定积分的基本概念

方法与手段导入

幻灯

幻灯

幻灯

幻灯

详讲

详讲

详讲

幻灯

下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。

事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。

好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。

解决步骤：

大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0

常带变：在第k 个窄边梯形上任取ξk ∈[x k−1,x k ]作以

[x k−1,x k ]为底，f(ξk )为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积∆S k ，得∆S k ≈f (ξk )∆x k (∆x k =x k −x k−1,k =1,2,⋯n) 近似和：S =∑∆S k n k=1≈∑f(ξk )∆x k n k=1

取极限：令λ=max {∆x 1,∆x 2⋯,∆x n } S =lim λ→0

∑∆S k n k=1=lim λ→0∑f(ξk )∆x k n k=1

这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。

（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()v v t =在区间[1T ,2T ]上t 的连续函数，且()0v t ≥，求在这段时间内物体所经过的路程s 。

考虑：当()0y f x C ==≥，()0v v t C ==≥时（其中C 为常数），上面问题的求解。

在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。

解决步骤： 详讲 总结

λ→0是个障碍，我们能不能把λ→0替换掉？其实把[0,1]区间n 等分，λ=1n →0，其实就是n →+∞，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1，要求这个极限我需要先求∑(k n )21n n k=1，化简一下可以得到1n 3∑k 2n k=1，∑k 2n k=1=？，∑k 2n k=1=16n(n +1)(2n +1)，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1=lim n→+∞n(n+1)(2n+1)6n 3=1

3

。 这样我们就求出了定积分的值。思考如果我们不知道这个定积分到底存不存在？对于这个问题我们如何求？这个留给大家下去去做，如果会求，也许你能总结出定积分存在的充分必要条件。

下面我们开始学习定积分的几何意义，也有同学可能会说，教员这个我知道，前面不是说了啊，就是被积函数，与积分区间，还有y=0围成的面积啊。

注意我们前面求的曲边梯形的面积是假设这个函数是大于等于0的。好下面我们就讨论一下一般情况。

三、定积分的几何性质

我们已经知道对于∫f(x)b a dx ，当f(x)≥0时，就是f(x)、x=a 、x=b 和y=0所围成的面积。

那么当f(x)<0时呢？可以根据定义，做个简单的推导，就可以知道∫f(x)b

a dx 的几何意义就是围成面积的负值。

下面我们看这样一个定积分： A1,A2,A3，A4对应其各个区域块围成的面积，那个

这个