系统聚类分析方法
五种常用系统聚类分析方法及其比较
五种常用系统聚类分析方法及其比较胡雷芳一、系统聚类分析概述聚类分析是研究如何将对象按照多个方面的特征进行综合分类的一种统计方法［１］。
然而在以往的分类学中，人们主要靠经验和专业知识作定性分类处理，许多分类不可避免地带有主观性和任意性，不能揭示客观事物内在的本质差别和联系；或者人们只根据事物单方面的特征进行分类，这些分类虽然可以反映事物某些方面的区别，但却往往难以反映各类事物之间的综合差异。
聚类分析方法有效地解决了科学研究中多因素、多指标的分类问题［２］。
在目前的实际应用中，系统聚类法和Ｋ均值聚类法是聚类分析中最常用的两种方法。
其中，Ｋ均值聚类法虽计算速度快，但需要事先根据样本空间分布指定分类的数目，而当样本的变量数超过３个时，该方法的可行性就较差。
而系统聚类法（Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ，也称层次聚类法）由于类与类之间的距离计算方法灵活多样，使其适应不同的要求。
该方法是目前实践中使用最多的。
这该方法的基本思想是：先将ｎ个样本各自看成一类，并规定样本与样本之间的距离和类与类之间的距离。
开始时，因每个样本自成一类，类与类之间的距离与样本之间的距离是相同的。
然后，在所有的类中，选择距离最小的两个类合并成一个新类，并计算出所得新类和其它各类的距离；接着再将距离最近的两类合并，这样每次合并两类，直至将所有的样本都合并成一类为止。
这样一种连续并类的过程可用一种类似于树状结构的图形即聚类谱系图（俗称树状图）来表示，由聚类谱系图可清楚地看出全部样本的聚集过程，从而可做出对全部样本的分类［３］。
二、五种常用系统聚类分析方法系统聚类法在进行聚类的过程中，需要计算类与类之间的距离。
根据类与类之间的距离计算方法的不同，我们可以将系统聚类法分为单连接法、完全连接法、平均连接法、组平均连接法与离差平方和法等。
１．单连接法（Ｓｉｎｇｌｅｌｉｎｋａｇｅ）单连接法又称最短距离法。
该方法首先将距离最近的样本归入一类，即合并的前两个样本是它们之间有最小距离和最大相似性；然后计算新类和单个样本间的距离作为单个样本和类中的样本间的最小距离，尚未合并的样本间的距离并未改变。
聚类分析
聚类分析聚类分析又称群分析，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析内容非常丰富，按照分类对象的不同可分为样品分类（Q-型聚类分析）和指标或变量分类（R-型聚类分析）；按照分类方法可分为系统聚类法和快速聚类法。
1. 系统聚类分析先将n 个样品各自看成一类，然后规定样品之间的“距离”和类与类之间的距离。
选择距离最近的两类合并成一个新类，计算新类和其它类（各当前类）的距离，再将距离最近的两类合并。
这样，每次合并减少一类，直至所有的样品都归成一类为止。
系统聚类法直观易懂。
1.1系统聚类法的基本步骤：第一，计算n 个样品两两间的距离 ，记作D= 。
第二，构造n 个类，每个类只包含一个样品。
第三，合并距离最近的两类为一新类。
第四，计算新类与各当前类的距离。
第五，重复步骤3、4，合并距离最近的两类为新类，直到所有的类并为一类为止。
第六，画聚类谱系图。
第七，确定类的个数和类。
1.2 系统聚类方法：1.2.1最短距离法1.2.2最长距离法1.2.3中间距离法1.2.4重心法1.2.5类平均法1.2.6离差平方和法（Ward 法）上述6种方法归类的基本步骤一致，只是类与类之间的距离有不同的定义。
最常用的就是最短距离法。
1.3 最短距离法以下用ij d 表示样品i X 与j X 之间距离，用ij D 表示类i G 与j G 之间的距离。
定义类i G 与j G 之间的距离为两类最近样品的距离，即ij G G G G ij d D j J i i ∈∈=,min设类p G 与q G 合并成一个新类记为r G ，则任一类k G 与r G 的距离是：ij G X G X kr d D j j i i ∈∈=,min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈∈∈∈ij G X G X ij G X G X d d q j k i p j k i ,,min ,min min {}kq kp D D ,min = 最短距离法聚类的步骤如下：ij d {}ij d（1）定义样品之间距离，计算样品两两距离，得一距离阵记为)0(D ，开始每个样品自成一类，显然这时ij ij d D =。
系统聚类的基本步骤
系统聚类的基本步骤系统聚类是一种常用的数据分析方法，它可以将数据集中的观测对象按照相似性进行分类，从而发现数据集中的内在结构。
系统聚类的基本步骤包括：确定距离度量方法、选择聚类算法、计算距离矩阵、构建聚类树、确定最优聚类划分。
一、确定距离度量方法距离度量方法是系统聚类的基础，它用来计算不同观测对象之间的相似性或差异性。
常用的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等。
