专题23 命题与证明-2021年中考数学名校地市必刷题(上海专用)(解析版)
上海2021年中考数学真题（完整版）
上海2021年中考数学真题（完整版）上海2021年中考数学真题（完整版）其实对于初三的学生来说，除了新学期学习规划，相信很多同学和家长都已经在精挑细选各种学习资料，准备在新学期“喜刷刷”，毕竟还有一年就要迎来重要的中考。
下面小编给大家整理了关于上海2021年中考数学真题的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!上海2021年中考数学真题中考数学压轴题解题技巧1、基本知识不丢一分在中考数学的备考中强化知识网络的梳理，并熟练掌握中考考纲要求的知识点。
“首先要梳理知识网络，思路清晰知己知彼。
其次要掌握数学考纲，对考试心中有谱。
掌握今年中考数学的考纲，用考纲来统领知识大纲，掌握好必要的基础知识和过好基本的解题技巧，根据考纲和自己的实际情况来侧重复习。
2、运用数形结合思想中考数学压轴题解题技巧之一就是数形结合思想，是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法,或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题的一种数学思想。
纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察。
有些数学问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考数学压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
4、分题得分中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第(1)小题较易，第(2)小题中等，第(3)小题偏难，在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到，第(2)小题的分数要力争拿到，第(3)小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。
5、分段得分一道中考数学压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。
2021年上海市初中毕业生统一学业考试参考 中考数学试卷及解析
2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷一．选择题：（本大题含I 、II 两组，每组各6题，每题4分，满分24分） I 组 ：供使用一期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是（A ）x ·x 3＝2x 3； （B ）x 3÷x ＝x 2； （C ）（x 3）2＝x 5； （D ）x 3+x 3＝2x 6．2．新建的北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为 （A ）31091⨯； （B ）210910⨯； （C ）3101.9⨯； （D ）4101.9⨯． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．4．若抛物线2)1x (y 2-+=与x 轴的正半轴相交于点A ，则点A 的坐标为（A ）（21--，0）； （B ）（2，0）； （C ）（-1，-2）； （D ）（21+-，0）． 5．若一元二次方程1x 3x 42=+的两个根分别为1x 、2x ，则下列结论正确的是（A ）43x x 21-=+，41x x 21-=⋅； （B ）3x x 21-=+，1x x 21-=⋅；（C ）43x x 21=+，41x x 21=⋅； （D ）3x x 21=+，1x x 21=⋅．6．下列结论中，正确的是（A ）圆的切线必垂直于半径； （B ）垂直于切线的直线必经过圆心； （C ）垂直于切线的直线必经过切点； （D ）经过圆心与切点的直线必垂直于切线．II 组 ：供使用二期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是（A ）x ·x 3＝2x 3； （B ）x 3÷x ＝x 2； （C ）（x 3）2＝x 5； （D ）x 3+x 3＝2x 6．2．新建的北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为 （A ）31091⨯； （B ）210910⨯； （C ）3101.9⨯； （D ）4101.9⨯． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．4．一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是（A ）121； （B ）31； （C ）32； （D ）21．5．若AB 是非零向量，则下列等式正确的是（A ）AB =BA ； （B ）AB =BA ； （C ）AB +BA =0； （D ）AB +BA =0． 6．下列事件中，属必然事件的是（A ）男生的身高一定超过女生的身高； （B ）方程04x 42=+在实数范围内无解； （C ）明天数学考试，小明一定得满分； （D ）两个无理数相加一定是无理数．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．不等式2-3x>0的解集是 ． 8．分解因式xy –x - y+1= ．9．化简：=-321．10．方程31x 2=-的根是 ．11．函数1x xy -=的定义域是 ．12．若反比例函数)0k (xky <=的函数图像过点P （2，m ）、Q （1，n ），则m 与n 的大小关系是：m n （选择填“＞” 、“＝”、“＜”）．13．关于x 的方程01mx mx 2=++有两个相等的实数根，那么m= ． 14．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，3），点B 的坐标为（-1，6）．若点C 与点A 关于x 轴对称，则点B 与点C 之间的距离为 ． 15．如图1，将直线OP 向下平移3个单位，所得直线的函数解析式为 ．16．