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平行四边形综合提高练习题

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平行四边形综合练习

平行四边形综合练习

平行四边形综合练习1. 如图，在□ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则□ABCD的周长为。

2. 如图,在□ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC的平分线交AD于点E,则DE的长为。

第1题图第2题图3. 如图,在□ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. 若∠EAF=55∘，则∠B= 。

4. 如图,四边形ABCD中，将四边形沿对角线AC折叠,使点B落在点B′处,若∠1=∠2=44∘,则∠B为。

第3题图第4题图5. 在□ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB= 。

6. 在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则□ABCD的面积为。

7. 在□ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是。

8. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长为8，那么平行四边形ABCD的周长是。

9. 如图,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O, △OBC的周长为59 cm，AD的长是28 cm，BD-AC=14 cm,则对角线AC,BD的长度分别是。

第8题图第9题图10. 如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=3，AC=2，BD=4，则AE的长为。

11. 如图,过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的□AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是。

第10题图第11题图12. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A. BE=DFB. AE=CF 14. 如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交点O，E是边CD的中点，连接OE。

若∠ABC=60∘，∠BAC=80∘，则∠1的度数为.15. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=12,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形ADEF的周长为。

【数学】数学平行四边形的专项培优练习题(含答案)含答案

【数学】数学平行四边形的专项培优练习题(含答案)含答案
∵FB=FM，∴BF⊥DF．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键．
5．（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．
（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．
4．如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，进而求证△AFM≌△EFB，得AM=BE，FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，进而求得BD=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF⊥DF．
在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．
解得BE=2+ ，
∴CF=BE-EM=2+ -x，
∴BE+CF= -x+4= （x-2）2+3．
当x=2时，BE+CF取最小值，
∴AP=2．
考点：几何变换综合题．
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
∴BM=ME，BM⊥EM．
故答案为BM=ME，BM⊥EM．
(2)ME＝ MB．
证明如下：连接CM，如解图所示．
∵DC⊥AC，M是边AD的中点，
∴MC＝MA＝MD．
∵BA＝BC，
∴BM垂直平分AC．
∵∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠MBE＝ ∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∠DCE＝60°.

平行四边形综合练习题

平行四边形综合练习题

平行四边形综合练习题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 对角线互相垂直平分的四边形是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、梯形2. 在平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形、直角梯形中，不是轴对称图形的有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个3. 矩形的面积为120cm2，周长为46cm，则它的对角线长为（）A、15cmB、16cmC、17cmD、18cm4.下列命题中正确的是（）A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形5. 平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为( )A、 6<AC<10B、 6<AC<16C、 10<AC<16D、 4<AC<166. A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD；这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（）A 3种B 4种C 5种D 6种7. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角8.菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°9.如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（ ）A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形第9题 第10题 第12题 二、填空题（每小题3分，共21分）10、如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是 BC 的中点．若OE=6cm ，则AB 的长为 cm11. 在□ABCD 中，DB=DC,∠C=70°,AE ⊥BD 于E,则∠DAE= 度。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题（附答案）一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．34．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．255．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为，α＝度．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形，……；则n边形可以分割成个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成个三角形．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C 和∠D的度数．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：参考答案:一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3＝120°，180°﹣120°＝60°，正五边形的每一个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°＝48°．故选：D．2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH＝S3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，DE＝3，BC＝7，∴＝，∵S△ABC＝14，∴S1＝×14，∴S△BDH：S＝（×4）：3＝2：3，∴S△BDH＝S，∴+S＝14﹣×14，∴S＝．故选：D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．3【解答】解：设AB＝a，BC＝b，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH＝c，则EH＝2c，∵图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3，∴（2b+2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3，解得：c＝0.5，即GH＝0.5，EH＝1，所以AB﹣AD＝（y﹣+3x）﹣（3x﹣1+y）＝0.5，故选：A．4．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．25【解答】解：一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形CEOQ、CEIM、CEGI、AGIB、AOQB、AMIF、AFOQ、ABMI、AFGI共9个，一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN 共6个，还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN，共10个，9+6+10＝25个，故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选：D．二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，∴GC′＝，∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，∴∠HNC'＝∠CGC'M，∴△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．∴C'M＞GM，此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为：或．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．【解答】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH 于J．∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，∵△DNB≌△HNC（ASA），∴BD＝CH，DN＝NH，∵BD＝EC＝2，∴EC＝CH＝2，∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，∴∠ECH＝120°，∵CJ⊥EH，∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝，∴EH＝2EJ＝2，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN＝EH＝．故答案为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，∴GC′＝，∵△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 1.5．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝S．【解答】解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA且相似比为，∴＝＝＝，∵△ABC的面积为S，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CEF＝S，∴S1＝S﹣S△ADF﹣S△BDE﹣S△CEF＝S﹣S﹣S﹣S＝S．同理可得，S2＝S△CEF＝×S＝S，S3＝S△CGH＝××S＝S，∴S1+S2+S3＝S+S+S＝S．故答案为：S．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成8个三角形．【解答】解：∵四边形可分割成4﹣2＝2个三角形；五边形可分割成5﹣2＝3个三角形；六边形可分割成6﹣2＝4个三角形；七边形可分割成7﹣2＝5个三角形∴10边形可分割成10﹣2＝8个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为六，α＝120度．【解答】解：∵840÷180＝4…120，∴这个多边形的边数为：4+2＝6，α＝120°，故答案为：六；120．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝14．【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD 的延长线于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+S ECG﹣S△BCG＝×8×4+2×2﹣S平行四边形ABCD＝16+2﹣4＝14．故答案为4．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．【解答】解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB 于H．∵DE＝EB，CE＝EK，∴四边形BCDK是平行四边形，∴CD＝BK，DK∥BC，∵BC⊥AB，∴DH⊥AB，∵DA＝DB，∴AH＝HB＝1，∴KA＝KB＝CD，在Rt△AKH中，AK＝AH÷cos30°＝，∴CD＝，故答案为．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：②③④．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝CD∴AC＝DB∵BC＝BC，AC＝DB，AB＝DC∴△ABC≌△BCD∴∠BAC＝∠CDB∵∠AOB＝∠DOC，AB＝DC∴△ABO≌△CDO∴OA＝OD≠OC∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD∴由等腰梯形的性质得出其对称轴只有一条所以①不正确，②③④正确．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：EF＝AB，EF∥AB，证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，∵点F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，∴AB∥CD，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BE＝CD，∴BECD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥BC且DE＝BC．18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．【解答】解：（1）证明：延长BD交AC于E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD，在△BAD和△EAD中，，∴△BAD≌△EAD（SAS），∴AB＝AE，BD＝DE，∵M为BC的中点，∴DM＝CE＝（AC﹣AB）；（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10，∵DM＝2，DM＝CE，∴CE＝4，∴AC＝10+4＝14．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，∵M、N分别为AF、BE的中点，∴NG＝AE，NG∥AE，MG＝BF，MG∥BF，∵CE＝CF，∠C＝90°，∴AE＝BF，∠MGN＝∠C＝90°，∴MG＝NG，∴△MNG是等腰直角三角形，∴NG＝MN，∴AE＝2NG＝NG＝×2MN＝MN，即AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成3个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成4个三角形，……；则n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为2018．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成（n﹣1）个三角形．【解答】解：（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成5﹣2＝3个三角形．若是一个六边形，可以分割成6﹣2＝4个三角形，n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．故答案为：3，4，（n﹣2）；（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为：2016+2＝2018；故答案为：2018；（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n﹣1）个三角形．故答案为：（n﹣1）．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数．【解答】解：连接AC．∵AF∥CD，∴∠ACD＝180°﹣∠CAF，又∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝180°﹣∠CAF+180°﹣∠B﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣80°＝160°．连接BD．∵AB∥DE，∴∠BDE＝180°﹣∠ABD．又∵∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD，∴∠CDE＝∠BDC+∠BDE＝180°﹣∠ABD+180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝360°﹣80°﹣160°＝120°．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，CE⊥BC，∴CE⊥AD，又∵∠ECD＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝CD＝1，∴CE＝＝＝，又∵在Rt△BCE中，BC＝4，∴BE＝＝＝，∴EF＝BE﹣BF＝﹣4；（2）如图2所示，过C作CM⊥CG，交GH的延长线于M，连接EM，∵△CGH是等腰直角三角形，∠MCG＝90°，∴∠CGH＝∠CMG＝45°，∴CG＝CM，∵∠BCE＝90°，∠MCG＝90°，∴∠BCG＝∠ECM，又∵BC＝EC，∴△BCG≌△ECM（SAS），∴∠CEM＝∠CBG＝45°，又∵∠BEC＝45°，∴∠MEG＝90°，又∵CM＝CG，CH平分∠MCG，∴H是MG的中点，∴Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：【解答】证明：连接AC，如图所示：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴∠3＝∠4，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．。

中考数学复习《平行四边形》专项综合练习含答案

中考数学复习《平行四边形》专项综合练习含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（1）、动手操作：如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么的度数为 .（2）、观察发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（3）、实践与运用：将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC 边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F 重合，展开纸片，此时恰好有MP＝MN＝PQ（如图④），求∠MNF的大小.【答案】（1）125°；（2）同意；（3）60°【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；（3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．试题解析：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°，∴∠BED=110°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．∵AD∥BC，∴∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．；（2）、同意，如图，设AD与EF交于点G由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形．（3）、由题意得出：∠NMF＝∠AMN＝∠MNF，∴MF＝NF，由折叠可知，MF＝PF，∴NF＝PF，而由题意得出：MP＝MN，又∵MF＝MF，∴△MNF≌△MPF，∴∠PMF＝∠NMF，而∠PMF＋∠NMF＋∠MNF＝180°，即3∠MNF＝180°，∴∠MNF＝60°.考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定2．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题3．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）133． 【解析】 分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133， ∵22AD AB +13 ∴OB=1213 ∵BD ⊥EF ，∴EO=22BE OB=2133，∴EF=2EO=4133．点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键4．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题5．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC ，△BDC ，△ABD ，△ADF ，△ADC ，△ADE ．【解析】【分析】（1）先求证BD ∥AF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD 平分∠ABC ，得到BD 垂直平分线段AC ，进而证明△DAC 是等腰三角形，根据BD ⊥AC,AF ⊥AC ，找到角度之间的关系,证明△DAE 是等腰三角形，进而得到BC ＝BD ＝BA ＝AF ＝DF ，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD ＝∠BDC ，∴BC ＝BD ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∵AB ＝AF ，∴BD ＝AF ，∵∠BDC ＝∠AEC ，∴BD ∥AF ，∴四边形ABDF 是平行四边形，∵AB ＝AF ，∴四边形ABDF是菱形．(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF 与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．考点：四边形综合题．7．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．8．(1)问题发现如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC 满足的等量关系，并写出推理过程。

平行四边形、矩形、菱形、正方形提高题

平行四边形、矩形、菱形、正方形提高题

平行四边形练习 一、选择题1、如图1，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面 积相等的平行四边形有（ ）A 0对B 1对C 2对D 3对 2、如图2，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．33C ．313-D ．314-CBD A图 （1） 图（2） 图（3）3、如图3，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有（ ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个4、如图4，在四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，点P 、Q 、 M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形MNPQ 是（ ） A 等腰梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形A DEFB C图（5）二、填空题5、如图5,正方形ABCD 中,∠DAF=25°,AF 交对角线BD 于E,交CD 于F, 则∠BEC= 度6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周 长为________．7、在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的 面积为_______c m 2．三、解答题C BB '__D C 'D 'DAAQ E PMN DCBA 图（4）_ E _ F_ B_ C8、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．10、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是AB 上一点， 且∠DCE ＝45°，BE ＝2，求DE 的长．6.如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCE P 图2ABDCEPM NFB CA G D FEB CA DE图1图2。

