椭球面上的常用坐标系及其相互关系
山东交通学院大地测量学基础重点(1)
大地测量学基础1、大地测量学的定义与作用定义：在一定的时间与空间参考系统中，测量和描绘地球形状及其重力场并监测其变化，研究近地空间定位技术并为人类活动提供关于地球的空间信息的一门学科作用：大地测量学为地球科学研究提供时空坐标基础；大地测量学在防灾及环境监测中发挥着特殊作用；大地测量学是发展空间技术和国防建设的重要保障；建立大地控制网为测绘工程提供大地参考框架。
2、大地测量学的基本体系和内容基本体系：几何大地测量学物理大地测量学空间大地测量学内容：确定地球形状及外部重力场及其随时间的变化，建立统一的大地测量坐标系；研究月球及太阳系行星的形状及重力场；建立和维持国家天文大地水平控制网和精密水准网；研究高精度观测技术和方法；研究地球表面向椭球面或平面的投影数学变换及有关的大地测量计算。
3、大地测量学的发展简史及展望（以上三个课本第一章内容）发展简史：地球圆球阶段地球椭球阶段大地水准面阶段现代大地测量新时期展望：全球卫星导航定位系统(GNSS)，激光测卫(SLR)以及甚长基线干涉测量(VLBI)是主导本学科发展的主要的空间大地测量技术；空间大地网在地球科学研究中发挥重要作用；精化地球重力场模型是大地测量学的重要发展目标；深空大地测量为空间探测提供定位技术保障，深空网的建设将是空间大地测量的重要内容。
4、岁差：地球绕地轴旋转，由于日月等天体的影响，地球的旋转轴在空间围绕黄极发生缓慢旋转，形成一个倒圆椎体，这种运动叫做岁差。
5、章动：地球受日月引力的影响，瞬时北天极将绕瞬时平北天极产生旋转，大致形成椭圆形轨迹，这种现象叫章动6、极移：地球自转轴处了章动、岁差的变化外，还存在着相对于地球体自身内部结构的相对位置变化，从而导致极点在地球表面上的位置随时间而变化，这种现象叫极移。
7、国际协议原点：国际上采用的5个纬度服务站以1900-1905年的平均纬度所确定的平级作为基准点8、恒星时：以春分点作为基本参考点，由春分点周日视运动确定的时间叫恒星时。
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面P 角，叫做点的大地经度，由起始子午面起算，向东L P 为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o ～180°）。
点的法线与赤道面的夹角，叫做P Pn B 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬P （0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。
过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。
由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。
过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。
从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。
如果点不在椭球面上，表示P L B 点的位置除,外，还要附加另一参数——大地高，L B H 它同正常高及正高有如下关系正常H 正H ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)()(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心为原点，起始子午面与赤道面交O 线为轴，在赤道面上与轴正交的方向为轴，X X Y 椭球体的旋转轴为轴，构成右手坐标系-，Z O XYZ 在该坐标系中，点的位置用表示。
P Z Y X ,,地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。
6.2.3子午面直角坐标系 设点的大地经度为，在过点的子午面上，以P L P 子午圈椭圆中心为原点，建立平面直角坐标系。
地球椭球上坐标系及其相互关系
p2
x
汇总：
三个量差距很小
tan B 1 e'2 tanu (1 e'2 ) tan tanu 1 e 2 tan B 1 e'2 tan tan (1 e ) tan B 1 e tanu
2 2
B u
小结
• • • • 各种坐标系建立的方法 B，L L， x ， y B，L，H X，Y，Z 大地纬度、归化纬度、地心纬度之间的关系
4.2
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
一、各种坐标系的建立 N L P 1. 大地坐标系 以椭球面和法线为基础建立的 G O 大地纬度L：以英国格林尼 E B 治天文台子午 面为起始子午 n 面，P点所在的子午 S 面与它的夹角 大地纬度B：通过P点的椭球法线与赤道面的夹角 大地高H：P点沿法线方向到椭球面的距离 H H正常＋ ——高程异常 H H正 N ——大地水准面差距
上节回顾
• 地球椭球基本参数及其相互关系 1、地球椭球的五参数 2、五参数间的相互关系
本节主要内容
• 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
一、各种坐标系的建立 1. 大地坐标系 2. 空间直角坐标系 3. 子午面直角坐标系 4. 地心纬度坐标系和归化纬度坐标系 5. 大地极坐标系
本节主要内容
二、各坐标系间的关系 1、子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 2、空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系 3、空间直角坐标系同大地坐标系的关系 4、大地纬度 、归化纬度 、地心纬度 之间的关系
X ( N H ) cos B cos L Y ( N H ) cos B sin L Z 2 [ N ( 1 e ) H ] sin B
各种坐标系含义
WGS 84 是常用的经纬度的椭球面，也是一个公开的基准面。
正转换:经纬度-->高斯投影坐标。
大地基准面用于高斯投影，或者高斯分带投影，无论是54，80，还是wgs84，都有可能。
在不同的基准面下，同一个点的经纬度不同，投影坐标也不同。
地理坐标网（经纬网）为了制作和使用地图的方便，高斯－克吕格投影的地图上绘有两种坐标网：地理坐标网和直角坐标网。
在我国1：1万－1：10万地形图上，经纬线只以图廓的形式表现，经纬度数值注记在内图廓的四角，在内外图廓间，绘有黑白相间或仅用短线表示经差、纬差1’的分度带，需要时将对应点相连接，就构成很密的经纬网。
在1：20万－1：100万地形图上，直接绘出经纬网，有时还绘有供加密经纬网的加密分割线。
