未知控制方向非线性时滞系统部分状态反馈鲁棒自适应控制

未知控制方向非线性时滞系统部分状态反馈鲁棒自适应控制刘涛;李俊民
【摘要】A robust partial-state feedback asymptotic regulating control scheme is developed for a class of time-varying nonlinear systems with unknown control coefficients and unknown time delays. The partial-state feedback asymptotic regulating control scheme has been introduced to deal with the uncertainties of the system. By constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functionals, the unknown time-delay terms are compensated in the controller design procedure. Nussbaum-type functions are used to solve the problem of the unknown control direction. The designed control scheme can ensure that all the signals of the closed-loop system are bounded. Especially, all the system states converge to zero asymptotically. Finally, the design procedure is illustrated through an example and the simulation results show that the proposed controller is feasible and effective.%针对一类带有未知控制方向的时变非线性系统的部分状态渐近鲁棒调节问题,文中采用部分状态反馈渐进调节的控制算法来处理系统中的不确定性,利用Lyapunov-Krasovskii泛函来处理系统中的时滞项,通过Nussbaum型函数来处理系统中的未知控制方向问题.我们基于反推技术给出了部分状态反馈控制器的设计步骤,所设计的控制器使得闭环系统的所有信号都是有界的,而且使系统的状态渐进收敛于零.仿真实例说明了控制器的有效性和可行性.【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2011(028)006
【总页数】7页(P756-762)
【关键词】未知控制方向;非线性系统;部分状态反馈;鲁棒控制
【作者】刘涛;李俊民
【作者单位】西安电子科技大学理学院,西安710071;西安电子科技大学理学院,西安710071
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
1 引言
在具有未知控制方向的自适应控制中，设计控制器时Nussbaum型函数常被用来处理系统的未知控制方向[1-5]．在现实中，时滞项经常存在于系统中，它会导致控制性能的降低从而使得系统的稳定问题变得更加的困难．基于Nussbaum型函数和Lyapunov-Krasovskii泛函，文献[6,7]实现了对含有未知控制方向和时滞的非线性系统的自适应控制．然而，上述文章很少研究具有时滞的级联非线性时变系统的渐进调节问题，本文将控制方向未知问题的控制理论推广到一类时滞非线性时变系统．利用部分状态调节控制器来保证闭环系统的所有信号是有界的，并且能够保证系统的状态渐近收敛于零．最后，我们用一个仿真实例来说明控制器的有效性和可行性．部分状态反馈的方法在具有执行器动态和传感器动态的系统中具有重要的应用．
2 问题描述和预备知识
考虑如下的非线性系统其中ζ∈R m表示系统的不可测状态，x=[x1,x2,···,x
n]T∈R n表示系统的可测状态，其初始值分别为ζ(t0)=ζ0,x(t0)=x0;u∈R和y∈R 分别是系统的输入和输出；ω∈R s是扰动且是有界的，即存在未知正常数θ，使得∥ω∥≤θ；函数f 0:[t0,+∞]×R m×R→R m和h0:[t0,+∞]×R m×R→ R m×s关于变量是连续函数，且当t∈[t0,+∞],f 0(t,0,0)=0；函数ψi,f i:[t0,+∞]×R m×R n×R → R,i=1,2,···,n,h i:[t0,+∞]×R m×R n×R →R s,i=1,2,···,n，关于t是连续函数，关于其它变量是局部Lipschitz的，τi,i=1,2,···,n，为未知有限常时滞，当t∈ [t0,+∞]时，f i(t,0,0)=0,h i(t,0,0)=0,ψi(t,0)=0,i=1,2,···,n．
对于系统(1)，我们假设以下条件成立：
假设1 存在连续可微的Lyapunov函数U0(t,ζ),K∞类函数κ1,κ2，以及正常数
c0i,i=1,2，使得
其中ρ(y)>0是已知的光滑函数．
假设2存在未知常数c i1>0和已知光滑函数φi(¯x i)>0，使得
假设3存在未知常数c i2>0和已知光滑函数ϕi(¯x i)>0，使得
假设4 存在未知常数c>0和已知光滑函数σi(y(t−τi))>0，使得
假设5 时变参数g i(t)在未知闭区间I i=[,]内取值，且0∈/I i,i=1,2,···,n,g i(t)的符号是未知的，即控制方向未知．
注1假设2和假设3是对系统中的非三角结构项给出的条件，当假设2中φi(x¯ i)=1，且系统(1)中不存在时滞项和干扰项，而且为未知常数时，文献[8,9]解决了系统(1)的输出反馈调节问题．假设4是为了处理系统中的延时项而给出的，比文献[10]中的假设更具有一般性．
假设5表明文中的控制方向未知，我们将引用Nussbaum函数来处理．如果N(η)是Nussbaum函数，则它具有下列性质
在文中，取Nussbaum函数为N(η)=exp(η2)cos(πη/2).
