二阶滑模

二阶滑模控制（读书笔记）
详细推导
一、改进时间最优二阶滑模控制算法
1、非线性系统
()[100]x Ax B x u Df y x
=++= 0()0()B x b x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦010D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
u 为系统的控制量输入电压，y 为台车输出转角，f 为转向负载和外界扰动之和，()b x 为系统的非线性控制增益。

2、选取滑模切换函数33222111()()()T d d d d s C x x x x c x x c x x =-=-+-+-
采用极点配置或二次型最优法确定矢量C,保证系统进入滑动模态后具有满意的动态特性。

为构造s 的二阶趋近律,令12,y s y s ==，状态方程为122,y s y y s v ====
当满足时间最优的目标时，可导出控制量v
2222112211sgn ,022sgn(),02m m m m m
y y y y a y y a a v y y a y y a ⎧⎛⎫-++≠⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+=⎪⎩ 其轨迹由两段抛物线组成，v 的符号只切换一次，开关线为22102m y y y a +
=，m a 为趋
近滑模的最大加速度。

3、则 s 的一阶导数 ()[()]
()T T d d T T T d
s C x x C Ax B x u Df x C Ax b x u C Df C x =-=++-=++-
其中12(,,1)T C c c =，0()0()B x b x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
s 的二阶导数
12()()[()]()()()()()(,,)()()(,,,)()T T d
T T d
T T T T d
d d s C Ax b x u b x u C x C A Ax B x u Df b x u b x u C x C AAx C AB x u C ADf b x u b x u C x x x f x u b x u x x f u b x u
ψψψ=++-=++++-=++++-==++=+
则控制量 11ˆˆˆˆˆˆ(())[(,,,)](())[(,,,)]d d u b
x s x x f u b x v x x f u ψψ--=-=- 解得0()(0)()t
u t u u d ττ=+⎰其中ˆψ是ψ相对应的标称值 把()u t 代入s 1ˆˆˆ(,,,)()(())[(,,,)]()()ˆˆ(,,,)(,,,)ˆˆ()()(,,,)()d d d d d s x x f u b x b
x v x x f u b x b x x x f u x x f u v b x b x x x f u x v
ψψψψφξ-=+-=-+=∆+
显然，式中(,,,)()d x x f u x φξ∆和是由外干扰和参数摄动引起的，理 想 情 况 下扰 动为零，可验证(,,,)=0d x x f u φ∆并且根据假设可以推出12(,,,)()d x x f u H r x r φξ∆≤≤≤,其中H 为正实数。

4、这样对应的二阶滑模应重新描述为
122====(,,,)+()d s y y s y x x f u x v
φξ⎧⎨∆⎩ 首先分析理想状态下的系统轨迹，假设12(0)(0)0y y >（即(0)(0)0s s >），则12y y 、（s s 、）在v 作用下，从初始点沿第一段抛物线移动，在1y 轴（s 轴）到达极值即抛物线顶点max y ，当1max 0.5y y =时，到达两段抛物线的交点，()v t 发生切换，并沿第二段抛物线（开关线）到达零点。

存在扰动时，切换发生在开关线附近的某一点，可能需要多次切换才能到达零点，扰动较大时甚至会导致系统不稳定。

考虑简化并改进算法，将开关线22
102m y y y a +=换成max 102
y y -=，对控制量()v t 乘以系数α，通过改变α和m a 约束来抑制扰动，改进算法如定理1所述。

5、定理1：改进的时间最优控制律1max 1()sgn[()]2
m v t a y t y α=--
其中11max max 21(0,),[,]21,r w w y y y r α⎧∈∈⎪=⎨⎪⎩
，其他，112max(/,2/())m a H wr H r wr >-
max y 是1y 的极值，初值取1(0)y ，迭代过程中满足2()0y t =（即()0s t =）时，取max 1()y y t =。

当满足1()y t ε<（ε是很小的正数），取()0v t =。

6、求控制量()u t 需要先求()v t ，可以
2222112211sgn ,022sgn(),02m m m m m
y y y y a y y a a v y y a y y a ⎧⎛⎫-++≠⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+=⎪⎩
也可以采用改进的()v t 将()v t 代入u 可求出u （含有v s =待求）
下面求(0)u
10(0)(0)T y s C x ==
取1()()s sng s sng y ζζ==，ζ是很小的正常数。

则1()()[()]
()T T d d T T T d s sng y C x x C Ax B x u Df x C Ax b x u C Df C x ζ==-=++-=++-
110ˆˆ(0)(())[((0))]T T T d
u b x sng y C Ax C Df C x ζ-=--+
二、削抖措施
二阶滑模将不连续控制量经过积分变为连续量,有效地抑制 了高频抖动。

本算法中,抖动的幅度和有关。

1、在下两式1max 1()sgn[()]2
m v t a y t y α=-- 11max max 21(0,),[,]21,r w w y y y r α⎧∈∈⎪=⎨⎪⎩
，其他
中的m a 约束条件112max(/,2/())m a H wr H r wr >-是为了保证系统的鲁棒性,根据扰动的上界选取。

接近滑模面时扰动φ将逐渐减小,因此可考虑用连续变化量替换固定不变的m a 。

2、把(,,,)d x x f u φ∆分解为
12111222(,,,)(,,)()()ˆ(,,)ˆ()()ˆ()ˆ()
d d d x x f u x x f x u
b x x x f b x b x x b x φφφφψψφψψ∆=∆+∆=-=-其中
(,,,)d x x f u φ∆的最大值为H ,重新表示为0()H t H u β=+，其中0H β和分别是1(,,)d x x f φ∆和2()x φ的上界。

m a 以u 为自变量，表示为如下形式0m m a a u λ=+，
其中000111
2max[,]m H H a wr r wr >-，1122max[,]wr r wr ββλ>- 三、基于Lyapunov 函数的二阶滑模控制 1、选取Lyapunov 函数2211(,)22V s s s s s ρρε=
++（注意sgn()s s s =），其中ρ和ε为正常数。

2、Lyapunov 函数的时间为 (,)sgn()
(sgn())V s s ss ss s s s s s s ρρερρε=++=++
为满足稳定性条件，选择sgn())s ks s s ρε=---
则(,)0V s s ≤。

3、按照sgn())s ks s s ρε=---设计趋近律，可使s 和s 在有限时间内趋近于平衡点。

则控制律1ˆˆˆ(())[sgn()(,,,)]d u b
x ks s s x x f u ρεψ-=---- 参考文献
[1] 李运华. 电液伺服系统的二阶滑模控制算法研究.机械工程学报，第41卷第3期。