在选择距离度量方法时需要考虑数据类型和特征属性的差异，以及样本之间是否存在缺失值等因素。
二、选择聚类算法系统聚类可以分为凝聚层次聚类和分裂层次聚类两种算法。
凝聚层次聚类是从下往上逐步合并相似的小簇，直到形成一个大簇；而分裂层次聚类则是从上往下逐步将大簇细分成小簇。
在实际应用中，需要根据数据集大小和特征属性的差异来选择合适的聚类算法。
三、计算距离矩阵距离矩阵是系统聚类的核心，它记录了样本之间的距离或相似性。
在实际操作中，可以使用基于距离度量方法的函数库来计算距离矩阵。
常用的函数库包括Scipy、Numpy等。
四、构建聚类树聚类树是系统聚类的结果，它将所有观测对象按照相似性进行层次化排列，并形成一棵二叉树。
在构建聚类树时，可以采用分裂或凝聚策略，并通过不同的图形化方式展示结果。
五、确定最优聚类划分最优聚类划分是系统聚类的目标，它旨在将数据集中的观测对象划分为若干个互不重叠且内部相似度高的簇。
在确定最优聚类划分时，需要考虑簇内相似度和簇间差异度等因素，并采用评价指标来评估不同聚类结果之间的优劣性。
综上所述，系统聚类是一种常用而有效的数据分析方法，在实际应用中需要遵循以上基本步骤，并根据数据集的特点和分析目的来进行灵活调整。
系统聚类法的原理和具体步骤
系统聚类法（Hierarchical Clustering）是一种常用的聚类分析方法，用于将样本或对象根据相似性或距离进行层次化的分组。
其原理和具体步骤如下：
原理：
系统聚类法通过计算样本或对象之间的相似性或距离，将它们逐步合并为不同的聚类组。
该方法基于一个假设，即相似的样本或对象更有可能属于同一个聚类。
具体步骤：
距离矩阵计算：根据选定的相似性度量（如欧氏距离、曼哈顿距离等），计算样本或对象之间的距离，并生成距离矩阵。
初始化聚类：将每个样本或对象视为一个初始聚类。
聚类合并：根据距离矩阵中的最小距离，将距离最近的两个聚类合并为一个新的聚类。
更新距离矩阵：根据合并后的聚类，更新距离矩阵，以反映新的聚类之间的距离。
重复步骤3和4，直到所有的样本或对象都合并为一个聚类或达到指定的聚类数目。
结果展示：将合并过程可视化为一棵聚类树状图（树状图或树状图），以显示不同聚类之间的关系和层次结构。
需要注意的是，系统聚类法有两种主要的实现方式：凝聚层次聚类和分裂层次聚类。
凝聚层次聚类从单个样本开始，逐步合并为更大的聚类；分裂层次聚类从一个整体聚类开始，逐步分裂为更小的聚类。
以上步骤适用于凝聚层次聚类。
系统聚类法在数据分析、模式识别、生物学分类等领域广泛应用。
通过系统聚类法，可以将样本或对象进行有序的分组，帮助发现数据中的模式和结构，并为进一步的分析和解释提供基础。
第一节系统聚类分析
第一节系统聚类分析第五章聚类分析(一)教学目的通过本章的学习，对聚类分析从总体上有一个清晰地认识，理解聚类分析的基本思想和基本原理，掌握用聚类分析解决实际问题的能力。
(二)基本要求了解聚类分析的定义，种类及其应用范围，理解聚类分析的基本思想，掌握各类分析方法的主要步骤。
(三)教学要点1、聚类分析概述;2、系统聚类分析基本思想，主要步骤;3、动态聚类法基本思想，基本原理，主要步骤;4、模糊聚类分析基本思想，基本原理，主要步骤;5、图论聚类分析基本思想，基本原理。
(四)教学时数6课时五)教学内容 (1、聚类分析概述2、系统聚类分析3、动态聚类法4、模糊聚类分析5、图论聚类分析统计分组或分类可以深化人们的认识。
实际应用中，有些情况下进行统计分组比较容易，分组标志确定了，分组也就得到了，但是，有些情况下进行统计分组却比较困难，特别是当客观事物性质变化没有明显标志时，用于确定分组的标志和组别就很难确定。
聚类分析实际上给我们提供了一种对于复杂问题如何分组的统计方法。
第一节聚类分析概述一、聚类分析的定义聚类分析是将样品或变量按照它们在性质上的亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。
聚类分析时，用来描述样品或变量的亲疏程度通常有两个途径，一是把每个样品或变量看成是多维空间上的一个点，在多维坐标中，定义点与点，类和类之间的距离，用点与点间距离来描述样品或变量之间的亲疏程度;另一个是计算样品或变量的相似系数，用相似系数来描述样品或变量之间的亲疏程度。
二、聚类分析的种类(一)聚类分析按照分组理论依据的不同，可分为系统聚类法，动态聚类法，模糊聚类、图论聚类、聚类预报等多种聚类方法。
1、系统聚类分析法。
是在样品距离的基础上定义类与类的距离，首先将个样品自成n一类，然后每次将具有最小距离的两个类合并，合并后再重新计算类与类之间的距离，再并类，这个过程一直持续到所有的样品都归为一类为止。
这种聚类方法称为系统聚类法。
根据并类过程所做的样品并类过程图称为聚类谱系图。
利用SPSS对数据做系统聚类分析
