乘法公式的几何应用1

乘法公式的几何应用1

1.把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

2.把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值

3.如图，把一个边长为a的大正方形，剪去一个边长为b的小正方形，即图①称之为“前世”，然后再剪拼成一个新长方形如图②称之为“今生”，请你解答下面的问题：（1）“前世”图①的面积与“今生”图②新长方形的面积；（2）根据图形面积的和差关系直接写出“前世”图①的面积为：，标明“今生”图②新长方形的长为、宽为，面积为：（3）“形缺数时少直观，数缺形式少形象”它体现了数学的数形结合思想，由（1）和（2）图形面积的计算，形象的验证了代数中的一个乘法公式为：

4.我们用硬纸板拼图，不仅可以探索整式乘法与因式分解之间的内在联系，还可以利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论．（1）观察下面图①的硬纸板拼图，写出一个表示相等关系的式子：．（2）用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式为：

5.学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．

（1）如图1，是由边长为a，b的正方形和长为a，宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）= a2+3ab+2b2；

（2）请从下列的A，B两题中任选一题作答，我选择 A 题．

A：①如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）2=a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）；

②已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，利用①中所得到的等式，求代数式a2+b2+c2的值．

B：①如图3，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，类比（1）题，用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的等式为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

②已知a+b=5，ab=6，利用①中所得的等式，求代数式a3+b3的值．

6.数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．

（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式．（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式：．

（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2=a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据

7.阅读下列材料并解答问题：数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．例如，图1中阴影部分的面积可表示为a2﹣b2；若将阴影部分剪下来，重新拼成一个矩形（如图2），它的长，宽分别是a+b，a﹣b，由图1，图2中阴影部分的面积相等，可得恒等式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．

（1）观察图3，根据图形，写出一个代数恒等式：；

（2）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图4所示．请你仿照图3，用拼图的方法推出恒等式（a+b）2=a2+2ab+b2，画出你的拼图并标出相关数据；

（3）利用推出的式子（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，（a+b）2=a2+2ab+b2计算：①（）（）；②（x+2）2

乘法公式的几何应用1答案

1.分析（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（2）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．

解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，∴S阴影=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．

本题考查完全平方公式的几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积

2.分析（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求

得答案即可；（3）利用S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECGF﹣S△BGF﹣S△ABD求解．

解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；

本题也考查完全平方公式的几何意义，解题的关键也是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积

3.分析：（1）根据图形的变化规律即可解决问题；（2）观察图形即可解决问题；（3）由（1）（2）可得结论；（4）利用公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）即可解决问题；

解：（1）由题意可知：前世”图①的面积与“今生”图②新长方形的面积相等，故答案为相等．（2）根据图形面积的和差关系直接写出“前世”图①的面积为：a2﹣b2，标明“今生”图②新长方形的长为a+b、宽为a﹣b，面积为：（a+b）（a﹣b）．故答案为a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）“形缺数时少直观，数缺形式少形象”它体现了数学的数形结合思想，由（1）和（2）图形面积的计算，形象的验证了代数中的一个乘法公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案为a2﹣b2=（a+b）（a﹣b（4）2.001×1.999=（2+0.001）（2﹣0.001）=22﹣（0.001）2=4﹣0.000001=3.999999．

本题考查因式分解法、平方差公式的几何背景等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

4.分析：（1）利用长方形的面积计算得出答案即可；（2）阴影部分拼接得到长为a+b，宽为a﹣b的长方形，面积就是两个正方形的面积差；（3）用梯形面积公式求出梯形面积；由三个三角形面积之和求出梯形面积；根据两种求法得出的面积相等列出关系式，化简即可得到结果．

解：（1）（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．（2）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．

此题考查因式分解的实际运用，利用面积的和与差验证和解决问题．

5.分析:（1）如图1，由图形面积的两种不同表示方法可得等式；（2）A：①如图2，由图形面积的两种不同表示方法可得等式；②由等式利用代入法即可求解；B：①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式；②由等式利用代入法即可求解．

解：（1）如图1，是由边长为a，b的正方形和长为a，宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2；

（2）选择A题．A：①如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）2=a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）；

②∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=121﹣76=45．选择B题．

B：①如图3，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，类比（1）题，用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的等式为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

②∵a+b=5，ab=6，∴a3+b3=（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2=（a+b）3﹣3ab（a+b）=125﹣3×6×5=125﹣90

=35．故答案为：a2+3ab+2b2；A，（a+b+c）2=a2+c2+b2+2（ab+bc+ac）；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．该题目考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析．