在⊿ABC 中，过重心G 且平行BC 的直线交AB 于点D ， 那么AD ：DB= ．17．如图2，圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，它们的半径都为2， 圆O 1经过点O 2，则四边形O 1AO 2B 的面积为 ．18．如图3，矩形纸片ABCD ，BC=2，∠ABD=30°．将该纸片沿 对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，EB 交DC 于点F ，则点F 到直线 DB 的距离为 ．三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 先化简，再求值：)b1a 1(b a b ab 2a 2222-÷-+-，其中12b ,12a -=+=． 20．（本题满分10分）解方程251x x x 1x =---． 21．（本题满分10分，第（1）题满分6分，第（2）题满分4分）如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD=CD ，cosB=135，BC=26．求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．22．（本题满分10分，第（1）题满分3分，第（2）题满分5分，第（3）题满分2分） 近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1、表2所示．表1：土地荒漠化扩展的面积情况年代 50、60年代的20年 70、80年代的20年 90年代的10年平均每年土地荒漠化扩展的面积（km 2）1560 2100 2460 表2：沙尘暴发生的次数情况年代50年代的10年 60年代的10年 70年代的10年 80年代的10年 90年代的10年O P x1 2y图1O 1O 2B A 图2 FC BA 图3DECB A 图4D每十年沙尘暴发生次数5 8 131423（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；（2）在图5中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图；（3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生次数呈 （选择“增加”、“稳定”或“减少”）趋势．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图6，在⊿ABC 中，点D 在边AC 上，DB=BC ，点E 是CD 的中点， 点F 是AB 的中点．（1）求证：EF=21AB ； （2）过点A 作AG ∥EF ，交BE 的延长线于点G ，求证：⊿ABE ≌⊿AGE ．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图7，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A （0，-3）为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于点D 、E 两点． （1）求点B 、C 、D 的坐标；（2）如果一个二次函数图像经过B 、C 、D 三点， 求这个二次函数解析式； （3）P 为x 轴正半轴上的一点，过点P 作与圆A 相离并且与 x 轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F ， 当⊿CPF 中一个内角的正切之为21时，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）题满分3分，第（2）题满分7分，第（3）题满分4分）正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点（不与点D 重合），直线AE 交直线BC 于点G ，∠BAE的平分线交射线BC 于点O ．（1）如图8，当CE=32时，求线段BG 的长；（2）当点O 在线段BC 上时，设x EDCE，BO=y ，求y 关于x 的函数解析式； （3）当CE=2ED 时，求线段BO 的长．AB FE DC图650年代 60年代 70年代 80年代 90年代2520 15 10 5次数年代图5图7O D x CA . yB A D BG EC图8O 备用图A BCD2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学模拟卷答案要点与评分标准说明：1． 解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2． 第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3． 第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4． 评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5． 评分时，给分或扣分均以1分为基本单位一．选择题：（本大题含I 、II 两组，每组各6题，满分24分）I 组 1、B ； 2、D ； 3、C; 4、D; 5、A; 6、D ． II 组 1、B ； 2、D ； 3、C; 4、C; 5、A; 6、B ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7、32<x ; 8、(1)(1)x y --； 9、23+； 10、5=x ； 11、0≥x 且1≠x ； 12、>； 13、4； 14、23；15、32-=x y ； 16、1:2（或2）； 17、32； 18、233。
