专题23 命题与证明-2021年中考数学名校地市必刷题(上海专用)(解析版)

专题23 命题与证明
一、单选题（共12小题）
1.（2020•长沙模拟）用尺规作图作△ABC的BC边上的高，下列作法正确的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵△ABC的BC边上的高，AD⊥BC，
∴选项B正确，
故选：B．
【知识点】作图—基本作图、三角形的角平分线、中线和高
2.（2020•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为
半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF＝3，AG＝2，则BC＝（）
A．5 B．4C．2D．2
【解答】解：由作法得GF垂直平分AB，
∴FB＝F A，AG＝BG＝2，
∴∠FBA＝∠A，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∠FBA+∠FBC＝90°，
∴∠C＝∠FBC，
∴FC＝FB，
∴FB＝F A＝FC＝3，
∴AC＝6，AB＝4，
∴BC＝＝＝2
故选：C．
【知识点】线段垂直平分线的性质、作图—基本作图
3.（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．以点D
为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H．再分别以点G、H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则△ADF的形状是（）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：根据画图过程可知：
DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，
∴∠EAM＝∠CAM，
∵∠EAC＝∠B+∠ACB，
∴∠EAF＝∠B，
∴AF∥BC，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠F AD＝∠ADB＝90°，
∴△ADF的形状是等腰直角三角形．
故选：D．
【知识点】等边三角形的判定、等腰直角三角形、作图—基本作图、等腰三角形的判定
4.（2020•襄城区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC
于点E，若AB＝5，BF＝6，则AE的长为（）
A．8 B．10 C．11 D．12
【解答】解：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
由作图可知：AB＝AF，
∠BAE＝∠F AE，
∴BH＝FH＝3，BF⊥AE，
由勾股定理得：AH＝EH＝4，
∴AE＝8，
故选：A．
【知识点】角平分线的性质、作图—基本作图、平行四边形的性质
5.（2019•成都一模）如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（4，0），按
以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）
A．（4，）B．（，4）C．（，4）D．（4，）
【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），
∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，
∴OC＝＝5，
作GH⊥OC于H．
由作图可知：OG平分∠BOC，
∵GB⊥OB，GH⊥OC，
∴GB＝GH，时GB＝GH＝x，
∵S△OBC＝×3×4＝×5×x+×4×x，
∴x＝，
∴G（4，）．
故选：A．
【知识点】矩形的性质、坐标与图形性质、作图—基本作图
6.（2019•海港区一模）已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符
合要求的作图痕迹是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图，点E即为所求作的点．
故选：A．
【知识点】相似三角形的判定、作图—复杂作图
7.（2019•金水区校级一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC
的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．如果CD＝AC，∠ACB ＝105°，那么∠B的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC＝BD，
故∠DCB＝∠DBC，
∵DC＝AC，
∴∠A＝∠CDA，
设∠B为x，则∠BCD＝x，∠A＝∠CDA＝2x，
可得：x+2x+105°＝180°，
解得：x＝25，
即∠B＝25°，
故选：B．
【知识点】作图—基本作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质
8.（2019•信阳一模）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y
轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2x，y+1），则y关于x的函数关系为（）
A．y＝x B．y＝﹣2x﹣1 C．y＝2x﹣1 D．y＝1﹣2x
【解答】解：由作图可知，点P在第二象限的角平分线上，横坐标与纵坐标互为相反数，
∵P（2x，y+1），
∴2x+y+1＝0，
∴y＝﹣2x﹣1，
故选：B．
【知识点】作图—基本作图
9.（2020•坪山区一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交
x轴、y轴于点M、点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P（a，b），则a与b的数量关系为（）
A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0
【解答】解：利用作图得点OP为第二象限的角平分线，
所以a+b＝0．
故选：A．
【知识点】作图—基本作图