利⽤SPSS对数据做系统聚类分析现⽤如下数据做系统聚类分析：将数据导⼊spss中，如图：步骤如下：①【分析】----【分类】----【系统聚类】⼩技巧：添加变量的时候，可以单击【医疗机构床位数(张)】，然后按住shift键不松，⿏标单击【医院(个)】就可以选择多个变量⼀起添加③点击【统计】勾选【解的范围】，可以根据⾃⼰的需要选择最⼩聚类数和最⼤聚类数（这⾥我设置为2和5），然后点击【继续】④点击【图】，（这⾥我选择的是做系谱图），然后点击【继续】⑤点击【⽅法】，选择⽡尔德（word）⽅法，然后点击【继续】⑥点击【保存】，取消勾选默认项，勾选解的范围，填⼊刚才设置的最⼩、最⼤聚类数，然后点击【继续】【确定】得到结果如下：系谱图为：观察得出的结果图就可以知道当分n类时，把哪些地区是分到⼀类的如果需要进⼀步分析聚类中的均值等特点，可以将数据分组后分析⽐如，以聚3类分析：各类均值的特点步骤：①【数据】-----【拆分⽂件】②勾选【⽐较组】，将Ward Method [CLU3_1]填⼊分组依据，然后确定③然后点击【分析】----【描述性统计】----【描述】④填⼊变量⑤点击【选项】，勾选⾃⼰想要得到的结果（这⾥只勾选均值），然后点击【继续】【确定】可得到结果如图，便可以⽐较各类均值⼤⼩了北京8144016627618283902164541天津436007863123241633183218河北173024279663183192137781965874⼭西11210517899413314764421585916内蒙古6975312057511314051011346474辽宁179415273374111131121981065956吉林9049216143872715461796590⿊龙江1231761919451431965510935901上海932141380022422187949260江苏208902334508107153983314071061浙江1481222550578710073222188606安徽13332120449811613053131886699福建8453612490988937695937370江西8806114268211212472401543489⼭东2584253958971501781125417741168河南223810374924166182991520911201湖北1421522652989511471161195575湖南159377248018137151109712430812⼴东2203154089721221311255114271008⼴西9676516272510210475391280460海南199273819926281633312190重庆6825096742414348841088361四川2003442857852022071629450121178贵州66152956547910537151460394云南10989514562114815072041410649西藏749610746558143266697陕西11094316819011612481111748851⽢肃65988994319910696491351381青海15470235092256790399136宁夏182602785221261022238131新疆83303121400922115856861699。
系统聚类法
0 11.6726 13.8054 13.1278 12.7983
11.6726 0 24.6353 24.0591 23.5389
13.8054 24.6353 0 2.2033 3.5037
13.1278 24.0591 2.2033 0 2.2159
12.7983 23.5389 3.5037 2.21590
Z=linkage(Y, 'method')
T=cluster(Z,cutoff)
dendrogram(Z)
以上一组命令可同样得出分类结果（由T显示），但样品间的距离和类之间的距离计算方法可自由选择，还可由dendrogram(Z)画出聚类图。
例2草是畜牧业生产中很有价值的一种植物。欲将7种苜蓿草按叶的形态加以聚类。测量叶长和叶宽，数据如下表：
Y=pdist(X,‘euclidean')
Z=linkage(Y,‘single’)
T=cluster(Z,cutoff)
以上三组命令调用灵活，可以自由选择组合方法！
（1）Y = pdist(X)或Y = pdist(X, 'metric')
计算数据集X中两两样品间的距离，pdist产生n(n-1)/2（由组合数 计算而来）阶距离向量Y，参数‘metric’表示使用特定的方法计算样品之间的距离，常用的选择如下
Step2:样品间取欧氏距离（ 时的闵可夫斯基距离）距离计算：
Step3:把距离最短的样品合并：把1、2号合并为一类{1，2}，3，4号合并为一类{3，4}，最后把{1，2}、{3，4}合并为一类。（用最短距离法如何计算{1，2}、{3，4}两类的距离？）
若给定的分类临界值为1.5，则上述4个样品分为2类。还可根据专业需要确定适合的分类数。
聚类分析(2)系统聚类法
rt iGr jGt ij iG p jGt ij iGq jGt ij pt qt
p ，列用式（ q q 将 D(0) 中第 p ，行及第 5.13）并成 一个新行新列，新行新列对应于Gr ，所得的矩 阵记为 D(1) 。
