曾谨言量子力学导论(第二版)答案

nx , ny , nz = 1, 2,3,
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势V (x) = 1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2
∫ 提示：利用 p ⋅ dx = nh, n = 1, 2, , p = 2m[E − V (x)]
V (x)
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
第一章 量子力学的诞生
1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
V
(
x)
=
⎧∞, ⎩⎨0,
x < 0, x > a 0< x<a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 a = n ⋅ λ 2
(n = 1,2,3, )
∴λ = 2a / n
又据 de Broglie 关系 p = h / λ
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2 2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3, )
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,
, pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量）， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
（3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
2
ω = ∇ψ * ⋅∇ψ +ψ *Vψ , 2m
（4）
且能量平均值
∫ E = d 3r ⋅ω 。
（b）由（4）式，得
∂ω =
2
⎡ ⎢∇
∂ψ
∗⋅
∇ψ
+
∇ψ
*
⋅∇
∂ψ
⎤ ⎥
+
∂ψ
∗ Vψ
+ψ *V
∂ψ
∂t 2m ⎢ ∂t
∂t ⎥ ∂t
∂t
⎣Leabharlann ⎦=2⎡ ⎢∇
−i
∂ψ ∂t
*
=
−
2
2m
∇ 2ψ
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
( ) ( ) i
∂ ψ *ψ ∂t
2
= − ψ *∇ 2ψ −ψ∇2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
( ) 2
= − ∇ ⋅ ψ *∇ψ 2m
−ψ∇ψ *
+ 2iV2ψ *ψ
( ) ( ) ( ) ∴ ∂ ψ *ψ = − ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * + 2V2 ψ *ψ
撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y, z 轴方向，把粒子沿 x, y, z 轴三个方向
的运动分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有
∫ px ⋅ dx = nxh , (nx = 1, 2,3, )
即
px ⋅ 2a = nx h （ 2a ：一来一回为一个周期）
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh 2
得 a 2 = nh = 2 n mωπ mω
（3）
代入（2），解出 En = n ω,
n = 1, 2,3,
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
,
t
)
+
[V1
(r
)
+
iV2
(r
)]ψ
(r
,
t
)
（1）
V1 与V2 为实函数。
3
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3
rψ
*ψ
=
−
2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
⋅ dS + 2V2
∫∫∫d 3rψ *ψ τ
证：（a）式（1）取复共轭， 得
2π
∫0
pϕ dϕ
=
2π
pϕ
=
mh,
m =1, 2,3,
∴ pϕ = mh ，
因而平面转子的能量 Em = pϕ2 / 2I = m2 2 / 2I ， m =1, 2,3,
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1 设质量为 m 的粒子在势 V (r ) 中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平 值为 E = d 3r ⋅ω ，
+
E
⎛ ⎜
∂ψ
∗ψ
+
∂ψ
ψ
*
⎞ ⎟
⎜ ⎝
∂t
∂t
⎟ ⎠
= −∇ ⋅ s + E ∂ ρ ∂t
（ ρ ：几率密度）
= −∇ ⋅ s
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
所以
∂ω + ∇ ⋅ s = 0 。
∂t
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
i
∂ ∂t
ψ
(r
,
t
)
=
−
2
2m
∇
2ψ
(r
同理可得，
∴ px = nxh / 2a , p y = ny h / 2b , pz = nz h / 2c ,
nx , ny , nz = 1, 2,3,
粒子能量
Enxnynz
=
1 2m
(
p
2 x
+
p
2 y
+
p
2 z
)
=
π2 2 2m
⎜⎛
n
2 x
⎜⎝ a 2
+
n
2 y
b2
+
n
2 z
c2
⎟⎞ ⎟⎠
x ≤a
（1）
其中 a 由下式决定： E = V (x) = 1 mω2a2 。 x=a 2
−a 0
ax
1
.
由此得
a = 2E / mω 2 ，
（2）
x = ±a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
∫ ∫ ∫ +a p ⋅ dx = 2
2m(E − 1 mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 +a
∫ V = d 3rψ *Vψ
（势能平均值）
∫ T =
d
3rψ
*
⎜⎜⎝⎛
−
2
2m
∇2
⎟⎟⎠⎞ψ
(动能平均值)
=
−
2
2m
∫
d
3
r
[∇
⋅
(ψ
*∇ψ
)
−
(∇ψ
*
)⋅
(∇ψ
)]
（1） （2）
其中 T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为 0 。因此
2
∫ T =
d 3r∇ψ * ⋅ ∇ψ
2m
2
ω = ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式 ∂ω + ∇ ⋅ s = 0 ∂t
s
=
−
2
2m
⎜⎜⎝⎛
∂ψ * ∂t
∇ψ
+
∂ψ ∂t
∇ψ
*
⎟⎟⎠⎞
（能流密度）
证：（a）粒子的能量平 值为（设ψ 已归一化）
2
∫ E =
ψ
* ⎜⎜⎝⎛ −
2
2m
∇2
+V
⎟⎟⎠⎞ψ
d
3r
=
T
+V
⎛ ⋅⎜
∂ψ
∗
∇ψ
+ ∂ψ
∇ψ
*
⎞ ⎟
−
⎛ ⎜
∂ψ
∗
∇2ψ
+ ∂ψ
∇2ψ
*
⎞⎤ ⎟⎥
+
∂ψ
∗ Vψ
+ψ *V
∂ψ
2m ⎢ ⎜ ∂t
∂t
⎟ ⎜ ∂t
∂t
⎟⎥ ∂t
∂t
⎣⎝
⎠⎝
⎠⎦
=
−∇ ⋅ s
+
∂ψ ∂t
∗
⎛ ⎜ ⎝
−
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
+
∂ψ ∂t
⎛ ⎜
−
⎝
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
*
=
−∇ ⋅ s