10.（2020•石家庄模拟）如图，已知点D、E分别在∠CAB的边AB、AC上，若PD＝6，由作图痕迹可得，
PE的最小值是（）
A．2 B．3 C．6 D．12
【解答】解：根据作图痕迹可知：
AP是∠BAC的平分线，
∵PD⊥AB，且PD＝6，
当PE⊥AC时，
PE＝PD＝6，
∴PE的最小值是6．
故选：C．
【知识点】作图—基本作图
11.（2020•路南区一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【解答】解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，利用作法得AE＝AF，AM＝AN，则可判断△ADM≌△ADN，所以∠AMD＝∠AND，
则可判断△MDE≌△NDF，所以D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．
故选：A．
【知识点】作图—基本作图
12.（2020•虹口区二模）已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），
那么交点O是△ABC的（）
A．外心B．内切圆的圆心
C．重心D．中心
【解答】解：由尺规作图可知，MN、PQ分别是线段BC、AC的垂直平分线，
∴点D、E分别是BC、AC的中点，
∴AD、BE是△ABC的中线，
∴点O是△ABC的重心，
故选：C．
【知识点】三角形的外接圆与外心、作图—基本作图、三角形的重心、三角形的内切圆与内心
二、填空题（共10小题）
13.（2020•松滋市一模）如图，在边长是4×4，小正方形边长为1的正方形网格图中，线段AB的两个端点
都在格点上，若以AB为斜边，则可以作出个格点直角三角形，并在答题卡的图中作出其中面积最大的格点直角三角形．
【解答】解：如图所示：
线段AB的两个端点都在格点上，
以AB为斜边，可以作出4个格点直角三角形，
△ABC的面积最大．
故答案为4．
【知识点】勾股定理的逆定理、作图—应用与设计作图、勾股定理
14.（2019•河西区二模）在每个小正方形的边长为1的网格中，有△ABC，点A，B，C都在格点上
（Ⅰ）△ABC的面积等于．
（Ⅱ）求作其内接正方形，使其一边在BC上，另两个顶点各在AB，AC上．在如图所示的网格中，请你用无刻度的直尺，画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明）
．
【解答】解：（Ⅰ）5×4÷2＝10．
故△ABC的面积等于10，
故答案为：10；
（Ⅱ）如图所示：取格点D，F，E，连接DE，DF分别交AB，AC于点M，N，
再取格点S，T．G，K，连接GK，ST交于点Q，连接MQ并延长MQ交BC于点P，同理得到
点R，四边形MPRN即为所求的正方形；
故答案为：取格点D，F，E，连接DE，DF分别交AB，AC于点M，N，
再取格点S，T．G，K，连接GK，ST交于点Q，连接MQ并延长MQ交BC于点P，同理得到
点R，四边形MPRN即为所求的正方形．
【知识点】作图—复杂作图、相似三角形的判定与性质
15.（2019•新乡二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AC的长等于；
（Ⅱ）在线段AC上有一点D，满足AB2＝AD•AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）．
【解答】解：（Ⅰ）AC＝，
故答案为：5，
（Ⅱ）要满足AB2＝AD•AC，
即AD＝，
构造△AEC，如图所示，
过点E作EF⊥AC于点F，
由相似三角形的性质易证：CE2＝CF•AC，
∴CF＝
以点A为圆心，CF长为半径作圆交AC于点D，
连接BD，此时△ABD∽△ACB，
故答案为：构造△ACE，过点E作EF⊥AC于点F，以点A为圆心，CF长为半径作圆交AC于
点D．
【知识点】作图—复杂作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质
16.（2020•扶沟县一模）在△ABC中，尺规作图的痕迹如图所示，已知∠ADB＝50°，∠A＝110°，则∠ABC
的度数为．
【解答】解：由作图可知：EF垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝50°，
∴∠C＝25°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣110°﹣25°＝45°，
故答案为45°．
【知识点】三角形内角和定理、作图—复杂作图、三角形的外角性质
17.（2019•怀柔区二模）下面是一位同学的一道尺规作图题的过程．
已知：线段a，b，c．
求作：线段x，使得a：b＝c：x．
他的作法如下：
①以点O为端点画射线OM，ON；
②在OM上依次截取OA＝a，AB＝b；
③在ON上截取OC＝c；
④联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．
所以：线段CD就是所求的线段x．
这位同学作图的依据是．
【解答】解：这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应
线段成比例；
故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例．【知识点】作图—复杂作图、平行线分线段成比例
18.（2019•花溪区一模）下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程．
如图1，直线L1与L2相交于点O，A，B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB＝30°，请在图中作出符合条件的点P．
作法：如图2，
（1）以AB为边在L2上方作等边△ABC；
（2）以C为圆心，AB长为半径作⊙C交直线L1于P1，P2两点．则P1、P2就是所作出的符合条件的点P．
请回答：该作图的依据是．
【解答】解：（1）如图1，由作法得AC＝BC＝AB，△ABC是等边三角形；
（2）如图2，由作法得CA＝CB＝AB＝CP1＝CP2，
∴直线L1的两点P1，P2和A，B在半径为AB的圆上，
故答案为：等边三角形的定义，到圆心的距离等于半径的点在圆上．
【知识点】作图—复杂作图、等边三角形的性质
