大学物理(第四版)课后习题及答案 质点

题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --⋅-⋅+= 。

求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。

题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=∆x x x
（2）由
0)s m 6()s m 12(d d 232=⋅-⋅=--t t t
x
得知质点的换向时刻为
ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=∆x x x
m 40x 242-=-=∆x x
所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为
m 4821=∆+∆=x x s
题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。

设0=t 时，0=x 。

试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。

题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为
2A B A B AB s m 20-⋅=--=t t v
v a （匀加速直线运动）
0BC =a （匀速直线） 2C
D C
D CD s m 10-⋅-=--=
t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图
在匀变速直线运动中，有
2002
1at t v x x +
+= t /s 0 0.5 1 1.5 2 4 4.5 5 5.5 6 x /m
5.7-
10-
5.7-
40
48.7
55
58.7
60
间内，质点是作v = 201s m -⋅的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。

题1.3：如图所示，湖中有一小船。

岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。

设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？
题1.3解1：取如图所示的直角坐标系，船的运动方程为 ()()()j i r h t x t -+= 船的运动速度为
()i i i r v t
r r h h r t
t t x t d d 1d d d d d d 2
/12
2
2
2
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=-=
==' 而收绳的速率t
r
v d d -
=，且因vt l r -=0，故 ()i v 2
/12
021-⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
-='vt l h
v
题1.3解2：取图所示的极坐标(r ,θ)，则
θr r r d d d d d d d d d d e e e e r v t
r t r t r t r t θ+=+==
' r d d e t r 是船的径向速度，θd d e t
r θ是船的横向速度，而t
r
d d 是收绳的速率。

由于船速v '与径向速度之间夹角位θ ，所以
()i i v 2
/1202
1cos -⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡---=-='vt l h v v θ
由此可知，收绳的速率只是船速沿绳方向的分量。

题1.4：一升降机以加速度2s m 22.1-⋅上升，当上升速度为2s m 44.2-⋅时，有一螺丝自升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距m 74.2。

计算：（1）螺丝从天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离。

题1.4解1： (1)以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为
2012
1at t v y +
= 2022
1gt t v h y -
+= 当螺丝落至底面时，有21y y =，即
20202
1
21gt t v h at t v -+=+
s 705.02=+=
a
g h
t (2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为
m 716.02
12
02=+
-=-=gt t v y h d 题1.4解2：(1)以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小a g a +='，螺丝落至底面时，有
()22
1
0t a g h +-
= s 705.02=+=
a
g h
t (2)由于升降机在t 时间内上升的高度为
202
1at t v h +
=' 则m 716.0='-=h h d
题1.5：一质点P 沿半径m 00.3=R 的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为s 0.20，设0=t 时，质点位于O 点。

按图中所示Oxy 坐标系，求（1）质点P 在任意时刻的位矢；（2）s 5时的速度和加速度。

题1.5解：如图所示，在O 'x 'y '坐标系中，因t T
π
θ2=，则质点P 的参数方程为
t T
R y t T R x ππ2cos ,2sin
-='=' 坐标变换后，在Oxy 坐标系中有
R t T
R y y y t T R x x +-=+'=='=π
π2cos ,2sin
0 则质点P 的位矢方程为
()()[]()()[]
j
i j i r t t R t T R t T R 11s 1.0cos 1m 3s 1.0sin m 32cos 2sin
---+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=ππππ
5 s 时的速度和加速度分别为
()
j j i r v 1s m 0.32sin 22cos 2d d -⋅=+==
πππππt T
T R t T T R t ()
i tj i r a 222
222s m 0.032cos
22sin 2d d -⋅-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==πππππT T R t T T R t 题 1.6：一质点自原点开始沿抛物线2bx y =运动，它在Ox 轴上的分速度为一恒量，其值为
1s m 0.4-⋅=x v ，求质点位于m 0.2=x 处的速度和加速度。

