比较几种判定正项级数收敛性的方法

比较几种判定正项级数收敛性的方法

【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析，

找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径.

【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题

一：比较判别法. 1:定义

若从某一项起11n n n n

n n

a b a kb a b ++≤≤（或者）

（k >0）,则由1

n n b ∞

=∑的收敛性可推出1

n n a ∞

=∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n

a b a b ++≥

或者

（k >0）,则由1

n n b ∞

=∑发散可推出1

n n a ∞

=∑发散.

2：比较判别法的极限形势 设lim

n n n

a b →∞

=λ（+λ∞为有限数或）则：

（i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同.

（ii ）：1

1

=0b n n n n a λ∞

∞

==∑∑时，由收敛可推出收敛.

（iii ）：1

1

b n n n n a λ∞

∞

===+∞∑∑时,由发散课推出发散.

3:例题

(1):证明：若级数1

n n a ∞

=∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级

数1

n n A ∞

=∑其中

1

1

n n

p

n i i p A a -+==∑

（11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举

出例子.

证 设级数1

n n A ∞

=∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则

1

1

1

1

n p n n

i i i l A

a -+∞===

=

∑∑

级数由于1

n n a ∞

=∑收敛，故其余部分和序列{}n S 趋于定值S ，因此，

11

lim lim n n p

n n l S S -+→∞

→∞

==

即级数1

n n A ∞

=∑是收敛的，且与级数n n

a ∞

∑有相同的和.反之不真。例如，级数

1111-+-+…1(1)n -+-+… 是发散的，但是按下述方法组成的级数

(11)(11)-+-+…(11)+-+… 却是收敛的. (2):判断级数：2

2

1113

5

+

+

+…

2

1(21)

n -….

解 由于2

2

110(21)

n n

<

≤

-，且级数2

1

1n n

∞

=∑

收敛，故级数2

1

1(21)

n n ∞

=-∑

也收敛.

4：小结

由上可知，比较判别法一般是由通过一个级数作为标杆，根据这个级数的收敛或者发散，判断两一个级数的敛散性，一般这种方法通过极限形势更容易判断，而且这两个级数一般都可以进行相互联系性的化简，要特别注意的是被判断级数放在分子的位置，标杆级数放在分母的位置.

二：根植判别法 1：定义

1

1

1,n n n n q a a ∞

∞

==≤<∑∑则收敛；若从某一项起1

1n n a ∞

=≥∑，则发散.

2：根植判别法极限形势

设n lim

(+)q q →∞

=∞为有限或者：

（i ）则11n n q a ∞

=<∑时，收敛.

（ii ）11.n n q a ∞

=>∑时，发散

（iii ）1

1n n q a ∞

==∑时，的收敛性不定.

3：例题

（1）研究下列级数的收敛性：

1

n ∞

=-

∑

…2

解 由于

21lim

lim 1n n n n n

a a +→∞

→∞

==1<

故级数1n ∞

=∑

…2收敛.

（2）2

2

1

1(2)

n n n

∞

=+

∑

解 由于

lim

lim

n n →∞

→∞=

1lim

12

2+

n n

→∞

==

<

故级数2

2

1

1(2)

n n n

∞

=+

∑

收敛

（3）判断1

1

1()

n n

n n

n n

+∞

=+

∑

的敛散性

解 由于

1

1

1

1(1)0,1(1)

()

n n

n n

n

n

n n n n

n n

+-⋅≥=+

>

++

对于级数

1

1+

n

n

n n n

-∞

=⋅∑（1）其通项趋于

10e

≠，故它是发散的.因此，原级数也是发散的.

（3）1

1

1

3(1)

2

n n n +∞

+=+-∑

解

由于1lim

lim

2

n n →∞

→∞

==

. 但是