以使用仿真软件vissim来进行探讨。

5.2.3红绿灯所在斜面处的倾斜角
红绿灯所处的斜面倾角越大，在刹车制动的时候越不容易停车，这样黄灯闪烁的时间理应加长，以免发生交通事故。

让我们看一下我们模型的结果如何？
在车速为60km/h时，路面摩擦系数为0.6，平均车长为3m，路口长度为65m 时，计算得到黄灯时间与路面斜面倾角的关系如下所示：
倾角0 10 20 30 40 50 黄灯时间 5.4972 5.1791 4.9827 4.853 4.7642 4.7025
5.2.4通过红绿灯的车辆的长度
从上面的表达式可以看出，通过红绿灯的车辆的长度对黄灯闪烁的时间有影响，这显然是合理的。

比如说某些港口或交通集输散基地行的大中型运输车辆比较多，虽然这些车辆的速度大多比较慢，但是车长必须纳入考虑的畴。

因此，在某地考虑红绿灯建设时，应当对从该地通过的车辆类型（主要指车身长度）的比例，从而合理确定车长的期望。

在车速为60km/h时，路面摩擦系数为0.6，路面斜面倾角为0时，路口长
车长 3 5 7 9 11 13 15
黄灯时间 5.4972 5.6172 5.7372 5.8572 5.9772 6.0972 6.2172
黄灯时间与通过红绿灯的车辆的长度的具体函数关系：T=0.06*l+5.3172
六、计算机仿真软件vissim的仿真验证
七、附录
clc,clear
syms l L v0 f g a;
V1=60/3.6;
F=0.6;
G=9.8;
A=pi/12;
LS=3;
LL=65;
x1=dsolve('-f*m*g-m*g*sin(a)=m*D2x','x(0)=0','Dx(0)=v0','t'); x1=simple(x1);pretty(x1)
v1=diff(x1,sym('t'),1);
v1=simple(v1);pretty(v1)
t1=solve(v1,sym('t'));
t1=simple(t1);pretty(t1)
t2=(subs(x1,sym('t'),t1)+l+L)/v0;
t2=simple(t2);pretty(t2)
t1=subs(t1,{v0,f,g,a},{V1,F,G,A})
t2=subs(t2,{l,L,v0,f,g,a},{LS,LL,V1,F,G,A})
T=t0+max(t1,t2)。