纬度注记在东西内外图廓间，经度注记在南北内外图廓间。
直角坐标网（方里网）直角坐标网是以每一投影带的中央经线作为纵轴（X轴），赤道作为横轴（Y轴）。
纵坐标以赤道我0起算，赤道以北为正，以南为负。
我国位于北半球，纵坐标都是正值。
横坐标本应以中央经线为0起算，以东为正，以南为负，但因坐标值有正有负，不便于使用，所以又规定凡横坐标值均加500公里，即等于将纵坐标轴向西移500公里。
横坐标从此纵轴起算，则都成正值。
然后，以公里为单位，按相等的间距作平行于纵、横轴的若干直线，便构成了图面上的平面直角坐标网，又叫方里网。
5Geographic Coordinate System和Projection Coordinate System的区别和联系：地理坐标系统(Geographic Coordinate System)1、首先理解地理坐标系（Geographic coordinate system），Geographic coordinate system直译为地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。
很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。
常用坐标系之间的关系与转换
7.5 常用坐标系之间的关系与转换一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。
同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用.空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮®坐标系，一般用X 、化Z 表 示点BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。
对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。
现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。
同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。
、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐标为(E, L)a 将该图与图？一5上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。
加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的仏两平面的经度乙可视为相同，等于"叽 于是可以直接写岀X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑式(7-26)得X=Ncos^cosZr ”Y =NcQsBsinL > (7—78)Z=N (1—护〉sin^ ；BB 7-231.由大地坐标求空间大地直角坐标当已知椭球面上任一点P 的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地直角坐标(X, Y, Z)。
第7章椭球面讲义上的测量计算
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
椭球基本知识
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
常用坐标系
一、常用坐标系1、北京坐标系北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系。
1954年北京坐标系的历史：新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。
由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。
因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。
它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。
北京54坐标系，属三心坐标系，长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.3；2、西安80坐标系1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。
为此有了1980年国家大地坐标系。
1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据，即IAG75地球椭球体。
该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。
基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。
西安80坐标系，属三心坐标系，长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.257221013、2000国家大地坐标系的定义国家大地坐标系的定义包括坐标系的原点、三个坐标轴的指向、尺度以及地球椭球的4个基本参数的定义。
2000国家大地坐标系的原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心；2000国家大地坐标系的Z轴由原点指向历元2000.0的地球参考极的方向，该历元的指向由国际时间局给定的历元为1984.0的初始指向推算，定向的时间演化保证相对于地壳不产生残余的全球旋转，X轴由原点指向格林尼治参考子午线与地球赤道面（历元2000.0）的交点，Y轴与Z轴、X轴构成右手正交坐标系。
常用坐标系之间的关系与转换
7.5 常用坐标系之间的关系与转换一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系 大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。
同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用.空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮®坐标系，一般用X 、化Z 表 示点BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。