平行四边形综合练习附答案

平行四边形综合练习附答案

平行四边形综合练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，故本选项正确，不符合题意；D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE ，则AB的长为（）6cm【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O 平分AC ，则OE 是三角形ABC 的中位线，则AB ＝2OE ，继而求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝CO ，∵点E 是CB 的中点，∴OE 为△ABC 的中位线，∴AB ＝2OE ，∵OE ＝6cm ，∴AB ＝12cm ．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的性质得出OE 为△ABC 的中位线．3．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作EF //BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】A【解析】【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE SS =，然后求解即可．【详解】∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∵PM =AE =1，PF =NC =3， ∴131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=33+=322， 故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A ．AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AD ∥BC ，∠A ＝∠C C ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A ，不能，只能判定为矩形；B ，不能，只能判定为平行四边形；C ，能；D ，不能，只能判定为菱形．故选C ．5．如图，ABC ∆中，DE BC ∥，EF AB ∥，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（ ）A ．BE 平分ABC ∠B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．AB AC =【答案】A【解析】【分析】 当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分ABC ∠时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE BC ∥，∴DEB EBC ∠=∠，∵EBC EBD ∠=∠，∴EBD DEB ∠=∠，∴BD DE =，∵DE BC ∥，EF AB ∥，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD DE =，∴四边形DBFE 是菱形.其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选A.【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为( )A ．16B ．8C ．4D ．1【答案】A根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：设两对角线长分别是：a ，b ． 则（12a ）2+（12b ）2=22，故有a 2+b 2=16．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形，因为菱形的这个性质，使得菱形的题目一般都会和勾股定理结合起来，同学们要注意掌握．7．如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC =1，则AB 的长度为（ ）A 2B 21+C 51+D ．43【答案】A【解析】 【分析】 先判断出∠ADE =45°，进而判断出AE =AD ，利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADA '=∠B =∠C =∠A =90°，AD =BC =1，CD =AB ，由第一次折叠得：∠DAE =∠A =90°，∠ADE =12∠ADC =45°，∴∠AED =∠ADE =45°，∴AE =AD =1，在Rt △ADE 中，根据勾股定理得，DE 2AD 2，由第二次折叠可知，DC DE =【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键．8．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作OG AC ⊥，交AB 于点G ，连接CG ，若15BOG ∠=，则BCG ∠的度数是（ ）A ．15B ．15.5C ．20D ．37.5【答案】A【解析】【分析】 根据矩形的性质求出OCB ∠的度数，从而得到GAC ∠的度数，再根据垂直平分线的性质得到GCA GAC ∠=∠，最后求出BCG ∠的度数．【详解】解：∵OG AC ⊥，∴90COG ∠=︒，∵15BOG ∠=︒，∴901575COB COG BOG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OC OA AC ==，12OB OD BD ==，//AB DC ，90BCD ∠=︒， ∴OC OB =， ∴1801807552.522COB OCB OBC ︒-∠︒-︒∠=∠===︒， ∴37.5ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒，∵//AB CD ，∴37.5GAC ACD ∠=∠=︒，∴GO 是AC 的垂直平分线，∴AG CG =，∴37.5GCA GAC ∠=∠=︒，∴52.537.515BCG OCB GCA ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理，并结合题目条件进行证明．二、填空题9．正方形是有一组邻边_______，并且有一个角是_______的平行四边形，因此它既是______又是________．【答案】 相等 直角 矩形 菱形【解析】【分析】根据正方形的定义和性质填空即可．【详解】 正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形．故答案为：相等，直角，矩形，菱形【点睛】本题考查了正方形的定义，解题关键是明确正方形的定义：正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形．10．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，则FC =______【答案】32【分析】在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，可得DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，可得（4-x）2=22+x2，解方程即可．【详解】解∵△ABF≌△AEF，∴AE=AB=5，在矩形ABCD中，AD=BC=4，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，∴DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，即（4-x）2=22+x2，8x=12，x=32，∴FC=32．故此答案为32．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于_______．【答案】8【解析】【分析】形ABED 是平行四边形，最后根据平行四边形的面积公式即可得．【详解】由平移的性质得2AD BE ==，4DF AC ==，90C DFE ∠=∠=︒∴四边形ACFD 是矩形//AD CF ∴//AD BE ∴∴四边形ABED 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 则四边形ABED 的面积为428DF BE ⋅=⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识点，掌握平移的性质是解题关键．12．如图，ACE ∆是以ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称．若E 点的坐标是(7,33)-，则D 点的坐标是_____．【答案】（5，0）【解析】【分析】设CE 和x 轴交于H ，由对称性可知63CE =63AC CE ==根据勾股定理即可求出AH 的长，进而求出AO 和DH 的长，所以OD 可求，又因为D 在x 轴上，纵坐标为0，问题得解．【详解】解：点C 与点E 关于x 轴对称，E 点的坐标是(7,33)-， C ∴的坐标为(7，33)，33CH ∴=3CE =63AC ∴=，9AH ∴=，7OH =，2AO DH ∴==，5OD ∴=，D ∴点的坐标是(5,0)，故答案为：(5,0)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用，解题的关键是综合应用以上知识点．13．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为______．【答案】245【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ，然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可．【详解】解：如图，连接OP ，∵AB=6，AD=8，∴2222.6810BD AB AD ++=，∵四边形ABCD 是矩形，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴12×12×6×8=12×5•PE+12×5•PF，解得PE+PF=245．故答案为：245．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____．【答案】（2，6）【解析】【分析】此题涉及的知识点是平面直角坐标系图像性质的综合应用．过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．【详解】∵四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(16,0)，CD∥OA，CD=OB=16，过点M作MF⊥CD于F,则182CF CD，==过C作CE⊥OA于E，∵A(20,0)，∴OA=20，OM=10，∴OE=OM−ME=OM−CF=10−8=2，连接MC,110,2MC OA==∴在Rt△CMF中，2222108 6.MF MC CF=-=-=∴点C的坐标为(2,6).故答案为(2,6).【点睛】此题重点考察学生对坐标与图形性质的实际应用，勾股定理，注意数形结合思想在解题的关键．三、解答题15．如图是某区部分街道示意图，其中AB AF⊥，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，//BC FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E⇒⇒⇒，且长度为5公里，路线2是B C F E⇒⇒⇒，求路线2的长度．【答案】5公里【解析】【分析】证明四边形BCDG是平行四边形，得到DG＝CB，再证四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵E、D分别是FA和FG的中点，∴AB∥DE，∵BC∥GF，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC ∥DF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴CF ＝BD ，∵AB ∥DE ，AB AF ⊥，FE ＝AE ，∴CE 垂直平分AF ，∴AE ＝FE ，FD ＝DA ，∴BC ＝DA ，∴路线2的长度：BC +CF +FE ＝AD +BD +AE ＝5（公里）．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．已知：如图，ABCD 中，5AB =，3BC =．（1）作DAB ∠的角平分线，交CD 于点E （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE 的长为2【解析】【分析】（1）根据尺规作图作DAB ∠的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，求出DE ＝DA ＝BC ＝3，再求出CE 即可．【详解】解：如图，（1）AE 即为∠DAB 的角平分线；（2）∵AE 为∠DAB 的角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝BC＝3，∵DC＝AB＝5，∴CE＝CD﹣DE＝2．答：CE的长为2．【点睛】当平行线遇上角平分线时，通过角的转化，可以得到等腰三角形，这是初中几何一个很重要的数学模型，要深刻领会．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD．在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）∴AF =BD ．∴AF =DC ．（2）四边形ADCF 是菱形，证明如下：∵AF ∥BC ，AF =DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线，∴AD =DC ．∴平行四边形ADCF 是菱形．18．如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm ．求：（1）对角线AC 的长度；（2）菱形ABCD 的面积．【答案】（1）24cm AC =；（2）2120cm【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出AE 的长，从而求出AC 的长；（2）根据菱形的面积公式：两条对角线乘积的一半即可求得面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 相交于点E ，∴90AED ∠=︒（菱形的对角线互相垂直），11105(cm)22DE BD ==⨯=（菱形的对角线互相平分）． ∴222213512(cm)AE AD DE =--=．∴221224(cm)AC AE ==⨯=（菱形的对角线互相平分）；（2）ABD BDC ABCD S S S =+菱形1122BD AE BD CE =⋅+⋅ 1()2BD AE CE =⋅+ 12BD AC =⋅ 110242=⨯⨯ 2120(cm )=．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟知菱形的性质是解本题的关键．19．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△FCE ．（2）若∠BAF =90°，BC =5，EF =3，求CD 的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）8【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB ∥CD ，证出∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，由AAS 证明△ADE ≌△FCE 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE =EF =3，由平行线的性质证出∠AED =∠BAF =90°，由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，DAE F D ECF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△FCE （AAS ）；（2）∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE=2222-=-=4，AD AE53∴CD=2DE=8【点睛】考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质20．(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为() A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D．①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1图2【答案】（1）C；（2）①证明见解析；1010【解析】【详解】试题分析：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AE E′D的形状为矩形，故选C；（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=3．如图2：∵△AEF ，将它平移至△DE′F′，∴AF ∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D 是平行四边形．在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AF=2222=34++AE EF =5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D 是菱形；②连接AF′，DF ，如图3：在Rt △DE′F 中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF=2222=13=10''++E D E F ，在Rt △AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′=2222=39'++AE F E =310． 考点：①图形的剪拼；②平行四边形的性质；③菱形的判定与性质；④矩形的判定；⑤平移的性质．21．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE=CF ，连接AF 、CE 交于点G ．求证：AG=CG ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先用SAS 证明△ADF ≌△CDE ，得∠DAF=∠DCE ，再用AAS 证明△AGE ≌△CGF 即可.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADF=∠CDE=90°，AD=CD ．∵AE=CF ，∴DE=DF ，在△ADF 和△CDE 中,AD AD ADF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△CDE （SAS ），∴∠DAF=∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，GAE GCF AGE CGF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE ≌△CGF （AAS ），∴AG=CG ．22．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D,（1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，利用AB=AC 可得AE=AF ，得出△ACF ≌△ABE ，从而得出BE=CF ；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE ，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以22BD=BE ﹣DE 求解．【详解】（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，在△ACF 和△ABE 中，AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF ≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE 为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，∴∠AEB=∠ABE ，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE 为等腰直角三角形，∴BE=2AC=2，∴BD=BE ﹣DE=21-．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质． 23．如图，AD 是ABC 的中线，//AE BC ，且12AE BC =，连接DE ，CE ．（1）求证：AB DE =；（2）当ABC 满足条件__________时，四边形ADCE 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）AB =AC 或 ABC ACB ∠=∠【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可； （2）根据矩形的判定解答即可．【详解】（1）∵AD 是ABC 的中线，∴12BD BC =， ∵12AE BC =， ∴AE BD =，∵//AE BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB DE =（2）当△ABC 满足AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，四边形ADCE 是矩形， 11,,22BC BD AE CD BC =∴== ∴AE =CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB =DE ，∴当AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，AC =DE ，∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝ ；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG ＝5172，请直接写出此时DE 的长．【答案】（1）5（2109（3）52或152． 【解析】【分析】 （1）如图1，连接CG ，证明△CBD ≌△CBG （SAS ），可得G ，C ，D 三点共线，利用勾股定理可得AG 的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE ≌△BKG ，可得AK 和KG 的长，利用勾股定理计算AG 的长；（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG （AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝22+＝22AD DG+＝55，510故答案为：55；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝22103+＝109；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题(供参考)

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题(供参考)

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H 是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE ⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD 于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB ≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM 的周长=EF +ME +FM=7+5+5=17．故选A ．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME 的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E 、F ，则PE +PF 的值为（ ）A ．10B ．4.8C ．6D ．5【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ，然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OP ，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP ， ∴××6×8=×5•PE +×5•PF ，解得PE +PF=4.8．故选B ．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，若∠CAE=15°，则∠BOE 的度数等于 75° ．【分析】由矩形ABCD ，得到OA=OB ，根据AE 平分∠BAD ，得到等边三角形OAB ，推出AB=OB ，求出∠OAB 、∠OBC 的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE ，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE 交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=OF=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC 于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS 证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF ≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF ≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（2015春•台州校级期中）已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上1的中线性质得出BM=AC，DM=AC，得出BM=DM，即可得出结论．【解答】（1）解：四边形BNDM是平行四边形，理由如下：。

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题4(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题4(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题4（附答案）一．选择题（共10小题）1．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．10和34B．18和20C．14和10D．10和122．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3．如图，▱ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．55C．65°D．125°4．如图，把一等腰梯形ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′处，若∠AED'＝20°，则∠EFB的度数等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD＝a，BC＝b，则四边形AEFD的周长是（）A．3a+b B．2（a+b）C．2b+a D．4a+b6．如图，四边形ABCD中，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，则添加下列一个条件后，不能判定该四边形为平行四边形的是（）A．AD＝BC B．OA＝OC C．OD＝OB D．AB＝DC7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠D＝∠C B．BC＝AD C．∠A＝∠B D．AB＝CD8．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD10．有如下命题：（1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；（4）等腰梯形上，下底边中点的连线把等腰梯形分成面积相等的两部分．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，同样长度m为半径作弧，交于点G，连结AG并延长交BC于点E，若BF＝6，AB ＝4，则AE的长为．12．如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A＝120°，AD＝2，则CE＝．13．如图，已知平行四边形ABCD的面积为84cm2，且，则S△ACE＝cm2．14．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝8cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是．15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是cm．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为．18．已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为．19．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．20．阅读下列证明过程：已知，如图：四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．读后完成下列各小题．（1）证明过程是否有错误如有，错在第几步上，答：．（2）作DE∥AB的目的是：．（3）判断四边形ABED为平行四边形的依据是：．（4）判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是．（5）若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答．三．解答题（共8小题）21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：AE＝FE．23．如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝DC，AD∥BC，AD＝4，点P为梯形内部一点，若PB＝PC，且P A⊥PD．（1）求证：P A＝PD；（2）求P A的长．24．已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC⊥BD，相交于点O，AD＝3cm，BC＝7cm，求梯形的面积S．25．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．26．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．27．如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，分别过点B作直线BE∥AD，过点A作直线EA⊥AC于点A，两直线交于点E．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果∠ABE＝∠ABD＝60°，AD＝2，求AC的长．28．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形（2）若CD＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．10和34B．18和20C．14和10D．10和12【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，∵AB＝CD，DC∥AB∴四边形BECD是平行四边形，∴CE＝BD，BE＝CD＝AB，∴在△ACE中，AE＝2AB＝24＜AC+CE，∴四个选项中只有A，B符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，故选：B．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I．则HI＝AB•sin B＝6×＝3，S平行四边形ABCD＝8×3＝24．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，又∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝6，同理，CF＝CD＝AB＝6，∴EF＝BE+CF﹣BC＝6+6﹣8＝4，∵AD∥BC，∴△ADG∽△EFG，∴＝2，∴HG＝2，GI＝，则S△ADG＝AD•HG＝×8×2＝8，S△EFG＝EF•GI＝×4×＝2，∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG＝24﹣8﹣2＝14．故选：A．3．如图，▱ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．55C．65°D．125°【解答】解：∵∠EAD＝35°，AE⊥CD，∴∠D＝55°，∵▱ABCD，∴∠B＝55°，故选：B．4．如图，把一等腰梯形ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′处，若∠AED'＝20°，则∠EFB的度数等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解答】解：由已知得∠DEF＝∠D'EF．又因为∠AED＝180度，∠AED'＝20°，所以∠DEF＝80度．又因为AD∥BC，所以∠EFB＝∠DEF＝80°．故选：D．5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD＝a，BC＝b，则四边形AEFD的周长是（）A．3a+b B．2（a+b）C．2b+a D．4a+b【解答】解：根据题意，先作如图所示的辅助线，由四边形ABCD是等腰梯形，可得AC＝BD，且AD＝EF＝a，BE＝FC＝＝；作DG∥AC，交BC的延长线于G．∵AD∥BC，AC∥DG∴四边形ACGD是平行四边形∴AD＝CG＝a，DG＝AC＝BD∵BD⊥AC，AC∥DG∴BD⊥DG在△BDG中，BD⊥DG，BD＝DG∴△BDG是等腰直角三角形∴∠G＝45°在△DFG中，∠G＝45°，∠DFG＝90°∴△DFG是等腰直角三角形∴DF＝FG＝FC+CG＝+a由题意易得四边形AEFD是矩形，故其周长为2（AD+DF）＝2（a++a）＝3a+b．故选：A．6．如图，四边形ABCD中，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，则添加下列一个条件后，不能判定该四边形为平行四边形的是（）A．AD＝BC B．OA＝OC C．OD＝OB D．AB＝DC【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；选项A正确；B．∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴OD＝OB，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；选项B正确；C..∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OA＝OC，又∵OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形；选项C正确；D．∵AD∥BC，AB＝CD，∴四边形ABCD可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，选项D不正确；故选：D．7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠D＝∠C B．BC＝AD C．∠A＝∠B D．AB＝CD【解答】解：A、AB∥CD，∠D＝∠C时；不能判定四边形ABCD是平行四边形；B、AB∥CD，BC＝AD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形；C、AB∥CD，∠A＝∠B时，不能判定四边形ABCD是平行四边形；D、AB∥CD，AB＝CD时，能判定四边形ABCD是平行四边形；故选：D．8．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠ACB＝60°，∴△EFC是等边三角形，CH＝，∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，∴△ABD≌△BCF，故①正确，∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝，故③正确，S△AEF＝S△AEC＝•S△ABD＝故④错误，故选：C．9．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDB，∴BD∥CE，∴BCED为平行四边形，故A正确；∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠CBF，在△DEF与△CBF中，，∴△DEF≌△CBF（AAS），∴EF＝BF，∵DF＝CF，∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BCD，∴∠CBF＝∠BCD，∴CF＝BF，同理，EF＝DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，∵∠AEC＝∠CBD，∴∠BDE＝∠BCE，∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选：C．10．有如下命题：（1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；（4）等腰梯形上，下底边中点的连线把等腰梯形分成面积相等的两部分．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据等腰梯形的性质和判定可判断：1，错误，直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形．2，错误，一腰与一底相等时，不是等腰梯形．3，正确．4，正确，等腰梯形是轴对称图形故选：B．二．填空题（共10小题）11．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，同样长度m为半径作弧，交于点G，连结AG并延长交BC于点E，若BF＝6，AB ＝4，则AE的长为2．【解答】解：如图，连接FE，设AE交BF于点O．由作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AE＝∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∴AO＝OE＝AE，BO＝OF＝3，在Rt△AOB中，AO＝＝＝，∴AE＝2OA＝2．故答案是：2．12．如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A＝120°，AD＝2，则CE＝．【解答】解：∵在▱ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，∴AD＝BC＝2，∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴CE＝，故答案为：13．如图，已知平行四边形ABCD的面积为84cm2，且，则S△ACE＝21cm2．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∵，平行四边形ABCD的面积为84cm2，∴S△ACE＝cm2．故答案为：2114．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝8cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是40cm．【解答】解：∵AB∥CD，AD＝BC＝8cm，∴∠ABC＝∠A＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠CBD＝30°，∴∠BDC＝∠CBD，∴CD＝BC＝8cm，∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2AD＝16cm，∴这个梯形的周长＝CD+AD+BC+AB＝8+8+8+16＝40（cm）．故答案为40cm．15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是15cm．【解答】解：已知BD平分∠ABC，∠A＝60°⇒∠CBD＝∠CDB＝30°，∠BDA＝90°，∠DBA＝30°故CD＝BC＝AD＝3cm，AB＝2AD＝6cm．所以梯形的周长为CD+AD+BC+AB＝15cm．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝3或6秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．【解答】解：由运动知，AP＝3t，CQ＝t，∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t，∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴12﹣3t＝t，∴t＝3秒；当P运动到AD线段以外时，AP＝3t，CQ＝t，∴DP＝3t﹣12，∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴3t﹣12＝t，∴t＝6秒，故答案为：3或617．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为2秒或3.5秒．【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝9，∵AD∥BC，∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9﹣3t＝5﹣t，解得：t＝2，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t﹣9＝5﹣t，解得：t＝3.5；∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：2秒或3.5秒．18．已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为8．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD＝10，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC．由（1）得∠BAE＝∠AEB，∠CDF＝∠DFC．∵AB＝DC＝6，∴BE＝AB＝6，FC＝CD＝6．∴EC＝BC﹣BE＝4．∴EF＝FC﹣EC＝2．∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠FEG，∠ADG＝∠EFG．∴△AGD∽△EGF，∴＝＝＝，∵AE＝4，∴AG＝×4＝，EG＝，在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∴DG＝＝，EG＝＝，∴DF＝DG+FG＝8，故答案为8．19．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动3或5秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠FBM＝∠CBM，∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD＝12cm，∵AF＝6cm，∴AD＝18cm，∵点E是BC的中点，∴CE＝BC＝AD＝9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，解得：t＝3或t＝5．故答案为：3或5．20．阅读下列证明过程：已知，如图：四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．读后完成下列各小题．（1）证明过程是否有错误如有，错在第几步上，答：没有错误．（2）作DE∥AB的目的是：为了证明AD∥BC．（3）判断四边形ABED为平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是梯形及等腰梯形的定义．（5）若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答不一定，因为当AD＝BC时，四边形ABCD是矩形．【解答】解：（1）没有错误（2）为了证明AD∥BC（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）梯形及等腰梯形的定义（5）不一定，因为当AD＝BC时，四边形ABCD是矩形．三．解答题（共8小题）21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：AE＝FE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAE＝∠F，∠B＝∠ECF，又∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE．23．如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝DC，AD∥BC，AD＝4，点P为梯形内部一点，若PB＝PC，且P A⊥PD．（1）求证：P A＝PD；（2）求P A的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，又PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠ABP＝∠DCP，∴在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP．∴P A＝PD．（2）在Rt△P AD中，P A2+PD2＝AD2即：2P A2＝42P A＝2．24．已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC⊥BD，相交于点O，AD＝3cm，BC＝7cm，求梯形的面积S．【解答】解：做OE⊥AD并反向延长OE交BC于点F，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴点O在梯形ABCD的对称轴上，∴OA＝OD，OB＝OC，设对称轴与AD、BC分别交于E、F，则OE＝AD＝，OF＝BC＝，∴EF＝OE+OF＝5，∴S梯形＝（AD+BC）•EF＝×（3+7）×5＝25．25．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．26．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD＝BC，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，分别过点B作直线BE∥AD，过点A作直线EA⊥AC于点A，两直线交于点E．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果∠ABE＝∠ABD＝60°，AD＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC，EA⊥AC，∴AE∥BD，∵BE∥AD，∴四边形AEBD是平行四边形；（2）∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∵∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵BD垂直平分AC，∴∠AFD＝90°，AC＝2AF，∵AD＝2，∴AF＝，∴AC＝2．28．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形（2）若CD＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．∵F是AD的中点，∴DF＝．又∵CE＝BC，∴DF＝CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°．∵CD＝AB＝4，∴CH＝CD＝2，DH＝2．在▱CEDF中，CE＝DF＝AD＝3，则EH＝1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE＝＝．。

