《液阻悬置》第3章汽车橡胶减振元件弹性特性的有限元分析

第三章汽车橡胶减振元件弹性特性的有限元分析
3.1前言
作为一种工程材料，橡胶具有良好的弹性，在负载结构支承、弹簧、密封件、减振衬套、法兰接头及轮胎等领域得到广泛应用。

现代汽车上应用的橡胶元件达600种之多，它们起着各种不同的作用，对其性能的要求也不相同。

对于起减振作用的橡胶元件，主要对其静、动刚度有一定的要求，以保证其承载和减振性能。

汽车上广泛使用的橡胶减振部件有轮胎、发动机支承、车身支承、悬架的橡胶衬套、传动轴支承以及排气管支承等，它们的静、动态力学特性对汽车的操纵稳定性、平顺性和耐久性具有十分重要的影响。

对这些具有高性能和高可靠性要求的橡胶部件，在设计开发阶段应对其进行详细的力学分析。

对于橡胶隔振器，当其为规则的形状时，可利用有关公式［38,39］计算其静刚度。

橡胶的性能非常复杂，不能像金属那样用相当少的几个参数（如弹性模量和泊松比）就可以描述。

就材料特性和几何特性来说，橡胶是非线性的。

橡胶的力学性能对温度、环境、应变历史、加载速率和应变率的影响较敏感，生产工艺和添加剂（如添加炭黑的多少和种类）对橡胶的力学性能也有重要影响［40］。

为描述橡胶的力学性能（特别是弹性性能）,曾经提出过许多理论模型，但是除几种几何形状和最简单承载的情况外，现有模型的解析解也十分复杂。

因此，在早期的橡胶产品的开发中，大多采用反复试验修正的方法。

自70年代中后期以来，由于计算机的飞速发展和普及，以及橡胶本构关系研究的进展，特别是有处理超弹性体材料能力的有限元分析程序（如ABAQUS ［41］、
MARK ［42］、ADINA ［43］等）的出现，为工程应用中进一步研究、认识、理解和优选橡胶类材料提供了有效的方法。

目前对橡胶元件的有限元分析，主要在其静力学特性的分析和优化上［44-49］O
本章论述了建立橡胶超弹性特性本构关系时实验数据的获取方法，并对利用不同橡胶本构模型时拟合得到的实验数据进行了分析。

讨论了在进行橡胶有限元分析时单元的
1
选取原则。

利用ADINA软件对Buick轿车动力总成用液阻悬置橡胶主簧元件的三向静刚度进行了的分析，并将计算结果与实验测试值进行了对比；计算了该橡胶主簧的静、动态应力，结果可用于其强度的分析。

分析了不同结构方案橡胶主簧的垂直刚度和应力分布，结果可用于多结构方案的分析。

以汽车上广泛使用的悬架衬套为第二个研究对象，对其轴向和径向静刚度进行了分析，并与实验结果和由近似解析解计算的结果进行了对比分析。

结果表明，利用有限元方法计算确定橡胶衬套的轴向静刚度与径向静刚度与实验值接近，仅有一个径向刚度解析解公式的计算值与实测值比较接近，而由其它解析解公式计算得到的刚度值与实测值相比则有较大的误差。

本章的研究方法也适用于其它橡胶产品的性能分析。

由于橡胶隔振器的动刚度一般为其静刚度的1.2〜1.6倍［48］，所以本文关于汽车橡胶隔振器静力学特性的有限元分析方法和结果也有助于对其动态特性的预测。

3.2橡胶元件弹性特性的有限元分析中的若干问题
描述橡胶材料力学性能的基本方法是通过实验确定某一简单变形模式的应力一应变属性，然后通过回归分析，以一个适当的应变能函数对实验得到的应力-应变数据拟合，并将拟合得到的有关参数作为有限元分析的输入，进而预测
要设计橡胶部件的载荷-变形性能。