对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。
现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。
同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。
、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐标为(E, L)a 将该图与图？一5加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的仏两平面的经度乙可视为相同，等于"叽 于是可以直接写岀X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑式(7-26)得X=Ncos^cosZr ”Y =NcQsBsinL > (7—78)Z=N (1—护〉sin^ ；上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。
BB 7-231.由大地坐标求空间大地直角坐标当已知椭球面上任一点P 的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地直角坐标(X, Y, Z)。
中国地质大学(北京)《测量学》期末考试拓展学习(六)80
地大《测量学》（六）
第六章 小地区控制测量
椭球面上的测量计算
主要介绍：地球椭球的基本几何参数及相互关系，椭球面上的常用坐标系及其相互关系，椭球面上的几种曲率半径，椭球面上的弧长计算，大地线，将地面观测的方向值归算到椭球面，将地面观测的长度归算到椭球面，椭球面上三角形的解算，大地主题解算的高斯平均引数公式
一、地球椭球的基本几何参数及相互关系
（一）、五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率：
a b a
α-=
椭圆的第一偏心率：
e b
'= 椭圆的第二偏心率：
e =
注 意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a 或b ）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
2
222,tan ,cos a c t B e B b
η===' 22221sin ,1cos W e B V e B =-=-'
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980。
地球椭球与椭球计算理论
e 2 0.006 738 525 414 683
6356755.288157528（m）
6399596.6519880105（m）
1／298.257 0.006 694 384 999 588 0.006 739 501 819 473
WGS-84椭球体
6378137.0000 (m)
6356752.3142（m）
6399593.6258（m）
1/298.257 223 563 0.006 694 379 901 3 0.006 739 496 742 27
2. 地球椭球参数间的相互关系
其他元素之间的关系式如下：
a b 1 e2 , b a 1 e2
c a 1 e2 , a c 1 e2
e e 1 e2 , e e 1 e2
1975年国际椭球子午线弧长计算公式：
L arctan y
x
B arctan
z Ne 2 sin B
x2 y2
H z N 1 e 2
sin B
式中：e——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式e 2a 2 b 2/a 2
算得。
N——法线长度，可由式 Na/ 1e2si2nB算得。 返回本章首页
7.3 几种主要的椭球公式
V W
1 e2 , W V
1
e
2
e 2 2 2 2
W 1 e 2 V b V a
V 1 e 2 W a W b
W 2 1 e 2 sin 2 B (1 e 2 )V 2
V 2 1 2 (1 e 2 )W 2
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
它与x 轴的夹角为（90°+B）。子午面直角坐标x,y 同大地纬度B 的关系式如下： x acoBs acoBs
控制测量考点
一、填空题（20*1，基本概念及常数）；二、简答题（6*9，原理和方法及实验）；三、计算题（3=35要用到计算器）1、铅垂线：重力方向线，铅垂线是测量工作的基准线。
大地水准面：水准面因其高度不同而有无数个，其中与平均海水面相吻合的水准面。
我们把形状和大小与大地体相近并且两者之间的相对位置确定的旋转椭球称为参考椭球。
大地水准面的铅垂线与椭球面的法线也之间的夹角u称为垂线偏差。
独立网与非独立网、大地水准面差距、大地体。
三角网、导线网、边角网的适用范围及优缺点—NO---填空和简答题2、控制网的布设：水平—三角网、导线网、边角网、GPS网；高程—三角高程测量主要用于山区的高程控制和平面控制点的高程测定。
3、国家平面控制网的布设原则：分级布网、逐级控制；应有足够的精度；应有足够的密度；应有统一的规格；工程平面控制网布设原则—测图和专用控制网—分级布网、逐级控制；要有足够的精度；要有足够的密度；要有统一的规格。
国家平面控制网布设方案：一等三角锁布设方案—是国家平面控制网的骨干，在全国范围内建立统一坐标系框架，为控制二等及以下各级三角网、研究地球形状和大小提供资料；二等三角锁、网布设方案—两级布设二等三角网：基本锁、补充网，二等全面网；三、四等三角网布设方案—相邻三、四等点与高等级点连接起来构成连续的三角网。
宜：测图比例尺小，控制点密度不大。
插入低等点后用短边三角网附和在高等级点上。
宜：大比例尺测图，控制点密度较大。
插点法:在高等级三角网的一个或两个三角形内插入一个或两个低等级点。
要求：每一插点需由三个方向测定，且各方向均双向观测，并注意新点的点位，当新点位于三角形内切圆圆心附近时，插点精度高，离圆心越远精度越低。
不得位于如图危险区域内。
工程平面控制网布设方案：三角网的布设方案—特点①各等级三角网平均边长较相应等级的国家网边长显著地缩短；②三角网的等级较多；③各等级控制网均可作为测区的首级控制。
④三、四等三角网起算边相对中误差，按首级网和加密网分别对待。
各种坐标系
各种坐标系的定义一：空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：二：大地坐标系：大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
附：经度和纬度的详细概念，呵呵。
经度和纬度都是一种角度。