2020-2021备战中考数学复习《平行四边形》专项综合练习含答案解析

2020-2021备战中考数学复习《平行四边形》专项综合练习含答案解析

2020-2021备战中考数学复习《平行四边形》专项综合练习含答案解析一、平行四边形1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°．【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°．试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，∵∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠BAG=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，∴∠AON=∠BOM．∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∴△AON≌△BOM（AAS）．∴OM=ON，∴矩形OMHN为正方形，∴HO平分∠BHG．（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．与（1）同理，可以证明AG ⊥BE ．过点O 作OM ⊥BE 于点M ，ON ⊥AG 于点N ，与（2）同理，可以证明△AON ≌△BOM ，可得OMHN 为正方形，所以HO 平分∠BHG ，∴∠BHO=45°．考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，35；（3）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．∵(1052,102)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=，∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．3．已知：在菱形ABCD 中，E ，F 是BD 上的两点，且AE ∥CF ．求证：四边形AECF 是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠ADF ＝∠CDF ，由“SAS ”可证△ADF ≌△CDF ，可得AF ＝CF ，由△ABE ≌△CDF ，可得AE ＝CF ，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF 是菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠ADF ＝∠CDF ，∵AB ＝CD ，∠ADF ＝∠CDF ，DF ＝DF∴△ADF ≌△CDF （SAS ）∴AF ＝CF ，∵AB ∥CD ，AE ∥CF∴∠ABE ＝∠CDF ，∠AEF ＝∠CFE∴∠AEB ＝∠CFD ，∠ABE ＝∠CDF ，AB ＝CD∴△ABE ≌△CDF （AAS ）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB223BD AD-，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF22AB AF+3．5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CE＝EF，延长FE交AD的延长线于G．（1）求证：AE＝EG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BG＝BF，求证：BE＝EG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB＝5，求EM的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝12AC，计算可得结论．【详解】证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC ＝BC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AG 是BC 的垂直平分线，∴GC ＝GB ，∴∠GBF ＝∠BCG ，∵BG ＝BF ，∴GC ＝BE ，∵CE ＝EF ，∴∠CEF ＝180°﹣2∠F ，∵BG ＝BF ，∴∠GBF ＝180°﹣2∠F ，∴∠GBF ＝∠CEF ，∴∠CEF ＝∠BCG ，∵∠BCE ＝∠CEF+∠F ，∠BCE ＝∠BCG+∠GCE ，∴∠GCE ＝∠F ，在△BEF 和△GCE 中，CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ， ∴△BEF ≌△GEC （SAS ），∴BE ＝EG ；（3）如图3，连接DM ，取AC 的中点N ，连接DN ，由（1）得AE＝EG，∴∠GAE＝∠AGE，在Rt△ACD中，N为AC的中点，∴DN＝1AC＝AN，∠DAN＝∠ADN，2∴∠ADN＝∠AGE，∴DN∥GF，在Rt△GDF中，M是FG的中点，∴DM＝1FG＝GM，∠GDM＝∠AGE，2∴∠GDM＝∠DAN，∴DM∥AE，∴四边形DMEN是平行四边形，∴EM＝DN＝1AC，2∵AC＝AB＝5，∴EM＝5．2【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．6．如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．【答案】见解析.【解析】【分析】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，进而求证△AFM≌△EFB，得AM=BE，FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，进而求得BD=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF⊥DF．【详解】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，FB=FM．∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD．∵CE=AC，∴AC=CE= BD =DM．∵FB=FM，∴BF⊥DF．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键．7．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．8．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．9．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.10．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF．（1）说明△BEF是等腰三角形；（2）求折痕EF的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据折叠得出∠DEF=∠BEF，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠DEF=∠BFE，求出∠BEF=∠BFE即可；（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6，AE=BM，根据折叠得出DE=BE，根据勾股定理求出DE、在Rt△EMF中，由勾股定理求出即可．【详解】（1）∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴∠DEF=∠BEF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，即△BEF 是等腰三角形；（2）过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6，AE=BM．∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF．∵四边形ABCD是矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠BAD=90°．在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，即（8﹣BE）2+62=BE2，解得：BE==DE=BF，AE=8﹣DE=8﹣==BM，∴FM=﹣=．在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF==．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键．11．如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m⩾1，将它沿EF折叠(点E. F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设AMnAD=，其中0<n⩽1.(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；(2)如图3，当12n=(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的值发生变化时，BE CFAM-的值是否发生变化?说明理由.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD，设AD=a，则AB=2a，由矩形的性质可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论.（2）延长PM交EA延长线于G，由条件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性质就可以得出结论.（3）如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，通过证明△ABM∽△KFE，就可以得出EK KFAM AB=，即BE BK BCAM AB-=，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出BE CFAM-的值是12为定值．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．∵FN=FC，∴AE=FC．∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE．Rt△AED中，由勾股定理，得222AE DE AD=-，即2222AE AD AE AD（）=--，∴AE=34AD.∴BE=2AD-34AD=54.∴554334ADBEAE AD==.（2）如图3，延长PM交EA延长线于G，∴∠GAM=90°．∵M为AD的中点，∴AM=DM．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.∴∠GAM=∠PDM．在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3）12BE CFAM-=，值不变，理由如下：如图1，连接BM 交EF 于点Q ，过点F 作FK ⊥AB 于点K ，交BM 于点O ，∵EM=EB ，∠MEF=∠BEF ，∴EF ⊥MB ，即∠FQO=90°.∵四边形FKBC 是矩形，∴KF=BC ，FC=KB.∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB ，∴∠KBO=∠OFQ.∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM ∽△KFE. ∴EK KF AM AB =即BE BK BC AM AB-=. ∵AB=2AD=2BC ，BK=CF ，∴12BE CF AM -=. ∴BE CF AM-的值不变．考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质．12．如图1所示，（1）在正三角形ABC 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠ACP 的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN ． （2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N 是∠DCP 的平分线上一点，若∠AMN=90°，则AM=MN 是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由． （3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n 边形A 1A 2…A n “，其它条件不变，请你猜想：当∠A n ﹣2MN=_____°时，结论A n ﹣2M=MN 仍然成立．（不要求证明）【答案】0(2)180n n- 【解析】分析：（1）要证明AM=MN ，可证AM 与MN 所在的三角形全等，为此，可在AB 上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N是∠DCP的平分线上一点，∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（3）由（1）（2）可知当∠A n-2MN等于n边形的内角时，结论A n-2M=MN仍然成立；即∠A n-2MN=()02180nn-时，结论A n-2M=MN仍然成立；故答案为[()02180nn-]．点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．13．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F 的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF；（2）是；（3）成立，理由见解析；（4）CP=QC﹣QP=．【解析】试题分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD 的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC=，∴CP=QC﹣QP=．考点：四边形的综合知识．14．（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时= _____ __；（2）小明对问题1做了简单的变式思考．如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PC为边作□PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图4，若为上任意一点，以，为边作□．试求对角线长的最小值和PQ最小时的值．（2）若为上任意一点，延长到，使，再以，为边作□．请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值．【答案】问题1：（1）3，；（2）PQ=，=．问题2：（1）=4，．（2）PQ的最小值为．．【解析】试题分析：问题1：（1）首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形，然后根据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而可求的值．（2）由题可知：当QP⊥AC 时，PQ最小．过点C作CD⊥AB于点D．此时四边形CDPQ为矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，利用面积可求出CD=,然后可求出AD=，由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=AD-AP=，所以AP=．所以=．问题2：（1）设对角线与相交于点．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由题可知：当QP⊥AB时，PQ最小，此时=CH=4，根据条件可证四边形BPQH为矩形，从而QH=BP=AP．所以．（2）根据题意画出图形，当AB时，的长最小，PQ的最小值为．．试题解析：问题1：（1）3，；（2）过点C作CD⊥AB于点D．由题意可知当PQ⊥AB时，PQ最短．所以此时四边形CDPQ为矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因为∠BCA=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因为AE=nPA，所以PE==CQ=PD=AD-AP=．所以AP=．所以=．问题2：（1）如图2，设对角线与相交于点．所以G是DC的中点，作QH BC，交BC的延长线于H，因为AD//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由图知，当AB时，的长最小，即=CH=4．易得四边形BPQH为矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若学生有能力从梯形中位线角度考虑，若正确即可评分．但讲评时不作要求）（2）PQ的最小值为．．考点：1．直角三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质；4矩形的判定与性质．15．（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处．（1）求矩形ABCD的边AD的长．（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示．设DP＝x cm，DM＝y cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）①当折痕MN的端点N在AB上时，求当△PCN为等腰三角形时x的值；②当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD＝3；（2）y=－其中，0＜x＜3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及Rt△MPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQ⊥CD，根据Rt△NPQ 的勾股定理进行求解；（4）根据Rt△ADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据Rt△PBC的勾股定理可得：AD＝3．（2）由折叠可知AM＝MP，在Rt△MPD中，∴∴y=－其中，0＜x＜3.（3）当点N在AB上，x≥3，∴PC≤3，而PN≥3，NC≥3.∴△PCN为等腰三角形，只可能NC＝NP．过N点作NQ⊥CD，垂足为Q，在Rt△NPQ中，∴解得x=．（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形．设MP＝y，在Rt△ADM中，，即∴ y=．∴ S=考点：函数的性质、勾股定理.。

初二数学：平行四边形知识点总结及压轴题练习(附答案解析)

初二数学：平行四边形知识点总结及压轴题练习(附答案解析)

A C BD 初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点：1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。

3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角；⑵矩形的对角线相等。

6、矩形判定定理：⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形；⑵对角线相等的平行四边形是矩形。

7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

）8、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形。

9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等；⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线长）10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。

⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

12正方形判定定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。

⑵有一个角是直角的菱形是正方形。

（矩形+菱形=正方形）常考题：一．选择题（共14小题）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等2．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）6．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．117．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．168．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．1711．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．812．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．1913．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣414．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°二．填空题（共13小题）15．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．16．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．18．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD 和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．20．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．21．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．22．如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．23．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C （0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．25．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．26．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．27．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．三．解答题（共13小题）28．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．30．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．31．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．32．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．33．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．34．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？35．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．36．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形．37．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．（1）求证：△ABD≌△EBD；（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．38．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=度．39．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．40．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．（2014•河池）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．3．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．4．（2011•张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．【解答】解：连接BD，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD．∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH=GF，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．故选：A．【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．5．（2006•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5=7，即顶点C的坐标（7，3）．【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），∵AB在x轴上，∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，∴C点横坐标为2+5=7，∴即顶点C的坐标（7，3）．故选：C．【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．6．（2014•河南）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO==5，∴BD=2BO=10，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．7．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD 沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故选D．【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．8．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．9．（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．10．（2013•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故选C．【点评】本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．11．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC 的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD 与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF 与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选：B【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．12．（2013•菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．13．（2013•连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为4，∴BD=4，∴BE=BD﹣DE=4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．14．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE 相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．故选：C．【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．二．填空题（共13小题）15．（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24cm2．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．16．（2015•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD 的周长等于20．【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．17．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=3厘米．【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF 是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=AB=3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．18．（2007•临夏州）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O 的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE =S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．19．（2014•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y轴上，∴AB=5，∴DO=4，∴点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．20．（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65度．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE 全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．21．（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是1．【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=，∴CE==2，∴AB=1，故答案为：1．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．22．（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF ⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，∴sinB==，∴AE=2，∴菱形的面积=4×2=8，故答案为8．【点评】本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用．23．（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是11．【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．24．（2015•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．25．（2013•阜新）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【分析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．【解答】解：如图：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．故答案为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意坐标与图形的关系．26．（2014•丹东）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．。