这个过程是由简单变形模式的曲线拟合过程，并被推广到更复杂的变形模式。

从实验的角度讲，最简单的变形模式是单轴拉伸和压缩，其次还有等双轴向拉伸和平面剪切。

理论上，应变能函数可以是许多可能的力学函数中的任何一个，因此在橡胶有限元分析中可供选择的应变能函数不止一种。

下面首先介绍这些应变能函数的若干形式，然后讨论实验方法和对由不同的应变能函数拟合得到的应力一应变曲线进行讨论分析。

3.2.1橡胶材料超弹性特性基本理论引述
研究橡胶的力学性能主要有两类方法［40］: 一类方法是用统计方法或分子动力学的
2
观点导出硫化橡胶结构的一些理想模型，这是我们理解橡胶高分子性能的基础;另一类方法是以连续介质力学为基础，用唯象学理论处理问题。

相比较,前一类
3
4
第三章 汽车橡胶减振兀件弹性特性的有限兀分析
方法假定橡胶分子链的长度、排列、结构是统计分布的
，似乎不适用于大应 变,Shaw 和You ng 曾经指出［49］统计理论只适用于应变小于 50%的情况;后一类方 法构造了描述橡胶性能的力学框架，可以不考虑橡胶微观结构或分子概念而解决 应力分析和应变分析问题［49］。

假定在零应变状态下橡胶聚合物的长链分子随机 分布,橡胶是各向同
性的，这样硫化橡胶的力学性能可以采用应变能函数
U （单位 体积内储存的应变能）描述，其工程应力一应变本构关系由应变能函数对应变不 变量的导数来表达。

应变能势函数U 的一般形式为
U = U (I l , I 2 , I 3 ,C I ,C 2 , C m, d i , d 2 ,................... d n ) 其中，h 、I 2、I 3分别为一阶、二阶、三级应变不变量，它们为三个主拉伸比 的函数；C i 、C 2、……、C m 为m 个表示超弹性材料剪切特性的常数， d i 、 d 2……..d n 为n 个表示超弹性材料压缩特性的常数。

I i 、I 2、I 3与超弹性材料 的三个主拉伸比\、■ 2、■ 3
的关系为
描述橡胶类材料力学性能的应变能函数形式有许多种［4950］，如
Mooney-Rivlin 、Ogden 、Neo — Hookean 、Yeoh 、Arruda — Boyce 等，本章只介绍 广泛应用的多项式（广义 Mooney-Rivlin ）函数及Ogden 函数。

多项式应变能函 数的表达式为
N N I
U 八 C j (l i -3)'(12 -3)」
C 13 -1) i g i =1
D i
Ogden 应变能函数的表达式为
N 1 _ 21 T -3)、占(」-if im D i (3-1)
(3-2)
(3-3) (3-4)
+ 2 2 2
2 2 '2 '"
3 N
U 八
i W
(■?
（3-3）、（3-4）二式中的C j、」i、为由实验数据决定的材料常数，D i表征材
5
6 料的可压缩性。

幕指数:i 是能拟合完全非线性实验数据的任意实数， 这是Ogden 形式的最大优点。

对于不可压缩橡胶材料，与应变能函数对应的工程应力计算式为
[50] 其中’U 、’B 和’P 分别为测量的单轴向拉伸、等双轴向拉伸和平面剪切的拉伸比 它们与应变不变量丨1、I 2、丨3的关系为
l 1「U -2'U 1
I^ 'U 2 ■ 2'U 对单轴向拉伸 l^ 'P " ■■■■■p 1 I 2 = h
对平面剪切 由公式（3-5）（3-6）可以得到在单轴向拉伸、等双轴向拉伸和平面剪切时, 计算得到的工程应力 吆与拉伸比-的关系。

由实验得到的工程应力与拉伸比记 为（G ,、）,工程应力的实验值与计算值的误差为:
3 N j
s(G j -；?i j c k ))2)
j A k £ 上式中，j 为实验的类型：单轴向拉伸，j = 1;平面剪切，j = 2;等双轴向拉 伸，j = 3。

N j 为实验点的个数，爸为材料常数G （ C j 或,〉i ）的函数。

利 用最小二乘法，可以找到一组材料参数 G,使的误差和S 最小，即：
:S
-C i
将（3-7）式带入（3-8），得到
3 N j . • • a?k •
ZZ Qk —畝（扎k ））（卡（口）） = o
（3-9） j 4 k : C i
在ADINA 软件中［43］,提供了高斯消去法和矩阵奇异值分解
（SVD ）两种方
cU
C^U
cU 2 筑B cU C^P ；:U ;11 = ------- +
“1 ：打2「U 1 ；:U 1 : U ;:12 =—( ' ) 2 1 「丨1 i.r.B I
. B .：U ；I ；：U ；：I .：U 仏 对单轴向拉伸 对等双轴向拉伸 对平面剪切 (3-5) 对等双轴向拉伸
(3-6) (3-7)
(3-8) 氓=
I^2-B ■ 'B 4
法来求解方程（3-9），从而得到材料常数C i o
前面给出了橡胶应变能函数的两类形式，它们分别属于类似方程（3-3）的多项式函数和类似方程（3-4）的Ogden函数。

