第1章 计算方法误差
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差更能反映误差的特征，在误差分析中相对误 差比绝对误差更为重要。
能由准于确求x得与。x*因都此不，能给准定确一求个得正，数相对，误使差得也不
| ex |
x*x x*
（1-5）
为x的相对误差限。实际中，准确值x*无法
得到，因此：
ex
x x
x*x x
称ex为x的相对误差，同样： | ex |
有了误差限，准确值x*的范围： x x* x （1-3）
此范围也可表示成：
x* x
（1-4）
1.2.2 相对误差与相对误差限 定义：设x*为准确值，x是x*的一个近似值， 则称
ex
x x*
x*x x*
为近似值x的相对误差。
注意：(1) ex小，精度高；(2) 相对误差比绝对误
左起第一位非零数字都称为有效数字。
定义： x为x*的近似数，将x写成： x (x1 101 x2 102 x3 103 xn 10n ) 10m （1-8）
x1, x2, x3,, xn 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9中的一个数，且： x1 0 ，n为正整数，m是 整数，且x的绝对误差限满足不等式：
x*x x
（1-6） （1-7）
为近似值x的相对误差限。 绝对误差和绝对误差限是有量纲的量。
相对误差和相对误差限是无量纲量，常用百分 数表示。
例1：设a=-2.18和b=2.1200分别有准确值x和y经 过四舍五入得到的近似值，问a ，b ，ex (a) ，ex (b) 各是多少？
解：凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值，
(3) 截断误差
一般数学问题难以准确求解，往往要通过近似替代， 简化为较易求解的问题后再求解。这样引起的误差 称为截断误差或方法误差。
(4) 计算误差
计算机只能对有限位的数进行运算，一般数必须进 行舍入，此时产生的误差称为计算误差或舍入误差。
总之，计算结果的误差是上述四种误差累积影响的 误差。本课程不讨论数学模型的建立，所以只研究 截断误差和舍入误差对计算结果的影响。
其绝对误差限等于近似值末位的半个单位，因 此：
a a*a 0.005 b b*b 0.00005
ex
(a)
0.005 2.18
0.23％
ex
(b)
0.00005 2.1200
0.0024％
1.3 有效数字与误差的关系
1.3.1 有效数字 当精确值x*有很多位数时，常按四舍五入的原则 取其前几位数字作为其近似值。
计算方法在科学计算中的地位：
实ห้องสมุดไป่ตู้问题
建立数学模型
计算方法
编写程序
上机计算结果
分析结果
显然，计算方法处于承上启下的位置， 在整个计算中是重要的不可缺少的一环。
第1章 误 差
1.1 误差的来源与分类 1.2 绝对误差与相对误差 1.3 有效数字与误差的关系 1.4*浮点数及其运算 1.5 误差危害的防止
1.2 绝对误差与相对误差
一个近似值的精确度：通常用绝对误差、相对误 差或有效数字来说明。
1.2.1 绝对误差与绝对误差限 设x*为精确值，x为x*的近似值，称x x*x 为近似值x的绝对误差，简称误差。
例：e取2.718，其绝对误差为
x e 2.718 0.0002818
主讲：陈 蓉 E-mail：rchen@cqu.edu.cn
TEXTBOOK
计算方法
贺俐 陈桂兴 主编 武汉大学出版社
Topics
误差 插值与拟合 数值积分 解线性方程组的直接法 解线性方程组的迭代法 非线性方程的数值解法 常微分方程初值问题的数值解法
CONDUCT IN THE CLASSROOM
IMPORTANT!!
