矩阵指数函数及其在控制论中的应用
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控制论是研究各种系统控制和通讯的一般规律的科学。随着科技的发展和计算机网路技术的普及，现代控制理论在工程信息技术以及其他领域中起着越来越重要的作用。
本文通过矩阵指数函数的基本概念和性质，探讨了矩阵指数函数的四种计算方法并举例说明对其进行比较。最后通过求解状态方程来进一步研究矩阵指数函数在控制论和微分方程中的应用。
因为当 时，有
则对任意 ，矩阵幂级数
是收敛的。它们的和记为 ，即
通常称 为矩阵指数函数
1.2[2]矩阵指数函数的基本性质
性质1微分公式：
（1.2.1）
这是因为矩阵指数函数右端的级数绝对收敛，所以可以逐项求导，得到
性质2 与 可交换:
从（1）中已看出 与 是可交换矩阵。容易证明 与 也是可以交换。
这里的 是任意自然数。
第三种计算方法的计算量是最大的。在求 的Jordan表达式中，要计算 的Jordan标准型，当中又要涉及到 矩阵的初等变换，计算复杂。之后的计算变换矩阵 ，计算量也很大，随着矩阵 的阶数变大会更加繁杂。但是这种方法的优点是计算步骤比较清晰，通俗易懂。
第四种方法的计算步骤最为复杂。要先求矩阵的特征多项式，然后列出方程组，最后求出结果。
性质8Laplace变换：
求 的Laplace变换可得：
两边同时乘以 ，得
由此便知道
从而并有
这个结果常被用来计算 。顺便指出，这个结果表明，无论 是否奇异，作为多项式矩阵的 必是非奇异矩阵。
2.矩阵指数函数的四种计算方法及其比较
上面定义了矩阵指数函数 ，在具体应用中，要求将 所代表的具体矩阵求出来，即求出矩阵指数函数的值。本节探讨了其中四种计算函数值的方法。四种方法各有不同，涉及到如特征多项式、Jordan标准型、待定系数法等相关知识。
This article from the matrix exponential function the basic definition of began to, summed summed up the matrix exponential function some basic properties of, and thus explores the how to calculate the matrix exponential function, paper chose the one of the four kinds calculation method, develop simultaneously out the examples illustrate the their computation volume and calculation step, right they carried out simple comparison, analyze encounter specific problems should how to choose the the best method for solving. In addition Contact modern control theory, to master how to use matrix exponential function to solve in the engineering technical fields will encounter of the state Equation Problem as well as online Xing control systems in the often involve of the solving linear differential equations group issue.
设
其中 ， 和 都是以 为自变量的维数合适的矩阵，则有
（3.1）
因为，若以 表示矩阵 的列数，就可导出
从而证明了（3.1）。
现在来求状态方程
(3.2)
在初值条件 下的解。移项后用 左乘上式两端，得
根据（3.1）和（3.2）知道
所以有
在从 到 的区间上积分，得到
用 左乘上式两端，得
保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。
本人签名：
日期：
导师签名：
日期：
矩阵指数函数及其在控制论中的应用
摘要
矩阵指数函数是一类特殊而又重要的函数，无论是数学领域、计算机领域，还是工程技术领域涉及到的现代控制论中都有非常广泛的应用。
本文从矩阵指数函数的基本定义开始，归纳总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而探讨了如何计算矩阵指数函数，本文选择了其中的四种计算方法，并通过实例说明了它们的计算量和计算步骤，对它们进行了简单的比较，分析遇到具体的问题应如何选择最佳的方法求解。另外联系现代控制理论，掌握如何用矩阵指数函数解决在工程技术领域中会遇到的状态方程问题以及在线性控制系统中常常涉及的求解线性微分方程组的问题。
性质3乘法公式之一：
（1.2.2）
这是因为
注意到
代入Βιβλιοθήκη Baidu式便得
性质4乘法公式之二
从（1.2.2）很容易联想到，能否认为下式成立：
首先， 和 的维数如果不同， 就没有意义。其次，设 与 的维数相同，则
，
而
两相比较便知一般有
（1.2.3）