Treloar140］认为,选择哪类形式，简单地讲，仅是个便于应用的问题。

从有限元分析的角度讲，根据实际问题的需要，只要提供合理数量的拟合系数，能充分描述材料性能，选择哪类应变能函数都可行。

至于选择哪一具体形式的应变能函数，由研究者视具体问题分析比较确定,如Mooney-Rivlin、Ogden和Yeho等模型都曾经被用在轮胎的有限元分析中［49,51-53］。

3.2.2橡胶材料超弹性本构关系的确定与分析
（c）等双轴向拉伸
图3-1确定橡胶本构关系常数时的实验类型
7
8
如上所述，在确疋橡胶材料的本构关系时，其材料常数 C ij 、叫＞ :-i 等是由
实验数据和理论分析公式进行最小二乘拟合得到的。

通常进行的橡胶材料实验 有三种类型：单轴向拉伸、等双轴向拉伸和平面剪切，如图 3-1所示。

在实际实 验时，由实验条件，可以做其中的一种、两种或者三种，其应变的类型和范围 应尽可能反映出橡胶产品在实际使用时的应变情况；在进行曲线拟合时，要检 查拟合的应力一应变曲线与实验测试的应力一应变曲线是否一致，当不一致时， 通常采用的策略有：选用不同的橡胶材料本构模型；利用低阶的函数；选用不
同的求解方法求解方程(3-9)等等。

由于实验条件所限，本文只做了哑呤形试片 的单向拉伸实验和圆柱形试块的单向压缩实验。

实验用于拉伸的哑铃形试片的尺寸为： 标矩长25.4 一 0.5mm ，宽6o'°'4mm,厚 2二
0.4mm ；用于压缩的圆柱形试块的尺寸为：直径 29mm ，高12.5mm 。

哑铃形 试片的拉伸应力一应变的测试是在德国 ZWICK 的电子拉力实验机上进行的，圆 柱形试块的压缩应变-应力的测试是在
SCHENCK 电液激振实验台上进行的， 拉伸与压缩的实验装置如图3-2所示。

实验测试了不同的加载速率对哑呤形试片拉伸应力一应变关系的影响，实 验结果如图3-3所示。

由图可见，在200%的应变范围内，加载速率对其应力一 应变关系的影响可以忽略不计。

实验结果表明，加载速率对圆柱形试块的压缩 应力-应变的影响也可以忽略不计。

因此，在进行橡胶试件的拉伸与压缩实验
时，其加载速率可在10mm/min 〜120mm/min 之间任选。

实验时要注意保证哑铃 形和圆柱形实验件材料的特性与橡胶产品材料的特性是一致的。

啞
铃形
试
片
(a)拉伸实验装置
(b)压缩实验装置 图3-2橡胶材料的应力—应变测试
9
由于橡胶的力学性能含有弹性效应和滞后（不可恢复）效应，而应变能函数只 与当前的应变状态有关，并不依赖应变发生的过程，因此应变能函数只限于弹性 （完全可恢复）效应。

天然橡胶加载和卸载的应力-应变曲线近乎一致，几乎没有能 量损失或生热，建立应变能函数用于天然橡胶是最简便和准确的，在工程中应 用的橡胶制品一般都含有炭黑、硫黄等添加剂
，有明显的滞后效应，因此在应用 应变能函数时，需认真地处理实验数据。

图3-4为运用多项式模型（广义Mooney — Rivlin 模型）和Ogden 模型拟合得 到的橡胶材料的本构关系。

由图 3-4 （a ）可见，当选用不同阶数的多项式模型时， 拟合的应变一应力曲线与实测值的误差是不一样的。

当取
2阶多项式模型，并 采用高斯（Guass 消去法求解（3-9）时，拟合的应变—应力曲线与实验值重合， 并且在实验应变范围以外应变一应力曲线的变化趋势与实际值相符合。