3 控制器设计和主要结果
本节将给出系统的渐进调节控制器的设计和系统稳定性的分析，设计过程包括n 步，在文中给出如下的虚拟控制器和更新率
其中=[η1,η2,···,ηi],z i=x i− αi−1,i=1,2,···,n，并且α0=0，在设计过程的最后一步，控制器u将被设计出来，设计过程将以递推的方式给出．
第1步取Lyapunov函数为
则由假设1、假设2及假设3，可得
其中Θ1=max{∆2/c01,c02,1,c2}≥ 1,∆ =max{c i1,c i2θ,i=1,2,···,n}为未知常数．取
其中
是光滑的函数．定义变量z2=x2−α1，则由(3),(4)两式可得
其中b i=max(|,),i=1,2,···,n，是未知常数．
第k步取Lyapunov函数
则函数关于时间的导数满足
由(2)式可以找到一个光滑函数Φk,Ψk满足如下不等式
则将(7)和(8)式代入(6)式，可得
其中
为未知常数．取
其中βk(,−1)为光滑函数，把(10),(11)两式代入(9)式，则可得
第n步当k=n时，选择如下的u,ηn和Lyapunov函数V n：
其中z n=x n−αn−1,βn,−1)≥1，从而可得
对于以上的分析，我们可概括为如下定理．
定理1 如果假设1至假设5都满足，并将以上的设计步骤应用到系统(1)，并且满足初始条件，则闭环系统的所有信号在[t0,∞)上都是有界的，并且对状态渐进调节是能达到的，即ζ(t)=x(t)=0．
证明由于设计的控制器是光滑的，所以闭环系统解在最大的时间区间[t0,t f)．从
上面的设计过程可得
其中对上式进行积分得
以下的证明过程和文献[12]类似，由(16)式可得V k,ηk,1≤k≤n，在区间[t0,t f)是
有界的．由V k可得ζ,z k,1≤k≤n，在区间[t0,t f)是有界的；由(2)式可得x
k,1≤k≤n，是有界的．因此，闭环系统的所有信号在[t0,t f)都是有界的，综上可得闭环系统所有信号有界，没有发生逃逸现象，因而t f=∞．
由x k(t)和ηk(t),1≤k≤n，的有界性，可得u(t)和|x˙(t)|是有界的；而由x k(t)和z
k(t)的有界性可知αk(t),η˙k(t),1≤k≤n，也是有界的．因此|z˙(t)|是有界的并且
|z(t)|2是一致连续的，从而z(t)|=0．利用z k(t)的定义和ηk(t),1≤ k≤ n，的有界性，可以得到|x(t)|=0；因此|x k(t)|=0,1≤k≤n．因为|ζ˙(t)|是有界的，因此|ζ(t)|2
是一致连续的，利用假设1和Barbalat引理可以证得|ζ(t)|=0．从而定理1得证．4 仿真实例
下面给出一个例子来说明控制算法的有效性．考虑有未知控制方向的系统
其中ω(t)是有界的，g1(t)和g2(t)是未知的时变参数，g i(t)在未知的闭区间I i内取值且0/∈I i,i=1,2，g i(t)的符号是未知的．假设状态(x1,x2)是可测的，状态ζ
是不可测的．在实际应用中，ζ子系统往往看做实际系统的执行器动态，x子系统
是被控对象，在具有执行器动态的系统中，往往通过被控系统的状态来实现对整个系统的控制．
问题的目标是设计一个部分状态控制率来解决系统(17)的渐近调节问题．可以证得系统(17)满足定理1的假设，取U0(t,ζ)= κ1(∥ζ∥)= κ2(∥ζ∥)= ζ2/2，根据设计步骤构造以下光滑的渐近调节控制器
仿真中选择
初始条件为ζ(0)=0.2,x2(0)=0.2,(η1(0),η2(0))=(1,1)，当−2 ≤ t≤ 0时，
y(t)=0.2．图1和图2是仿真的结果，由图2可以看出，该系统的所有状态都调节为零，由图2可以看出系统其它所有信号都是有界的，说明控制算法是有效的．图1: 控制曲线u
图2: 状态ζ,x 1,x 2的轨迹
5 结论
本文研究了一类具有未知控制方向的时滞非线性时变系统的鲁棒渐近调节问题．文中利用Lyapunov-Krasovskii函数来处理系统中的时滞项，利用部分状态控制器来保证闭环系统的所有信号都是有界的，并且保证系统状态是渐近调节的．仿真实例说明了所设计部分状态反馈渐近调节控制算法的有效性．
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