专题23 60°、90°旋转问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题23 60°、90°旋转问题【规律总结】遇60°，旋60°，造等边；遇90°，旋90°，造垂直；遇中点，旋180°，造中心对称；遇等腰，旋顶角；遇中点，旋180°，造中心对称；【典例分析】例1．（2020·武汉市卓刀泉中学八年级月考）如图，已知△ABC中，△ACB=90°，△BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（）A．5.5B．6C．7.5D．8【答案】C【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE△△FCD，可得BE=DF，则DF△AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．【详解】如图，以BC 为边作等边△BCF ，连接DF ，△△ACB=90°，△BAC=30°，AB=6，△△ABC=60°，BC=3，△将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，△CD=CE ，△DCE=60°，△△BCF 是等边三角形，△CF=BC=BF=3，△BCF=△DCE =60°，△△BCE=△DCF ，且BC=CF ，DC=CE ，△△BCE△△FCD(SAS)，△ BE= DF ，△DF△AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小，如图，此时作FD AB '⊥，△FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥， △ 1 1.52BD BF '==， △7.5AD AB BD '=+='，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．例2．（2021·上海九年级专题练习）平面直角坐标系中，()0,4C ，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点B 的坐标为____．【答案】()3,1-【分析】如图，作BH x ⊥轴于点H ，由旋转可知ACO △△BAH ，推出BH OA m ==，4AH OC ==，可得到()4,B m m +，令4x m =+，y m =，可知4y x =-，即可知点B 在直线4y x =-的图象上运动，设直线4y x =-交x 轴于点E ，交y 轴于点F ，作KM EF ⊥于点M ，根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，构建方程组确定交点M 的坐标即可求解．【详解】解：如图，作BH x ⊥轴于点H ，设点A 的坐标为（0，m )；()0,4C ，()2,0K ，∴4OC =，2OK =，AC AB =，90AOC CAB AHB ∠=∠=∠=，∴90CAO OCA ∠+∠=，90BAH CAO ∠+∠=，∴ACO BAH ∠=∠，在ACO △与BAH 中ACO BAH AOC BHA CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACO △△BAH ()AAS ， ∴BH OA m ==，4AH OC ==，∴()4,B m m +，令4x m =+，y m =，∴4y x =-，∴点B 在直线4y x =-上运动，设直线4y x =-交x 轴于点E ，交y 轴于点F ，作KM EF ⊥于点M ，则直线KM 的解析式为：2y x =-+，由24y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得：31x y =⎧⎨=-⎩， ∴()3,1M -，根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，此时()3,1B -． 故答案为：()3,1-．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识点，正确找到点B 的运动轨迹是解题的关键．例3．（2021·湖北武汉市·九年级月考）如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC ， △BAC=90°，O 为BC 的中点，D 为AC 斜下方一点，30,6,ADC CD OD ︒∠===，则AD 的长为______．【答案】10【分析】连结AO 由等腰直角三角形的性质得AO=CO=OB ，△AOC=90º，利用旋转变换将三角形△DOC ，逆时针旋转90º得到△EOA ，由性质得AE=CD=6，△EOD=90º，EO=DO=，EA△DC,，过A 作AF△CD ，交ED 于F ，利用平行线的性质△FED=△ADC=30º,推出△EAD=△EAF+△FAD=120º,过E作EG△DA 交延长线于G ，△EAG=60º利用余角性质△GEA=30º，在Rt△AGE 中，解直接三角形，AE=6，AG=3，=在Rt△EOD 中由勾股定理求，在Rt△EGD 中用勾股定理222ED =EG +GD ，构造AD 方程(()22214=+3+AD ，解方程即可．【详解】连结AO△在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC ， △BAC=90°，O 为BC 的中点，△AO=CO=OB ，△AOC=90º，将三角形△DOC ，逆时针旋转90º得到△EOA ，△AE=CD=6，△EOD=90º，EO=DO=EA△DC,过A 作AF△CD ，交ED 于F ，△△EAF=90º，△FED=△ADC=30º,△△EAD=△EAF+△FAD=90º+30º=120º,过E 作EG△DA 交延长线于G ，△△EAG=180º-△EAD=180º-120º=60º△△GEA=90º-△EAG=90º-60º=30º，在Rt△AGE 中，AE=6， AG=11622AE =⨯=3，==在Rt△EOD 中，，在Rt△EGD 中，GD=GA+AD=3+AD ，△222ED =EG +GD ，△(()22214=+3+AD ， △3+AD=13±，△AD=10或-16（舍去），故答案为：10．本题考查等腰直角三角形的性质，三角形旋转，解直角三角形，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质创造旋转的条件，利用三角形旋转转移线段与角的相等关系，利用解直角三角形求出勾股定理应用的线段的长度，利用勾股定理构造方程是解题关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）如图，在ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（）A．