定比分点典型例题

定比分点定理典型例题
例1．已知P 外分BA 的比为λ求点B 分AP 所成的比。

错解：由BP PA λ= ，不妨设1PA = ，则BP λ= ，1AB λ=- ，
所以B 分AP 的比为 1AB BP λλ-= 。

错因分析:错因是把定比理解为是分得的两线段的长度之比.实质上
AP PB λ= 中λ是有向线段AP 与PB 的数量之比. λ可以转化为有向线段的长度之比,但需加
一个正负号,即P 为AB 的内分点时AP PB λ= ,当P 为AB 的外分点时, AP PB λ=- ,
故求定比时一定要记住向量具有方向性.
正确解法: 因P 外分AB 的比为λ,0λ∴<.
设1PA = ,则BP λ=- ,1AB λ=-- .又由于AB 与BP 反向,所以B 分AP 的比为
111AB BP λλλ---=-=--- .
例2 已知点12(2,1),(4,3)P
P -.求出下列情况下,点P 分有向线段12PP
所成的比λ及P 点的坐标:
(1)点P 在12PP 上且11234PP PP = ;
(2)点P 在12PP 的延长线上,且1123PP PP = ;
(3) 点P 在12PP 的反向延长线上,且2123P P PP = ;
分析：本题主要考查向量定比分点公式的应用.要注意,起点、分点、终点是相对
而言的, 起点、分点、终点不同时, λ一般是不同的.
解 (1)∵1233PP
PP λ=∴=
由定比分点公式,得234713213(3)213x y +⨯⎧==⎪⎪+⎨+⨯-⎪==-⎪+⎩
所以P 点坐标为7(,2)2-. (2)
123322PP PP λ=-∴=- 32()42831()231()(3)21131()2x y ⎧+-⨯⎪==⎪⎪+-⎪∴⎨⎪+-⨯-⎪==-⎪+-⎪⎩
所以P 点坐标为(8,11)-.
(3)
122233PP PP λ=-∴=- 22()43221()321()(3)3921()3x y ⎧+-⨯⎪==-⎪⎪+-⎪∴⎨⎪+-⨯-⎪==⎪+-⎪⎩
所以P 点坐标为(2,9)-.
说明 有关定比分点问题中的定比λ最好画出草图来确定.本题计算量大,容易出现计算错误,如坐标公式中计算出现错误和定比λ计算错误等.本题也可以利
用向量的坐标运算,由12PP
PP λ=
代入坐标的方程组,求出分点P 的坐标.这样可不必死记定比分点坐标公式.
例 3 设ABCD 的顶点A 的坐标为(2,1)-,一组对边AB 、CD 的中点分别为(3,0),(1,2)M N --，求其余顶点坐标.
分析：本题考查中点坐标公式及用向量方法解决问题的能力.
解法1: 设其余三个顶点的坐标分别为112233(,),(,),(,)B x y C x y D x y
M 是AB 的中点, 11232102x y -+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩
118(8,1)1x B y =⎧∴∴-⎨=-⎩
有MN 的中点(1,1)P -且P 是AC 的中点,
22212112x y -+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=-⎪⎩
224(4,3)3x C y =⎧∴∴-⎨=-⎩
由N 为CD 的中点,得3333416231
22x x y y +⎧=-⎪=-⎧⎪∴∴⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩
所以顶点坐标分别为(8,1),(4,3),(6,1)B C D ----
解法2:设B 点坐标为(,)x y ,则AM MB = .
(5,1)(3,).
351x y x y ∴-=--=⎧∴⎨=-⎩
8(8,1)1x B y =⎧∴∴-⎨=-⎩ 同理由AM DN NC ==
,得(4,3),(6,1)C D ---
所以ABCD 其余顶点坐标为(8,1),(4,3),(6,1)B C D ----.
说明 利用线段的定比分点公式与向量式运算是相一致的.前者需要记忆,后者需要思维的灵活性和深刻性,而不需记忆,要求较高.
例4 已知三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --,D 内分AB 的比为13,E 点在BC 边上,且使
BDE 的面积是ABC 面积的一半,求DE 中点坐标.
分析 将面积转化为线段的比,利用定比分点坐标公式来求. 解：设BDE 边BE 以及ABC 的边BC 的高分别为1,h h , 由已知有13AD DB = ,所以34DB AB = ,134h h = 又1=,
2BDE ABC S S
111212
2BE h BC h ∴=
1223BE h h BC ∴==
由点E 在BC 上 2BE EC ∴=
∴点E 分BC 所成的比为2λ=
由定比分点坐标公式有42521202(3)212E E x y -+⨯⎧==⎪⎪+⎨+⨯-⎪==-⎪⎩+
即(2,2)E -
又由10(4)3111386113D D x y ⎧+⨯-⎪==-⎪⎪+⎨⎪==⎪⎪+⎩
即(1,6)D -
即线段DE 的中点为(,)M x y ,则2(1)1222622E x y +-⎧==⎪⎪⎨-+⎪==⎪⎩
1(,2)2M ∴即为所求.
说明:线段比的平方等于面积的比.。