) D(0的 ) 2、3两步作法，得 4．对 D(1重复上述对 D( 2 ) ，如此下去，直到所有的元素并为一类为止。 在实际分类过程中分类的结果，为了直观明了， 一般常用谱系图给出分类结果。
表
岩 体 56、80.83 58、79 56、80、83 0
5.11
58、79 0.3993 0 98、102 0.6309 0 8197
98、102
0
13．重复第1步，从表5.11中挑出最小者 d56、80、83、58、79=0.3993填入综合表5.14中。
14．重复第2步，将表5.10中56、80、83号 和58、79号两列数据以加权合并得表5.12。 15．重复第3步，计算距离函数得表5.13。 16．将0.7332填入综合表5.14中，然后根据 综合表5.14，作谱系图，如图5.1所示。
5.7
58、79 0.3152 0.5687 98 0.6212 0.6190 102 0.7017 0.6383
58、79
98 102
0
0.7581
0
0.8885
0.2170 0
8．重复第2步，将表5.6中98、102号两岩体 数据合并得表5.8。 9．重复第3步，计算距离函数得表5.9。 10．重复第1步，从表5.9中挑出最小者 d55、80、83=0.2535填入综合表5.14中。 11．重复第 2步，将表 5.8中 56 、 80号和 83 号两列数据合并（加权平均）得表5.10。 12．重复第3步，计算距离函数得表5.11。
系统聚类分析的方法
系统聚类分析的方法系统聚类分析是一种常用于数据分类和分组的技术，它可以从大量的数据中找出数据的相似性和差异性，以此来帮助人们更好地理解数据中的结构和规律。
在这篇文章中，我们将介绍系统聚类分析的方法和应用，以及它在实际中的应用。
系统聚类分析所使用的方法主要是对数据进行层次聚类，即将数据分成多个组，每个组中的数据相似度较高，组间的数据相似度较低。
系统聚类分析可分为两类：凝聚式聚类和分离式聚类。
凝聚式聚类是先将每个数据视为一组，再将其依据相似性合并成越来越大的组，直至形成一个大的组。
相反，分离式聚类是先将所有数据视为一个组，然后将其逐渐分成越来越小的组，直至分成单独的数据为止。
系统聚类分析主要有三个步骤：数据预处理、相似性度量和聚类方法选择。
首先，对数据进行预处理，包括数据清洗、数据变换和数据标准化。
其次，计算不同数据之间的相似性度量，主要有欧氏距离、曼哈顿距离和余弦相似性等。
最后，选择合适的聚类方法对数据进行分类分组，包括链接聚类法、划分聚类法和模糊聚类法等。
其中，其中链接聚类法是最常用的方法之一，它将数据的相似性度量作为加权距离函数，将数据逐渐合并成一个大的组。
在这个过程中，会计算每个组的距离，再将距离矩阵作为输入进行递归地计算，直到形成一个大的组。
划分聚类法是一种将数据分成不同组的方法，它通过选择一些分割点来划分不同的组，使得每个组内的数据相似性较高。
模糊聚类法则是一种通过将数据分成多个隶属于不同组的程度来对数据进行分类的方法，它允许每个数据隶属于多个不同组，这在实际应用中也有一定的优势。
系统聚类分析方法的应用非常广泛，其中最常见的应用就是在生物学和医学领域。
在这些领域中，可以将样本数据视为数据点，然后使用聚类法将它们分成不同的类别，以便更好地理解不同样本的特征和性质。
另外，系统聚类分析也可以用于社会科学、经济学和地质学等领域，这些领域中也有大量的数据需要进行分类和处理。
为了更好地应用系统聚类分析方法，需要注意一些要点。
《系统聚类分析》课件
PART 02
系统聚类分析的基本原理
REPORTING
距离度量
01
02
03
欧氏距离
根据空间中两点间的直线 距离计算，适用于数值型 数据。
曼哈顿距离
在直角坐标系中，两点之 间的距离等于各坐标轴上 绝对值之和的和。
切比雪夫距离
不考虑坐标轴上的比例因 子，只考虑坐标轴上的绝 对距离。
聚类方法
层次聚类
系统聚类分析
REPORTING
• 引言 • 系统聚类分析的基本原理 • 系统聚类分析的步骤 • 系统聚类分析的常用算法 • 系统聚类分析的优缺点 • 系统聚类分析的未来发展
目录
PART 01
引言
REPORTING
聚类的定义
聚类
将数据集划分为若干个组（或称为簇），使得同一组内的数据尽可能相似，不 同组的数据尽可能不同。
系统聚类分析
基于距离度量，通过一定的算法将数据点（或样本）进行分类，使得同一类中 的数据点尽可能接近或相似，不同类中的数据点尽可能远离或差异大。
聚类的目的
探索性数据分析
通过聚类分析，可以发现数据中的隐 藏模式和结构，从而更好地理解数据 的分布和特征。
数据降维
决策支持
聚类分析可以用于市场细分、客户分 类等场景，帮助企业更好地了解客户 需求和市场趋势，从而制定更有针对 性的营销策略。
将数据点按照某种标准（如距离）进行层次分解，形成一棵聚类 树。
K-means聚类
将数据点分为K个聚类，每个聚类中心点为该聚类的平均值。
DBSCAN聚类
基于密度的聚类方法，将相邻的密集区域划分为同一聚类。