2B．4C D2【答案】A【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC△△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP△AC 时，QC的值最小；【详解】如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．△△ACB＝90°，△A＝30°，△△CBE＝60°，△CE＝BE＝AE，△△BCE是等边三角形，△BC＝BE，△△PBQ＝△CBE＝60°，△△QBC＝△PBE，△QB＝PB，CB＝EB，△△QBC△△PBE（SAS），△QC＝PE，△当EP△AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，△AE＝4，△A＝30°，△PE＝12AE＝2，△CQ的最小值为2，故选：A．【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．2．（2020·湖南长沙市·长郡中学八年级期中）如图，ABC ADE DFG ∆∆∆、、均为等边三角形，C E F 、、三点共线，且E 是CF 的中点，下列结论：①ADG EDF ∆≅∆；②AEC ∆为等腰三角形；③=+DF AD GE ；④BAG BCE ∠=∠⑤60GEB ︒∠=，其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】 根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明△ADG△△EDF ，△ABG△△BCE ，然后一一判断即可.【详解】解：△△ADE 、△DFG ，△ABC 为等边三角形，△DA=DE ，DF=DG ，△ADE=△FDG=△AED=△ACB=△DAE=△BAC=60°，△△ADG=△EDF ，△DAB=△CAE ，△△ADG△△EDF ，故①正确，△AG=EF,△AG= EC,如下图，当D、G、E共线时，显然AG≠AE，AG≠AB，△EC≠AE，EC≠AC，∆不是等腰三角形, 故②错误，△AEC△AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF△AD+EG＞DF，故③错误．△△ADG△△EDF，△△DEF=△DAG，△△DEF+△AED=△EAC+△ACE=△EAC+△ACB-△BCE，△△EAC-△DEF=△BCE，△△BAG=△DAB-△DAG=△EAC-△DEF，△△BAG=△BCE，故④正确，△△ADG△△EDF，△AG=EF=EC,△△BAG=△BCE，AB=BC△△ABG△△BCE，△△ABG=△EBC，BG=BE,△△EBG=△ABC=60︒，△ΔBEG为等边三角形,△△BEG =60︒，故⑤正确，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题3．（2020·北京海淀区·人大附中九年级月考）如图，ABC 是等边三角形，3AB =，点E 在AC 上，2AE CE =，点D 在BC 的延长线上，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，连接AF ，若//AF BD ，则AF 的长为______．【答案】12+ 【分析】如图过点E 作EM AF ⊥于M ，交BD 于N ，解直角三角形求出AM ，EN ，利用全等三角形的性质证明MF=EN ，即可解决问题；【详解】过点E 作EM AF ⊥于M ，交BD 于N ，△△ABC 是等边三角形，△3AB AC BC ===，60ACB ∠=︒，△2AE CE =，△2AE =，1EC =，△//AF BE ，△60EAM ACB ∠=∠=︒，△EM AF ⊥，△90AME ∠=︒，△30AEM ∠=︒， △112AM AE ==， △//AF BD ，EM AF ⊥，△EN BC ⊥，△sin 602EN EC =︒=， △90EMF END FED ∠=∠=∠=︒，△90MFE MEF ∠+∠=︒，90MEF DEN ∠+∠=︒，△ED=EF ，△()△△EMF DEN AAS ≅，△2MF EN ==，△1AF AM MF =+=+故答案是：12+． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角形全等，准确分析计算是解题的关键．三、解答题4．（2021·四川成都市·八年级期末）已知：等边三角形ABC ，直线l 过点C 且与AB 平行，点D 是直线l 上不与点C 重合的一点，作射线DB ，并将射线DB 绕点D 顺时针转动60︒，与直线AC 交于点E （即60BDE ∠=︒）．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ，求证：DE DB =；（2）如图2，2AB =，4CD =，依题意补全图2，试求出DE 的长；（3）当点D 在点C 右侧时，直接写出线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）DE的长为（3）CD= BC+CE或BC=CD+CE．【分析】（1）过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．根据平行线的性质结合等边三角形的判定和性质可得出△DFB=△ACB=60°，△ECD=60°，△EDC=△FDB，CD=DF．由此即可证出△CDE△△BDF，从而得出DE=DB；（2）分两种情况：①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH△CD于H．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可；（3）分两种情况考虑：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可．【详解】解：（1）如图1，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．