题1.6解：因v x = 4.01s m -⋅为一常数，故a x = 0。

当t = 0时，x = 0，由t
x
v d d x =
积分可得 t v x x =
(1)
又由质点的抛物线方程，有
()2
x 2t v b bx y == (2)
由y 方向的运动方程可得该方向的速度和加速度分量分别为
t bv t
y v 2
x y 2d d ==
(3) 2
x
2y 2d d bv t
y a 2== (4) 当质点位于x = 2.0 m 时，由上述各式可得
()()
j i j i v 11y x s m 8.0s m 0.4--⋅+⋅=+=v v ()
j j i a 2y x s m 16-⋅=+=a a
题1.7：质点在Oxy 平面内运动，其运动方程为j i r ])s m 00.2(m 0.19[)s m 00.2(221t t --⋅-+⋅=。

求：（1）质点的轨迹方程；（2）在s 00.11=t 到s 00.22=t 时间内的平均速度；（2）s 00.11=t 时的速度及切向和法向加速度。

题1.7解：(1)由参数方程
()()
221s m 00.2m 0.19,s m 00.2t y t x --⋅-=⋅=
消去t 得质点的轨迹方程
()
21m 50.0m 0.19x y --=
(2)在00.11=t s 到00.22=t s 时间内的平均速度
()()j i r r r v 111212s m 6.00s m 00.2--⋅-⋅=--=∆∆=t t t
(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为 ()()()
j i j i j i v t t
y t x v v t 21x s m 4.00s m 00.2d d d d --⋅-⋅=+=
+= ()()
j j i a 22222s m 4.00d d d d -⋅=+=t
y t x
t
则t 1 = 1.00 s 时的速度
()()(
)
j i v 11s 1t s m 4.00s m 00.2--=⋅-⋅=t
切向和法向加速度分别为
()
()
t 2t 2
y x
t s
1t t
s m 3.58d d d d e e v
e a 2
-=⋅=+==
v t
t v
(
)
n 2n 2t 2n s m 1.79e e a -⋅=-=a a
题 1.8：质点的运动方程为221)s m 30()s m 10(t t x --⋅+⋅-=和221)s m 20()s m 15(t t y --⋅-⋅-=，试求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。

题1.8解：（1）速度分量式为
()
t t
x
v 21x s m 60s m 10d d --⋅+⋅-== ()
t t
y
v 21y s m 40s m 15d d --⋅-⋅==
当t = 0时，v 0x = -101s m -⋅，v 0y = 151s m -⋅，则初速度大小为
1
2y 02x 00s m 0.18-⋅=+=v v v
设v 0与x 轴的夹角为α，则
2
3tg y 0x 0-==v v α
14123'=οα
(2)加速度的分量式为
2y y 2x
x s m 40d d ,s m 60d d --⋅-==⋅==
t v a t v a 则加速度的大小为 22
y 2x s m 1.72-⋅=+=a a a
设a 与x 轴的夹角为β，则
3
2
tg x
y -
==
a a β )91326(1433''-=οο或β
题1.9：一质点具有恒定加速度j i a )s m 4()s m 6(22--⋅+⋅=，在0=t 时，其速度为零，位置矢量i r )m 10(0=。

求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在Oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。

题1.9解：由加速度定义式，根据初始条件t 0 = 0时v 0 = 0，积分可得
t t t
t v d ])s m 4(s m 6[(d d 0
220
⎰⎰⎰
--⋅+⋅==j i )a v
j i v t t )s m 4()s m 6(22--⋅+⋅=
又由t
d d r
v =
及初始条件t = 0时，r 0 = (10 m)i ，积分可得 t t t t t
t
r d ])s m 4()s m 6[(d d 0
220
⎰⎰⎰
--⋅+⋅==j i v r
j i r ])s m 2[(])s m 3(m 10[2222t t --⋅+⋅+=
由上述结果可得质点运动方程的分量式，即
()
22s m 3m 10t x -⋅+= ()
22s m 2t y -⋅=
消去参数t ，可得运动的轨迹方程 m 2023-=x y
这是一个直线方程，直线斜率3
2
an t d d ===
αx y k ，1433'=οα。

轨迹如图所示。

题1.10：飞机以1s m 100-⋅的速度沿水平直线飞行，在离地面高为m 100时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。