聚类评估
内部评估指标
通过计算聚类内部的紧密程度来 评估聚类的质量，如轮廓系数、 Calinski-Harabasz指数等。
系统聚类法
系统聚类法是一种聚类分析方法，它通过迭代不断调整类簇中心来将数据点聚类到相应的类簇中。
常见的系统聚类算法有基于划分的聚类方法（如K-Means）和基于层次的聚类方法（如层次聚类）。
这些算法的共同点是都通过迭代来改进聚类结果。
系统聚类法是一种基于计算机的数据分析方法，它可以将相似的数据点聚类到同一类簇中，从而发现数据的结构和模式。
系统聚类法通常用于无监督学习，即对于没有标记的数据进行聚类。
常见的系统聚类算法有基于划分的聚类方法（如K-Means）和基于层次的聚类方法（如层次聚类）。
基于划分的聚类方法，如K-Means，是一种迭代算法。
它首先随机选取K个数据点作为类簇中心，然后将其他的数据点分配到最近的类簇中。
接着，它会根据分配的数据点重新计算类簇中心，并再次重新分配数据点。
这个过程会不断重复直到满足某种停止条件。
基于层次的聚类方法，如层次聚类，是一种
分治算法。
它首先将所有数据点看作是单独的类簇，然后不断地将最相似的两个类簇合并。
每次合并都会形成一层新的类簇层次结构，直到所有数据点被合并为一个类簇。
系统聚类法还可以根据不同的度量标准来计算类簇相似度，常用的度量标准有欧几里得距离、曼哈顿距离、余弦相似度等。
系统聚类法在很多领域都有广泛的应用，如市场细分、文本分类、图像识别、生物信息学等。
不过，系统聚类法也有一些缺陷，如对异常值敏感、对初始聚类中心的选择敏感、对类簇数量的限制等。
因此，在使用系统聚类法时需要谨慎选择算法和参数，并结合其他方法进行验证。
系统聚类法
( ( G1( 4 ) = {X 1 , X 2 }, G2 4 ) = {X 5 }, G3( 4 ) = {X 3 }, G4 4 ) = {X 4 } 若分为四类，则
Gi( 5) = {X i }...i = 1,2,3,4,5 若分为五类，则
系统聚类分析的方法
按聚类的方法可以分为： 按聚类的方法可以分为：
主讲人： 主讲人：
第六章 聚类分析
§6.3系统聚类法 §6.4系统聚类法的性质及类的确定
系统聚类法
基本思想： 基本思想：设有n个样品，每个样品有m项指 个样品，
标。首先定义样品间的距离。先将这n个样品看成 首先定义样品间的距离。 n类，,然后将距离最近的两类合并成为新类，并 然后将距离最近的两类合并成为新类， 计算新类与其它类的距离， 计算新类与其它类的距离，再按最小距离准则并 这样每次缩小一类，直到并成一类为止。 类。这样每次缩小一类，直到并成一类为止。
（7）可变法及 McQuitty相似分析法 （8）离差平方和法
§6.4系统聚类发的性质及类的确定
聚类分析之系统聚类法
聚类分析之系统聚类法系统聚类法是一种常用的聚类分析方法，旨在将样本集合划分为不同的簇，使得同一个簇内的样本之间相似度较高，而不同簇之间的样本相似度较低。
本文将介绍系统聚类法的基本原理、常用的聚类算法以及应用领域等内容。
系统聚类法的基本原理是通过计算样本之间的距离或相似度来判断它们之间的关系，并将相似的样本归为同一簇。
在系统聚类法中，最常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离和余弦相似度等。
通过选择适当的距离度量方法，可以更准确地描述样本之间的差异。
常见的系统聚类算法包括层次聚类法、BIRCH算法和DBSCAN算法等。
层次聚类法是一种自底向上的聚类算法，它从每个样本开始，逐步合并相邻的样本，直到所有样本都被合并为一个簇。
BIRCH算法是一种基于CF树的聚类算法，它通过构建一种多叉树的数据结构来实现高效的聚类计算。
DBSCAN算法则是一种基于密度的聚类算法，它通过确定样本的邻域密度来判断是否属于同一簇。
系统聚类法在许多领域中都有广泛的应用。
在生物信息学领域，系统聚类法可以用于基因表达数据的聚类分析，从而找到具有相似表达模式的基因。
在市场营销领域，系统聚类法可以用于将顾客划分为不同的群体，从而为不同群体制定个性化的营销策略。
在图像处理领域，系统聚类法可以用于图像分割，将具有相似颜色或纹理特征的像素归为同一簇。
尽管系统聚类法具有广泛的应用前景，但也存在一些挑战和限制。
首先，系统聚类法对初始样本集合的选择较为敏感，不同的初始选择可能导致不同的聚类结果。
其次，系统聚类法在处理大规模数据时计算复杂度较高，需要消耗大量的计算资源。
此外，系统聚类法还面临着噪声和异常值的影响，这些值可能会干扰正常的聚类结果。
总之，系统聚类法是一种重要的聚类分析方法，通过计算样本之间的距离或相似度，将相似的样本归为同一簇。
它在生物信息学、市场营销和图像处理等领域具有广泛的应用价值。
然而，系统聚类法仍面临一些挑战和限制，如初始样本选择、计算复杂度和噪声处理等问题。
系统聚类的方法解析
系统聚类的方法解析系统聚类是一种数据分析技术，用于将一组对象划分为不同的类别或群组，使得同一类别内的对象具有相似的特征，而不同类别之间的对象具有明显的差异。