经度是个面面角，是两个经线平面的夹角。
因所有经线都是一样长，为了度量经度选取一个起点面，经1884年国际会议协商，决定以通过英国伦敦近郊、泰晤士河南岸的格林尼治皇家天文台（旧址）的一台主要子午仪十字丝的那条经线为起始经线，称为本初子午线。
本初子午线平面是起点面，终点面是本地经线平面。
某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角。
在赤道上度量，自本初子午线平面作为起点面，分别往东往西度量，往东量值称为东经度，往西量值称为西经度。
由此可见，一地的经度是该地对于本初子午线的方向和角距离。
本初子午线是0°经度，东经度的最大值为180°，西经度的最大值为180°，东、西经180°经线是同一根经线，因此不分东经或西经，而统称180°经线。
纬度是个线面角。
起点面是赤道平面，线是本地的地面法线。
所谓法线，即垂直于参考扁球体表面的线。
某地的纬度就是该地的法线与赤道平面之间的夹角。
纬度在本地经线上三：平面坐标系（这里主要将gis中高斯－克吕格尔平面直角坐标系，不是数学里面的平面坐标系）高斯－克吕格尔平面直角坐标系Gauss-Krüger plane rectangular coordinates system 根据高斯-克吕格尔投影所建立的平面坐标系,或简称高斯平面坐标系。
测量技术
测量技术一、测量学的任务测量学是一门研究地球形状和大小的科学。
其任务有三个方面，1、精确地测定地面点地位置，以及整个地球地形状和大小；2、是将地球表面局部范围地形状和大小测绘到图纸上，使之成为与地面保持相似的图形；3、是保证国民经济建设和国防建设所需的测量工作。
现在这门科学主要可以分以下几类：1、大地测量学：它是从地球整体考虑，顾及地球曲率影响来精确地测定地面点地位置，建立国家大地控制网，测量地球重力场地分布与变化，其成果用以研究地球地形状和大小，地壳地升降，大陆地变迁，地震地预报以及作为各种测量地依据。
由于现代空间技术的发展，大地测量与空间技术相结合，而产生一门新的卫星大地测量学，借助于卫星技术来解决大地测量问题。
2、地形测量学：它是以地球表面小范围区域为研究对象，不考虑地球曲率影响，视地面为平面，将地面上的物体及地面高低起伏形状测绘成地形图，共国民经济建设及国防建设各方面需要用。
3、摄影测量学：是利用摄影技术测定物体的形状、大小和空间位置的科学。
根据像片获取的方式不同，可分为“地面摄影测量”、“航空摄影测量”及“航天摄影测量”等。
4、工程测量学：是研究工程建设在勘测设计、施工和管理所进行的各种测量工作的科学。
其主要任务有三个方面，（1）是工程开工、验收和结算的依据：（2）是保证工程施工质量主要检测手段；（3）是对建筑物在施工过程中和竣工后会产生变化而进行的变形观测。
其主要工作有二个方面（1）是将地面上地形物测绘到图纸上；（2）是将图纸上设计的建筑物测设到实地，亦即在地面上标定出位置。
5、制图学：它是研究利用测量所得的资料，如何投影编绘成地图，以及地图制作的理论、工艺技术和应用等方面的科学。
二、测量工作概述1、控制测量概述在地面上进行测量时，需要测定很多碎部点（地物点和地貌点）的平面位置和高程。
由于在测量过程中不可避免地产生误差，这样前一点的误差将传下一点，一点一点的误差积累起来，最后，达到不可容许的程度。
第四章 1椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
极点曲率半径
1 − e 2 sin 2 B 2 2 1 + e ′ co s B
t、η2、W、V写在黑板
四、经线和纬线的曲线方程
• 起始子午线的曲线方程： 起始子午线的曲线方程：
X 2 Z2 + 2 =1 2 a b Y =0
• 经度为 的经线方程： 经度为L的经线方程： 的经线方程 两个面的截线 • 纬度为 的纬线方程： 纬度为B的纬线方程： 的纬线方程
第四章 地球椭球及其 数学投影变换的基本理论
第四章 第一讲主要内容
一、地球椭球的几何、物理参数 二、地球椭球参数间的相互关系 三、旋转椭球面上的几种坐标系 四、各坐标系间的关系
上一讲应掌握的内容
1、垂线偏差公式和拉普拉斯方程 、垂线偏差公式和
ξ =ϕ −B η = (λ − L) cos ϕ
A = α − (λ − L) sin ϕ
二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系 地球椭球（正常椭球） 个基本参数及关系 • 地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其 物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特 征。 a, J2 , fM (GM ), ω • 根据4个基本参数可求得椭球扁率：
3 q 近似公式：α = J 2 + 2 2 1 ≈ 298.257
b2 x 2 x c tgB = 2 ⋅ = (1 − e ) a y y
y = x (1 − e 2 ) tan B
x = a cos B 1 − e 2 sin
2
B
=
a cos B W
子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)
a N= x = N cos B W a cos B a cos B = x= 2 2 W 1 − e sin B
三差改正
R
Ka 90°-B2
Kb
三. 水平观测方向的归算
3、截面差改正
[原因] 由于相对法截线不重合,大地测 量计算要求两点间采连线为大 地线。 [定义] 将法截线方向化为大地线 方向所加的改正，称为截面差改 正，以δ3表示。
A
N B
A1 A1'
δ3
三. 水平观测方向的归算
3、截面差改正
[计算公式]
e 2 S2 " 2 3" cos B1 sin 2 A1 2 12 N 1
RR1 OR1 OR
R1 R sinq cos z1 sin
三. 水平观测方向的归算
1、垂线偏差改正
Z A-θ z1 q M
R1 R Z A
θ
μ Z1 P
μ Z1
M q
q
法 线
m
δ1
μ
A N
O
在球面三角形MZZ1中
sin sin A sinq sinz1
R1 R sinq cos z1 sin
sin sin A sinq sinz1
R1 R sinq cos z1 sin
sinR1 R sin( 90 z1 ) sinq sin90
三. 水平观测方向的归算
1、垂线偏差改正
顾及（R1-R)和μ均为微小量：
R1 R sin A cot z1
讨 论
1. 什么情况下截面差改正（δ3）为零？
2. 适用范围
三. 水平观测方向的归算
4、三差改正计算
现行作业规定，各等三角测量归算时，一等算至0.001’’，二 等算至0.01’’，三四等算至0.1’’。