用
3阶 多项式模型并采用Gauss 方法求解方程（3-9）时，在实验的应变范围内，拟合 的应变一应力曲线与实测值重合，但在实验应变范围外，当拉伸应变增大时， 应力值反而减小，应变-应力的变化趋势与实际不相符合。

而采用其它阶数的 多项式模型时，在实验的应变范围内，拟合的应变一应力曲线与实测值都不重 合，因此利用这些模型时，不能反映材料的特性。

由图
3-4 （b ）可见，当选用不 同的阶数的Ogden 模型时，在实验的应变范围内，拟合的应变一应力曲线均与实 测值重合；在实验的应变范围外，但拉伸应变增加时，利用
5阶和7阶Ogden
模型时，应力增大的幅度不符合实际情况，因此，在超过实验的大应变范围外，
图3-3加载速率对哑呤形试片拉伸应力一应变的影响
,)p^力
应
10 这两种模型不能反映材料的特性。

但总的说来，利用 Ogden 模型来拟合该材料
的应变-应力时，在实验数据范围内，Ogden 模型拟合的效果要比多项式模型好， 并且求解方程(3-9)的方法对拟合效果的影响不大。

因此，在本文的模拟计算中， 橡胶材料的超弹性本构关系模型采用了三阶 Ogden 模型。

(a) Mooney-Rivlion 模型
(b) Ogden 模型 图3-4应力一应变的实验曲线与利用不同的本构关系拟合得到的曲线
3.2.3单元的选取
有限元分析中应力与应变的一般关系式为
可=K %® +2G ®j (3-10)
上式中，K 为体积模量，耳为体积应变，引为偏应变张量，6为Kronecker 符 号，G 为剪切弹性模量。

对于橡胶类的不可压缩材料，其泊松比比接近与
0.5, 因此，体积模量K —• -，，:V _• 0。

但是物体所受的压力
P = -K ；V (3-11)
是有限的，因此对于不可压缩材料，其应力与应变的关系写成
7 二一 PM - 2G ；ij 这样在不可压缩材料的本构方程中，同时具有位移和压力变量。

故在对橡 胶等不可压缩材料进行有限元分析时，应采用具有位移
/压力（u/p ）插值公式的
(3-12)
单元
3.3建模与网格划分的一般原则
ADINA软件提供了两种建模方法，即基于Native-AUI线框模型的建模方法和基于B-rep实体模型的建模方法（ADINA-M模块）。

利用AUI建模时，基本的几何体素为点、线和面，对线和面进行旋转、拉伸、平移等运算，可以得到规则形状的三维模型，利用该方法建立的模型不能进行布尔运算。

在ADINA-M模块中，定义了一些基本的体素，如长方形、圆柱（锥）形、球体等，对这些基本的体素可以进行到角、圆弧过渡和布尔运算等，从而形成复杂的三维实体。

另外，ADINA软件和其它CAD软件（如Pro/E, UG，Auto-CAD等）之间的数据传递是通过ADINA-M实现的。

在对由AUI建立的模型进行网格划分时，网格在各个方向的尺寸完全是由用户指定的，而对由ADINA-M建立的模型进行网格划分时，只需指定模型中最大网格的尺寸，网格划分采用ADINA软件中的自
动网格划分器。

在建模时，根据所要分析对象几何形状的复杂程度，可以选用AUI或者ADINA-M来建模，或者将两种方法结合起来建模。

在本文中，除 3.5
节中橡胶衬套是利用AUI建模外，其它模型都是用ADINA-M来建立的，因为这些模型都较为复杂，单用AUI建模方法难以完成。

ADINA软件自动网格划分器中，提供了两种网格划分方法：高级波前法和Delaunay 方法。

波前网格划分法的速度相对的较慢，对于复杂的几何体，健壮性和稳定性稍差，但是收敛不成问题。

Delaunay网格划分法的健壮性很好，速
度相对较快，并且支持各向异性网格生成和网格自适应，它是ADINA默认的网
格剖分器。

在进行橡胶元件的有限元分析时，网格尺寸的大小与单元特性和网格划分方法等有关。

由于橡胶元件的变形较大，当单元的结点数较多时，网格的尺寸不能太小，否则，当橡胶元件处于大变形状态时，部分单元的结点可能重叠
（overlap）,而导致刚度矩阵不正定；对于某一单元，当给定的网格尺寸不合适时，采用Delaunay网格划分方法划分出的部分单元会产生畸变（too distorted），在这两种情况下，所建立的有限元模型均无法计算。