可以证明：如果 与 是可交换矩阵，即 ，则有
（1.2.4）
性质5反号后的矩阵指数函数：根据（1.2.1）容易看出有
1.矩阵函数的概念及矩阵指数函数的基本性质
矩阵函数的概念和通常的函数概念类似，所不同的是这里的自变量和因变量都是n阶矩阵。本节首先以定理与矩阵幂级数的和为依据，给出矩阵函数的幂级数表示，进而探讨了矩阵指数函数的一些相关性质。
1.1矩阵函数的概念
定义1[1]设 ，一元函数 能够展开为 的幂级数
，
并且该幂级数的收敛半径为 。当矩阵 的谱半径 时，则将收敛矩阵幂级数 的和定义为矩阵函数，记为 ，即
2.1 矩阵指数函数的四种计算方法
2.1.1[3]利用Hamilton-Gayley定理求矩阵指数函数
本节讨论的方法是利用Hamilton-Gayley定理找出矩阵方幂之间的关系，通过化简矩阵幂级数的方法来求解。
例1已知 ，求 。
解：可求得 。由Hamilton-Gayley定理知 ，从而 即
故
例2已知4阶方阵 的特征值为 ， ， ， ，求 ， 。
由Hamilton-Cayley定理知 ，于是由式（2）得
可知，只要求出 即可得到 。又因为
将式（2.1.4.2）两边对 求导，联系上式，求出
即
（3）
由式（3）即得到以 为未知量的线性方程组。
综上所述，利用特定系数法求解的步骤如下：
第一步，求矩阵 的特征多项式；
第二步，设 。根据
或
列方程组求解
第三步，计算 或（ ）= 。
例已知 ，求 。
解： 求得 的Jordan标准形为
于是 的最小多项式为 。设
由 解得
于是
2.2四种计算方法的比较
通过以上各个实例的计算比较中，我们容易得出：
四种计算方法中第一种和第二种方法中都运用到了一个 阶的线性微分方程，通过对这个方程的求解来计算 。相比较第三、四种方法降低了计算量，简单了计算步骤。
本科毕业论文(设计)
题 目矩阵指数函数及其在控制论中的应用
院(系)数学系
专业数学与应用数学
学生姓名XXXXXXX
学号XXXXXXX
指导教师XXXXXX职称XXXXX
论文字数6500
完成日期:年月日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
解：因为 ，所以 。于是
即
故
2.1.2[4]利用相似对角化求矩阵指数函数
设 是可对角化的，即存在 ，使得
则有
同理可得
例已知 ，求 。
解：可求得 ，即 的特征值为 。对应 的特征向量为 ，对应 的两个线性无关的特征向量为 。于是
，使得
故
2.1.3[5]利用Jordan标准形求矩阵指数函数
设 ，存在 可导，使得
其中
由定理得
例已知 ，求 。
解：
于是
根据Jordan标准形理论可得
定理2.3[6]设 是 的 个特征值，则矩阵函数 的特征值为 。
2.1.4[7]利用待定系数法求矩阵指数函数
[8]设 ，且 的特征多项式为
（1）
其中 是 的全部互异特征值， 。为计算 ，记 。将 改写成
（2）
其中 是含参数 的 的幂级数， 是含参数 且次数不超过 的 的多项式，即
3.利用矩阵指数函数求解状态方程
状态方程是一阶微分方程组。在这个意义上说，它与微分方程没有什么不同。状态方程可以改写成关于单一变量的微分方程求解，但也可以不把状态方程合并成单一变量微分方程，而直接在状态方程形式下求它的解。本节叙述的就是这种方法。
为了说明如何利用矩阵指数函数直接解状态方程，我们先证明如下命题：
Keywords:Matrix exponential function,Jordanstandard,equation of state,differential equations
参考文献19
引言
作为数学的一个重要分支，矩阵函数具有极其丰富的内容。随着计算机的高速发展和普及，矩阵函数的重要性也愈加显著。作为一种基本工具，矩阵函数在数学及其他科学技术领域，如信息计算、现代控制理论等学科都有着十分重要的应用。
本人签名：
日期：
巢湖学院本科毕业论文(设计)使用授权说明
本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文(设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。
性质6逆矩阵：在（1.2.2）中取 ，结合（1.2.5），就得到
同样可证
所以 的逆矩阵是 。既然 总是存在的，所以矩阵指数函数总是非奇异矩阵。即使 是奇异矩阵结果也是一样。
性质7相似变换：
对定义 的两端施以任意的同一相似变换，并注意到
就有
就是说，对一个矩阵作相似变换，相当于对它的矩阵指数函数作同样的相似变换。
关键词：矩阵指数函数；Jordan标准型；状态方程；微分方程组
Matrix exponential function and its application in Control Theory
Abstract
Matrix exponential function is a special and important function, whether it is the field of mathematics, computer areas, or engineering technology related to the modern control theory has a very wide range of applications.