问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶
员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出s 00.2后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？
题1.10解：(1)取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
22
1,gt y vt x =
= 飞机水平飞行速度100=v 1s m -⋅，飞机离地面的高度100=y m ，由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离
m 4522==g
y
v
x (2)视线和水平线的夹角为
ο5.12arctg ==x
y θ
(3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为
v
gt v v x
y arctg
arctg
==α 取自然坐标，物品在抛出2 s 时，重力加速度的切向分量与法向分量分别为
2s m 88.1arctg sin sin -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛
==v gt g g a t α
2s m 62.9arctg cos cos -⋅=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
==v gt g g a n α
题1.11：一足球运动员在正对球门前m 0.25处以1s m 0.20-⋅的初速率罚任意球，已知球门高为m 44.3。

若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）
题1.11解：取图示坐标系Oxy ，由运动方程
22
1sin ,cos gt vt y vt x -
==θθ 消去t 得轨迹方程 ()
2
22
tg 12tg x
v g x y θθ+-
= 以x = 25.0 m ，v = 20.0 1s m -⋅及3.44 ≥ y ≥ 0代入后，可解得 71.11º≥ θ1 ≥ 69.92º 27.92º≥ θ2 ≥ 18.89º
如何理解上述角度得范围？
在初速度一定的条件下，球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示)。

如果以θ >71.11︒或θ <18.89︒踢出足球，都将因射程不足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制，θ 角也并非能取71.11︒与18.89︒之间的任何值。

当倾角取值为27.92︒ < θ < 69.92︒时，踢出的足球将越过门缘而离去，这时也球不能射入球门。

因此可取的角度范围只能是解中的结果。

题1.12：设从某一点O 以同样的速率，沿着同一竖直面内各个不同方向同时抛出几个物体。

试证：在任意时刻，这几个物体总是散落在某个圆周上。

题1.12证：取物体抛出点为坐标原点，建立如图所示的坐标系。

物体运动的参数方程为
2002
1sin ,cos gt t v y t v x -
==θθ 消去式中参数θ ，得任意时刻的轨迹方程为
()2
02
22
21t v gt y x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛++
这是一个以⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
221,0gt 为圆心、v 0t 为半径的圆方程(如图所示)，它代表着所有物体在任意时刻t 的位置。

题1.13：一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动，质点由位置A 运动到位置B ，OA 和OB 所对的圆心角为θ∆。

（1）试证位置A 和B 之间的平均加速度为)/()cos 1(22θθ∆∆-=R v a ；
（2）当θ∆分别等于ο90、ο30、ο10和ο1时，平均加速度各为多少？并对结果加以讨论。

题1.13解：(1)由图可看到12v v v -=∆，故
()θθ∆-=∆-+=∆cos 12cos 2212
221v v v v v v
而 v
R v s t θ
∆=
∆=
∆ 所以()
θ
θ∆∆-=∆∆=R v t v
a 2
cos 12 (2)将οοοο1103090，，，=∆θ分别代入上式，得
R
v a R v a R v a R v a 2
4232221000
.1,7998.0,6988.0,3900.0≈≈≈≈ 上述结果表明：当0→∆θ时，匀速率圆周运动的平均加速度趋于一极限值，该值即为法向加速度R
v 2。

题1.14：一质点沿半径为R 的圆周按规律202
1bt t v s -=运动，0v 、b 都是常量。

（1）求t 时刻的总加速度；（2）t 为何值时总加速度在数值上等于b ？（3）当加速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？
题1.14解：(1)质点作圆周运动的速率为 bt v t
s
v -==
0d d 其加速度的切向分量和法向分量分别为 ()R bt v R v a b t s a 22
02n 2t ,d d -==-== 故加速度的大小为
()
R
bt v b R a a a 4
0222t
2n
-+=
+=
其方向与切线之间的夹角为
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--==Rb bt v a a 20t n
arctg arctg θ
(2)要使,b a =由()b bt v b R R
=-+4
221可得
b
v t 0= (3)从t = 0开始到t = v 0/b 时，质点经过的路程为
b
v s s s 220
0t =-= 因此质点运行的圈数为
bR
v R s
n ππ422
0==
题1.15：碟盘是一张表面覆盖一层信息记录物质的塑性圆片。

