抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条
1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。

AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。

证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。

2.证明：|BF|=x^2/(2p)。

3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.
4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。

5.证明：∠A’FB’=90°。

6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，
∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。

7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。

8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分
∠AFK，B’F平分∠XXX。

9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.
10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。

11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。

12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。

1.证明y = 2px的两种方法：
方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。

方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。

2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：
易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。

(y1+y2)/2)，证毕。

3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。

t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：
设切点为Q(x。

y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。

设焦点为F(p/2.0)，则易证Q1Q2过F，且PQ1⊥PQ2，证毕。

4.证明三点A、O、B'共线，B、O、A'共线：
易证kOA = kOB'，同理可证kOB = kOA'，证毕。

5.已知y1y2 = -p^2，x1x2 = 4，求y1+y2和y1-y2的值：
将y1y2 = -p^2带入得到y1+y2 = 0，将x1x2 = 4带入得到y1-y2 = ±2p。

改写后：
1.对于方程y = 2px，有两种证明方法：
方法一：将y = kx^2代入，解得k = 2p，证毕。

方法二：对y = 2px两边求导，得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。

2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：
易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。

(y1+y2)/2)，证毕。

3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。

t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：
设切点为Q(x。

y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。

设焦点为F(p/2.0)，则易证Q1Q2过F，且PQ1⊥PQ2，证毕。

4.证明三点A、O、B'共线，B、O、A'共线：
易证kOA = kOB'，同理可证kOB = kOA'，证毕。

5.已知y1y2 = -p^2，x1x2 = 4，求y1+y2和y1-y2的值：
将y1y2 = -p^2带入得到y1+y2 = 0，将x1x2 = 4带入得到y1-y2 = ±2p。

1.设抛物线的方程为 $y^2=2px$，则直线 $y=2px$ 与
$y=ky$ 相交于两点 $(\frac{2p}{k},\frac{4p^2}{k^2})$ 和$(0,0)$。

联立两点的坐标，消去 $y$，得到 $k^2y^2-2py-
kp^2=0$。

解得 $y_1+y_2=\frac{2p}{k}$，$y_1y_2=-
\frac{p^2}{k^2}$。

代入 $x_1=\frac{2p^2}{y_1}$，
$x_2=\frac{2p^2}{y_2}$，$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-
y_2)^2}$，化简即可得证。

2.画出 $\triangle AOB$ 和 $\triangle OFA$，$\triangle OFB$，可以发现 $\triangle AOB$ 的面积等于 $\triangle
OFA$ 和 $\triangle OFB$ 面积之和。

根据上一题的结论，$AB=2p\sin\alpha$，代入 $\triangle AOB$ 面积公式
$S=\frac{1}{2}AB\cdot 2p\sin\alpha$，化简即可得证。

3.直接代入公式 $\tan\alpha=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ 即可。

4.画出 $\triangle AAA'$ 和 $\triangle BBB'$，可以发现它们相似，且 $AB=4AF\cdot BF$ 等价于 $AA'=4AF$，
$BB'=4BF$。

根据题意，$AA'$ 和 $BB'$ 都是抛物线的切线，因此它们的斜率分别为 $2p$ 和 $-\frac{1}{2p}$。

设 $A$ 的坐标为 $(x_A,y_A)$，则 $AA'$ 的方程为 $y-y_A=2p(x-x_A)$，过点 $B$ 的直线的方程为 $y-y_B=-\frac{1}{2p}(x-x_B)$。

联立两式，解得交点 $M$ 的坐标为
$(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$，即 $M$ 是
$CC'$ 的中点。

1.删除明显有问题的段落。

2.改写每段话：
1）由已知，C为抛物线y=2px上的一点，且CC'是该抛
物线的一条弦，其中C'的横坐标为12.设该弦的两个端点分别
为A(x1.y1)和B(x2.y2)，则根据中点公式可得C的横坐标为12，即M点的横坐标为1，且M为弦AB的中点。

2）当弦AB不过焦点时，设弦AB与x轴交点为D(m。

0)，则以A、B为切点的两条切线交于点P，且P在直线x=-m 上。

证明如下：设弦AB的方程为x=ty+m，则由y=2px可得
P的坐标为(-m。

1/2)，再由AB的斜率为t可得P的纵坐标为
pt+m。

联立两点坐标可得P在直线x=-m上。

3）设点P在抛物线y=2px上的坐标为(x。

y)，则由P到
准线的距离等于P到焦点的距离，即|y-px^2| = px + m。

又因
为P在直线x=-m上，所以可以将y代入x和m的方程中，得
到x=1和y=-2pm。

因此，点M的坐标为(1.-p)且为PC的中点。

4）设点A、B在准线上的射影分别为A1、B1，则PA垂
直平分A1F，PB垂直平分B1F，从而XXX平分∠A1AF，PB
平分∠B1BF。

证明如下：由准线的定义可得，A1、B1的坐标分别为(0.-p)和(0.p)。

设P(x。

y)为抛物线上的一点，则PA1的斜率为y/(x-p)，PA的斜率为y/(2px-x^2)，根据垂直的性质，两者的乘积为-1，即(y/(x-p)) * (y/(2px-x^2)) = -1.化简可得y = -p(x+p)/(x-2p)，代入A1F和B1F的方程中可得PA垂直平分
A1F，PB垂直平分B1F，同理可证PA平分∠A1AF，PB平分∠B1BF。