2020-2021太原 备战中考数学(平行四边形提高练习题)压轴题训练

2020-2021太原 备战中考数学(平行四边形提高练习题)压轴题训练

2020-2021太原备战中考数学(平行四边形提高练习题)压轴题训练一、平行四边形1．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积2．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=12MC，∴EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．4．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CE＝EF，延长FE交AD的延长线于G．（1）求证：AE＝EG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BG＝BF，求证：BE＝EG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB＝5，求EM的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝12AC，计算可得结论．【详解】证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC ＝BC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AG 是BC 的垂直平分线，∴GC ＝GB ，∴∠GBF ＝∠BCG ，∵BG ＝BF ，∴GC ＝BE ，∵CE ＝EF ，∴∠CEF ＝180°﹣2∠F ，∵BG ＝BF ，∴∠GBF ＝180°﹣2∠F ，∴∠GBF ＝∠CEF ，∴∠CEF ＝∠BCG ，∵∠BCE ＝∠CEF+∠F ，∠BCE ＝∠BCG+∠GCE ，∴∠GCE ＝∠F ，在△BEF 和△GCE 中，CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ， ∴△BEF ≌△GEC （SAS ），∴BE ＝EG ；（3）如图3，连接DM ，取AC 的中点N ，连接DN ，由（1）得AE＝EG，∴∠GAE＝∠AGE，在Rt△ACD中，N为AC的中点，∴DN＝12AC＝AN，∠DAN＝∠ADN，∴∠ADN＝∠AGE，∴DN∥GF，在Rt△GDF中，M是FG的中点，∴DM＝12FG＝GM，∠GDM＝∠AGE，∴∠GDM＝∠DAN，∴DM∥AE，∴四边形DMEN是平行四边形，∴EM＝DN＝12AC，∵AC＝AB＝5，∴EM＝52．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．6．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝108 25．【解析】【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE ⊥EF ；（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB ′=∠EB′B ，由E 是BC 的中点，可得EB′=EC ，∠ECB′=∠EB′C ，从而可证△BB′C 为直角三角形，在Rt △AOB 和Rt △BOE 中，可将OB ，BB′的长求出，在Rt △BB′C 中，根据勾股定理可将B′C 的值求出.【详解】（1）由折线法及点E 是BC 的中点，∴EB ＝EB ′＝EC ，∠AEB ＝∠AEB ′，∴△B 'EC 是等腰三角形，又∵EF ⊥B ′C∴EF 为∠B 'EC 的角平分线，即∠B ′EF ＝∠FEC ，∴∠AEF ＝180°﹣（∠AEB +∠CEF ）＝90°，即∠AEF ＝90°，即AE ⊥EF ；（2）连接BB '交AE 于点O ，由折线法及点E 是BC 的中点，∴EB ＝EB ′＝EC ，∴∠EBB ′＝∠EB ′B ，∠ECB ′＝∠EB ′C ；又∵△BB 'C 三内角之和为180°，∴∠BB 'C ＝90°；∵点B ′是点B 关于直线AE 的对称点，∴AE 垂直平分BB ′；在Rt △AOB 和Rt △BOE 中，BO 2＝AB 2﹣AO 2＝BE 2﹣（AE ﹣AO ）2将AB ＝4cm ，BE ＝3cm ，AE ＝5cm ，∴AO ＝165 cm ，∴BO 125cm ， ∴BB ′＝2BO ＝245cm ，∴在Rt △BB 'C 中，B ′C 518cm ， 由题意可知四边形OEFB ′是矩形，∴EF ＝OB ′＝125， ∴S △B ′EC ＝*111812108225525B C EF '⨯=⨯⨯=．【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP 时，证明：PE=2PF．【答案】（1）①证明见解析，②2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，∴∠AOE+∠DOE=90°，∵∠EPF=90°，∴∠AOF+∠AOE=90°，∴∠DOE=∠AOF，在△AOF 和△DOE 中，OAF ODE OA ODAOF DOE ＝＝＝∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOF ≌△DOE ，∴AF=DE ；②解：过点O 作OG ⊥AB 于G ，∵正方形的边长为23， ∴OG=12BC=3， ∵∠DOE=15°，△AOF ≌△DOE ，∴∠AOF=15°，∴∠FOG=45°-15°=30°，∴OF=OG cos DOG∠=2， ∴EF=22=22OF OE +；（2）证明：如图2，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP ，∵BD=3BP ，∴PD=2BP ，∴PD=2HP ，又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，∴∠HPF=∠DPE ，又∵∠BHP=∠EDP=45°，∴△PHF ∽△PDE ， ∴12PF PH PE PD ==， ∴PE=2PF ．【点睛】 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．如图，点O 是正方形ABCD 两条对角线的交点，分别延长CO 到点G ，OC 到点E ，使OG=2OD 、OE=2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ．（1）如图1，若正方形OEFG 的对角线交点为M ，求证：四边形CDME 是平行四边形． （2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边相交于点N ，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON 是等腰三角形，请直接写出α的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【解析】【分析】（1）由四边形OEFG 是正方形，得到ME=12GE ，根据三角形的中位线的性质得到CD ∥GE ，CD=12GE ，求得CD=GE ，即可得到结论； （2）如图2，延长E′D 交AG′于H ，由四边形ABCD 是正方形，得到AO=OD ，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG 是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC ，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O ，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形OEFG 是正方形，∴ME=12GE ， ∵OG=2OD 、OE=2OC ，∴CD ∥GE ，CD=12GE ， ∴CD=GE ， ∴四边形CDME 是平行四边形；（2）证明：如图2，延长E′D 交AG′于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AO=OD ，∠AOD=∠COD=90°，∵四边形OEFG 是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，∵将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC ，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O 与△ODE′中，OA OD AOG DOE OG OE ⎧⎪∠'∠'⎨⎪''⎩＝＝＝，∴△AG′O ≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O ，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AD 相交于点N ，如图3，Ⅰ、当AN=AO 时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；Ⅱ、当AN=ON 时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°-45°=45°；②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AB 相交于点N ，如图4，Ⅰ、当AN=AO 时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO+90°=112.5°；Ⅱ、当AN=ON 时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°+45°=135°，Ⅲ、当AN=AO 时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，综上所述：若△AON 是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当△AON 是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点．9．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP 剟.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45°，A′B＝626-，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝1OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．2【详解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626-，∴BD＝（626-）×21262=-，∴CD＝6﹣（1262-，-）=626∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为333,333+；（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+剟.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．10．点P 是矩形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A ，C 重合），分别过点A ，C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，请你判断OE 与OF 的数量关系；（2）当点P 运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P 在射线OA 上运动，恰好使得∠OEF ＝30°时，猜想此时线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】（1）OE =OF ．理由如下：如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∆≅∆，∴CG=AE．∴FG=OF=OE，同理可得：AOE COG又∵CF=GF-CG，∴CF=OE-AE．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．11．（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8【解析】【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC 垂直平分BD；（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．【详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，故答案为：AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形．理由：如图2，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四边形AMFN是矩形；（3）BD′的平方为16+8或16﹣8．分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，由旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠EAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴D'E=AD'=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，如图所示：过B作BF⊥AD'于F，旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠BAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴BF=AB=，AF=，∴D'F=2﹣，∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8综上所述，BD′平方的长度为16+8或16﹣8．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．12．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．（2）引申：如果∠C 90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC ，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC ，所以△ABC ≌△DFC ，从而△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ．得到四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，AC=CD ，BC=CF ，∠ACP=∠DCQ ．所以△APC ≌△DQC ． 于是AP=DQ ．又因为S △ABC =12BC•AP ，S △DFC =12FC•DQ ，所以S △ABC =S △DFC ； （3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC 的面积最大，当△ABC 是直角三角形，即∠C 是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S 阴影部分面积和=3S △ABC =3×12×3×4=18． （1）证明：在△ABC 与△DFC 中， ∵{AC DCACB DCF BC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC ≌△DFC ．∴△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ． ∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC=CD ，BC=CF ，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ ．∴{APC DQCACP DCQ AC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC ≌△DQC （AAS ），∴AP=DQ ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．考点：四边形综合题13．如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P 是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN．（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN=90°，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…A n“，其它条件不变，请你猜想：当∠A n﹣2MN=_____°时，结论A n﹣2M=MN仍然成立．（不要求证明）【答案】0 (2)180 nn【解析】分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N是∠DCP的平分线上一点，∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（3）由（1）（2）可知当∠A n-2MN等于n边形的内角时，结论A n-2M=MN仍然成立；即∠A n-2MN=()02180nn-时，结论A n-2M=MN仍然成立；故答案为[()02180nn-]．点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．14．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，在△ABP和△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，在△BCH和△BQH中，，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周长是定值．（3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM和△BPA中，，∴△EFM≌△BPA（AAS）．∴EM=AP．设AP=x在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BE-EM=2+-x，∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．当x=2时，BE+CF取最小值，∴AP=2．考点：几何变换综合题．15．（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处．（1）求矩形ABCD的边AD的长．（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示．设DP＝x cm，DM＝y cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）①当折痕MN的端点N在AB上时，求当△PCN为等腰三角形时x的值；②当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD＝3；（2）y=－其中，0＜x＜3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及Rt△MPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQ⊥CD，根据Rt△NPQ 的勾股定理进行求解；（4）根据Rt△ADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据Rt△PBC的勾股定理可得：AD＝3．（2）由折叠可知AM＝MP，在Rt△MPD中，∴∴y=－其中，0＜x＜3.（3）当点N在AB上，x≥3，∴PC≤3，而PN≥3，NC≥3.∴△PCN为等腰三角形，只可能NC＝NP．过N点作NQ⊥CD，垂足为Q，在Rt△NPQ中，∴解得x=．（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形．设MP＝y，在Rt△ADM中，，即∴ y=．∴ S=考点：函数的性质、勾股定理.。

