第1讲有理数的意义

第一讲 有理数的意义

一、 情境引入：

有理数最初叫数，古希腊毕达哥拉斯学派主张万物皆数的理论，却也知道勾股定理（直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性）。可是有人发现当三角形两条直角边都是1时候，斜边不能表示，结果引发了一次恐慌。学派为了消除恐慌，把发现这个秘密的人投海喂鱼。可是纸包不住火，无理数最终仍是不可抗拒地随着数学的进步应运而生了。为了和无理数区别，所以把整数和分数（这里的分数包括小数）统称为有理数，而无穷不循

二、课程标准

一、借助生活中的实例理解负数，有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数的普遍性；

二、会判断一个数是正数仍是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学知识与现实世界的联系；

3、在负数概念的形成进程中，养成观察，归纳与归纳的能力。

三、知识精讲

知识点1：数的形成进程

（1）由记数，排序，产生数

（2）由表示“没有”、“空位”产生数；

（3）由分派，测量产生数

（4）问题：生活中如何表示两个具有相反意义的量呢？

知识点2：具有相反意义的量（重点）

12 3......，，011

23，

观察下面给出的每一对数量，指出各对数量有什么一路特点？

（1）零上和零下 （2）收入元和支出元

（3）增加和减少 （4）水位上升和降低

归纳总结：像这样别离由具有相反意义的词表示的两个数量，就是具有相反意义的量。

【例1】将下列具有相反意义的量有线连接起来

向南走米 失球个

进球个 亏损元

高于海平面 运出吨粮食

盈利元 向北走

运进吨粮食 低于海平面

方式点拨：先找出叙述的是不是是同一事物，再看其是不是具有相反意义

知识点3：正数、、负数的意义（难点）

归纳总结：

对“”的理解：零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界数，但它是整数；零的意义不仅是表示“没有”，而且表示一个肯定的量，例如不是没有温度，而是表示在标准大气压下纯水结成冰的一个肯定的温度。

【例2】填空

（1）若是收入元记作元，那么支出元记作 ，元表示 ；

（2）腕表的指针顺时针旋转记作，那么逆时针旋转记作 ， 表示 ；

3C ︒3C ︒8005005kg 2kg 0.5m 1.3m 625500960m 200100030m 500300m 000C ︒5050+5080-90︒90-︒60︒0︒

（3）海边的一段堤岸高出海平面，周围的一建筑物高出海平面，海里一潜艇在海平下，现以海边堤岸高度为标准，将其记为，那么周围建筑物的高度应表示为 ，潜艇的高度应表示为 。

问题：海边堤岸高度记作，是表示海边堤岸没有高度吗？

【例3】（1）某产生产的零件质量有，字样，你能说出它的意义吗？

（2）现有5个零件，质量别离为

，用正数别离标出这些零件的质

量。

（3）这5个零件中有 个正品，生产最合格的产品是 个？

知识点4： 正数、负数的概念（重点）

归纳总结：（1）比0大的数叫正数（正号一般省略）

（2）比0小的数叫负数（正数前面加“”的数）

（3）0既不是正数也不是负数（0是正数和负数的分界）

（4）非负数（正数或0）

（5）非正数（负数或0）

【例4】把下列各数填在相应的集合内

正数集合：{ }；

负数集合：{ }；

非负数集合：{ }；

非正数集合：{ }；

知识点5：有理数的有关概念（重点）

（1）按符号分类：

10m 40m 30m 0m 0m (400.02)g ±39.9840.0139.9540.0340.02g g g g g 、、、、0a >-0a <0a =0a ≥0a ≤

（2）按概念分类：

【例5】把下列各数别离填在相应的集合内

正 数：{ }；负 数：{ }

正整数：{ }；正分数：{ }；

正分数：{ }；负分数：{ }

负有理数：{ }； 有理数：{ }。

方式点拨：从两个方面看，一是判断正负情况，二是判断整数仍是分数，有限小数和无穷循小数都属于分数。

四、典型例题全解

题型一、用正数，负数表示具有相反意义的量

【例1】：（1）、若是向东走记作，那么向西走记作

表示 ，表示 。

（2）、若将高为，设为标准，高记作，那么所表示的实际高度是 。

技能：正数与负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，

则负数表示具有相反意义的量。

题型二、有理数的概念

【例2】判断题

60m 60m +25m 100m -0m 1m 0 1.20m 0.20m +0.05m -

（1）零是正数；（ ） （2）零是整数；（ ）

（3）不是正数的数必然是负数；（ ） （4）零是非负数；（ ）

（5）零是偶数；（ ） （6）是最大的负整数；

（ ）

（7）没有最大的负有理数，也没有最小的负有理数；（ ） （8）是

负分数（ ）

规律：（1）“”不完全表示没有，如表示特定的温度；（2）不是

有理数

题型三、用正数和负数比较高度

【例3】地图上死海湖标有，吐鲁番标有，哪个海拔高？

高多少？

方式点拨：抓住基准是什么？

五、分层训练

A （基础训练）

一、若是表示下降，那么表示 ；若是盈利元记作元，那么亏损元记作 。

二、某班的数学成绩以分为标准，超过的记为正，不足的记为负，老师

将某一小组的

名同窗成绩记为，则这名同窗的实际成绩别离是

平均成绩是 。

3、下列说法正确的是（ ）

A.正整数和负整数统称为整数；

B.正有理数和负有理数统称为有理数

1-π-00C ︒π392m -155m -2m -2m 5m +100100+50805155702+-+-，，，，5