19.（2019•长春模拟）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作
圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连结OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是度．
【解答】解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠A＝124°，
∴∠AEB＝（180°﹣124°）＝28°，
故答案为28．
【知识点】平行线的性质、作图—应用与设计作图
20.（2019•天津一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，D
为AC边上的一点．
（1）线段AC的值为；
（2）在如图所示的网格中，AM是△ABC的角平分线，在AM上求一点P，使CP+DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）．
【解答】解：（1）AC＝＝5，
故答案为5．
（2）如图，取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P即为所
求．
【知识点】作图—复杂作图、轴对称-最短路线问题
21.（2019•柯桥区模拟）如图，五个边长为1的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、
B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D．“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部
分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的对角线长为．
【解答】解：如图所示：四边形ACBE是正方形，AB与CE是正方形的对角线，边长为，则CD＝DE＝AD＝BD，则组成的这个矩形的长与宽分别为，，
∴这个矩形的对角线的长＝＝
故答案为：．
【知识点】矩形的性质、作图—应用与设计作图、图形的剪拼
22.（2019•东丽区一模）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，点P，Q
为线段AB上的动点，且满足PQ＝1．
（Ⅰ）当点Q为线段AB中点时CQ的长度等于．
（Ⅱ）当线段CQ+CP取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q 的：
．
【解答】解：（I）当点Q为线段AB中点时CQ的长度等于2.5；
故答案为2.5．
（Ⅱ）线段CQ+CP的值最小时，点P，Q必在△ABC的AB边上的高线的垂足的两侧，并且关
于垂足对称，即离垂足的距离为0，5．
所以先找到C关于ABD的对称点H，连接CH交AB于点O，下一步取格点D，使得AB∥CD，
AB＝CD，取格点E，F，连接EF，则CG＝1，
取格点N，L，使得BN＝3，NL∥AB，NL＝AB，此时直线LN与直线CD到直线AB的距离相
等，取格点H，T，使得HT∥AB，TH＝AB，
取格点J，K，连接JK交TH于M，此时HM＝CG＝1，连接GM，此时GM∥CH，设直线LN
交MG于T，交CH于R，此时TR＝CG＝1，OR＝OC，
矩形CGTR关于直线AB对称，连接CT交AB于Q，此时OQ＝0.5，点Q即为所求．
故答案为：取格点D，E，F，连接CD，EF，它们相交于点G，取格点H，I，J，K，连接HI，
JK，它们相交于点M，连接GM，取格点L，N，连接LN且延长，交GM于T，连接TC交AB
于Q，点Q即为所求．
【知识点】勾股定理、作图—复杂作图、轴对称-最短路线问题
三、解答题（共8小题）
23.（2020•禅城区模拟）如图，已知Rt△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．
（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交AC于点E．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求AE的长．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）如图，连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，
∵Rt△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝6．
∵Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝．
【知识点】线段垂直平分线的性质、勾股定理、作图—基本作图
24.（2020•颍州区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是直径．
（1）尺规作图：作∠ACB的平分线CD，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）尺规作图如图所示；
（2）连接OC，则∠AOC＝2∠ADC＝60°．
∵AB是⊙O的直径，CD是∠ACB的平分线
∴∠ADB＝90°，∠ACD＝∠DCB．
∴AD＝BD．
故，
AC＝1，．
∴．
∴．
【知识点】三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算、圆周角定理、作图—基本作图
25.（2019•合肥模拟）已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，F为AC的中点．⊙O是以AF为直径
的圆，交AB于点D，交BF于点E．
（1）过E点作⊙O的切线，并标出它与BD的交点M（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接ME，求证：ME是线段BD的垂直平分线．
【解答】（1）解：如图，ME为所作；
（2）∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，
∵F为AC的中点，
∴F A＝FB＝FC，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠AFB＝∠ABF＝60°，
