华中科技大学 流体力学第五章_2讲解

T T
1

1.4
207 0.86211.41
kPa
123.15
kPa


p RT

123.15 287 287.08
kg/m3
1.4947
kg/m3
速度系数 -- 流体流动速度与临界声速之比。
u
c
2

u2 c2
c2 c2

Ma2
T T
Ma2
T T0
T0 T
T0 1 1 Ma2
T
2
T 2
T0 1
2

1 Ma2 2 1 Ma2
或者 Ma2
2 2
1 12


Ma
2

1 Ma2 2 1 Ma2
或者
Ma2


2 2
1 1 2
超声速气流在收缩管中作减速运动，在扩散管中 作加速运动。这与不可压缩流体管道流动的变化 趋势相反。
声速流动只有可能出现在管截面积的极小处。
如果要把亚声速气流加速到超声速，只能采用缩 放管；在收缩段亚声速气流加速，并在管喉部达 到声速，随后，气流进入扩散段后继续加速，从 而达到超声速。
管道截面积变化对与定常等熵气流中各流动参数的影响。
d du dA 0 uA
1 Ma2 d dA Ma2 A
d Ma2 du

u
dp d p
1 Ma2 dp dA
Ma2 p A
dp p d
1 Ma2 Ma2
d

dA A
p RT
dp d p
dT dp d 1 d
p0

p

u 2
2
p u2 p0
g 2g g
现在考虑流体的压缩性，分析不同马赫数情况下
它的误差。

p0

p 1

1 Ma2 2
1

p0 p
1
1 2
Ma2

1
p0

p 1

1 Ma2 2
在马赫数较低时， 1 Ma2

1
du 和 dA 符号相反，
当 A 增大时， u 减小； 当 A 减小时， u 增大。
快
慢慢
快
Ma < 1
② 超声速流动 Ma > 1： Ma2 1 0
Ma2 1 du dA uA
du 和 dA 符号相同，
当 A 增大时， u 增大； 当 A 减小时， u 减小。
慢
快快
慢
Ma > 1
1
c RT
1
u1 u2

Ma1c1 Ma2c2

Ma1 Ma2

T1 T2
2
1
A2 A1

1u1 2u2

Ma1 Ma2

T1 T2
2 1
T0 1 1 Ma2
T
2
T1 T1 T0 2 1 Ma22 T2 T0 T2 2 1 Ma12


T1 T2
1

p1 p2


T1 T2
1
5.4 一元等熵气流在变截面管中的流动
研究变截面管中平均物理量沿流动方向的变化。
1．气流参数与通道截面积之间的关系
A(x)
u
x
连续性方程
d du dA 0 uA
运动方程 udu 1 dp
马赫数确实可以被作为判断气体压缩性大小的 指标，对于 Ma < 0.2 的低速气流，通常可以忽 略气体的压缩性。
2．临界状态
临界状态 -- 气体流动等于当地声速的状态
临界参数 -- 临界状态下的流动参数
u*= c*，p*，*，T* 等
能量方程
u*= c*
c02
1

u2 2

c2
1
p0 p


T0 T
1


299.2 288
1.41
1.1429
p0 1.1429 p 1.1429 1.3105 Pa 1.4858105 Pa
0

p0 RT0

1.489 105 287 299.2
kg/m3
1.7303 kg/m3
152
0.4155
RT 1.4 287 333
T T

T0 / T T0 / T
1 1 Ma2

2
1
1 1.4 1 0.41552

2 1.4 1
0.8621
2
2
T 0.8621T 0.8261333 K 287.08 K

p

p

T p

1 Ma2 dT dA
1 Ma2 T A
Ma < 1
Ma > 1
u
p、、T
dp、d 和 dT 都与 du 的符号相反。
管道截面积与定常等熵气流中马赫数的关系:
连续性
A2 1u1 A1 2u2
1u1A1 2u2 A2
等熵
1
1 2


T1 T2

Ma
当 Ma ， 1 1
对于亚声速流动：Ma 1 ， 1 ； 对于声速流动： Ma 1 ， 1； 对于超声速流动：Ma 1 ， 1 。
3．最大速度状态
最大速度状态 -- 气体流动达到最大值的状态
动能达到最大值，焓为零，此时气体的动能 就是流体的总能量。它是相对于滞止状态的 另一极端状态。
u Ma c
T0 1 1 Ma2
T
2
对于等熵流动
1
0
1
1 2
Ma 2