椭球坐标系
12
以大地纬度为参数的经度为LC的子午线参 数方程为:
ห้องสมุดไป่ตู้
X N cos B cos LC Y N cos B sin LC Z N 1 e sin B
2
13
在一点〔BC ,LC 〕处的子午线切向量
X M c sin BC cos LC B Y M c sin BC sin LC B Z M c cos BC B
1 e2 Y a cos sin L 1 e2 cos 2 1 e2 Z a sin 1 e 2 cos 2
21
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续9）
不难得出，u, B, 的关系为：
cosu cos B
1 e 2 sin 2 B 1 e 2 sin 2 B
cos A sin A kA M N
因此，任意方向的曲率半径为：
2
2
1 MN RA k A N cos2 A M sin 2 A
当A为0，/2，， 3/2时，取得极值。
28
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 5）
(4). 平均曲率半径 定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。
23
2.2.3 法截线曲率及曲率半径
1、空间曲线的曲率几曲率半径 若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。 则曲线的曲率为：
k s s
c
d T s dr 2 s ds sc ds2 s
2
c
若以t参数，则曲线的曲率可表示为：
k t t
c
dr t dr t dt dt 2 t
不难得到：N R M 引入辅助量： c a 2 b a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角L ，叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o～180°）。
P 点的法线Pn 与赤道面的夹角B ，叫做P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。
过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。
由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。
过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。
从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。
如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)()(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。
地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。
6.2.3子午面直角坐标系设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。
在该坐标系中，P 点的位置用L ,y x ,表示。
6.2.4大地极坐标系M 为椭球体面上任意一点，MN 为过M 点的子午线，S 为连结MP 的大地线长，A 为大地线在M 点的方位角。
以M 为极点，MN 为极轴，S 为极半径，A 为极角，这样就构成大地极坐标系。
在该坐标系中P 点的位置用S ,A 表示。
椭球面上点的极坐标（S ,A ）与大地坐标(L ,B ）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。
6.2.5各坐标系间的关系椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。
1.子午面直角坐标系同大地坐标系的关系过P 点作法线n P ，它与x 轴之夹角为B ，过P 点作子午圈的切线TP ，它与x 轴的夹角为（90°+B ）。
子午面直角坐标y x ,同大地纬度B 的关系式如下：WBa Be B a x cos sin 1cos 22=-=VB b B e W a Be B e a y sin sin )1(sin 1sin )1(2222=-=--=2.空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标系中的P P 2相当于子午平面直角坐标系中的y ，前者的2OP 相当于后者的x ，并且二者的经度L 相同。
⎪⎭⎪⎬⎫===y Z L x Y L x X sin cos3.空间直角坐标系同大地坐标系的关系同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换。
()()()[]⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+=B H e N z L B H N y L B H N x sin sin cos cos cos 21()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫--=++==22221sin sin arctan arctan e N B z H y x B Ne z B x yL式中：e ——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式()2222a b a e /-=算得。
N ——法线长度，可由式B e a N 221sin /-=算得。
§6.3 几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。
包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。
椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
6.3.1子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =，相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：dBdS M =子午圈曲率半径公式为：32)1(W e a M -=3V c M =或 2VN M = M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：6.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