对于第二种情况，可以选择高
11
级波前网格划分方法来解决。

在本文的计算中，网格的最大尺寸在4〜8mm之
间，具体的取值取决于单元的结点数、网格划分方法和物体的几何形状等。

当单元的结点数较少时，尺寸可以稍大一些。

3.4液阻悬置橡胶主簧弹性特性的有限元分析
3.4.1有限元分析的模型
图3-5为Buick轿车动力总成液阻悬置橡胶主簧结构的剖面图，在橡胶主簧
中有金属插入件，起承载和传递力的作用。

与橡胶的变形相比，金属的变形可以忽略不计，因此，在进行橡胶隔振器的有限元分析时，一般不考虑金属插入件，而只需施加相应的约束方程[45][55]。

例如，在进行垂直方向（Z方向）的力一变形分析时，应令与金属件硫化在一起的平面（A、B、C和D平面）上所有的结点在Z方向上位移相等，同时令这几个平面上的结点在XY方向上的位移为零。

由于橡胶主簧的外表面（E面）与金属硫化在一起，并且该金属件固定安装在车身上，因此，在进行边界条件定义时，令该面上所有结点的位移为零。

图3-5橡胶主簧的剖面图
图3-6为橡胶主簧的有限元模型，其几何建模是利用ADINA-M模块的功能完成的，网格剖分采用Delau nay法。

12
13
图3-6橡胶主簧的有限元模型
⑴
342橡胶主簧三向静刚度的计算结果
图3-7为橡胶主簧在三个垂直方向力一位移曲线的计算结果与实验结果的 对比，三个方向静刚度的计算值与实验值的相对误差均小于
15%。

计算时，所
选用的单元为8/1单元（八结点六面体单元，其中具有一个压力变量），单元的 最大尺寸为
4mm 。

当垂直方向（Z 方向）的载荷为3000N , X 方向的载荷为2000N 时，橡胶 主簧的原始网格与变形后的网格见图 3-8,此时，Z 方向和X 方向的位移在10mm 左右。

位移
（mm ） 图3-7橡胶主簧三向力一位移特性曲线
14
3.4.3橡胶主簧静态应力的分析
图3-9、10为利用8/1单元计算得到的橡胶主簧在工作载荷（2000N ）时，其 宽度方向（Y 方向）对称面上Von Mises 等效应力、最大剪应力分布图。

在橡胶主 簧最薄弱的区域（图3-5中的两个椭圆所示），其Von Mises 等效应力和最大剪 应力最大。

橡胶元件压缩许用应力为 3〜5Mpa ，剪切许用应力为1〜2Mpa 阿，由 图3-9、10可见，该橡胶主簧在工作载荷时，其最大应力均在许可的范围内。

i I ■敦 nlhdijM
M 事HOE 嗔
344橡胶
主簧
的动
态应力分析
在进行橡胶隔振器疲劳实验时，对其施加的位移激励为：
x （t ）二 x 0 Asin （2二ft ）
（3-13）
上式中，X 。

为隔振器在静态工作载荷时的变形量，
A 、f 为动态位移激振振幅
（a ） Z 向 （b ）X
向
图 3-9 Von Mises 等效应力(Mpa)
門A K ］卜lul 叫
il £申1
rflwrVM SMOdTHE t
NAK
乂“
-三：.■ J ： TIK I'XOO
卜2财 匚际［(I
-aw |-O-li-LC
图3-10最大剪应力（Mpa ）
禎陸务
PSI CALC 1INL U-ljO
15
和频率。

在实验时通常取 A =1.0mm 、f =10Hz 或者A =0.5mm 、f =20Hz [
图3-111动态应力
图3-11为橡胶主簧在A =1.0mm 、f =10Hz 和f =50Hz 动态正弦位移激励时， 橡胶主簧最薄弱区域上一点的动态 Von Mises 等效应力一时间曲线。