系统聚类方法基于对象之间的相似度或距离来判断它们是否属于同一类别。
本文将介绍几种常见的系统聚类方法，包括层次聚类、K-均值聚类和DBSCAN聚类。
层次聚类是一种将对象以树形结构进行组织的聚类方法。
它可以分为凝聚式聚类和分裂式聚类两种类型。
凝聚式聚类从每个对象作为一个类开始，逐步合并最相似的类，直到所有对象都合并为一个类为止。
分裂式聚类从所有对象作为一个类开始，将其分解为越来越小的类，直到每个类只包含一个对象为止。
层次聚类方法可以根据不同的相似度度量（如欧几里得距离、曼哈顿距离等）来计算对象之间的距离。
K-均值聚类是一种基于距离的聚类方法。
它将要聚类的对象划分为K 个类别，其中K是预先指定的。
它通过迭代优化的方式，计算每个对象与每个类别的距离，并将对象划分到距离最近的类别中。
在每次迭代后，重新计算每个类别的质心（即所有对象的平均值），并调整对象的归属，直到达到一定的停止准则（如达到最大迭代次数或类别的变化小于一些阈值）。
DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是一种基于密度的聚类方法。
它将对象的密度定义为一些半径内的对象数目。
DBSCAN通过定义两个参数：半径(ε)和最小对象数目(MinPts)，来判断对象是否是核心对象、边界对象还是噪声对象。
从核心对象开始，递归地将密度可达的对象划分到同一类别中，直到没有更多的密度可达对象。
DBSCAN可以有效地发现任意形状和大小的聚类，且对噪声对象的影响较小。
系统聚类方法适用于无监督学习任务，因为它们不需要事先的标记数据。
它们可以通过计算对象之间的相似度或距离，自动发现潜在的模式和结构。
然而，系统聚类方法需要选择合适的聚类数目、参数和相似度度量，这对于不同的数据集可能是挑战性的。
系统聚类分析
0.26
0.04
0.00
0.15
0.00
0.00
二、距离的计算
常见的距离有 ① 绝对值距离
d ij xik x jk
② 欧氏距离
d ij ( xik x jk ) 2
k 1 n
n
(i, j 1,2,, m)
（3.4.5）
i 1
(i, j 1,2,, m)
（3.4.6）
计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到 一个新的（m－1）阶的距离矩阵； 再从新的 距离矩阵中选出最小者dij，把Gi和Gj归并成新 类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去， 直至各分类对象被归为一类为止。
例题:以下根据式（3.4.9）中的距离矩阵，
用最短距离聚类法对某地区的9个农业区进行 聚类分析。
1 m x j xij 0 m i 1 sj 1 m ( xij x ) 2 1 j m i 1
③ 极大值标准化，即
xij xij max{xij }
i
(i 1,2, , m; j 1,2, , n)
（3.4.3）
经过这种标准化所得的新数据，各要素的 极大值为1，其余各数值小于1。
假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象 都有n个要素构成。它们所对应的要素数据可 用表3.4.1给出。
表3.4.1 聚类对象与要素数据
要 聚 类 对 象 素
x1
x11 x21 xi1 xm1
x2 x j
x12 x22 xi 2 x1 j xij
xn
x1n xin xmn
d8，10=min｛d84，d89｝= min｛1.29，1.40｝=1.29
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系统聚类分析方法聚类分析是研究多要素事物分类问题的数量方法。
基本原理是根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。
常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。
1. 聚类要素的数据处理假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象都有个要素构成。
它们所对应的要素数据可用表3.4.1给出。
（点击显示该表）在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有如下几种。
①总和标准化②标准差标准化③极大值标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，其余各数值小于1。
④极差的标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。
2. 距离的计算距离是事物之间差异性的测度，差异性越大，则相似性越小，所以距离是系统聚类分析的依据和基础。
①绝对值距离选择不同的距离，聚类结果会有所差异。
在地理分区和分类研究中，往往采用几种距离进行计算、对比，选择一种较为合适的距离进行聚类。