△△ABC为等边三角形，△△ACB=△ABC=60°，△DF△AC，CD△AB，△△DFB=△ACB=60°，△DCF=△ABC=60°，△△CDF是等边三角形，△ECD=60°，△△CDF=60°，CD=DF ，△△BDE=60°，△△EDC+△CDB=60°，△FDB+△CDB=60°，△△EDC=△FDB ．在△CDE 和△BDF 中，有60ECD BFD CD DFEDC BDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△CDE△△BDF （ASA ），△DE=DB ．（2）分两种情况：①当D 在点C 右侧时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．如图2所示．由（1）可知，CF=CD=4，CB=AB=2，△BF=2，△BD 是等边三角形△CDF 的高，△BD=2CD=△DE=BD=②当D 在点C 左侧时，过点D 作BC 的平行线与CA 于点F ，作BH△CD 于H ．如图3所示．△△ABC 为等边三角形，△△ACB=△CAB=60°，△DF△BC ，CD△AB ，△△DFC=△ACB=60°，△DCF=△CAB=60°，△△CDF 是等边三角形，△DCB=120°，△DFE=120°，△△CDF=60°，CD=DF ，△△BDE=60°，△△EDF+△FDB=60°，△FDB+△CDB=60°，△△EDF=△CDB ．在△CDB 和△EDF 中，有120BCD EFD CD DFBDC EDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△CDB△△EDF （ASA ），△DE=DB ．在R t△BCH中，△BCH=60°，△CBH=30°，CB=AB=2，△CH=1，BH=在R t△BDH中，DH=DC+CH=5，BH=△DB===△DE=，综上，DE的长为（3）分两种情况：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．如图1所示．由（2）可知，CD=CF，CE=BF，△CD=BC+BF=BC+CE，②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．如图4所示．△△ABC 为等边三角形，△△ACB=△ABC=60°，△DF△AC ，CD△AB ，△△DFC=△ACB=60°，△DCF=△ABC=60°，△△CDF 是等边三角形，△CFD=60°，△△CDF=60°，CD=DF=CF ，△BFD=120°，△DCE=120°，△△BDE=60°，△△EDC+△EDF=60°，△FDB+△EDF=60°，△△EDC=△FDB ．在△CDE 和△BDF 中，有120ECD BFD CD DFEDC BDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△CDE△△BDF （ASA ），△CE=BF ．△BC=CF+BF=CD+CE ．综上所述，当点D 在点C 右侧时，线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系是CD= BC+CE 或BC=CD+CE ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．5．（2019·渠县第三中学八年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y =−2x +6交坐标轴于A ，B 两点，过点C （-6，0）作CD 交AB 于D ，交y 轴于点E ，且△COE △△BOA ．（1）求点B的坐标，线段OA的长；（2）确定直线CD的解析式，求点D的坐标；（3）如图2，点M是线段CE上一动点(不与点C，E重合)，ON△OM交AB于点N，连接MN，当△OMN的面积最小时，请求点M的坐标和△OMN的面积．（4）如图3，点M是直线CD上一动点，过点M作x轴的垂线，交轴于点Q，连接EQ，若△EQM=△ACD，求点M的坐标．【答案】（1）（0，6），3；（2）（61855，）；（3）（65-，125），185；（4）（32-，94），（32，154）．【分析】（1）利用x轴与y轴的特征求直线y=-2x+6与两轴的交点即可；（2）利用△COE △△BOA．求出E（0，3）设CD的解析式为y=kx+b，将C、E代入求出CD解析式，由CD交AB于D，联立解方程组13226y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩即可；（3）由△COE △△BOA．推出CO=BO，△OCE=△OBA，利用同角的余角相等推出△COM =△EON，进而可证△COM△△BON(ASA)，得△MON为等腰直角三角形，要使△OMN的面积最小，需OM最小，此时OM△CE 由△COE 面积桥OC OE 65 OM==CE△MFO△△COE，得MF FO2==635可求MF，FO即可；（4）可证△EQO△△CEO由性质QO OE=OE OC求出OQ，当点Q在x轴的负半轴上时，Q（32-，0）由点M在CD上，当32x=-时求函数值得M1（32-，94）；当点Q在x轴的正半轴上时，Q（32，0）由点M在CD上，当32x=时求函数值M2（32，154），综合得M的坐标为（32-，94），（32，154）．【详解】（1）当x=0时，y=6，则B（0，6），当y=0时，-2x+6=0，x=3，A(3，0)，OA=3；（2）△△COE △△BOA，△OE=OA=3，OC=OB=6，△E（0，3），C(-6,0)，设CD的解析式为y=kx+b，过C（-6，0）和E（0，3），则360 bk b=⎧⎨-+=⎩，解得312 bk=⎧⎪⎨=⎪⎩，CD的解析式为：132y x=+，△CD交AB于D，△13226 y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得65185xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点D坐标为D（61855，）；（3）△△COE △△BOA，△CO=BO，△OCE=△OBA，△ON△OM，△COB=90º，△△COM+△MOE=90º,△MOE+△EON=90º，△△COM =△EON，△△COM△△BON(ASA)，△OM=ON，△△MON为等腰直角三角形，S △MON =211OM ON=OM 22， 要使△OMN 的面积最小，需OM 最小，此时OM△CE ，由△COE 面积得，11CE OM=OC OE 22，OC OE OM==CE 535，S △MON 最小=221118OM =?