高等数学重修课考试试卷(B)答案及评分标准

北方交通大学1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（B ）答案及评分标准 一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．

1． ()()()

=++-∞

→50

2

80

201

52312lim

x

x x x _________．

2．曲线⎩

⎨⎧==t e y t

e x t

t cos 2sin 在点()10，处的法线方程为 ______________________． 3．设函数()x f 在区间()∞+∞-，上连续，且()20=f ，且设()()⎰=2

sin x x

dt t f x F ，

则()='0F _________． 4．已知()x xe x f =2，则

()=⎰-1

1

dx x f ________________．

5．抛物线()a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为 ___________________．

答案： ⒈ 50

80

205

32⋅； ⒉ 012=-+y x ； ⒊ 2-；

⒋ e

e 3

4--；

⒌

()6

13a +．

二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．指出下列函数中，当0+→x 时，_____________为无穷大量．

（A ）．12--x ； （B ）．x

x s e c 1s i n +； （C ）．x

e -； （D ）．x e 1

-．

2．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=11

3223

x x

x x x f ，则()x f 在点1=x 处的______________ ．

（A ）．左右导数都存在； （B ）．左导数存在，但右导数不存在； （C ）．左导数不存在，但右导数存在； （D ）．左、右导数都不存在． 3．已知函数()()()()()4321----=x x x x x f ，则方程()0='x f 有______________ ． （A ）．分别位于区间()21，，()31，，()41，内的三个根 ；

（B ）．分别位于区间()21，，()32，，()43，内的三个根；

（C ）．四个实根，分别位于区间()10，，()21，，()32，，()43，内 ； （D ）．四个实根，它们分别为11=x ，22=x ，33=x ，44=x ． 4．设函数()x f 有原函数x x ln ，则()=⎰

dx x xf ___________ ．

（A ）．C x x +⎪⎭⎫

⎝⎛+ln 41212

； （B ）

．C x x +⎪⎭

⎫ ⎝⎛+ln 21412； （C ）．C x x +⎪⎭⎫

⎝⎛-ln 41212

； （D ）．C x x +⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ln 21412． 5．设区间[]b a

连续函数()x f 满足关系式：()0=⎰b

a

dx x f ，则________ ．

（A ）．在区间[]b a

的某个小区间上有()0=x f ；

（B ）．对区间[]b a 上的所有点x ，有()0=x f ； （C ）．在区间[]b a 内至少有一点x ，使得()0=x f ； （D ）．在区间[]b a 内不一定有()0=x f ．

答案：

⒈ （D ） ； ⒉ （A ） ； ⒊ （B ） ； ⒋ （B ） ； ⒌ （C ） ． 三．（本题满分6分）

讨论函数()x x x x f n

n

n 2211lim

+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型． 解： ()⎪⎩

⎪⎨⎧<=>-=+-=→∞1

101

11lim

22x x x x x x x x x f n

n

n ……3 由于 ()()1l i m l i m 1

1

=-=---→-→x x f x x ()1l i m l i m 1

1

-==+

+-→-→x x f x x 因此1-=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． (4)

由于 ()1l i m l i m 1

1

==--→→x x f x x ()()1lim lim 1

1

-=-=+

+→→x x f x x 因此1=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． ......5 ()x f 除1±=x 外处处连续． (6)

四．（本题满分6分） 设()

x x x a a a y arccos 12-+= （其中0>a ，1≠a 为常数），试求dy ． 解：

()

x x x

x x x x a

a a a a a a a a a dx dy 22221ln 1arccos 1ln ln -⋅

----= ()

x

x

x a a

a a a r c c o s

1ln 22--= ……4 所以，()

dx a a a

a dx y dy x x

x arccos 1ln 22--='= (6)

五．（本题满分6分）

设()x x x f 22tan sin 2cos +=+'，试求()x f ． 解：

()()()C x d x f x f +++'=+⎰2c o s 2c o s 2c o s (2)

()()C x d x x ++=

⎰c o s t a n s i n 2

2

()C x d x x +⎪⎭

⎫

⎝

⎛-+

-=⎰c o s 1c o s 1c o s 12

2

()C x d x x

+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎰c o s c o s c o s 122 C x x +--

=3

c o s 3

1c o s 1 ……4 所以，()()C x x x f +----

=3

2213

(6)

六．（本题满分7分）

计算定积分

⎰

---2

22

3

24

dx x x ． 解：

令t x sec 2=，则dt t t dx tan sec 2=，