小学数学六年级(上)第06讲 取整问题(含答案)

第六讲取整问题
第一格：阿呆一手拿着剪刀，一手挠着头看着地上的绳子，心想：“我要把绳子截成一米长的小段，应该怎么截呢？”地上有一根绳子，标明这根绳子长五米．
第二格：阿呆蹲在地上，拿着剪刀的手已经剪在了这根绳子的中点处．
第三格：阿呆疑惑的想：“现在还能截出多少个一米长的小段？”
教学目标
1．了解取整符号的概念和性质；
2．了解带有取整符号类的数列的变化区间；
3．学会求取整数列的值；
4．学会求解关于取整符号的方程；
知识点概述
一．基本概念：表示不大于x的最大整数，通常叫做x的整数部分，
，通常叫做x的小数部分或真分数部分；
如，．
二．基本性质：
1.，，；
2.，(x、y均为整数是等号才成立)．
3.若是整数，则
三．关于取整符号的方程
1.有关x、、的方程，通常都要先把x拆成，然后利用是整数以
及有范围的特点求解．
2.一些复杂的x、、的方程，有时候用换元的方法来化简求值，例如方程：
，因为，然后令，即有（其中），于是方程变为，把y拆开，有
，所以，容易算出此时
，所以．
例1． （1）[]{}()[]{}3.1 2.5 4.750.8+⨯+=_____；（2）
[][]42ππ⨯=______；
「分析」问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉，容易知道[]π的值为3．
练习1、______．
例2． （1）201320112012⨯⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
_______； （2）[]{}3535372378.758.753636⎡⎤⎧
⎫⨯+⨯⨯+⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩
⎭________．
「分析」如何用凑整的方法把这些取整符号中的分数化成带分数．
练习2、（1）[]10 3.6π+=_______；（2）201320112012⨯⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭_______．
例3． 已知[]1x =，[]2y =，[]3z =，求：[]23x y z -+的所有可能值．
「分析」先算出x 、y 、z 的取值范围，然后再根据取值范围的取法确定可能值．
练习3、已知[]1x =，[]2y =，[]3z =，求：[]x y z ++的所有可能值．
例4． 1311321382138321212121⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤++++=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
_______． 「分析」看到这道题，大家会想，要是没有取整符号就好了，剩下的就是一个等差数列，我们可以用配对的想法来求和．而现在取整符号确实存在，有了取整符号之后，各项就不构成等差数列了，那我们要怎么办呢？配对的想法在这里还用得上吗？
练习4、51525951011111111⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤++
++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
的和是________．
例5． 解方程：（1）{}[]234x x x +=；
（2）[]{}201320122011x x -=．
「分析」先把x 拆成，然后利用是整数以及有范围的特点求解．
例6． 解方程： []2130.5x x +=-．
「分析」先把21x +设为y ，采用换元法．
课堂内外
彗星
彗星（Comet），中文俗称“扫把星”，是太阳系中小天体之一类．由冰冻物质和尘埃组成．当它靠近太阳时即为可见．太阳的热使彗星物质蒸发，在冰核周围形成朦胧的彗发和一条稀薄物质流构成的彗尾．由于太阳风的压力，彗尾总是指向背离太阳的方向．彗星是星际间物质，英文是Comet，是由希腊文演变而来的，意思是“尾巴”或“毛发”，也有“长发星”的含义．而中文的“彗”字，则是“扫帚”的意思．在《天文略论》这本书中写道：彗星为怪异之星，有首有尾．
历史上第一个被观测到相继出现的同一天体是哈雷彗星，牛顿的朋友和捐助人哈雷（1656一1742年）在1705年认识到它是周期性的．它的周期是76年．历史记录表明自从公元前240年也可能自公元前466年来，它每次通过太阳时都被观测到了．它最近一次是在1986年通过的．离太阳很远时彗星的亮度很低，而且它的光谱单纯是反射阳光的光谱．当彗星进入离太阳8个天文单位以内时，它的亮度开始迅速增长并且光谱急剧地变化．科学家看到若干属于已知分子的明亮谱线．发生这种变化是因为组成彗星的固体物质（彗核）突然变热到足以蒸发并以叫做彗发的气体云包围彗核．太阳的紫外光引起这种气体发光．彗发的直径通常约为105千米，但彗尾常常很长，达108千米或1天文单位．
科学家估计一般接近太阳距离只有几个天文单位的彗星将在几千年内瓦解．公元1066年，诺曼人入侵英国前夕，正逢哈雷彗星回归．当时，人们怀有复杂的心情，注视着夜空中这颗拖着长尾巴的古怪天体，认为是上帝给予的一种战争警告和预示．后来，诺曼人征服了英国，诺曼统帅的妻子把当时哈雷彗星回归的景象绣在一块挂毯上以示纪念．中国民间把彗星贬称为“扫帚星”、“灾星”．像这种把彗星的出现和人间的战争、饥荒、洪水、瘟疫等灾难联系在一起的事情，在中外历史上有很多．彗星是在扁长轨道(极少数在近圆轨道)上绕太阳运行的一种质量较小的云雾状小天体．