橡胶元件的 压缩循环许用应力为1.0〜1.5Mpa [54]，由图可见，该橡胶主簧的循环许用应力在 许可的范围内。

3.4.5橡胶主簧不同结构方案的分析
（a ） 方案II
（b ）方案III
图3-12橡胶主簧的结构方案II 和III 的有限元模型
橡胶主簧结构方案（II ）和（山）的有限元模型分别见图3- 12（a ）、（b ）,与图3-6的 结构方案I 相比较，方案（II ）未考虑外围的金属件向橡胶主簧内凸出部分，方
时间(50Hz)
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
时间(10Hz)
力应
16
案(III )将橡胶主簧的上端视为对称结构。

1.垂直刚度的对比分析
利用8/1六面体单元，并令单元的最大尺寸为3mm ,结构方案(I)、(II) > (III) 的单元数、结点数和垂直刚度的计算值见表
3-1。

表3-1模型 结点数 单元数 垂直刚度(N/mm)
I 21172 33935 284 II
20608 30268 275 III
21306
34299
291
由上表可见，米用方案(II)时，其垂直刚度减小，而米用方案(III)时，可以 提高垂直刚度。

2.应力的比较分析
结构方案I 和II 在外围的金属件向橡胶件凸出部分中间截面处的
Von Mises
等效应力分布见图3-13。

由图可见，原结构方案(I )可以减少部分大应力区的 范围。

7
-■■'IHED EFFECT_i<E STRESS
R&7CMC
TJME. 1GHW
t 和。

图3-13模型⑴和
(II)的Von Mises 应力比较 (Mpa)
rtiNirLjr > 0r-D3779
ririKl'iiJ -! rtNl w 出口
圧［>
EFFECT 理 E
铝 T CAIX
Lena
MW
1-L0& |>KK|
一 L 泗 「L ㈣
一
0L9IJO
17
346单元特性对橡胶主簧静态特性有限元分析结果影响
1.对垂直刚度影响的计算分析
单兀类型
rVt —曰」.
结点数
单元数 垂直刚度（N/mm ） 相对误差（％）
单元最大
尺寸
8/1 （六面体）
4 9763 16171 30
5 7 10/4
6 14304 851
7 265 1.6 （四面体）
8 8868 5186 265 1.6 11/4 （四面体） 8 1904
9 7071 279 -2 27/4 （六面体）
4
38108
9205
262
-8
由于橡胶隔振器在工作时，其变形都比较大，因此单元特性和网格密度对 其有限元分析的结果有一定的影响。

以橡胶主簧在垂直方向刚度的计算值与实 验值的相对误差为评价指标，研究单元类型、单元尺寸对计算结果的影响，其 计算结果见表3-2。

由表可见，单元类型和尺寸不同时，垂直刚度计算结果的相 对误差可达15%。

2.对应力影响的计算分析
图3-14、15分别为利用10/4单元和11/4单元计算的到的橡胶主簧在其工作
图 3-14Von Mises 应力，Mpa （ 10/4 单元）
图 3-15 Von Mises 应力,Mpa （ 11/4 单元）
HA X IK J M A 1的
rilHlNIjM
5MD0THED EFTECTRE
STRESS
旳 C A LC FE
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*
000011^9
SHCmHEJ EFFECTIVE S1PESS RSI C H C TIME Ui.oa
Q.M0D
11液
18
载荷（2000N ）时Y 方向对称面上的Von Mises 等效应力，与图3-9相比较，等 效应力的分布规律基本相同，但是数值上有差异，这是由于单元特性不同所引 起的。

工程上计算应力的主要目的是用于不同结构方案应力分布的对比分析， 因此分布规律的结果更为常用
由上述计算结果的分析可知，其单元特性、网格密度对模型能否计算和计 算结果均有一定的影响，因此在进行橡胶元件的有限元分析时，应对他们进行 合理的选择。

3.5悬架衬套弹性特性的分析
3.5.1规则形状悬架衬套弹性静力学特性分析的解析计算方法
悬架衬套静力学特性的分析主要是分析其轴向、径向静刚度，即力一位移 的关系，对于如图3-16所示形状比较规则的圆柱形衬套，可以利用如下的有关 公式计算其静刚度。