而OF＝OE，
∴△OEF为等边三角形，
∴∠EOF＝60°，
∴∠EOF＝∠A，
∴OE∥AB，
而OE⊥ME，
∴AB⊥EM，
∵∠BDE＝∠AFE＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴ME是线段BD的垂直平分线．
【知识点】直角三角形斜边上的中线、作图—复杂作图、切线的性质、线段垂直平分线的性质
26.（2020•张家港市模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规作图
（1）作出AB边上的中线CD；
（2）作出△ABC的角平分线AE；
（3）若AC＝5，BC＝12，求出斜边AB上的高的长度．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）如图，线段AE即为所求．
（3）作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°
∴AB＝＝＝13，
∵•AC•BC＝•AB•CH
∴CH＝＝．
【知识点】作图—复杂作图、角平分线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质
27.（2020•花都区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2，AB＝6，∠DAB＝60°，E为边CD
上一点．
（1）尺规作图：延长AE，过点C作射线AE的垂线，垂足为F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当点E在线段CD上（不与C，D重合）运动时，求EF•AE的最大值．
【解答】解：（1）如图，射线CF即为所求．
（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H．设EC＝x．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
∴∠BAD＝∠ADH＝60°，
∵∠H＝90°，
∴∠DAH＝30°，
∴DH＝AD＝1，
∴CH＝CD+DH＝6+1＝7，
∵∠CFE＝∠H＝90°，∠CEF＝∠AEH，
∴△CFE∽△AHE，
∴＝，
∴EF•AE＝CE•EH＝x（7﹣x）＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴EF•AE的最大值为．
【知识点】作图—基本作图、平行四边形的性质
28.（2020•长春模拟）已知：直线1及直线1外一点M．
请根据下列提供的数学原理一、二、三，分别在图①，②，③中使用直尺和圆规作直线MN，使得MN ∥l．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图所示，
根据题意的数学原理一、二、三，
图1，2，3中直线MN即为所求．
【知识点】作图—复杂作图、平行线的判定
29.（2019•山西模拟）为提升城市品味、改善居民生活环境，我省某市拟对某条河沿线十余个地块进行片区
改造，其中道路改造是难度较大的工程如图是某段河道坡路的横截面，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，CM与水平地面AN的距离为12米．已知山坡路AB的路面长10米，坡角BAN＝15°，山坡路BC与水平面的夹角为30°，为了降低坡度，方便通行，决定降低坡路BC的坡度，得到新的山坡AD，降低后BD与CM相交于点D，点D，A，B在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，求整个山坡路AD的长和CD的长度（sin15°≈0.26，cos15°≈
0.97，tan15°≈0.27，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58结果精确到0.1米）
【解答】解：过B作BE⊥AN于E，过D作DF⊥AN于F，过C作CG⊥AN于G，过B作BH⊥CG于H，则四边形CGFD和四边形BEGH是矩形，
∴BE＝GH，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，
∴CH＝DF﹣GH，
由题意得，DF＝12，AB＝10，
在Rt△ABE中，BE＝AB•sin15°＝10×0.26＝2.6，
在Rt△ADF中，DF＝AB•sin15°，AD＝12÷0.26＝46.2，
∴CH＝DF﹣BE＝9.4，
在Rt△CBH中，CH＝BC•sin30°，BC＝CH÷0.5＝18.8，
∵CD∥AN，
∴∠CDB＝∠BAN＝15°，
∵∠CBH＝30°，
∴∠DBC＝15°，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB＝18.8（米），
答：修整后山坡路AD的长约为46.2米，CD的长约为18.8米．
【知识点】作图—应用与设计作图、解直角三角形的应用-坡度坡角问题
30.（2019•荔湾区校级二模）在边长为12的正方形ABCD中，P为AD的中点，连结PC，
（1）作出以BC为直径的⊙O，交PC于点Q（要求尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AQ，证明：AQ为⊙O的切线；
（3）求QC的长与cos∠DAQ的值；
【解答】解：（1）如图，点Q为所作；
（2）证明：过Q点作QE⊥BC于E，交AD于F，连接BQ、OQ、OA，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝12，AD∥BC，
在Rt△PCD中，PC＝＝6，
∵BC为直径，
∴∠BQC＝90°，
∵PD∥BC
∴∠CPD＝∠BCQ，
∴Rt△BCQ∽Rt△CPD，
∴CQ：PD＝BC：CP，即CQ：6＝12：6，
∴CQ＝，
∵CQ2＝CE•CB，
∴CE＝＝，
在Rt△CEQ中，QE＝＝，
∴FQ＝12﹣＝，
∵AF＝AD﹣FD＝AD﹣CE＝12﹣＝．
∴AQ＝＝12，
在△OAB和△OQA中
，
∴△OAB≌△OQA（SSS），
∴∠OQA＝∠OBA＝90°，
∴OQ⊥AQ，
∴AQ为⊙O的切线；
（3）由（2）得CQ＝，AF＝，AQ＝12，
∴cos∠EAQ＝＝，
即cos∠DAQ的值为．
【知识点】作图—复杂作图、圆周角定理、解直角三角形、正方形的性质、切线的判定与性质。