Grading Policy
Total: 100
Attendance: 10 Homework: 20 Final exam: 70
KEYS TO SUCCESS IN THIS COURSE
Work every homework problem Read textbook before each class Ask questions! Think--it may be simple Discuss with your friends
例： 3.1415926... 若按四舍五入原则分别取4 位和5位小数，则得： 3.1416 ， 3.14159 绝对误差限不超过末位数的半个单位，即：
3.1416 1 104
2
3.14159 1 105
2
若近似值x的误差限是其某一位上的半个单位 时，称其“精确”到这一位，且从该位起直到
x * x 1 10mn 2
（1-9）
则称近似数x具有n位有效数字。
例2：e的近似数2.718按照(1-8)，写成：
2.718 (2101 7 102 1103 8104 ) 101
x 的大小显示出近似值x的准确程度，x 越小， x的准确度越高。
x 可正可负，绝对误差不是误差的绝对值。
实际中无法得到准确值x*，从而不能得到绝对
误差 的准确值。给出一个正数 ，使得：
x | x | x*x
（1-2）
成立
叫做近似值x的绝对误差限，简称误差限，
或称“精度”。
1.1 误差的来源与分类
定义：近似值与精确值之差称为误差，误差的 来源或分类有4种。
(1) 模型误差
从实际问题提炼出数学问题时往往忽略了许多 次要因素，因而即使数学问题能求出准确解， 也与实际问题的真正解不同。它们之差称为模 型误差。
(2) 观测误差
一般数学问题包含若干变量，它们的值需要通 过观测得到，难免有误差。这种误差称为观测 误差/数据误差/参量误差。
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差更能反映误差的特征，在误差分析中相对误 差比绝对误差更为重要。
能由准于确求x得与。x*因都此不，能给准定确一求个得正，数相对，误使差得也不
| ex |
x*x x*
（1-5）
为x的相对误差限。实际中，准确值x*无法
得到，因此：
ex
x x
x*x x
称ex为x的相对误差，同样： | ex |
有了误差限，准确值x*的范围： x x* x （1-3）
此范围也可表示成：
x* x
（1-4）
1.2.2 相对误差与相对误差限 定义：设x*为准确值，x是x*的一个近似值， 则称
ex
x x*
x*x x*
为近似值x的相对误差。
注意：(1) ex小，精度高；(2) 相对误差比绝对误
左起第一位非零数字都称为有效数字。
定义： x为x*的近似数，将x写成： x (x1 101 x2 102 x3 103 xn 10n ) 10m （1-8）
x1, x2, x3,, xn 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9中的一个数，且： x1 0 ，n为正整数，m是 整数，且x的绝对误差限满足不等式：
x*x x
（1-6） （1-7）
为近似值x的相对误差限。 绝对误差和绝对误差限是有量纲的量。
相对误差和相对误差限是无量纲量，常用百分 数表示。
例1：设a=-2.18和b=2.1200分别有准确值x和y经 过四舍五入得到的近似值，问a ，b ，ex (a) ，ex (b) 各是多少？
解：凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值，
(3) 截断误差
一般数学问题难以准确求解，往往要通过近似替代， 简化为较易求解的问题后再求解。这样引起的误差 称为截断误差或方法误差。
(4) 计算误差
计算机只能对有限位的数进行运算，一般数必须进 行舍入，此时产生的误差称为计算误差或舍入误差。
总之，计算结果的误差是上述四种误差累积影响的 误差。本课程不讨论数学模型的建立，所以只研究 截断误差和舍入误差对计算结果的影响。
其绝对误差限等于近似值末位的半个单位，因 此：
a a*a 0.005 b b*b 0.00005
ex
(a)
0.005 2.18
0.23％
ex
(b)
0.00005 2.1200
0.0024％
1.3 有效数字与误差的关系
1.3.1 有效数字 当精确值x*有很多位数时，常按四舍五入的原则 取其前几位数字作为其近似值。
计算方法在科学计算中的地位：
实ห้องสมุดไป่ตู้问题
建立数学模型
计算方法
编写程序
上机计算结果
分析结果
显然，计算方法处于承上启下的位置， 在整个计算中是重要的不可缺少的一环。
第1章 误 差
1.1 误差的来源与分类 1.2 绝对误差与相对误差 1.3 有效数字与误差的关系 1.4*浮点数及其运算 1.5 误差危害的防止
1.2 绝对误差与相对误差
一个近似值的精确度：通常用绝对误差、相对误 差或有效数字来说明。
1.2.1 绝对误差与绝对误差限 设x*为精确值，x为x*的近似值，称x x*x 为近似值x的绝对误差，简称误差。
例：e取2.718，其绝对误差为
x e 2.718 0.0002818
主讲：陈 蓉 E-mail：rchen@cqu.edu.cn
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计算方法
贺俐 陈桂兴 主编 武汉大学出版社
Topics
误差 插值与拟合 数值积分 解线性方程组的直接法 解线性方程组的迭代法 非线性方程的数值解法 常微分方程初值问题的数值解法
CONDUCT IN THE CLASSROOM
IMPORTANT!!
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Total: 100
Attendance: 10 Homework: 20 Final exam: 70
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例： 3.1415926... 若按四舍五入原则分别取4 位和5位小数，则得： 3.1416 ， 3.14159 绝对误差限不超过末位数的半个单位，即：
3.1416 1 104
2
3.14159 1 105
2
若近似值x的误差限是其某一位上的半个单位 时，称其“精确”到这一位，且从该位起直到
x * x 1 10mn 2
（1-9）
则称近似数x具有n位有效数字。
例2：e的近似数2.718按照(1-8)，写成：
2.718 (2101 7 102 1103 8104 ) 101
x 的大小显示出近似值x的准确程度，x 越小， x的准确度越高。
x 可正可负，绝对误差不是误差的绝对值。
实际中无法得到准确值x*，从而不能得到绝对
误差 的准确值。给出一个正数 ，使得：
x | x | x*x
（1-2）
成立
叫做近似值x的绝对误差限，简称误差限，
或称“精度”。
1.1 误差的来源与分类
定义：近似值与精确值之差称为误差，误差的 来源或分类有4种。
(1) 模型误差
从实际问题提炼出数学问题时往往忽略了许多 次要因素，因而即使数学问题能求出准确解， 也与实际问题的真正解不同。它们之差称为模 型误差。
(2) 观测误差
一般数学问题包含若干变量，它们的值需要通 过观测得到，难免有误差。这种误差称为观测 误差/数据误差/参量误差。