若碟盘可读部分的内外半径分别为cm 50.2和cm 80.5。

在回放时，碟盘被以恒定的线速度由内向外沿螺旋扫描线（阿基米德螺线）进行扫描。

（1）若开始时读写碟盘的角速度为1s rad 0.50-⋅，则读完时的角速度为多少？（2）若螺旋线的间距为μm 60.1，求扫描线的总长度和回放时间。

题 1.15分析：阿基米德螺线是一等速的螺旋线，在极坐标下，它的参数方程可表示为θa r r +=0，式中r 为极径，r 0为初始极径，θ为极角，a 为常量。

它的图线是等间距的，当间距为d 时，常量a = d/2π。

因此，扫描线的总长度可通过积分⎰=θd r s 得到。

解：(1)由于线速度恒定，则由r v ω=，可得2211r r ωω=，故碟盘读完时的角速度为 12112s rad 6.21/-⋅==r r ωω
(2)在可读范围内，螺旋线转过的极角()d r r /212-=πθ，故扫描线的总长度为 ()()
⎰⎰
⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
==-m 1038.5d 2d 32122/20
112d r r d r r s d r r πθθπθπ 碟盘回放的时间为
h 15.1s 1010.4/3≈⨯==v s t
本题在求扫描线的总长度时，也可采用平均周长的计算方法，即
m 1038.522223121212⨯=-+=+=d
r
r r r r r n
s ππ 题1.16：地面上垂直竖立一高m 0.20的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午2时正，杆顶在地面上的影子的速度的大小。

在何时刻杆影将伸展至长m 0.20？
题1.16解：设太阳光线对地转动的角速度为ω，从正午时分开始计时，则杆的影长为s = h tg ωt ，下午2时整，杆顶在地面上影子的速度大小为 132
s m 1094.1cos d d --⋅⨯===
t h t s v ωω 当杆长等于影长时，即s = h ，则
s 606034arctg
1
⨯⨯===ω
πω
h s t 即为下午3时整。

题 1.17：一半径为m 50.0的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。

在s 0.2=t 时测得轮缘一点速度值为1s m 0.4-⋅。

求：
（1）该轮在s 5.0='t 的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在s 0.2内所转过的角度。

题1.17解：因v R =ω，由题意2t ∝ω得比例系数 32
2
s rad 2-⋅==
=
Rt
v
t k ω
所以 ()()23s rad 2t t -⋅==ωω
则t '=0.5 s 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为 ()123s rad 5.0s rad 2--⋅='⋅=t ω ()
23s rad 0.2s rad 4d d －⋅='⋅==
-t t
ω
α 2m 0.1－s R a t ⋅==α
总加速度
n 2t n t e e a a a R R ωα+=+=
()()22
22s m 01.1-⋅=+=
R R a ωα
在2.0 s 内该点转过的角度
()rad 33.5s rad 32d s rad 2d 33s 20
2
3
20
0=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=⋅==---⎰
⎰t t t
t s
ωθθ
题1.18：一质点在半径为m 10.0的圆周上运动，其角位置为33)s rad 4(rad 2t -⋅+=θ。

（1）求在s 0.2=t 时质点的法向加速度和切向加速度。

（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？ 题1.18解： (1)由于()33s rad 4rad 2t -⋅+=θ，则角速度()
23s rad 12d d t t
-⋅==θ
ω，在t = 2 s 时，法向加速度和切向加速度的数值分别为
222s
2t n
s m 1030.2-=⋅⨯==ωr a
22s
t t
s m 80.4d d -=⋅==t
r
a ω
(2)当2t 2n t 2
12a a a a +==时，有2
n 2t 3a a =，即
()[]()[]
4
2
3223s rad 12s rad 243t r t r --⋅=⋅
s 29.0s 3
21==
t
此时刻的角位置为
()rad 15.3s rad 4rad 233=⋅+=-t θ
(3)要使t n a a =，则有
()[]()
t r t r 3223s rad 24s rad 12--⋅=⋅
s 55.0=t
题 1.19：一无风的下雨天，一列火车以11s m 0.20-⋅=v 的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成ο75角下降，求雨滴下落的速度2v 。