平行四边形综合练习附答案

平行四边形综合练习附答案

平行四边形综合练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A ．AB ∥CD ，AD ＝BCB ．∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D C ．AB ∥CD ，AD ∥BCD ．AB ＝CD ，AD ＝BC 【答案】A【解析】【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C 能判断； 平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B 能判断； 平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D 能判定； 平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；故选A ．【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．2．在平行四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( )A ．4∶3∶3∶4B ．7∶5∶5∶7C ．4∶3∶2∶1D ．7∶5∶7∶5 【答案】D【解析】【详解】解：因为平行四边形的对角相等，∠A 与∠C 是对角，∠B 与∠D 是对角， 所以∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是7∶5∶7∶5，故选：D3．下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．,AD BC AB CD ==B ．,AC BD ∠=∠∠=∠C ．//,AB CD BC AD = D ．//,AD BC B D ∠=∠【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判定逐一判断即可．【详解】解：A ．由AD =BC ，AB =CD 可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD 是平行四边形，此选项不符合题意；B ．由∠A =∠C ，∠B =∠D 可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD 是平行四边形，此选项不符合题意；C ．由AB ∥CD ，BC =AD 不能判定四边形ABCD 是平行四边形，此选项符合题意； D ．由AD ∥BC 知∠A +∠B =180°，结合∠B =∠D 知∠A +∠D =180°，所以AB ∥CD ，此时可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形知四边形ABCD 是平行四边形，此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．4．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若AH DH =，则DHO ∠的度数是( )．A ．25°B ．22.5°C ．30°D ．15°【答案】B【解析】【分析】 求出∠HDO ，再证明∠DHO =∠HDO 即可解决问题；【详解】∵AH DH DH AB =⊥，，∴45DAH ADH ∠=∠=︒.∵四边形ABCD 是菱形，∴12252DAO DAB ∠=∠=．°， ∵AC BD ⊥，∴90675AOD ADO ∠=︒∠=︒，．， ∴225HDO ADO ADH ∠=∠-∠=︒．.∵90DHB DO OB ∠=︒=，，∴OH OD =，∴225DHO HDO ∠=∠=︒．.故选B.【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．判断OH 为直角三角形斜边上的中线．5．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．全等三角形的对应角相等D ．正方形的四个角相等【答案】B【解析】【分析】先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题B 、逆命题：同位角相等，两直线平行由平行线的判定可知，此逆命题是真命题C 、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形 由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题D 、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题故选：B ．【点睛】本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．6．如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD 相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①BG=AB+HF；②DG=DE；∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正确结论的个数是（）③∠DHE=12A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】首先证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断．【详解】解：∵菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，∴∠GAD＝∠F，∵∠ADG＝∠FDH，∴△ADG≌△FDH，∴DG＝DH，AG＝FH，∴BG =AB＋AG＝AB＋HF，故①正确，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，又∵DG＝DH，∴DE＝DG＝DH，故②正确，∴∠DHE＝∠DEH，∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，∵∠DEH＝12∴∠DHE＝1∠BAD，故③正确，2∵∠B ＝∠DCE ，∠CED ＝∠CDE ＝∠DEF ＝∠DHE ，∴∠DCE ＝∠EDH ，∴∠B ＝∠EDH ，若 ∠B =∠DEF ，则∠EDH=∠DEF =∠DHE ，那么∆ DHE 是等边三角形，但题目中没有明确∆ DHE 是等边三角形，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝22，在线段BC 上取一点E ，连接AE 、ED ，将ABE 沿AE 翻折，点B 落在点B '处，线段E B '交AD 于点F ．将ECD 沿DE 翻折，点C 的对应C '恰好落在线段EB '上，且点C '为EB '的中点，则线段EF 的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．32【答案】A【解析】【分析】 由折叠的性质可得AB ＝A B '＝CD ＝C 'D ＝2，∠B ＝∠B '＝90°＝∠C ＝∠D C 'E ，BE ＝B 'E ，CE ＝C 'E ，由中点性质可得B 'E ＝2C 'E ，可得BC ＝AD ＝3EC ，由勾股定理可求CE 的长，由“AAS ”可证AB F '≌DC F '△，可得C F B F ''=＝1，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ，∠B ＝∠C ＝90°由折叠的性质可得：AB ＝AB '＝CD ＝C D '＝2∠B ＝∠B '＝90°＝∠C ＝∠DC E '，BE ＝B E '，CE ＝C E '，∠BEA =∠B EA '=12BEB '∠，∠CED =∠C ED '=12CEC '∠ ∴∠AED =12BEB '∠+12CEC '∠ =1()2BEB CEC ''∠+∠ =11802⨯︒=90︒ ∴AED 是直角三角形∴AD 2＝AE 2+DE 2，∵点C '恰好为EB '的中点，∴B E '＝2C E '，∴BE ＝2CE ，∴BC ＝AD ＝3EC ，∵AE 2＝AB 2+BE 2，DE 2＝DC 2+CE 2，∴(3CE )2= AB 2+BE 2+DC 2+CE 2即9CE 2＝8+4CE 2+8+CE 2，∴CE ＝2，∴B E '＝BE ＝4，BC ＝AD ＝6，C E '＝2，∴B C ''＝2，∵∠B '＝∠DC 'F ＝90°，∠AF B '＝∠DFC '，A B '＝C 'D ， ∴A B 'F ≌D C 'F （AAS ），∴C 'F ＝B 'F ＝1，∴EF ＝C 'E +C 'F ＝3，故选：A ．【点睛】此题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是求出CE 的长．8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 在边BC 上，BE ＝EC ，将△DCE 沿DE 对折至△DFE ，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG 、BF ，给出以下结论：①△DAG ≌△DFG ；②BG ＝2AG ；③BF //DE ；④S △BEF ＝725．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL ”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ；②再由GF ＋GB ＝GA ＋GB ＝12，EB ＝EF ，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG ＝4，BG ＝8，即可判断；③由△BEF 是等腰三角形，证明∠EBF ＝∠DEC ，；④结合①可得AG ＝GF ，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF 的面积．【详解】解：①由折叠可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；②∵正方形边长是12，∴BE ＝EC ＝EF ＝6，设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x ＋6，BG ＝12−x ，由勾股定理得：EG 2＝BE 2＋BG 2，即：（x ＋6）2＝62＋（12−x ）2，解得：x ＝4，∴AG ＝GF ＝4，BG ＝8，BG ＝2AG ，故②正确；③∵EF＝EC＝EB，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，∴∠DEC＝∠EBF，∴BF//DE，故③正确；④∵S△GBE＝12BE•BG＝12×6×8＝24，∵GF＝AG＝4，EF＝B E＝6，∴42=63 BFGBEFS GFS EF==，∴S△BEF＝35S△GBE＝35×24＝725，故④正确．综上可知正确的结论的是4个．故选：D．【点睛】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二、填空题9．正方形的四个角________四条边_________，对角线________且互相_______，每条对角线_________一组对角．【答案】都是直角都相等相等垂直平分平分【解析】【分析】根据正方形的性质（正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角）求解即可求得答案．【详解】解：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．故答案为：都是直角；都相等；相等，垂直平分；平分．【点睛】此题考查了正方形的性质．此题比较简单，注意熟记正方形的性质是解此题的关键．10．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4）【解析】【详解】解：∵A(10，0)，C(0，4)，∴OA=BC=10，OC=AB=4，如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=2222-=-=，543PD PE∴OE=OD-DE=5-3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；如图所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE2222--=，543OP PE∴此时点P坐标为（3，4）；如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=2222543PD PE-=-=，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．11．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_________．【答案】3 2【解析】【详解】解：如图，延长CF交AB于点G，∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG ≌△AFC （ASA ）．∴AC=AG ，GF=CF ．又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线．∴DF=12BG=12（AB ﹣AG ）=12（AB ﹣AC ）=32． 故答案为：32． 12．等腰梯形ABCD 一个内角为120︒，下底长为5，梯形面积为43，则梯形ABCD 的周长为_________【答案】12【解析】【分析】作AE BC ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，设BE x =，表示出等腰梯形的腰、高、上底，用面积列出关于x 的方程，解出即可求出梯形的周长.【详解】解：如图：等腰梯形ABCD ，//AD BC ，=AB CD ，120BAD ∠=︒，5BC =，梯形面积为43，作AE BC ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，设BE x =，∴90AEF ∠=︒，90DFE ∠=︒，18090EAD AEF ∠=︒-∠=︒，∴四边形AEFD 是矩形∴AD EF =,∵等腰梯形ABCD ，//AD BC ，∴B C ∠=∠，又∵90AEB DFC ∠=∠=︒,=AB CD ，∴AEB △≌DFC △（AAS ），∴=BE FC x =，∴52AD EF x ==-，∵//AD BC ，120BAD ∠=︒，∴18060B BAD ∠=︒-∠=︒，30BAE ∠=︒,∴2AB x =，223AE AB BE x -=，∵梯形面积为43， ∴1()2AD BC AE +=43，即143(525)3=2x x -+，解得：121,4=x x =， 又∵520AD x =->，∴1x =，∴梯形ABCD 的周长为52522102AD BC AB CD x x x x +++=-+++=+=12.故答案为：12.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质定理，三角形全等的判定定理，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，等腰梯形的性质，梯形的面积，解题的关键是用字母表示相关线段. 13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，D 是AB 的中点，则CD=_____．【答案】3【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，∴CD=12AB=12×6=3．故答案为3．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．14．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．【答案】12或20【解析】【分析】根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222-=-,543BE AB AE∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．三、解答题15．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）OE=5 2 .【解析】【分析】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=12AB，FH∥CD，FH=12CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出HO=HE，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=5 2 .【详解】（1）证明：如图一，连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH. ∵E、F分别是AD、BC的中点，∴EH∥AB，EH=12AB，FH∥CD，FH=12CD，∵∠BME=∠CNE，∴∠HEF=∠HFE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）如图二，连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，HE为△ABD的中位线，HO为△BCD的中位线，∴HO=HE=12AB=12CD，，∴∠HOE=∠HEO，∵OH∥AC，∠OEC=60°，∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=5 2 .故答案为（1）证明见解析；（2）OE=5 2 .【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质.16．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA ＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】先由两组对边分别相等证明四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可.【详解】证：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，灵活的根据已知条件选择合适的判定方法是证明的关键. 17．如图，ABC的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME MF．【答案】证明见解析．【解析】【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12ME BC =，12MF BC =，从而得证． 【详解】证明：∵BE 是ABC 的高，M 为BC 的中点，∴12ME BC =， ∵CF 是ABC 的高，M 为BC 的中点，∴12MF BC =， ∴ME MF =．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．18．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．(1)ACB ∠的大小＝______°；(2)求证：ABE △≌ADE ；(3)若20CBF ∠=︒，则AED ∠的大小＝______°．【答案】(1)45(2)证明见解析(3)65【解析】【分析】（1）由正方形的性质求解即可；（2）由正方形ABCD 可知，AB AD =，EAB EAD ∠=∠，进而可证EAB ≌EAD （SAS ）； （3）由EAB ≌EAD 可知AED AEB ∠=∠，由三角形外角的性质可知AEB EBC BCE ∠=∠+∠，计算求解即可．(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ∠=︒，11904522ACB BCD ∠=∠=⨯︒=︒ 故答案为45．(2)证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD =，EAB EAD ∠=∠在EAB 和EAD 中∵EA EA EAB EAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EAB ≌EAD （SAS ）．(3)解：∵EAB ≌EAD∴AED AEB ∠=∠∵204565AEB EBC BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴65AED ∠=︒故答案为65．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．19．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，且BE CF =，连接AE 、BF ，其相交于点G ，将BCF △沿BF 翻折得到BC F '△，延长FC '交BA 延长线于点H ．（1）求证：AE BF =；（2）若3AB =，2EC BE =，求BH 的长．【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到BA BC =，90ABC BCD ∠=∠=︒，利用SAS 定理证明ABE BCF △△≌，根据全等三角形的性质证明结论；（2）根据折叠的性质得到C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，证明HB HF =，根据勾股定理列式计算即可．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，BA BC ∴=，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴△≌△，AE BF ∴=；（2）解：3BC AB ==，2EC BE =，2EC ∴=，1BE =，1C F CF ∴'==，由折叠的性质可知，C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，90C FB C BF ∠'+∠'=︒，90HBF FBC ∠+∠=︒，C FB HBF ∴∠'=∠，HB HF ∴=，312HC HF C F HB C F AH AH ∴'=-'=-'=+-=+，在Rt HBC '△中，222HB C B C H ='+'，即222AH AH+=++，(3)3(2)解得：2AH=，BH AH AB∴=+=．5【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．20．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC ＝8，BD＝6．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】(1)先证明△AOD≌△COB，可证明对角线互相平分，从而证明平行四边形；(2)由题意得四边形是菱形，菱形的面积等于对角线积的一半.【详解】(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO.又∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，AC·BD＝24.∴▱ABCD的面积＝12【点睛】此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．21．已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE．（1）如图1，求证：AE⊥AC；（2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）24 5【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由菱形的性质可得AO=CO，∠BOC=90°，由三角形的中位线定理可得OB=12AE，BD∥AE，即可得结论；（2）由勾股定理可求AC的长，再根据BE＝BC，AE＝2BO，BO＝3＝DO，BC＝5＝AB，由菱形的面积公式可求DF的长．【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO，∠BOC＝90°∵AO＝CO，BE＝BC∴OB＝12AE，BD∥AE，且∠BOC＝90°∴∠EAC＝∠BOC＝90°∴AE⊥AC（2）连接BD，∵∠EAC＝90°，AE＝6，CE＝10，∴AC22CE AE＝8∵AE＝6，CE＝10，BE＝BC，AE＝2BO∴BO ＝3＝DO ，BC ＝5＝AB∵S 菱形ABCD ＝DF×AB ＝12AC×BD ，∴5DF ＝12×6×8 ∴DF ＝245【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．22．如图，AD 是ABC 的中线，//AE BC ，且12AE BC =，连接DE ，CE ． （1）求证：AB DE =；（2）当ABC 满足条件__________时，四边形ADCE 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）AB =AC 或 ABC ACB ∠=∠【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；（2）根据矩形的判定解答即可．【详解】（1）∵AD 是ABC 的中线，∴12BD BC =， ∵12AE BC =， ∴AE BD =，∵//AE BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，（2）当△ABC 满足AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，四边形ADCE 是矩形， 11,,22BC BD AE CD BC =∴== ∴AE =CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB =DE ，∴当AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，AC =DE ，∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图①，正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点P 是线段AO 上（不与点A ，O 重合）的一个动点，过点P 作PE PB ⊥且PE 交边CD 于点E ．（1）求证：PE PB =．（2）如图②，若正方形ABCD 的边长为2，过点E 作EF AC ⊥于点F ，在点P 运动的过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由． （3）用等式表示线段PB ，PA ，CE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）在P 点运动的过程中，PF 的长度不发生变化，理由见解析；（3）2PC PA EC =，理由见解析【解析】【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，根据ASA 证明△BMP ≌△PNE 可得结论； （2）如图②，连接OB ，通过证明△OBP ≌△FPE ，得PF ＝OB ，则PF 2 （3）根据△AMP 和△PCN 是等腰直角三角形，得PA 2，PC 2，整理可【详解】（1）证明：如图①，过点P 作MN AD ，交AB 于点M ，交CD 于点N ．∵PB PE ⊥，∴90BPE ∠=︒，∴90MPB EPN ∠+∠=︒．∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD D ∠=∠=︒．∵AD MN ∥，∴90BMP BAD PNE D ∠=∠=∠=∠=，∵90MPB MBP ∠+∠=︒，∴EPN MBP ∠=∠．在Rt PNC △中，45PCN ∠=︒，∴PNC △是等腰直角三角形，∴PN CN =，∴BM CN PN ==，∴()ASA BMP PNE △≌△，∴PB PE =．（2）解：在P 点运动的过程中，PF 的长度不发生变化．理由：如图②，连接OB ．∵点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点，∴OB AC ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB EFP ∠=∠=︒，∴90OBP BPO ∠+∠=︒．∴90BPE ∠=︒，∴90BPO OPE ∠+∠=︒，∴OBP OPE ∠=∠．由（1）得PB PE =，∴OBP FPE △≌△，∴PF OB =．∵2AB =，ABO 是等腰直角三角形，∴OB ==∴PF（3）解：PC PA =．理由：如图1，∵45BAC ∠=︒， ∴AMP 是等腰直角三角形，∴PA ．由（1）知PM NE =，∴PA ．∵PCN △是等腰直角三角形，∴)PC NE EC PA +==．【点睛】本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度适中．24．在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边APE ．（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接,CE BP 与CE 的数量关系是______，CE 与AD 的位置关系是________；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请结合图2的情况予以证明或说理．）（3）如图3，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若2,31AB BE ==，求四边形ADPE 的面积．【答案】（1）BP CE =；CE AD ⊥；（2）成立，见解析；（31513【解析】【分析】 （1）①连接AC ，证明△ABP ≌△ACE ，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP =CE ；②根据菱形对角线平分对角可得30ABD ︒∠=，再根据△ABP ≌△ACE ，可得30ACF ABD ︒∠=∠=，继而可推导得出90CFD ︒∠=，即可证得CE ⊥AD ；（2）（1）中的结论：BP =CE ，CE ⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可； （3）连接AC 交BD 于点O ，连接CE ，作EH ⊥AP 于H ，由已知先求得23BD =利用勾股定理求出CE 的长，AP 长，由△APE 是等边三角形，求得PH ，EH 的长，再根据ADP APE ADPE S SS =+四边形，进行计算即可得．【详解】（1）①BP=CE ，理由如下：连接AC ，∵菱形ABCD ，∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°，∵△APE 是等边三角形，∴AP=AE ，∠P AE =60° ，∴∠BAP =∠CAE ，∴△ABP ≌△ACE ，∴BP=CE ；②CE ⊥AD ，∵菱形对角线平分对角，∴30ABD ︒∠=，∵△ABP ≌△ACE ，∴30ACF ABD ︒∠=∠=，∵6ACD 0ADC ︒∠=∠=，∴30DCF ︒∠=，∴90DCF ADC ︒∠+∠=，∴90CFD ︒∠=，∴CF ⊥AD ，即CE ⊥AD ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：连接AC ，∵菱形,60ABCD ABC ∠=︒，ABC ∴和ACD △都是等边三角形，120120,,AB AC BAD BAP DAP ∴=∠=︒∠=︒+∠， APE 是等边三角形，60AP AE PAE ∴=∠=︒，6060120CAE DAP DAP ∴∠=︒+︒+∠=︒+∠，BAP CAE ∴∠=∠，ABP ACE ∴≌，BP CE ∴=，30,30,60,ACE ABD DCE ADC ∴∠=∠=︒∴∠=︒∠=︒90,,90DCE ADC CHD CE AD ∴∠+∠=︒∴∠=︒∴⊥∴（1）中的结论,BP CE CE AD =⊥仍然成立；（3）连接AC 交BD 于点O ，连接CE ，作EH AP ⊥于H ，∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BD 平分ABC ∠，30ABO ∴∠=︒ ，1,3AO BO DO ∴===3BD ∴=由（2）知CE AD ⊥，//AD BC ，CE BC ∴⊥， ∵31,2BE BC AB ==，31433CE ∴=-由（2）知33BP CE ==3DP ∴=3OP ∴=11213AP ∴=+= APE 是等边三角形，ADP APE ADPE S S S +=四边形，2131513(13)2ADPE S DP AO ∴=⨯⨯+=四边形 ∴四边形ADPE 1513 【点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确添加常用辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

《特殊平行四边形》提高练习

《特殊平行四边形》提高练习

DG 《特殊平行四边形》提高练习1．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕， ∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）A ．3 B ．2 C ．3 D ．322．如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， 连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2． 3．将边长分别为2、3、5则图中阴影部分的面积为 ．4．如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB 、CD ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和那么矩形ABCD 的面积是（ ）A ．21cm 2B ．16cm 2C ．24cm 2D ．9cm 25．如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度． 6．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ． 7．将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放，点A 、B 、C 、D 分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm 2.G第5题图 第7题图DAB C ml α65°C 'B '第6题图8．如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为 ．9．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为 ．10．把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为( )A ．20B ．22C ．24D ．3011．如图所示，正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，连接BE 、BF 、DE 、DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（ ）A 、∠1=∠2B 、BE =DFC 、∠EDF =60°D 、AB =AF12．在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则12+=∠∠ _______度．13．如图，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．ADE PBC1250°PDEABQC14．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 ．(结果可用根号表示)15．如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH =3厘米，EF =4厘米，则边AD 的长是___________厘米.16．用边长为1的正方形纸板，制成一幅七巧板（如图①）， 将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积 为（ ）A .38 B .716 C .12 D .3417．已知菱形的周长为20，两对角线之和为14，则菱形的面积为 ． 18．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（ ）A ．21 B ．33C ．1－33 D ．1－4319．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 各边的中点，要使中间 阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是( )（A ）52 （B ）53 （C ）5 （）520．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的CAFDE BG 26B F CH E 第13题图第15题图第14题图点E，使DE=5，这痕为PQ，则PQ的长为_______.21．如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形EFGH，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为___________cm．22中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形? 并证明你的结论．24．将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE（如图所示），点D及点F分别是斜边AB，AE的中点，连接CD，CF，则四边形ADCF 是菱形，请给予证明．25．如图：△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB及AC、AE分别交于点O、E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形；（3）在（2）的条件下，若AB=AO，且OD=a，求菱形ADCE的周长．26．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DCADEG边上，且GH =21DC ．若AB =10，BC =12，则图中阴影部分面积是多少?27．如图：平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD =12cm ，AC =6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm /s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm /s 的速度运动.（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗? 为什么?D28．如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形? 为什么?29．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′及CD交于点E.（1）试找出一个及△AED全等的三角形，并证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.30．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立? 通过观察你还能得出什么结论? （均不要求证明）DBD第4题图②B第4题图③FBD第4题图①HABCDEF GA BCDE F G图（1）图（2）ABCDE F GH (A)(B)31．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，BG =10.(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时，如图(1)，求△EFG 的面积.(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图(2)，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长.32．在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．（1）如图（1），当点M 在AB 边上时，连接BN ．①求证：ABN ADN △≌△；②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M 到AD 的距离及tan α的值；（2）如图（2），若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．CBMAND图1CM BNAD图2BBMBCNCN M CNM 图1图2图3A A ADDD 33．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，(或它们的延长线)于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时(如图1)，易证BM DN MN +=．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时(如图2)，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．(2)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．34．观察下列图形的变化过程，解答以下问题：如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一动点（D 点不及B 、C 两点重合）．DE ∥AC 交AB 于E 点，DF ∥AB 交AC 于F 点．（1）试探索AD 满足什么条件时，四边形AEDF 为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 为正方形? 为什么?35．如图，在Rt△ABC及Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD 相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件? 请你写出这个条件．（不必证明）36．已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM 且交∠CBE的平分线于N．(1)试判定线段MD及MN的数量关系；(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上的任意一点”，其余条件不变，试问(1)中的结论还成立吗? 如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．37．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG及CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE=2EF时，判断FG及EF有何数量关系? 并证明你的结论．。