例：表3.4.2给出了某地区九个农业区的七项指标，它们经过极差标准化处理后，如表3.4.3所示。
对于表3.4.3中的数据，用绝对值距离公式计算可得九个农业区之间的绝对值距离矩阵：3. 直接聚类法直接聚类法是根据距离矩阵的结构一次并类得到结果。
▲ 基本步骤：①把各个分类对象单独视为一类；②根据距离最小的原则，依次选出一对分类对象，并成新类；③如果其中一个分类对象已归于一类，则把另一个也归入该类；如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类；每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行；④那么，经过m-1次就可以把全部分类对象归为一类，这样就可以根据归并的先后顺序作出聚类谱系图。
★直接聚类法虽然简便，但在归并过程中是划去行和列的，因而难免有信息损失。
因此，直接聚类法并不是最好的系统聚类方法。
[举例说明]（点击打开新窗口，显示该内容）例：已知九个农业区之间的绝对值距离矩阵，使用直接聚类法做聚类分析。
解：根据上面的距离矩阵，用直接聚类法聚类分析：第一步，在距离矩阵D中，除去对角线元素以外，d49=d94=0.51为最小者，故将第4区与第9区并为一类，划去第9行和第9列；第二步，在余下的元素中，除对角线元素以外，d75= d57=0.83为最小者，故将第5区与第7区并为一类，划掉第7行和第7列；第三步，在第二步之后余下的元素之中，除对角线元素以外，d82= d28=0.88为最小者，故将第2区与第8区并为一类，划去第8行和第8列；第四步，在第三步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d43= d34=1.23为最小者，故将第3区与第4区并为一类，划去第4行和第4列，此时，第3、4、9区已归并为一类；第五步，在第四步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d21= d12=1.52为最小者，故将第1区与第2区并为一类，划去第2行和第2列，此时，第1、2、8区已归并为一类；第六步，在第五步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d65= d56=1.78为最小者，故将第5区与第6区并为一类，划去第6行和第6列，此时，第5、6、7区已归并为一类；第七步，在第六步之后余下的元素中，除对角线元素以外，d31= d13=3.10为最小者，故将第1区与第3区并为一类，划去第3行和第3列，此时，第1、2、3、4、8、9区已归并为一类；第八步，在第七步之后余下的元素中，除去对角线元素以外，只有d51= d15=5.86，故将第1区与第5区并为一类，划去第5行和第5列，此时，第1、2、3、4、5、6、7、8、9、区均归并为一类；根据上述步骤，可以做出直接聚类谱系图。
（点击展开显示该图）4. 最短距离聚类法最短距离聚类法是在原来的m×m距离矩阵的非对角元素中找出，把分类对象Gp和Gq归并为一新类Gr，然后按计算公式计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一个新的（m－1）阶的距离矩阵；再从新的距离矩阵中选出最小者dij，把Gi和Gj归并成新类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去，直至各分类对象被归为一类为止。
[举例说明]（点击打开新窗口，显示该例）例：已知九个农业区之间的绝对值距离矩阵，使用最短距离聚类法做聚类分析。
解：用最短距离聚类法对某地区的九个农业区进行聚类分析：第一步，在9×9阶距离矩阵D中，非对角元素中最小者是d94=0.51，故首先将第4区与第9区并为一类，记为G10，即G10=｛G4，G9｝。
分别计算G1，G2，G3，G5，G6，G7，G8与G10之间的距离得：这样就得到G1，G2，G3，G5，G6，G7，G8，G10上的一个新的8×8阶距离矩阵：第二步，在上一步骤中所得到的8×8阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为d57=0.83，故将G5与G7归并为一类，记为G11，即G11=｛G5，G7｝。
分别计算G1，G2，G3，G6，G8，G10与G11之间的距离，可得到一个新的7×7阶距离矩阵：第三步，在第二步所得到的7×7阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为d28=0.88，故将G2与G8归并为一类，记为G12，即G12=｛G2，G8｝。
分别计算G1，G3，G6，G10，G11与G12之间的距离，可得到一个新的6×6阶距离矩阵：第四步，在第三步中所得的6×6阶距离矩阵中，非对角元素中最小者为d6，11=1.07，故将G6与G11归并为一类，记为G13，即G13=｛G6，G11｝=｛G6，（G5，G7）｝。