1

p0 p
1
2
1
Ma
2


1
1
1 2


T1 T2
1

p1 p2


T1 T2
1
例 一元等熵空气气流某点流动参数为： u = 150 m/s， T = 288 K, p = 1.3105 Pa，求此气流的滞止参数

2


1
1
c2
c02
1

1
2 1
c2
T T0

c2 c02


2 1
1
0

2
1


1

p p0

2
1


1
1
1 2


T1 T2
1

p1 p2


T1 T2
1

d

d
dp
dp


1 c2
dp



u c2
du

Ma2
du u
d du dA 0 uA
Ma2 1 du dA uA
该式描述了气流速度随通道截面积变化的规律。
按照不同的马赫数范围讨论。
①亚声速流动 Ma < 1：
Ma2 1 du dA uA
Ma2 1 0
Ma2

2
24
Ma4


p0

p

u 2
2
忽略流体压缩性则相当于忽略括号中-----部分。
p0

p
u2
2
1
1 Ma2 4

2
24
Ma 4


例 当 Ma = 0.2
1 Ma2 2 Ma4
4
24
0.01
当 Ma < 0.2，采用不可压缩伯努利方程计算压强所 产生的相对误差小于约 1%。
③ 声速流动 Ma = 1：
Ma2 1 0
必有 dA = 0
Ma2 1 du dA uA
声速流动只有可能出现在管截面积的极小处。
Ma < 1
Ma = 1 Ma > 1 Ma < 1
Ma = 1
亚声速气流在收缩管中作加速运动，但其极限值是 声速，在扩散管中作减速运动。这与不可压缩流体 管道流动的变化趋势相同。
例 空气在管道中作绝热无摩擦流动，已知某截面上流 动参数为 T = 333 K ， p = 207 kPa，u = 152 m/s，求
临界参数 T*、p*、*。
解 绝热无摩擦流动就是等熵流动。先求马赫数，再求
T*、p*、* 。
对于空气， 1.4 ，R 287 J/(kg K) 。
Ma u
1
,

2
Ma2


2
u2 c2

u2 2 p

u2
2p

可将上式展开为无穷级数，
2
p0

p 1

2
Ma2 1
1 4
Ma2

2
24
Ma4



p 1

u2
2p
1
1 Ma2 4

2
24
Ma4



p
u2
2
1
1 4
c0 RT0 1.4 287 299.2 m/s 346.73 m/s
例 飞机在海拔11000 m高度以马赫数 Ma = 2.5飞行， 当地大气温度 T = 216.7 K。假设流动绝热，求机 翼表面气流的最高温度。
解 机翼固定，空气以 Ma = 2.5流向机翼，机翼前缘 驻点温度最高，也就是滞止温度 T0 。
例 大容器中的气体就近似处于滞止状态。
滞止参数 -- 滞止状态下的流动参数
p0，0，T0，c0 等
能量方程
u2 2
cpT
cpT0
u2 2
cpT

C
由于 cpT0 就是总能量，所以 T0 也称为总温。
T0 1 u2 1
T
2 cpT
T0 1 1 Ma2
T
2
cpT

c2
1
T0

T
1

1 2
Ma2


216.7

1

1.4 2
1

2.5 2

K

487.6
K
高超声飞行器表面会产生严重的烧蚀问题， 这里只涉及压缩产生的温度，不涉及摩擦。
伯努利方程 z p u2 C
g 2g
是在忽略压缩性的前提下推导的。
不考虑质量力，伯努利方程为
1
A2 A1

Ma1 Ma2

T1 T2
2 1 1
A2 A1

Ma1 Ma2
2

2


1 Ma22 1 Ma12
2 1
A A
设 Ma1 = 1，A1 = A*，Ma2 = Ma，A2 = A
1
A A*

1 Ma
能量方程
u2 max 2

R 1T0
或者
R
T
u2

u2 max
1 2 2
cpT

u2 2
cpT0

u2 max 2
T T0

1

u2 u2
max
1
u2 1
0

1

u2 max


p p0

1

u2 u2
max
1
1
1 2
习题
5-8，5-10，5-15
过热蒸汽： =1.33，R = 462 J/(kgK)
5.3 一元等熵流动的基本关系
沿着流线，各流动参数是变化的，但在等熵条件下
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焓与动能之和为常数。下面考察几种特殊的流动状态。
1．滞止状态 滞止状态
--
u2 气体流动速度为零的状态 2
cpT

C
动能为零，焓达到最大值，此时气体 的焓就是流体的总能量。
p0 、0、T0 和 c0。
解 空气 1.4，R 287 J/(kg K) ，所以
Ma u
150
0.4410
RT 1.4 287 288
T0

T
1

1 2
Ma2


288

1

1.4 2
1

0.4412

K

299.2
K

1.4
2 1 Ma2

1
2 1
Ma