=2255⎛ ⎝⎭， 过M 作MF△OC 于F ，△△FMO+△FOM=90º，△MCO+△MOC=90º，△△FMO=△MCO ，△△MFO=△COE=90º，△△MFO△△COE ，△MF FO OM ==OC OE CE 即MF FO 2==635， △212MF=6=55⨯，6FO=5， △点M 在第二象限，55（4）△MQ△x轴，△MQ△OE，△△MQE=△QEO，△△EQM=△ACD，△△QEO=△OCE，△△QOE=△EOC，△△EQO△△CEO，△QO OE=OE OC，△OQ=2OE93== OC62，当点Q在x轴的负半轴上时，Q（32-，0），由点M在CD上，CD的解析式为：132y x=+，当32x=-时1393224y⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，24当点Q在x轴的正半轴上时，Q（32，0），由点M在CD上，CD的解析式为：132y x=+，当32x=时13153224y⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭，M2（32，154），综合得M的坐标为（32-，94），（32，154）．．【点睛】本题考查直线与两轴的交点，直线解析式，两直线的交点，最小面积，三角形全等的性质，勾股定理，三角形相似，掌握直线与两轴的交点求法，会用待定系数法求直线解析式，会利用解方程组求两直线的交点，会利用点到直线的距离最小求最小面积，利用三角形全等的性质进行线段、角的转化，利用勾股定理求边长，会利用三角形相似的性质解决问题是关键．6．（2020·辽宁沈阳市·九年级其他模拟）在ABC中，AB AC=，点P在平面内，连接AP，并将线段AP绕A顺时针方向旋转与BAC∠相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．（1）如图，如果点P是BC边上任意一点．则线段BQ和线段PC的数量关系是__________．（2）如图，如果点P 为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；（3）如图，在DEF 中，8DE =，60EDF ∠=︒，75DEF ∠=︒，P 是线段EF 上的任意一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到线段DQ ，连接EQ ．请直接写出线段EQ 长度的最小值．【答案】（1）相等；（2）成立，证明见解析；（3）【分析】（1）先判断出△BAQ=△CAP ，进而用SAS 判断出△BAQ△△CAP ，即可得出结论；（2）结论BQ=PC 仍然成立，理由同（1）的方法；（3）先构造出△DEQ△△DHP ，得出EQ=HP ，进而判断出要使EQ 最小，当HP△EF （点P 和点M 重合）时，EQ 最小，最后用解直角三角形即可得出结论．【详解】解：（1）由旋转知：AQ=AP ，△PAQ BAC ∠=∠，△PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠，△BAQ CAP ∠=∠，△AB AC =，△()BAQ CAP SAS ∆≅∆，△BQ CP =故答案为：相等．（2）BQ PC =仍成立，理由如下：证明：由旋转知：AQ=AP ，△PAQ BAC ∠=∠，△PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠，△BAQ CAP ∠=∠，△AB AC =，△()BAQ CAP SAS ∆≅∆，△BQ C =Ｐ（3）如图：在DF 上取一点H ，使8DH DE ==，连接ＰＨ，过点Ｈ作HM EF ⊥于Ｍ，由旋转知，DQ DP =，60PDQ ∠=︒，△60EDF ∠=︒，△PDQ EDF ∠=∠，△EDQ HDP ∠=∠，△()DEQ DHP SAS ∆≅∆，△EQ HP =，要使EQ 最小，则有HP 最小，而点H 是定点，点P 是EF 上的动点，△当HM EF ⊥（点P 和点M 重合）时，HP 最小，即：点P 与点M 重合，EQ 最小，最小值为HM ，过点E 作EG DF ⊥于G ，在Rt DEG ∆中，8DE =，60EDF ∠=︒，△30DEG ∠=︒， △142DG DE ==，△EG ==，在Rt EGF ∆中，753045FEG DEF DEG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，△9045F FEG FEG ∠=︒-∠=︒=∠，FG EG ==△4DF DG FG =+=+△484FH DF DH =-=+=，在Rt HMF ∆中，45F ∠=︒，△)422HM FH ===即：EQ 的最小值为．【点睛】本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等知识为解题关键．。
上海市2021年中考数学真题及答案
一、选择题
1.下列实数中，有理数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简二次根式，再根据有理数 定义选择即可
【详解】解：
A、 ∵ 是无理数，故 是无理数
B、 ∵ 是无理数，故 是无理数
C、 为有理数
D、 ∵ 是无理数，故 是无理数
故选：C
2.下列单项式中， 同类项是（）
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到 ＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】解：关于x的一元二次方程 无解，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
13.有数据 ，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式计算即可
因式分解，得 ．
解得 ，或 （与点P重合，舍去）．
当 时， ．
所以点C的坐标是 ．
25.如图，在梯形 中， 是对角线 的中点，联结 并延长交边 或边 于E．
（1）当点E在边 上时，
①求证： ；