本文通过矩阵指数函数的基本概念和性质，探讨了矩阵指数函数的四种计算方法并举例说明对其进行比较。最后通过求解状态方程来进一步研究矩阵指数函数在控制论和微分方程中的应用。
因为当 时，有
则对任意 ，矩阵幂级数
是收敛的。它们的和记为 ，即
通常称 为矩阵指数函数
1.2[2]矩阵指数函数的基本性质
性质1微分公式：
（1.2.1）
这是因为矩阵指数函数右端的级数绝对收敛，所以可以逐项求导，得到
性质2 与 可交换:
从（1）中已看出 与 是可交换矩阵。容易证明 与 也是可以交换。
这里的 是任意自然数。
第三种计算方法的计算量是最大的。在求 的Jordan表达式中，要计算 的Jordan标准型，当中又要涉及到 矩阵的初等变换，计算复杂。之后的计算变换矩阵 ，计算量也很大，随着矩阵 的阶数变大会更加繁杂。但是这种方法的优点是计算步骤比较清晰，通俗易懂。
第四种方法的计算步骤最为复杂。要先求矩阵的特征多项式，然后列出方程组，最后求出结果。
性质8Laplace变换：
求 的Laplace变换可得：
两边同时乘以 ，得
由此便知道
从而并有
这个结果常被用来计算 。顺便指出，这个结果表明，无论 是否奇异，作为多项式矩阵的 必是非奇异矩阵。
2.矩阵指数函数的四种计算方法及其比较
上面定义了矩阵指数函数 ，在具体应用中，要求将 所代表的具体矩阵求出来，即求出矩阵指数函数的值。本节探讨了其中四种计算函数值的方法。四种方法各有不同，涉及到如特征多项式、Jordan标准型、待定系数法等相关知识。
This article from the matrix exponential function the basic definition of began to, summed summed up the matrix exponential function some basic properties of, and thus explores the how to calculate the matrix exponential function, paper chose the one of the four kinds calculation method, develop simultaneously out the examples illustrate the their computation volume and calculation step, right they carried out simple comparison, analyze encounter specific problems should how to choose the the best method for solving. In addition Contact modern control theory, to master how to use matrix exponential function to solve in the engineering technical fields will encounter of the state Equation Problem as well as online Xing control systems in the often involve of the solving linear differential equations group issue.
设
其中 ， 和 都是以 为自变量的维数合适的矩阵，则有
（3.1）
因为，若以 表示矩阵 的列数，就可导出
从而证明了（3.1）。
现在来求状态方程
(3.2)
在初值条件 下的解。移项后用 左乘上式两端，得
根据（3.1）和（3.2）知道
所以有
在从 到 的区间上积分，得到
用 左乘上式两端，得
保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。
本人签名：
日期：
导师签名：
日期：
矩阵指数函数及其在控制论中的应用
摘要
矩阵指数函数是一类特殊而又重要的函数，无论是数学领域、计算机领域，还是工程技术领域涉及到的现代控制论中都有非常广泛的应用。
本文从矩阵指数函数的基本定义开始，归纳总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而探讨了如何计算矩阵指数函数，本文选择了其中的四种计算方法，并通过实例说明了它们的计算量和计算步骤，对它们进行了简单的比较，分析遇到具体的问题应如何选择最佳的方法求解。另外联系现代控制理论，掌握如何用矩阵指数函数解决在工程技术领域中会遇到的状态方程问题以及在线性控制系统中常常涉及的求解线性微分方程组的问题。
性质3乘法公式之一：
（1.2.2）
这是因为
注意到
代入Βιβλιοθήκη Baidu式便得
性质4乘法公式之二
从（1.2.2）很容易联想到，能否认为下式成立：
首先， 和 的维数如果不同， 就没有意义。其次，设 与 的维数相同，则
，
而
两相比较便知一般有
（1.2.3）
可以证明：如果 与 是可交换矩阵，即 ，则有
（1.2.4）
性质5反号后的矩阵指数函数：根据（1.2.1）容易看出有