计算G1，G3，G10，G12与G13之间的距离，可得到一个新的5×5阶距离矩阵：第五步，在第四步中所得的5×5阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为d3，10=1.20，故将G3与G10归并为一类，记为G14，即G14=｛G3，G10｝=｛G3，（G4，G9）｝。
再按照公式（3.3.10）式计算G1，G12，G13与G14之间的距离，可得一个新的4×4阶距离矩阵：第六步，在第五步所得到的4×4阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为d12，14=1.29，故将G12与G14归并为一类，记为G15，即G15=｛G12，G14｝=｛（G2，G8），（G3，（G4，G9））｝。
再按照公式（3.3.10）式计算G1，G13与G15之间的距离，可得一个新的3×3阶距离矩阵：第七步，在第六步所得的3×3阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为d1，15=1.32，故将G1与G15归并为一类，记为G16，即G16=｛G1，G15｝=｛（G1，（G2，G8），（G3，（G4，G9））｝。
再按照公式（3.3.10）式计算G13与G16之间的距离，可得一个新的2×2阶距离矩阵：第八步，将G13与G16归并为一类。
此时，所有分类对象均被归并为一类。
综合上述聚类过程，可以作出最短距离聚类谱系图。
（点击展开显示）5. 最远距离聚类法最远距离聚类法与最短距离聚类法的区别在于计算原来的类与新类距离采用的公式不同。
最远距离聚类法的计算公式：[举例说明]（点击打开新窗口，显示该例）6. 系统聚类法计算类之间距离的统一公式▲ 最短距离聚类法具有空间压缩性，而最远距离聚类法具有空间扩张性（图3.4.4）。
最短距离为d AB=d a1b1，最远距离为d AB=d ap2。
▲ 最短距离聚类法和最远距离聚类法关于类之间的距离计算可以用统一的式子表示：当γ= -1/2时，就是最短距离聚类法计算类间距离的公式；当γ=1/2时，就是最远距离聚类法计算类间距离的公式。
▲ 系统聚类的方法还有：表示了八种不同系统聚类方法计算类间距离的统一表达式（见表3.3.4）。
7. 系统聚类分析实例作为系统聚类分析方法的应用实例，下面对中国大陆31个省级区域第三产业综合发展水平进行类型划分及差异性程度分析。
1) 聚类指标选择选取如下7项指标作为对中国第三产业综合发展水平进行聚类分析的基础指标：①y1——人均GDP，反映经济社会发展的总体状况和一般水平；②y2——人均第三产业增加值，反映人均服务产品占有量或服务密度；③y3——第二产业增加值比重，反映工业化水平和产业结构现代化程度；④y4——第三产业增加值比重，反映第三产业的发展程度及其对国民经济的贡献；⑤y5——第三产业从业人员比重，反映第三产业对劳动力的吸纳能力；⑥y6——第三产业固定资产投资比重，反映第三产业的资金投入程度；⑦y7——城市化水平，反映农村人口转化为城市人口的程度及对服务的需求量。
2) 聚类计算以1999年国家统计局出版的《中国统计年鉴》（1998年度的数据）为数据来源，运用上述7项指标(表3.4.5) （点击显示该表），借助于统计分析软件包SPSS10.0进行聚类分析计算，计算过程如下：①用标准差标准化方法对7项指标的原始数据进行处理。
②采用欧氏距离测度31个省（市、区）之间的样本间距离。
③选用组平均法计算类间的距离，并对样本进行归类。
经过上述聚类计算步骤，得到的聚类结果见图3.4.5。
（点击在新窗口中显示该图）一、模糊聚类分析基本原理聚类分析是根据样本代表性指标在性质上的亲疏程度进行分类。
因此，我们可以把模糊聚类分析的步骤分解如下：1 ．确定样本统计指标与数据标准化对样本进行分类的效果如何，关键在于要把统计指标选择合理。
也就是统计指标应该有明确的实际意义，有较强的分辨力和代表性，即要有一定的普遍意义。
数据标准化就是把各个代表统计指标的数据标准化，以便于分析和比较，这一步也称为数据正规化。
方法是：式中x 为原始数据，为原始数据的平均值，S 为原始数据的标准差，为标准化数据。
若要把标准化数据压缩到 [ 0 ， 1 ] 闭区间，可用极值标准化公式：x max ——原始数据组中的最大者；x min ——原始数据组中的最小者。
当x ＝x max 时，＝ 1 ；x ＝x min 时，＝ 0 。
2 ．标定距离，建立相似关系矩阵距离是衡量分类对象间相似程度的统计量，用r ij （ i ＝ 1 ，2, … n ； j ＝ 1 ， 2 ，… n ；n 为样本的个数）表示。
利用r ij 从而确定相似关系矩阵标定距离的方法有很多，下面只列举几种常用的计算方法：⑴ 欧氏距离其中，x ik 表示第i 个样本的第k 个指标的观察值，x jk 表示第j 个样本的第k 个指标的观察值，r ij 表示第i 个样本与第j 个样本之间的亲疏程度。
r ij 越小，则第i 个样本与第j 个样本之间的性质就越接近。
性质接近的样本就可以划归为一类。
⑵ 绝对减数法其中c 应适当选取，使得0 ≤ r ij ≤ 1 。