AP
1
x
2
x
1
2c
代入抛物线方程y=x
2
得到Q的纵坐标为y
Q
x
2
1
x
2
2c
因为P是AB的中点，所以AP=PB，即x 2
x
1
2x
1
代入抛物线方程得到x
1
1
2
x
2
3
2
代入上式得到y
Q
1
4c
即AQ的斜率为0，所以AQ是抛物线的切线。

3）逆命题不成立，因为若AQ是抛物线的切线，则必有
P为AB的中点，但P为AB的中点并不一定能推出AQ是抛
物线的切线。

题目：抛物线的性质及应用
抛物线是一种常见的二次函数图像，具有一些特殊的性质，可以应用于解决一些几何问题。

下面介绍两道应用抛物线的例题。

例1：已知抛物线y=x^2的焦点为F（0，1），直线y=-c
与抛物线相交于点A，过点A作抛物线的切线，交抛物线于
点B，连接FB并延长交抛物线于点C，证明AC=2AB。

解：（1）设点B的坐标为（x1，x1^2），则点A的坐标
为（x1，-c），由焦点的性质得到AF=FB=x1^2+1，设点C的
坐标为（x2，x2^2），则FB与AC的斜率相等，即：
2x1=（x2^2-x1^2）/（x2-x1）
整理得到x1+x2=2x1x2，即x2=(x1+x1^2)/（2x1-1）
将x2代入抛物线方程得到C点的纵坐标为（x1^2+x1）/（2x1-1）
所以AC=[（x1^2+x1）/（2x1-1）-（-c）]/2=[（x1^2+x1）/（2x1-1）+c]/2
由于点B在抛物线上，所以AB=FB-F(A)=x1^2+1+c
所以AC/AB=[（x1^2+x1）/（2x1-1）+c]/[x1^2+1+c]
化简得到AC/AB=2x1/（x1^2+1+c）
由于直线y=-c与抛物线有交点，所以c1，所以AC/AB<2
所以AC=2AB成立。

2）以上证明过程可以借助抛物线的一些性质，如焦点的性质、切线的斜率和方程等等，通过代数运算和化简来得出结论。

该题的难度适中，需要对抛物线的性质有一定的掌握。

例2：抛物线x^2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，且AF=λFB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

1）证明：FM×AB为定值；
2）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求出S的最小值。

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，1）
点A在抛物线上：4y1=x1^2
点B在抛物线上：4y2=x2^2
直线AB经过点F：（y1-1）/（x1-0）=（y2-1）/（x2-0）得到过点A的切线方程：2（y-y1）=x1（x-x1）
过点B的切线方程：2（y-y2）=x2（x-x2）
由（1）（2）（3）得x1x2=-4，y1y2=1.
由（4）、（5）得M坐标为（x1+x2/2，-1）。

所以FM×AB=[（x1+x2)/2）^2+1]×（x1-x2）
/2=(x1^2+x2^2)/4+1/2×(x1x2)/2=(x1^2+x2^2)/4-1
所以FM×AB为定值。

2）AF=λFB，即（0-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1）
所以-x1=λx2，再由x1x2=-4，得λx2^2=4，即x2=2/λ，
x1=-8/λ
由FM×AB为定值可得AB=[（x1^2+x1）/（2x1-1）+c]-
x1^2-1-c=2(x1^2+1+c)
所以S=1/2×AB×FM=1/2×[2(x1^2+1+c)]×[（x1+x2)/2）
^2+1]×（x1-x2）/2=1/2×[2(x1^2+1+c)]×[（x1+x2)/2）^2+1]×
（x1-x2）/2=1/2×[2(x1^2+1+c)]×[（x1+x2)/2）^2+1]×（x1-x2）/2=1/2×[2(x1^2+1+c)]×[（x1+x2)/2）^2+1]×（x1-x2）/2
化简得到S=2/3×λ^3-2/3×λ+8/9
S'=2λ^2-2/3=0，解得λ=1/√3
带入得到Smin=8/3√3
以上解题过程需要用到抛物线的一些性质，如焦点的性质、切线的斜率和方程等等，通过代数运算和化简来得出结论。

该题的难度较大，需要对抛物线的性质有较深入的掌握。

1、已知抛物线C的方程为$x=4y$，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B。

1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：$AF=DF$；
2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交
于点M，求证：$AM\perp BM$，且点M在直线l上．
2、对每个正整数n，$A_n(x_n,y_n)$是抛物线$x=4y$上的点，过焦点F的直线$FA_n$交抛物线于另一点$B_n(s_n,t_n)$。

1）试证：$x_n\cdot s_n=-4$（$n\geq1$）
2）取$x_n=2$，并$C_n$为抛物线上分别以$A_n$与
$B_n$为切点的两条切线的交点，求证：
$FC_1+FC_2+\cdots+FC_n\geq4$。

改写后：
1、已知抛物线 $x=4y$，其焦点为 F，准线为 l，直线 m
与抛物线交于 A、B 两点。

1）过点A 的抛物线切线交y 轴于点D，证明$AF=DF$；
2）若直线 m 经过焦点 F，分别过点 A、B 的两条切线相
交于点 M，证明 $AM\perp BM$，且点 M 在直线 l 上。

2、对于每个正整数 n，设 $A_n(x_n,y_n)$ 为抛物线
$x=4y$ 上的点，过焦点 F 的直线 $FA_n$ 交抛物线于另一点$B_n(s_n,t_n)$。

1）证明 $x_n\cdot s_n=-4$（$n\geq1$）；
2）取 $x_n=2$，并设 $C_n$ 为抛物线上分别以 $A_n$、$B_n$ 为切点的两条切线的交点，证明
$FC_1+FC_2+\cdots+FC_n\geq4$。