1.矩阵函数的概念及矩阵指数函数的基本性质
矩阵函数的概念和通常的函数概念类似，所不同的是这里的自变量和因变量都是n阶矩阵。本节首先以定理与矩阵幂级数的和为依据，给出矩阵函数的幂级数表示，进而探讨了矩阵指数函数的一些相关性质。
1.1矩阵函数的概念
定义1[1]设 ，一元函数 能够展开为 的幂级数
，
并且该幂级数的收敛半径为 。当矩阵 的谱半径 时，则将收敛矩阵幂级数 的和定义为矩阵函数，记为 ，即
2.1 矩阵指数函数的四种计算方法
2.1.1[3]利用Hamilton-Gayley定理求矩阵指数函数
本节讨论的方法是利用Hamilton-Gayley定理找出矩阵方幂之间的关系，通过化简矩阵幂级数的方法来求解。
例1已知 ，求 。
解：可求得 。由Hamilton-Gayley定理知 ，从而 即
故
例2已知4阶方阵 的特征值为 ， ， ， ，求 ， 。
由Hamilton-Cayley定理知 ，于是由式（2）得
可知，只要求出 即可得到 。又因为
将式（2.1.4.2）两边对 求导，联系上式，求出
即
（3）
由式（3）即得到以 为未知量的线性方程组。
综上所述，利用特定系数法求解的步骤如下：
第一步，求矩阵 的特征多项式；
第二步，设 。根据
或
列方程组求解
第三步，计算 或（ ）= 。
例已知 ，求 。
解： 求得 的Jordan标准形为
于是 的最小多项式为 。设
由 解得
于是
2.2四种计算方法的比较
通过以上各个实例的计算比较中，我们容易得出：
四种计算方法中第一种和第二种方法中都运用到了一个 阶的线性微分方程，通过对这个方程的求解来计算 。相比较第三、四种方法降低了计算量，简单了计算步骤。
本科毕业论文(设计)
题 目矩阵指数函数及其在控制论中的应用
院(系)数学系
专业数学与应用数学
学生姓名XXXXXXX
学号XXXXXXX
指导教师XXXXXX职称XXXXX
论文字数6500
完成日期:年月日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
解：因为 ，所以 。于是
即
故
2.1.2[4]利用相似对角化求矩阵指数函数
设 是可对角化的，即存在 ，使得
则有
同理可得
例已知 ，求 。
解：可求得 ，即 的特征值为 。对应 的特征向量为 ，对应 的两个线性无关的特征向量为 。于是
，使得
故
2.1.3[5]利用Jordan标准形求矩阵指数函数
设 ，存在 可导，使得
其中
由定理得
例已知 ，求 。
解：
于是
根据Jordan标准形理论可得
定理2.3[6]设 是 的 个特征值，则矩阵函数 的特征值为 。
2.1.4[7]利用待定系数法求矩阵指数函数
[8]设 ，且 的特征多项式为
（1）
其中 是 的全部互异特征值， 。为计算 ，记 。将 改写成
（2）
其中 是含参数 的 的幂级数， 是含参数 且次数不超过 的 的多项式，即
3.利用矩阵指数函数求解状态方程
状态方程是一阶微分方程组。在这个意义上说，它与微分方程没有什么不同。状态方程可以改写成关于单一变量的微分方程求解，但也可以不把状态方程合并成单一变量微分方程，而直接在状态方程形式下求它的解。本节叙述的就是这种方法。
为了说明如何利用矩阵指数函数直接解状态方程，我们先证明如下命题：
Keywords:Matrix exponential function,Jordanstandard,equation of state,differential equations
参考文献19
引言
作为数学的一个重要分支，矩阵函数具有极其丰富的内容。随着计算机的高速发展和普及，矩阵函数的重要性也愈加显著。作为一种基本工具，矩阵函数在数学及其他科学技术领域，如信息计算、现代控制理论等学科都有着十分重要的应用。
本人签名：
日期：
巢湖学院本科毕业论文(设计)使用授权说明
本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文(设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。
性质6逆矩阵：在（1.2.2）中取 ，结合（1.2.5），就得到
同样可证
所以 的逆矩阵是 。既然 总是存在的，所以矩阵指数函数总是非奇异矩阵。即使 是奇异矩阵结果也是一样。
性质7相似变换：
对定义 的两端施以任意的同一相似变换，并注意到
就有
就是说，对一个矩阵作相似变换，相当于对它的矩阵指数函数作同样的相似变换。
关键词：矩阵指数函数；Jordan标准型；状态方程；微分方程组
Matrix exponential function and its application in Control Theory
Abstract
Matrix exponential function is a special and important function, whether it is the field of mathematics, computer areas, or engineering technology related to the modern control theory has a very wide range of applications.