(完整版)平行四边形提高题练习

(完整版)平行四边形提高题练习

平行四边形练习一、选择题1，一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（ ）A.三角形的三条角平分线的交点B.三角形的三条高线的交点C.三角形的三条中线的交点D.三角形的三条边的垂直平分线的交点2，如图1，如果□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对3，平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）A.4cm 和6cmB.6cm 和8cmC.8cm 和10cmD.10cm 和12cm4，在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A.AC ＝BD ，AB ＝CD ，AB ∥CDB.AD //BC ，∠A ＝∠CC.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD.AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC5，如图2，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（ ）A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形6，如图3，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A.S 1 > S 2B.S 1 = S 2C.S 1<S 2D.S 1、S 2 的大小关系不确定7，矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为（ ）A.3cm 2B. 4cm 2C. 12cm 2D. 4cm 2或12cm 28，如图4，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）A.123mB.20mC.22mD.24m9，如图5，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是( )A ．3B ．23C ．5D ．2510，如图6，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走2走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了31 2 m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）图6 图4 F EDC B A 图5 图3 AD C B HE FG 图2O A B D C 图1A.36 mB.48 mC.96 mD.60 m二、填空题（每题3分，共30分）11，如图7, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.12，如图8，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.13，如图9，四边形ABCD 是正方形，P 在CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP ′重合，若AB ＝3，DP ＝1，则PP ′＝＿＿＿.14，已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则其面积为＿＿＿cm 2.15，如图10，在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为S 1,梯形ABCD 的面积为S 2,则S 1与S 2的关系为＿＿＿.16，如图11，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1四边形ABCD 的中点四边形.如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＿＿＿.17，如图12，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为＿＿＿.18，将一张长方形的纸对折,如图13所示，可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕.三、解答题（共40分）19，如图1,4，等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DBC =45°,翻折梯形ABCD ,使点B 重合于D ,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ,若AD =2,BC =8.求BE 的长.…… 第一次对折 第二次对折 第三次对折图13图11A 1B 1C 1D 1 D A B C D A B C EF 图12 D C BA 图7 图9 图8K NM Q C BF E D C B A 图14图10 E D C B A20，在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有＿＿＿组；（2）请在图15的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的饿两条直线有什么规律？21，如图16，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G .（1）线段AF 与GB 相等吗？（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知S △BIC =1,请你根据七巧板制作过程的认识，解决下列问题： A B C D A B C D D CB A 图15 A BCDEF 图17图16 O F D B E C A· 图18(1)求一只蚂蚁从点A 沿A →B →C →H →E 所走的路线的总长。

数学 平行四边形的专项 培优练习题附答案

数学 平行四边形的专项 培优练习题附答案
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2. 【解析】 试题分析：（1）根据旋转的性质可知 AF=AG，∠ EAF=∠ GAE=45°，故可证△ AEG≌ △ AEF； （2）将△ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ ABG，连结 GM．由（1）知 △ AEG≌ △ AEF，则 EG=EF．再由△ BME、△ DNF、△ CEF 均为等腰直角三角形，得出 CE=CF，BE=BM，NF= DF，然后证明∠ GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出 EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明 EF2=ME2+NF2； （3）将△ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ ABG，根据旋转的性质可以得到 △ ADF≌ △ ABG，则 DF=BG，再证明△ AEG≌ △ AEF，得出 EG=EF，由 EG=BG+BE，等量代换 得到 EF=BE+DF． 试题解析：（1）∵ △ ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ ABG， ∴ AF=AG，∠ FAG=90°， ∵ ∠ EAF=45°， ∴ ∠ GAE=45°， 在△ AGE 与△ AFE 中，
∴ FG＝DG，∴ BM＝FG， ∵ ∠ BAC＝∠ EAH＝45°，
∴ ∠ BAE＝∠ FAH，
∵ FG⊥AC，
∴ ∠ AFH＝90°，
在△ ABE 和△ AFH 中，
B AFH 90
AB
AF
，
BAE FAH
∴ △ ABE≌ △ AFH（ASA），
∴ BE＝FH， ∵ BM＝BE+EM，FG＝FH+HG，
（2）证明：延长 GF 交 BC 于 M，连接 AG，如图 2 所示：
则△ CGM 和△ CFG 是等腰直角三角形，

(完整版)平行四边形专项练习题

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平行四边形专项练习题.选择题（共12小题）1 •在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）A . —组对边平行，另一组对边相等B •—组对边相等，一组对角相等C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D. —组对边相等，一条对角线平分另一条对角线2 •设四边形的内角和等于a ,五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（ ）A. a >bB . a=bC. a v bD . b=a+180°3 .如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两 张等腰直角二角形纸片的面积都为 S ，另两张直角三角形纸片的面积都为 S 2，中间一张 正方形纸片的面积为S 3,则这个平行四边形的面积一定可以表示为（4 .在？ABCD 中，AB=3, BC=4,当?ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有（ ）①AC=5;②/ A+Z C=180;③AC 丄BD;④AC=BD A .①②③B .①②④C.②③④D .①③④5 .如图，在?ABCD 中，AB=6, BC=8 Z C 的平分线交 AD 于E,交BA 的延长线于F ,则A . 2B . 3 C. 4 D . 66 .如图，在?ABCD 中，BF 平分Z ABC,交AD 于点F , CE 平分Z BCD ,交AD 于点E ,AB=6,EF=2,则BC 长为（）C. 4S 2+S D .3S+4SA . 4S7 .如图，在?ABCD 中，AB=12, AD=8,Z ABC 的平分线交CD 于点F ,交AD 的延长线于 点E, CG± BE,垂足为G ,若EF=2贝懺段CG 的长为（）A .寸B .亦 C. 2厢 D .屈8. 如图，在?ABCD 中，AB >AD ,按以下步骤作图：以点A 为圆心，小于AD 的长为半径 画弧，分别交AB 、AD 于点E 、F ；再分别以点E 、F 为圆心，大于^EF 的长为半径画弧， 两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H ,则下列结论中不能由条件推理得出的是 （9.如图，将?ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B 处，若/仁/ 2=44°则/B 为（ ）A . 66°B . 104° C. 114° D. 12410. 如图，？ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,且AC+BD=16, CD=6,则厶ABO 的周长11. 四边形ABCD 中，对角线AC BD 相交于点O ,给出下列四个条件: ①AD // BC;②AD=BQ ③OA=OC ④OB=ODB . 10 C. 12 D .14B . AD=DHC. DH=BC D .CH=DHB . 14C . 20D . 22 A . 8 A . 10从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（二•填空题（共6小题）13. _______________________________ 如图，把平行四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，这时点D 落在D i ,折痕为EF, 若/ BAE=55,则/ D i AD= .14. 如图，在?ABCD 中，P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分/ DAB 和/ CBA 若AD=5,AP=8,则厶APB 的周长是 _________ .15. 如图所示，四边形 ABCD 的对角线相交于点 0,若AB / CD ,请添加一个条件 （写一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形.A . 3种B . 4种C . 5种D . 6种12•如图，点A , B 为定点，定直线 中点，对下列各值：I // AB , P 是I 上一动点，点 M , N 分别为PA, PB 的①线段MN 的长；②厶PAB 的周长; / APB 的大小.③厶PMN 的面积；④直线MN , AB 之间的距离；⑤C.①③④D.④⑤B •②⑤ A •②③DB16 •如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为______________ .17•如图，在△ ABC中，/ ACB=90, M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D,使CD=-BD，连接DM、DN、MN .若AB=6,贝U DN= __________ .D~C--------------------- 518. 如图，在厶ABC中，点D、E、F分别是边AB BC CA上的中点，且AB=6cm, AC=8cm 则四边形ADEF的周长等于 ______________ cm.三.解答题(共8小题)19. 如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△ ADE^A FCE(2)若/ BAF=90，BC=5 EF=3 求CD的长.A D5 C F20. 如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AB=CF(2)连接DE,若AD=2AB求证：DE丄AF.21 •已知：如图，在四边形ABCD中，AB// CD, E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论.22•如图，四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于点0,点E，F分别在0A, OC上(1)给出以下条件；①0B=0D,②/仁/2,③0E=0F请你从中选取两个条件证明△BEO^A DF0(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF求证：四边形ABCD是平行四边形.23•如图，点0是厶ABC内一点，连结0B 0C,并将AB、0B、0C AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若M为EF的中点，0M=3,/ 0BC和/ 0CB互余，求DG的长度.5 C24 .如图，?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE丄BD, CF丄BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD AB于M、N.(1) 求证：四边形CMAN是平行四边形.(2) 已知DE=4, FN=3,求BN 的长.25•如图，在?ABCD中，点E, F在对角线AC上，且AE=CF求证:(1)DE=BF(2)四边形DEBF是平行四边形.26.如图，等边△ ABC的边长是2, D、E分别为AB AC的中点，延长BC至点F,使CF=-BC,连接CD和EF.(1) 求证:DE=CF(2) 求EF的长.参考答案与解析一.选择题1.【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可.解：A、错误.这个四边形有可能是等腰梯形.B、错误.不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行.C、正确.可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等.故是平行四边形.D、错误.不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行.故选C.2 .【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论. 解：•••四边形的内角和等于a,•••a= (4-2) ?180° =360°•••五边形的外角和等于b,••• b=360°,••• a=b.故选B.3. 【分析】设等腰直角三角形的直角边为a,正方形边长为c,求出9 (用a、c表示), 得出S, S2, Q之间的关系，由此即可解决问题.解：设等腰直角三角形的直角边为a,正方形边长为c,贝卩S2令 (a+c) (a- c) 令'a2-%2,•S2=Si - — S3,•S s=2S - 2S2,•••平行四边形面积=2S+2S2+3=2S+2S2+2S I - 2S2=4S.故选A.4. 【分析】当?ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出/ A=Z B=Z C=Z D=90°, AC=BD根据勾股定理求出AC,即可得出结论.解：根据题意得：当?ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，A=Z B=Z C=Z D=9C°, AC=BD•AC= ' ! 4 =5 ,①正确，②正确，④正确；③不正确;故选：B．5 •【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出/ F=Z FCB证出BF=BC=8同理：DE=CD=6 求出AF=BF- AB=2, AE=AD- DE=g即可得出结果.解：•••四边形ABCD是平行四边形，••• AB// CD, AD=BC=8 CD=AB=6•••/ F=Z DCF,v CF平分/ BCD,•••/ FCB=z DCF,•••/ F=Z FCB••• BF=BC=8同理：DE=CD=6••• AF=BF- AB=2, AE=AD- DE=2AE+AF=4；故选：C．6.【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出/ ABF=Z AFB得出AF=AB=6同理可证DE=DC=6再由EF的长,即可求出BC的长.解：v四边形ABCD是平行四边形,. AD/ BC DC=AB=6 AD=BC•••/ AFB=/ FBCv BF 平分/ ABC,./ ABF=/ FBC则/ ABF=/ AFB. AF=AB=6同理可证：DE=DC=6v EF=AF+DE- AD=2即6+6- AD=2解得：AD=10；故选：B.7 •【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出/ CBE2 CFB" ABEK E, 从而得到CF=BC=8 AE=AB=12再用平行线分线段成比例定理求出BE,然后用等腰三角形的三线合一求出BG,最后用勾股定理即可.解：•••/ ABC的平分线交CD于点F,•••/ ABEN CBE•••四边形ABCD是平行四边形，•••DC// AB,•••/ CBE=/ CFB=/ ABEK E,•CF=BC=AD=8 AE=AB=12••• AD=8,•DE=4,••• DC/ AB ,…_「，•丄一—…丨：_「，•EB=6,v CF=CB CGL BF,在Rt A BCG中,BC=8 BG=2,根据勾股定理得,CG=：1「二=2. ■,故选：C.8 .【分析】根据作图过程可得得AG平分/ DAB,再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明/ DAH=Z DHA,进而得到AD=DH,解：根据作图的方法可得AG平分/ DAB,v AG 平分/ DAB,•/ DAH=Z BAH,v CD// AB ,•Z DHA=Z BAH,•Z DAH=Z DHA,••• AD=DH, ••• BC=DH 故选D.9 .【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出/ ACD=Z BAC=/ B' AC由三角形的外角性质求出/ BAC=/ ACD=Z B' A C=/仁22°,再由三角形内角和定理求出/ B即可. 解：•••四边形ABCD是平行四边形，••• AB// CD,•••/ ACD=/ BAC,由折叠的性质得：/ BAC=Z B' AC•••/ BAC=/ ACD=Z B' A C=/仁22°,•••/ B=1800-/ 2-/ BAC=180 - 44° - 22°=114°° 故选：C.10. 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CQ BO=DO, DC=AB=6再利用已知求出AO+BO的长,进而得出答案.解：•••四边形ABCD是平行四边形,••• AO=CO BO=DO, DC=AB=6••• AC+BD=16 ,AO+BO=8,•••△ABO的周长是：14.故选：B.11. 【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可.解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形;③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ AD3A CBQ进而得到AD=CB可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ ADO^A CBQ进而得到AD=CB可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；•••有4种可能使四边形ABCD为平行四边形.故选：B.12. 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN」-AB, 从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化.解：•••点A, B为定点，点M, N分别为PA, PB的中点，•MN是A PAB的中位线，•MN^-AB,即线段MN的长度不变，故①错误；PA PB的长度随点P的移动而变化，所以，△ PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；••• MN的长度不变，点P到MN的距离等于I与AB的距离的一半，•△ PMN的面积不变，故③错误；直线MN , AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；/ APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确.综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤.故选：B.二.填空题13 .【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出/ D i AE=Z BAD,得出/ D i AD=Z BAE=55 即可.解：•••四边形ABCD是平行四边形，•/ BAD=Z C,由折叠的性质得：/ D i AE=Z C,•Z D i AE=Z BAD,•Z D i AD=Z BAE=55；故答案为：55°.i4.【分析】根据平行四边形性质得出AD// CB, AB//CD,推出Z DA由Z CBA=i80，求出ZPAB F Z PBA=90 ,在厶APB中求出Z APB=90,由勾股定理求出BP,证出AD=DP=5BC=PC=5得出DC=10=AB即可求出答案.解：•••四边形ABCD是平行四边形，••• AD// CB, AB// CD,•••/ DAB+Z CBA=180,又••• AP和BP分别平分Z DAB和Z CBA•••Z PAB F Z PBA=- (Z DAB^Z CBA) =90°°在厶APB中，Z APB=180—(Z PAB F Z PBA) =90°;••• AP 平分Z DAB,•Z DAP=Z PAB••• AB// CD,•Z PAB=/ DPA•Z DAP=Z DPA•△ ADP是等腰三角形，•AD=DP=5同理：PC=CB=5即AB=DC=DPPC=10在Rt A APB 中,AB=10, AP=8,•BP=；Q「护=6 ,•△ APB 的周长=6+8+10=24;故答案为：24.15. 【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答.解：可以添加：AD// BC (答案不唯一).故答案是：AD // BC.16. 【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果.解：第①是1个三角形，仁4X 1- 3;第②是5个三角形,5=4X 2 -3;第③是9个三角形，9=4X 3 -3；•第n个图形中共有三角形的个数是4n - 3；故答案为：4n - 3.17. 【分析】连接CM,根据三角形中位线定理得到NMh「CB, MN // BC,证明四边形DCMN 是平行四边形，得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=-AB=3,等量代换即可. 解：连接CM,••• M、N分别是AB、AC的中点，••• NM—-CB, MN // BC,又CD丄BD,••• MN=CD,又MN // BC,•••四边形DCMN是平行四边形，••• DN=CM,vZ ACB=90, M 是AB 的中点，••• CMh「AB=3,••• DN=3,故答案为：3.18. 【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF 即可解决问题.解：v BD=AD, BE=EC••• DE=-AC=4cm DE/ AC,v CF=FA CE=BEEF=「AB=3cm, EF// AB,•••四边形ADEF是平行四边形,.四边形ADEF的周长=2 (DE+EF) =14cm.故答案为14.•解答题19. 【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD// BC, AB// CD,证出/ DAE=Z F,Z D=Z ECF 由AAS证明△ ADE^A FCE即可；(2)由全等三角形的性质得出AE=EF=3由平行线的性质证出/ AED=Z BAF=90,由勾股定理求出DE,即可得出CD的长.(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，••• AD// BC, AB// CD,•••/ DAE=Z F, / D=Z ECF••• E是?ABCD的边CD的中点,••• DE=CE在厶ADE和厶FCE中,f ZDAE=ZFZD=ZECF ,[DE=CE•••△ ADE^A FCE( AAS；(2)解：：ADE^A FCE••• AE=EF=3••• AB// CD,•••/ AED=Z BAF=90 ,在?ABCD中 , AD=BC=5••• DE=l「rr= =4 ,••• CD=2DE=820. 【分析】（1）由在?ABCD中,E是BC的中点,利用ASA即可判定厶ABE^A FCE 继而证得结论；（2）由AD=2AB AB=FC=CD 可得AD=DF,又由△ ABE^A FCE 可得AE=EF 然后利用三线合一，证得结论.证明：（1）v四边形ABCD是平行四边形,••• AB// DF,•••/ ABE=/ FCE••• E为BC中点，••• BE=CE 在厶ABE与厶FCE中，r ZAEE=ZFCE乂BE=CE ,IZAEB=ZCEF•••△ABE^A FCE( ASA, ••• AB=FC(2 )T AD=2AB AB=FC=CD•AD=DF,•:△ ABE^A FCE•AE=EF• DE 丄AF.21. 【分析】利用平行线的性质得出/ BAE=/ CFE由AAS得出△ ABE^A FCE得出对应边相等AE=EF再利用平行四边形的判定得出即可.解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：••• AB// CD,•/ BAE=/ CFE••• E是BC的中点，•BE=CEf ZBAE=ZCFE在厶ABE和厶FCE中,. —.屮 ,[BE=CE•△ABE^A FCE（ AAS；•AE=EF又••• BE=CE•四边形ABFC是平行四边形.22. 【分析】（1）选取①②,利用ASA判定△ BE3A DFO即可；（2）根据△ BEO^A DFO可得EO=FQ BO=DO,再根据等式的性质可得AO=CO根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.证明：（1）选取①②，rzi=Z2•••在△ BEO和厶DFO 中EADO ,IZEOB=ZFOD•••△ BEC^A DFO （ASA ;（2）由（1）得：△ BEO^A DFO,••• EO=FO BO=DQ••• AE=CF••• AO=CQ•••四边形ABCD是平行四边形.23. ［分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF// BCDG// BC且DG=-BC,从而得到DE=EF DG// EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出/ BOC=90 ,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可. 解：（1 ）：D、G分别是AB、AC的中点,••• DG// BC, DG丄BC,••• E、F分别是OB OC的中点,••• EF// BC, EF丄BC,••• DG=EF DG// EF,•••四边形DEFG是平行四边形；（2）•••/ OBC和/OCB互余,•••/ OBC+Z OCB=90 ,•••/ BOC=90 ,••• M为EF的中点,OM=3 ,••• EF=2OM=6由（1）有四边形DEFG是平行四边形,••• DG=EF=624. ［分析】（1）只要证明CM// AN , AM / CN即可.（2）先证明△ DEM^A BFN得BN=DM ,再在RT^DEM中,利用勾股定理即可解决问题.(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，••• CD// AB,••• AM 丄BD, CN丄BD,••• AM // CN,••• CM / AN, AM // CN,•••四边形AMCN是平行四边形.(2四边形AMCN是平行四边形，•CM=AN,•••四边形ABCD是平行四边形，•CD=AB CD// AB,•DM=BN,Z MDE=Z NBF, 在厶MDE和厶NBF中，fZMDE=ZNBFZDEM二ZNFB二勺『，[DM二•△MDE^A NBF,•ME=NF=3,在Rt A DME 中，vZ DEM=9° , DE=4, ME=3,•DM= . [ ：「丄，r =5 ,•BN=DM=5.£) _______ ___________ C25. 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法,判断出△ ADE^A CBF,即可推得DE=BF （2）首先判断出DE// BF;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,推得四边形DEBF是平行四边形即可.证明：（1）v四边形ABCD是平行四边形,•AD// CB, AD=CB•Z DAE=Z BCF在厶ADE和厶CBF中,rAD=CBZ DAE=Z BCFI..AE=CF•••△ ADE^A CBF••• DE=BF(2)由(1),可得△ ADE^ACBF,•••/ ADE=Z CBF•••/ DEF=/ DAE F Z ADE, / BFEN BC+Z CBF,•••/ DEF=/ BFE••• DE// BF,又••• DE=BF•••四边形DEBF是平行四边形.26. 【分析】(1)直接利用三角形中位线定理得出DE•'丄BC,进而得出DE=FC(2)利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长.(1)证明：：D、E分别为AB AC的中点,••• DE *△ ABC的中位线,••• DE•'丄BC,•••延长BC至点F,使CF=-BC,••• DE=FC(2)解：：DE^FC,•••四边形DEFC是平行四边形,•••DC=EF••• D为AB的中点,等边△ ABC的边长是2 ,••• AD=BD=1, CD 丄AB , BC=2••• DC=EF= \。