作业
1.计算：（1）；（2）．
2.已知，，，求：
（1）的所有可能值是多少；
（2）的所有可能值是多少？
3.求的运算结果是多少？
4.解方程：
5.解方程：
第六讲 取整问题
例题：
例7． 答案：（1）14.8；（2）72
详解：（1）[]{}()[]{}()3.1 2.5 4.750.830.540.814.8+⨯+=+⨯+=； （2）[][]42126=72ππ⨯=⨯．
例8． 答案：2011；17
42
18
详解：（1）()201212011201320112012201120112011201220122012+⨯⎡⎤⨯⨯+⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）()()353517361236140.7542363618⎡⎤⎧
⎫=+⨯+⨯+⨯+⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩
⎭原式．
例9． 答案：4、5、6、7、8、9
详解：12x ≤<，23y ≤<，34z ≤<，那么，426y ≤<，9312z ≤<，42310x y z <-+<，所以[]23x y z -+的可能值有4、5、6、7、8、9．
例10． 答案：2118
详解：我们先把首末两项配对，得到下面这个算式
131138313113831311383131138352512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫
⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭该算式左侧为整数，因此右侧也得是整数，也就是说131********⎛⨯⨯⎫
⎧⎫⎧⎫+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝
⎭得是整数，
而这部分一定大于0小于2，所以必定是1．由此可得上面这个算式的计算结果必为
52151-=． 同理可得：
132138213213821321382132138252512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫
⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭133138113313811331381133138152512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭
……
1341134313411343134113431341134352512121212121212121⨯⨯⨯⨯⎛⨯⨯⎫
⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=+-+=-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩
⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭由此将算式首末配对，每一对的和都是51，这里面还有一些特殊的情况：
[][]132113631339522121⨯⨯⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；[]1342262621⨯⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦，除上述两组外其余共有40对51，总和为405152262118⨯++=．
例11． 答案：（1）0、1.4、2.8；（2）1
11006
详解：将x 替换为[x ]+｛x ｝，然后先对[x ]进行估算再确定{x }的值．
例12． 答案：
32、76、5
6
详解：设：21y x =+，则12y x -=，原式变形为[]234y y =-，解得y 为4、133、2
23
，
于是x 的值是32、76、5
6
．
练习：
1. 答案：3π－6
简答：[]π3=，{}ππ3=-，讲这两个算式代入计算即可：
[][]{}()102πππ33336ππ-+⨯=+⨯-=-．
2. 答案：35；
2011
2012
简答：略． 3. 答案：6、7、8
简答：略． 4. 答案：20
简答：
51525951011111111515105259555611111111111125520
⨯⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎛⨯⨯⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=-=
作业：
6. 答案：（1）5.8；（2）1
3
简答：略．
7. 答案：（1）2、3或4；（2）0、1、2、3、4
简答：略．
8. 答案：129
简答：略．
9. 答案：11.5
简答：[]{}{}44643x x x +-=，则有[]{}4432x x =+，得[]11x =，{}1
2
x =，答案是11.5．
10. 答案：3.5或3.25
简答：原式可化为[]247x x =-，令2x y =有[]27y y =-，将[]{}y y y =+代入有
[]{}27y y +=，再解方程可得7y =或 6.5y =，所以 3.5x =或 3.25x =．。