（设下降的雨滴作匀速运动） 题1.19分析：这是一个相对运动的问题。

设雨滴为研究对象，地面为静止参考系S ，火车为动参考系S '。

v 1为S '相对S 的速度，v 2为雨滴相对S 的速度，利用相对运动速度的关系即可解。

解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为v 1，雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2，旅客看到雨滴下落的速度v '2为相对速度，它们之间的关系为122v v v +'=，于是可得
112s m 36.5tg75-⋅==οv
v
题 1.20：设有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处，飞机相对空气的速率为v '，而空气相对地面的速率为u ，A 、B 间的距离为l ，飞机相对空气的速率v '保持不变。

（1）假定空气是静止的（即0=u ），试证来回飞机飞行时间为v l t '=/20； （2）假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为1
2201)1(-'-=v u t t ；
（3）假定空气的速度向北，试证来回飞行时间为2
/12202)1(-'
-=v u t t 。

题1.20证：由相对速度的矢量关系u v v +'=，有
(1)空气是静止的，即u = 0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度v 就等于相对空气的速度v '，故飞行往返所需时间为
v l v l v l t t t '
='+'=
+=2BA AB 0 (2)按题意，当飞机向东时，风速与飞机相对与空气的速度同向；而飞机由东返回时，两者刚好反向。

这时，飞机在往返飞行时，相对于地面的速度值分别为u v v +'=AB 和u v v -'=BA 。

因此，飞行往返所需时间为
1
2
2011-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'
-=-'++'=v u t u v l u v l t (3)当空气速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由u v v +'=可得为22u v v -'=，则飞机往返所需时间为
2
/12
2
0212-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'
-==v u t v l t
题 1.21：如图所示，一汽车在雨中沿直线行使，其速率为1v ，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前角θ，速率为2v ，若车后有一长方形物体，问车速1v 为多大时，此物体正好不会
精品文档 . 被雨水淋湿？
题1.21分析：这也是一个相对运动的问题。

可视雨点为研究对象，地面为静参考系S ，汽车为动参考系S '。

如图所示，要使物体不被淋湿，在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对
于汽车的运动速度v '2的方向)应满足h
l arctg ≥α。

再由相对速度的矢量关系122v v v -='，即可求出所需车速v 1.
解：由122v v v -='，有
θ
θαcos sin arctg 22
1v v v -= 而要使h
l arctg ≥α，则 h
l v v v ≥-θθcos sin 221 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥θθsin cos 21h l v v 题1.22：一人能在静水中以1s m 10.1-⋅的速度划船前进，今欲横渡一宽为m 1000.13⨯、水流速度为1s m 55.0-⋅的大河。

（1）他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？
题1.22解：(1)由u v v +'=可知v u '
=arcsin
α，则船到达正对岸所需时间为 ｓ31005.1cos ⨯='==αv d v d t (2)由于αcos v v '=，在划速v '一定的条件下，只有当
0=α时，
v 最大(即v v '=)，此时，船过河时间v d t '='/，船到达距正对岸为l 的下游处，且有
m 100.52⨯='
='=v d u t u l 题1.23：一质点相对观察者O 运动，在任意时刻t ，其位置为2/,2gt y vt x ==，质点运动的轨迹为抛物线。

若另一观察者O '以速率v 沿x 轴正向相对O 于运动，试问质点相对O '的轨迹和加速度如何？
题1.23解：取Oxy 和O 'x 'y '分别为观察者O 和观察者
O '所在的坐标系，且使Ox 和O 'x '两轴平行。

在t = 0
时，两坐标原点重合。

由坐标变换得
0=-=-='vt vt vt x x
22
1gt y y ==' 加速度g t
y a a ='=='22y d d 由此可见，动点相对于系O ' 是在y 方向作匀变速直线运动。

动点在两坐标系中加速度相同，这也正是伽利略变换的必然结果。