2021人教版数学八年级下 平行四边形解答题提升练习含答案

2021人教版数学八年级下 平行四边形解答题提升练习含答案

人教版数学八年级下册：平行四边形解答题专题练习（提升篇）1．如图，在▱ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF．（1）求证：△CEB≌△DEF；（2）若AB＝BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．2．已知，如图，在Rt△ABC中，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．3．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE＝AF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求AF的长．4．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE和CE交于E点，连接AE交CD于F．（1）求证：EP＝AP；（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．5．点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若四边形DEFG是正方形，则线段AO与BC应满足条件．（不需写出过程）6．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．7．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且OB＝8，OD＝6．现将纸片折叠，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原．（Ⅰ）若点P落在矩形OBCD的边OB上，①如图①，当点E与点O重合时，求点F的坐标；②如图②，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若OP＝7，求点F的坐标；（Ⅱ）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．8．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．9．如图，▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；（2）求证：AB﹣BE＝CF．10．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF垂直平分AD．11．如图1，△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若AD＝6，求四边形ACDF的面积．12．已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．13．已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．（1）求证：EF⊥DA．（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．14．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD 的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．15．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B 重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AF∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB，∵点E是CD的中点，∴BE＝EF，∴△CEB≌△DEF．（2）解：结论：四边形BCFD是矩形，理由：∵△CEB≌△DEF，∴CE＝DE，∵BE＝EF，∴四边形BCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵AB＝BF，∴BF＝CD，∴▱BCFD为矩形．2．证明：过E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形EFDC是矩形，∵EF＝ED，∴四边形CDEF是正方形．3．（1）证法一：连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE＝AF，∴∠ACF＝∠ACE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAC＝∠ACB．∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴四边形ABCD是菱形．证法二：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵AE＝AF，∴△AEB≌△AFD．∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF＝60°，∴∠ECF＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACF＝60°，在Rt△CFA中，AF＝CF•tan∠ACF＝2．4．（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，∵PG⊥BC，∴∠GPC＝90°，∴∠PGC＝45°，∴PG＝PC，∵∠DCE＝45°，∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠GPC＝90°，∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，在△PAG和△PEC中∴△PAG≌△PEC（ASA），∴PE＝PA；（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABQ＝∠D＝90°，在△ABQ和△ADF中∴△ABQ≌△ADF（SAS），∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，∵∠APE＝90°，AP＝PE，∴∠PAE＝∠AEP＝45°，∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，在△QAP和△FAP中∴△QAP≌△FAP（SAS），∴QP＝PE，∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，在△PEH和△APB中∴△PEH≌△APB（AAS），∴BP＝EH，∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ECH＝45°＝∠CEH，∴CH＝EH＝BP，设EH＝CH＝BP＝x，∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，解之得：x＝，即CH＝EH＝，∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．5．（1）证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，∴DG∥EF，DG＝EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）解：∵D、E分别是AB、OB的中点，∴DE∥OA，DE＝OA，∵四边形DEFG是正方形，∴DE⊥EF，DE＝EF，∴AO与BC垂直且相等．故答案为：垂直且相等．6．解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝＝＝5；故答案为：5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+＝，综上，DE的长是或．7．解：（Ⅰ）①∵折痕为EF，点P为点D的对应点，∴△DOF≌△POF．∴∠DOF＝∠POF＝45°．∵四边形OBCD是矩形，∴∠ODF＝90°．∴∠DFO＝∠DOF＝45°．∴DF＝DO＝6．∴点F的坐标为（6，6）；②∵折痕为EF，点P为点D的对应点，∴DG＝PG，EF⊥PD．∵四边形OBCD是矩形，∴DC∥OB，∴∠FDG＝∠EPG．∵∠DGF＝∠PGE，∴△DGF≌△PGE（ASA）．∴DF＝PE．∵DF∥PE，∴四边形DEPF是平行四边形．∵EF⊥PD，∴▱DEPF是菱形，设菱形的边长为x，则DE＝EP＝x．∵OP＝7，∴OE＝7﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得OD2+OE2＝DE2．∴62+（7﹣x）2＝x2，解得．∴，∴点F的坐标为（，6）；（Ⅱ）P（，）．8．解：（1）∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF＝∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∴OE＝OF；∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F ∴∠ECF＝90°，∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝＝10，∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠ECB，∴∠NEC＝∠ACE，∴OE＝OC，∴CO是△ECF上的中线，∴CO＝EF＝5；（2）点O是AC的中点且∠ACB＝90°，理由：∵O为AC中点，∴OA＝OC，∵由（1）知OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1+∠2+∠4+∠5＝180°，∴∠2+∠5＝90°，即∠ECF＝90°，∴▱AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．9．解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，，∴．∵∠ABF＝45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∴EG＝BG＝1，∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝＝2；（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，∴△BEH是等腰直角三角形，∴，BE＝HE，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，∴∠BEG＝45°，CE＝CF，∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，∴∠AHE＝∠CEB，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，由（1）知，∠FCE＝90°，∴∠BCD＝∠FCE+∠BCG＝90°+∠BCG，∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，∴90°+∠EAB＝90°+∠BCG，∴∠EAB＝∠BCG，即∠EAH＝∠BCE，在△△EAH和△BCE中，∴△EAH≌△BCE（AAS），∴AH＝CE＝CF，∴AB﹣BE＝AB﹣BH＝AH＝CF，即AB﹣BE＝CF．10．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴EF垂直平分AD．11．（1）证明：∵四边形ABFG和四边形BCED是正方形，∴BC＝BD，AB＝BF，∠CBD＝∠ABF＝90°，∴∠CBD+∠ABC＝∠ABF+∠ABC，∴∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，∴△ABD≌△FBC（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△FBC，∴∠BAD＝∠BFC，AD＝FC＝6，∴∠AMF＝180°﹣（∠BAD+∠ANM）＝180°﹣（∠BFC+∠BNM）＝180°﹣（180°﹣∠ABF）＝180°﹣（180°﹣90°）＝90°，即AD⊥CF，∴四边形ACDF的面积S＝S△ACD+S△ADF＝+＝＝＝18．12．证明：如图，连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝DM＝AC，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．13．解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝AE＝BC，∴∠EDA＝∠EAD，∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD，∴∠ADC＝∠EDA，∵DF＝DE，∴EF⊥DA；（2）∵BC＝4，∴DE＝BC＝2，∵DE＝AE，，∴DO＝AD＝，在Rt△DEO中，EO＝＝1，∵DF＝DE，∴EF＝2EO＝2．14．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．15．解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，∴PA＝PC＝CD，∴∠ACD＝∠PAC，∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，同理：在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，∴△PAE是等边三角形．。

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FE DCB A平行四边形综合提高一 利用平行四边形的性质进行角度、线段的计算1、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，A Ｆ⊥CD 于F ，若∠EAF ＝60o，则∠Ｂ=_＿_____;若BC=4cm ，AB ＝3c ｍ，则ＡF=＿________＿＿，□AB ＣD 的面积为____＿_＿__． 2 已知AB ＣD的周长为３2ｃｍ,对角线AC 、BD 交于点O ，△AOB 的周长比△B ＯC 的周长多4cm,求这个四边形的各边长。

二、利用平行四边形的性质证线段相等3、如图,在□ABCD 中,O 是对角线AC 、ＢD 的交点，BE ⊥AC,DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．那么ＯE 与OF 是否相等?为什么？三 直接利用平行四边形的判定和性质４、如图在ＡB ＣＤ中,E 、F 分别是AD 、B Ｃ的中点,A Ｆ与E Ｂ交于点G ，CE 与DF 交于点H ，试说明四边形ＥGFH 的形状。

５、如图，ＢD 是ABC Ｄ的对角线,AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于点F ，求证：四边形A ＥCF 为平行四边形。

HGABDCEABDCEF四 构造平行四边形解题６、如图2-3３所示.Rt △A ＢC 中，∠BAC=90°,AD ⊥ＢC 于D,ＢG 平分∠AB Ｃ,E Ｆ∥B Ｃ且交ＡＣ于F ．求证:AE ＝CF ．７、已知，如图,AD 为△ＡＢC 的中线，E 为ＡC 上一点，连结BE 交A Ｄ于点F ，且A Ｅ=FE ，求证：BF=AC[能力提高]1、如图２-39所示．在平行四边形ABCD 中,△A ＢE 和△BCF 都是等边三角形． 求证:△D ＥF 是等边三角形．２、如图２-３２所示．在AB ＣD 中，AE ⊥B Ｃ,C Ｆ⊥ＡＤ,D Ｎ=BM ．求证:E Ｆ与ＭN 互相平分.FABC E D３、如图2-３４所示．ABCD中，DE⊥AB于E,BM=MC=DC．求证:∠EMC＝3∠ＢEM.４如图2-35所示．矩形ABCD中,CＥ⊥BD于Ｅ,AF平分∠BＡD交EC延长线于Ｆ．求证：CA=CF．[创新思维]1、以△AＢC的三条边为边在BＣ的同侧作等边△AＢP、等边△AＣQ、等边△BCR,求证：四边形PAQR为平行四边形。