②若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）①见解析；② ；（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导， ，由此可得 ；
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
2021年上海市中考数学真题试题(含答案)
2021年上海中考数学试卷逐题解析版一、选择题（本大题共6题.每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，有理数是（）A.12B.13C.14D.152.下列单项式中，23a b的同类项是（）32A.a b23B.3a b2C.a b3D.ab3.将函数2y a bx c(a0)x的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A.开口方向不变B.对称轴不变B.y随x的变化情况不变 D.与y轴的交点不变4.商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包5.如图，已知AB a，AD b，E为AB中点，则1a b2=（）A.ECB.CEC.EDD.DE6.如图长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7.计算：72x x.8.已知6f(x)x,那么f3).9.已知x 43,则x= .10.不等式2x-12＜0的解集是 . 11.70°的余角是 °.12. 若一元二次方程22-3x+c=0x 无解,则c 的取值范围为 .13. 已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 .14. 已知函数y kx 的图像经过二、四象限，且不经过(-1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式 . 15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，挣得 元.16如图所示,已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，ABD BCD 1=2S S △△,则BOC BCD=S S △△ .17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,则中间正六边形的面积为 .18.定义:平面上一点到图形的最短距离为d,如图,OP=2, 正方形ABCD 的边长为2,O 为正方形中心,当正方形ABCD 绕O 旋转时,d 的取值范围是 .三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.计算：112+|12|892－－－16. 解方程组：22x y 340yx －21.如图，已知在△ABD 中，AC ⊥BD ，BC=8，CD=4，4cos ABC 5，BF 为AD 边上的中线. (1)求AC 的长;(2)求tan ∠FBD 的值.22. 现在5G 手机非常流行,某公司第一季度总共生产80万部5G 手机,三个月的生产情况如下图.(1) 求3月份生产了多少部手机?(2) 5G 手机速度很快,比4G 下载速度每秒多95MB, 下载一部1000MB 的电影,5G 比4G 要快190秒, 求5G 手机的下载速度.23.已知：在圆O 内,弦AD 与弦BC 相交于点G,AD=CB ，M 、N 分别是CB 和AD 的中点，联结MN 、OG.（1）证明:OG ⊥MN;（2）联结AB 、AM 、BN ，若BN ∥OG ，证明：四边形ABNM 为矩形。
2021年上海市中考数学试卷(含详细解析答案)
上海市2021 年中考数学试题一、选择题1.下列实数中，有理数是（ ）A.B.C.D.2.下列单项式中， a2b3 的同类项是（ ）A.a3b2B.2a2b3C.a2bD. ab33.将抛物线 y =ax2 +bx +c (a ¹ 0)向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y 随 x 的变化情况不变D. 与 y 轴的交点不变4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）A. 2kg/包B. 3kg/包C. 4kg/包D. 5kg/包5.如图，已知 E 为 AB 中点，求6.如图，已知长方形 ABCD 中，AB=4，AD=3，圆 B 的半径为 1，圆 A 与圆 B 内切，则点 C、D 与圆 A 的位置关系式（ ）A. 点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 内B. 点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 外C. 点 C 在圆 A 上，点 D 在圆 A 内D. 点 C 在圆 A 内，点 D 在圆 A 外7. 8. 3 ) 9. 已知 =10.11. 12.13. 14. (-1,1) ， 请写出一个符合条件的函数解析式15. 5 元/千16.17.六个带 30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为 1，求中间正六边形的面积18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为 2，中心为 O，在正方形外有一点 P，OP=2，当正方形绕着点 O 旋转时，则点 P 到正方形的最短距离 d 的取值范围为三、解答题19. 计算：20. 解方程组：21.已知在 ABD 中， AC ^BD ，BC=8，CD=4，cos ÐABC =4BF 为AD 边上的中线. 5（1）求AC 的长；（2）求tan∠FBD 的值.22.现在 5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产你 80 万部 5G 手机，三个月生产情况如下图.（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G 手机速度很快，比 4G 下载速度每秒多 95MB，下载一部 1000MB 的电影，5G 比4G 要快 190 秒， 求5G 手机的下载速度.23.