1径向刚度的计算公式
Hill 在1975年推导了衬套的径向刚度
［56］。

对长衬套，在平面应变假设的条 件下，其径
向刚度K rL 为
K rL 二：L
LG (3-14)
图3-16
规则形状的橡胶衬套结构图
19
4兀(A 2 +B 2)
(A 2 B 2)ln(B A) _(B 2 一 A 2)，
G 为橡胶的剪切弹性模量，与邵氏硬度 Hs 的关系为［54
］
第三章 汽车橡胶减振兀件弹性特性的有限兀分析
G =0.117e
0.034 Hs
(3-15)
对于短衬套，在平面应力假设的条件下，其径向刚度
K rs 的计算公式为［56］
(3-16)
式中，飞
85(A 2 +B 2)
25(A 2 B 2)ln(B A) -9(B 2 - A 2)
对于有限长度的衬套，其径向刚度的值应在 K r L 与K rs 之间
Horton 等人在2000年利用弹性力学的理论，推导了衬套径向刚度的计算公 式
［57］
，其刚度的表达式中含有 Bessel 函数，为了便于计算，Horton 给出了如下
的近似计算公式
~2
2
B -A ]
1
1
兀(A)2 C 2 A
LG (3-17)
其中
C 1 =
1 60d 1
d_2 df
d 1
B 2ln 2(B/A) B 21n(B/A) 3(B 2_A 2) 2(B - A 2) 4(B 2 A 2) 16A 2 d 2
B 4In 3(B/A) B 4 In 2(B/A) 4(B -A 2)2 8(B - A 4)
11B 2 In(B/A) (B 2 - A 2)(7B 4 -2A 2B 2 7A 4)
96 A 2 576A 4(B 2 A 2)
文献［54］中给出衬套的径向刚度计算公式为
式中江
A
、
B
、L 为衬套的尺寸，见图3-16,
20
二 L(E a G)
ln(
A )
式中，E a 为表观弹性模量，计算公式为
E a =(4 0.56ks 2)G
(3-19)
式中，k 和s 为与硬度和几何形状有关的系数，可由如下公式计算得到。

2轴向刚度的计算公式
在平面应变假设的条件下，长衬套的轴向刚度的计算公式为
2二 GL B-
叭)
3.5.2复杂形状悬架衬套弹性静力学特性分析的有限元方法
上节中所有的刚度计算公式都只针对如图
3-16所示形状比较规则的衬套,
而实际在汽车上所使用的悬架衬套的结构一般较为复杂。

本文所研究的衬套结 构的剖面图如图3-17所示。

在对图3-17所示的衬套进行有限元分析时，首先要对其进行一定的简化。

由于衬套的内外圆柱表面均与金属套硫化在一起，与橡胶的变形相比，金属套 筒的变形可以忽略不计，因此，在进行有限元建模时，可不考虑内外金属套简， 而将橡胶衬套的内外圆柱表面上所有点的位移用约来方程加以约束。

例如，在 进行轴向刚度的分析时，令其外圆柱面上与金属件硫化在一起平面上所有点的 位移为零，而对内圆柱面上所有点沿轴向方向的位移施加相等的约束。

(3-18)
k =10.7 —0.098HS
(A B)l nB)
(3-20)
[45,58]
(3-21)
21 图3-18为衬套在未变形时的有限元模型，其模型是利用 ADINA 软件中的
native AUI geometry 方法建立的，该模型共有4000个20结点的六面体单元，4800 个结点。

图3-19为悬架衬套橡胶材料的应力一应变关系的实验值和利用
Ogden 3 阶本构关系拟合得到的应力一应变关系的对比曲线，
由图可见Ogden 3阶本构关 系能较好的描述这种橡胶材料的特性。

图 3-20为衬套的径向和轴向力一位移实 验曲线，由图可见，力一位移曲线基本为线性，说明轴向与径向刚度为常数。

为了便于利用公式(3-14)〜(3-21)计算图3-17所示复杂衬套的径向和轴向刚度， 简化为规则形状衬套时的尺寸为：
A = 8.2mm,
B = 13.5mm, L = 44mm 。

衬套的邵
氏硬度为57。

肉金属奏閒/
图3-17 衬套结构的剖面图 寸S0
图3-18橡胶衬套的有限元模型
图3-19悬衬套橡胶材料应力-应变曲线
bp^力应
7000
6000
5000 -
4000 -
3000
2000
1000
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 位移(mm) 图3-20径向和轴向的力一位移实验曲线。