2．如图2-４０所示.ＡBCD中,AＦ平分∠BAD交BC于F,ＤＥ⊥AF交CB于Ｅ．求证:ＢE＝CＦ.3、已知：如图4-12,ABＣD中,ＡＥ⊥ＢD，CF⊥BD,M，N分别是AＤ,BＣ的中点．求证：四边形MENF是平行四边形.4.已知：如图4-23，Ｐ是等边△AＢＣ内一点，ＰD∥ＡB,ＰE∥ＢＣ,PF∥AC.求证:PD+PE+ＰF为定值．5.在等腰△A ＢC 中,A Ｂ=AC,点Ｄ是直线B Ｃ上一点，D Ｅ∥AC 交直线AB 于Ｅ,DF ∥AB 交直线AC 于点Ｆ,解答下列各问:(１)如图1,当点D 在线段ＢC 上时，有DE+DF ＝ＡB ，请你说明理由;(6分)(２）如图2，当点Ｄ在线段BC 的延长线上时，请你参考(1)画出正确的图形，并写出线段D Ｅ、D Ｆ、AB 之间的关系并加以证明．（图１)(图2)6.如图2-38所示．DE ⊥ＡC ，ＢＦ⊥AC ，ＤE=B Ｆ,∠A ＤＢ=∠DBC ．求证：四边形AB ＣD 是平行四边形.７、已知:如图，在□ A ＢCD 中，AE ⊥A Ｄ交B Ｄ于Ｅ．若C Ｄ＝DE 21，求证：∠ADB=21∠B ＤＣ8、已知:如图４-21,在 ABC Ｄ中，△ABE 和△ＢＣF 都是等边三角形.求证：△D ＥF 是等边三角形．1．（2011•资阳)如图,已知四边形A ＢＣD 为平行四边形,ＡE⊥ＢＤ于E,CF⊥ＢＤ于F.DCA BEDABCF E DCBA（１）求证:BE=DF；（2)若 M、N分别为边AD、BC上的点,且DM=BN,试判断四边形MEＮF的形状(不必说明理由)．2．(２０１1•昭通)如图所示，▱AECF的对角线相交于点Ｏ，DB经过点O,分别与ＡE,ＣＦ交于B,Ｄ．求证:四边形ABCＤ是平行四边形.3．（2０1１•徐州）如图，在四边形ＡBCD中,AＢ=ＣD,BＦ＝DE,AE⊥BD，CF⊥BD,垂足分别为E,F.（1)求证:△ABE≌△CＤF；(2）若ＡC与BD交于点Ｏ,求证：AＯ＝CＯ．4.（2０11•铜仁地区)已知:如图，在△ABC中,∠BAＣ=９0°,DＥ、DF是△ＡBC的中位线，连接EＦ、AD．求证:ＥF=ＡD.5．（201１•泸州）如图，已知Ｄ是△ＡBC的边AB上一点，CE∥AB，DE交ＡＣ于点Ｏ,且ＯA＝OC,猜想线段ＣD与线段AＥ的大小关系和位置关系,并加以证明．6．（2０１0•恩施州）如图,已知，▱ABCD中,AE＝CF,M、N分别是DＥ、ＢＦ的中点.求证:四边形MＦNE是平行四边形．7.(2009•永州）如图,平行四边形ＡＢCD,E、F两点在对角线BD上，且BE=DF,连接AE，EC，CF,FA．求证：四边形AECF是平行四边形.８.(２００9•来宾）在▱ＡBCD中,分别以AD、BＣ为边向内作等边△AＤE和等边△BＣF，连接ＢE、DF．求证:四边形BＥDF是平行四边形.9.（２００6•黄冈)如图所示,ＤB∥AC，且DB=AＣ，E是AＣ的中点，求证:BC=DＥ．1０.(20０6•巴中)已知：如图，在梯形AＢCD中,AD∥BC,AD＝24ｃm，BC=３0cｍ，点P自点Ａ向Ｄ以1ｃm／ｓ的速度运动，到Ｄ点即停止．点Q自点C向B以2cm／s的速度运动,到Ｂ点即停止,直线PQ截梯形为两个四边形．问当Ｐ，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形?11.（2002•三明）如图：已知D、E、F分别是△ＡＢC各边的中点,求证:AE与DF互相平分．12．已知：如图,在▱ABＣＤ中,对角线AC交BＤ于点O,四边形ＡOＤE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCＯE都是平行四边形．13．如图，已知四边形ABCＤ中,点E，F，G,Ｈ分别是ＡB、CＤ、ＡC、ＢD的中点,并且点E、F、Ｇ、H有在同一条直线上.求证:EF和GH互相平分．14.如图:▱ABCD中,MN∥AC,试说明MQ=NＰ.15．已知：如图所示,平行四边形AＢCD的对角线AC,ＢＤ相交于点O，EＦ经过点Ｏ并且分别和AB,CD 相交于点E，F，点G,H分别为OA,OC的中点．求证：四边形EＨFG是平行四边形．16.如图，已知在▱AＢCD中，Ｅ、Ｆ是对角线BD上的两点，BＥ=DF,点G、H分别在BＡ和DC的延长线上,且AＧ=CＨ,连接GE、EH、HＦ、ＦG．(1)求证:四边形GEHF是平行四边形；(2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则(1)中的结论是否成立?(不用说明理由)１7．如图,在△ＡＢC中，D是AＣ的中点,Ｅ是线段ＢC延长线一点，过点A作ＢE的平行线与线段EＤ的延长线交于点F,连接AE、CF.(1）求证：ＡＦ=CE;(2）如果AＣ=EＦ，且∠ACB=1３5°，试判断四边形AFＣＥ是什么样的四边形,并证明你的结论．１8.如图平行四边形ABCＤ中,∠ABC=６0°,点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BＤ,ＥF⊥ＢF,垂足为点Ｆ，DF=2(1)求证：Ｄ是EC中点;（2）求ＦC的长．19.(2010•厦门）如图，已知△ABＣ是等边三角形，点Ｄ、Ｆ分别在线段BＣ、AB上，∠EFB=６０°,ＤC=ＥF.（1）求证:四边形ＥFＣＤ是平行四边形；(2)若ＢF＝EF,求证:AＥ=AD．20.(２0１0•滨州）如图，四边形AＢCD，E、F、Ｇ、H分别是AB、ＢC、ＣＤ、DA的中点．（１)请判断四边形EＦGＨ的形状？并说明为什么;(2)若使四边形ＥFGＨ为正方形,那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质?21.（2008•佛山）如图，△ACD、△A BE、△BCF均为直线BＣ同侧的等边三角形.（１）当AB≠AC时,证明：四边形ＡＤFE为平行四边形；(２）当AＢ=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．22．如图，以△ＡBC的三边为边,在BC的同侧分别作三个等边三角形即△AＢD、△BCE、△ACF，那么,四边形AＦED是否为平行四边形?如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．23．（200７•黑龙江)在△ＡBC中，AB＝ＡＣ,点P为△AＢC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC 交ＡB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AＣ于点F．若点P在BC边上（如图1）,此时PD＝0，可得结论:PＤ＋PＥ+PF=AＢ.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△AＢC内（如图2），△ＡＢC外（如图3)时,上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，PD，PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想，不需要证明．２4.(2006•大连)如图1,Ｐ为Rt△ABＣ所在平面内任意一点(不在直线AC上),∠ＡCB=90°,Ｍ为AB边中点．操作：以PA、ＰC为邻边作平行四边形PADＣ,连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；(2)请你利用图2，图３选择不同位置的点P按上述方法操作;（3）经历(2）之后，如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;如果你认为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以说明；(注意:错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)(4)若将“Rt△ABＣ”改为“任意△ABC”，其他条件不变,利用图4操作,并写出与线段DE有关的结论(直接写答案).25.(200５•贵阳)在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ＡBCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等；（1)根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有＿＿＿______ 组;(2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线;(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？２6.如图，在直角梯形AＢＣＤ中，AＢ∥CＤ,∠BCD=Rt∠,AＢ=AＤ=10ｃm，BC=8cm．点P从点Ａ出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动,点Ｑ从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点Ｐ、Q同时发，当点Q运动到点Ｃ时，P、Ｑ运动停止,设运动时间为t.（1）求CD的长;(２)当四边形PBQD为平行四边形时,求四边形PBQD的周长;（3）在点P、点Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得△ＢPQ的面积为20cm2?若存在,请求出所有满足条件的t的值;若不存在，请说明理由．2７.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(０,0)、A（2,0)、B（1，1）,则第四个顶点Ｃ的坐标是多少？2８．已知平行四边形ABCD的周长为３6ｃm,过Ｄ作AB，ＢC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形AＢCD的面积．29.如图，在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ＡＢCD为平行四边形,A、B、C的坐标分别是Ａ（﹣3,）,B(﹣2，3)，C(2，3),点D在第一象限.(1）求D 点的坐标；(2)将平行四边形ABC Ｄ先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A １Ｂ1C 1D 1四个顶点的坐标是多少?(3）求平行四边形ABCD 与四边形Ａ1B １C １Ｄ１重叠部分的面积？３0.如图所示．▱ABCD 中，AF 平分∠ＢAD 交BC 于Ｆ,ＤE⊥AF 交CB 于E ．求证:BE=ＣF.平行四边形及特殊平行四边形1．下列说法不正确．．．的是（ ） A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形ﻩD ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 2.(201０ 湖南湘潭)下列说法中,你认为正确的是( )A ．四边形具有稳定性 Ｂ．等边三角形是中心对称图形 C ．任意多边形的外角和是３60oD ．矩形的对角线一定互相垂直3．（2010 天津）下列命题中正确的是( ) A ．对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是菱形ﻩＤ.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ４.(20１0湖北襄樊）菱形的周长为8c ｍ，高为1cm,则菱形两邻角度数比为( ） Ａ．3:1ﻩB ．4：1 Ｃ.5:1ﻩ D ．６:1ﻩ5.（２010宁夏回族自治区）点Ａ、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点,点Ｄ是平面内任意一点,若A 、B 、C 、Ｄ四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点Ｄ有 ( ) A ．1个 B ．２个 ﻩC ．3个 D ．4个6．(2010 江津)四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形,那么需要添加的条件是( ） A.AB CD = ﻩB ．AD BC =ﻩＣ.AB BC =ﻩ D.AC BD =7． （201０ 四川成都)已知四边形ABCD ,有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ;④BC AD =.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法14题图APEDCB第10题图Ａ．6种 B ．５种 Ｃ.4种 D ．３种８.（2010湖南衡阳)如图6，在□ABCD 中,AB=6,ＡD=９,∠ＢAD 的平分线交BC 于点E,交DC 的延长线于点Ｆ,BG⊥AE,垂足为Ｇ，BG=24,则ΔＣEF 的周长为( ) A ．8 ﻩ B.９ C ．１0 D ．119．（2010江苏苏州)如图,在菱形ＡB ＣD 中，D Ｅ⊥AB,3cos 5A =,BE=2，则ｔａn∠DＢＥ的值是( ） A ．12B ．2 Ｃ.5 D ．510．(201０ 山东荷泽) 如图，菱形A ＢＣD 中,∠Ｂ=６０°,AB＝2㎝,E 、F 分别是B Ｃ、ＣD 的中点,连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( ) A.32㎝ﻩﻩ B.33㎝C ．34㎝D ．3㎝11．（20１0青海西宁) 矩形ABCD 中,Ｅ、F 、Ｍ为AB 、B Ｃ、ＣD 边上的点， 且ＡB ＝6，BC ＝7,ＡE=3，DM=2,EF⊥FM,则ＥM 的长为（ )Ａ.5 Ｂ．25 C.6 D ．26 12．（2010山东聊城）如图,点P 是矩形ABCD 的边A Ｄ的一个动点,矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和４,那么点P 到矩形的两条对角线AC 和B Ｄ的距离之和是（ ） A.125B.65Ｃ．245D.不确定1３.若菱形两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为( ）Ａ.20ﻩﻩﻩ B.1６ ﻩﻩ C.12ﻩﻩﻩD ． 1014．（20１０ 重庆）已知：如图,在正方形ABCD 外取一点E ,连接AE ，BE ,DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P ．若1AE AP ==, 5PB =.下列结论：①△APD ≌△AEB ;②点B 到直线AE 的距离为2； ③EB ED ⊥;④16APD APB S S ∆∆+=+;⑤46ABCD S =+正方形． 其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．①②⑤ C．③④⑤ D ．①③⑤1５．(２０1０ 福建晋江）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到4个小正方形,称为第一次操作；然后,将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到７个小正方形,称为第二次操A BCDMN A 'B '20题根据以上操作,若要得到2０11个小正方形,则需要操作的次数是（ ） A.669 Ｂ.６70 C.６71 D ． 672１6．（2０10广西南宁）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上,正方形BEFG 的边长为4,则DEK ∆的面积为( ） A ．10 ﻩ Ｂ.12 C ．１４ ﻩﻩ Ｄ．16 17.（2０10重庆綦江县）如图,在ABCD 中，分别以AB 、ＡD 为边向外作等边△ABＥ、△ＡD Ｆ，延长CB 交AE 于点G,点G 在点A 、E 之间,连结ＣG 、CF,则以下四个结论一定正确的是( ) ①△CDF≌△EBC②∠ＣD Ｆ=∠EＡF ﻩ ③△EＣF 是等边三角形④CG⊥AEA.只有①② B ．只有①②③ C.只有③④ ﻩＤ.①②③④18．（2010福建宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是( ）.A ．2+10 B.2+210 C.1２ Ｄ.1819.（2010江西)如图，已知矩形纸片ＡBCD ，点Ｅ 是AB 的中点,点G 是BC 上的一点,∠BEG>60°,现沿直线EG 将纸片折叠,使点B 落在纸片上的点H 处，连接A Ｈ，则与∠ＢEG 相等的角的个数为( )A.4 Ｂ.3 C ．２ D ．120.(2０1０广西柳州）如图（上页），四边形ABCD 是边长为９的正方形纸片,将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点Ａ对应点为A '，且C B '＝3,则ＡM 的长是（ ） Ａ．1．5 Ｂ．2 C ．2.25D ．2.52１.(2０１0广西河池）如图（上页）是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方B AGCDHE第19题图① ②34第15题yx第21题图第27题A BDOE 形图案,已知大正方形面积为4９,小正方形面积为４，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边(x y >),下列四个说法:①2249x y +=,②2x y -=，③2449xy +=,④9x y +=．其中说法正确的是（ ) A ．①② B. ①②③ Ｃ． ①②④ D. ①②③④22.（2010湖南常德）如图,四边形AB ＣＤ中，ＡB ／/C Ｄ,要使四边形ABCD 为平行四边形,则可添加的条件为 .(填一个即可).2３(２010荆州)如图,在平行四边形ABCD 中，∠A=13０°,在ＡD 上取ＤＥ=ＤC ，则∠EＣB 的度数是 .24.（２０10 广东珠海)如图,P 是菱形ABCD 对角线B Ｄ上一点,PE⊥ＡB 于点E,PE=4cm,则点P 到BC 的距离是＿____c ｍ.２5.（2010福建宁德)如图,在□AＢCD 中，A Ｅ=ＥB ，AF=2,则ＦC 等于____＿.26．(2010青海西宁）如图,在□ABCD 中，对角线ＡC 、B Ｄ相交于点Ｏ,如果AC ＝14，BD=8,AB ＝x ,那么x 的取值范围是 .27．（２0１0浙江嘉兴）如图,已知菱形ＡBC Ｄ的一个内角︒=∠80BAD ,对角线ＡC 、BD 相交于点O ，点E 在A Ｂ上，且BO BE =，则EOA ∠= 度．2８.(２０1０辽宁本溪)过□ＡB ＣD 对角线交点O 作直线ｍ,分别交直线AB 于点E ，交直线ＣD 于点F ，若AB=４,AE=6,则DF 的长是 .29．（201０ 天津）如图,已知正方形ABCD 的边长为３，E 为CD 边上一点，1DE =．以点A 为中心,把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ．３0．（2010广西梧州)如图,边长为6的正方形ＡBCD 绕点B 按顺时针方向旋转３０°第25题图FA E BCD DBCA第22题第29题AE图33-1 ACBCBA图33-2CDEFB A 第31题 题图第32第30题 A BCD FEHG后得到正方形EBGF,EF 交CD 于点Ｈ,则F Ｈ的长为__＿___(结果保留根号)。

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