在图中E PE '即为过P 点的卯酉圈。
卯酉圈的曲率半径用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。
因卯酉圈也垂直于子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。
即PT 垂直于Pn 。
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：W a N = Vc N =6.3.3 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。
卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。
现在来讨论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径A R 的计算公式。
任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：AB e NA N R A 22222cos cos 1cos 1'+=+=η（7-87）6.3.4 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。
取过地面某点的所有方向A R 的平均值来作为这个球体的半径是合适的。
这个球面的半径——平均曲率半径R ：MN R =或)1(2222e W a V N Vc W b R -====因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点子午圈曲率半径M 和卯酉圈曲率半径N 的几何平均值。
6.3.5 子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。
如图所示，取子午线上某微分弧dx P P ='，令P 点纬度为B ，P '点纬度为dB B +，P 点的子午圈曲率半径为M ，于是有： MdB dx =从赤道开始到任意纬度B 的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：⎰=BMdB X 0式中M 可用下式表达：Ba B a B a B a a M 8cos 6cos 4cos 2cos 86420+-+-=其中： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=+=++=+++=+++++=128163232716381673215221283516583288866864486422864200m a m m a m m m a m m m m a m m m m m a 经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：B a B a B aB a B a X 8sin 86sin 64sin 42sin 286420+-+-=为求子午线上两个纬度1B 及2B 间的弧长，只需按上式分别算出相应的1X 及2X ，而后取差：12X X X -=∆，该X ∆即为所求的弧长。
克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：B B B B X 6sin 022.04sin 828.162sin 480.16036861.111134-+-=B B B B B B B X cos sin 697.0cos sin 929.133cos sin 780.32005861.11113453---=1975年国际椭球子午线弧长计算公式：B B B B X 6sin 022.04sin 833.162sin 528.16038005.111133-+-=B B B B B B B X cos sin 698.0cos sin 960.133cos sin 858.32009005.11113353---=6.3.6 底点纬度计算在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X ，Y ）反求其大地坐标（L ，B ）。
首先X 当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。
计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。
（1）迭代法在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设8611.111134/1X B f = 以后每次迭代按下式计算：8611.111134/))((1i f i f B F X B -=+i f i f i f i f B B B B F 6sin 0220.04sin 8281.162sin 4803.16036)(-+-=重复迭代直至ε<-+i f i f B B 1为止。
在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。
（2）直接解法 1975年国际椭球：133.6367452/X =ββββββcos sin 10}cos ]cos )cos 222383(293697[50228976{10222⨯⨯++++=-B B f克拉索夫斯基椭球： 4969.6367588/X =β}cos ]cos )cos 222350(293622[50221746{222ββββ++++=f B6.3.7 大地线椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线。
在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线”，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。
因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线。
假如在椭球模型表面A ,B 两点之间，画出相对法截线如图所示，然后在A ,B 两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线。
由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间的最短线。
在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。
在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。