已知：在圆 O 内，弦 AD 与弦 BC 交于点 G，AD=CB，M、N 分别是 CB 和AD 的中点，联结MN、OG. （1）求证： OG ^MN ；（2）联结AC、AM、CN，当 CN//OG 时，求证：四边形 ACNM 为矩形.24. 已知抛物线 y =ax2 +c (a ¹ 0)过点 P（3,0），Q（1,4）.（1）求抛物线的解析式；（2）点A 在直线 PQ 上且在第一象限内，过 A 作AB ^x 轴于 B，以 AB 为斜边在其左侧作等腰直角 ABC.①若 A 与 Q 重合，求 C 到抛物线对称轴的距离；②若 C 落在抛物线上，求 C 的坐标.25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90°，AD =CD ，O 是对角线 AC 的中点，联结 BO 并延长交边 CD 或边 AD 于 E .（1）当点 E 在边 CD 上时，①求证：②若 BE ^ CD AD 的值；BC③若 DE =2，OE =3，求 CD 的长.参考答案和解析一、选择题本大题共6题.每题4分，满分24分）1.【考点】有理数．【解答】解：整数与分数统称为有理数；无限不循环小数为无理数，常见的无理数有π和开方开不尽的数（A ）无理数，故A 错误； （B ）无理数，故B 错误；（C ）原式＝，故C 对； （D ）无理数，故D 错误； 故选：C ． 【点评】本题考查有理数的概念，解题的关键是抓住有理数和无理数的区别，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．本题属于基础题型．2.【考点】同类项．【解答】解：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。
2021年中考真题精品解析数学(上海卷)精编word版(解析版)
一、 选择题1．如果a 与3互为倒数，那么a 是（ ） A ．3- B ．3 C ．13- D ．13【答案】D ． 【解析】试题分析：3的倒数是13．故选D ． 考点：倒数关系．2．下列单项式中，与2a b 是同类项的是（ ）A ．22a b B ．22a b C ．2ab D ．3ab 【答案】A ． 【解析】试题分析：含有相同字母，并且相同字母的指数相同的单项式为同类项，故选A ． 考点：同类项的概念．3．如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．21y x =+ D ．23y x =+ 【答案】C ． 【解析】试题分析：抛物线22y x =+向下平移1个单位变为221y x =+-，即为21y x =+．故选C ． 考点：图象的平移变换．4．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）A ．3次B ．3.5次C ．4次D ．4.5次【答案】C ． 【解析】试题分析：平均数为：1(223241056)20⨯+⨯+⨯+⨯＝4（次）．故选C ． 考点：加权平均数的计算．5．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =，AD b =，那么向量AC 用向量a 、b 表示为（ ） A ．12a b + B ．12a b - C ．12a b -+ D ．12a b -- 【答案】A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是（ ） A ．14r << B ．24r << C ．18r << D ．28r <<【答案】B ． 【解析】考点：勾股定理，点与圆、圆与圆的位置关系．二、 填空题7．计算：3a a ÷=__________． 【答案】2a ． 【解析】试题分析：同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，原式＝312a a -=．故答案为：2a ．考点：单项式的计算． 8．函数32y x =-的定义域是__________． 【答案】2x ≠． 【解析】试题分析：由分式的意义，得：2x -≠0，即2x ≠．故答案为：2x ≠． 考点：分式的意义．912x -=的解是__________． 【答案】5x =． 【解析】试题分析：原方程两边平方，得：x －1＝4，所以，5x =．故答案为：5x =． 考点：根式方程． 10．如果12a =，3b =-，那么代数式2a b +的值为__________． 【解析】试题分析：2a b +＝1232⨯-＝－2．．故答案为：－2． 考点：求代数式的值． 11．不等式组2510x x <⎧⎨-<⎩的解集是__________．【答案】1x <． 【解析】考点：一元一次不等式，不等式组的求解．12．如果关于x 的方程230x x k -+=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是__________． 【答案】94． 【解析】试题分析：因为原方程有两个相等的实数根，所以，△＝9－4k ＝0，所以，k ＝94．故答案为：94． 考点：一元二次方程根的判别式． 13．已知反比例函数ky x=（0k ≠），如果在这个函数图像所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是__________． 【答案】0k >．考点：反比例函数的性质．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、⋅⋅⋅、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是__________． 【答案】13． 【解析】试题分析：向上的一面出现的点数是3的倍数有3、6两种，所以，所求概率为：2163=．故答案为：13． 考点：概率．15．在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，那么ADE ∆的面积与ABC ∆的面积的比 是__________． 【答案】14． 考点：三角形中位线定理，相似三角形的性质．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是__________．【答案】6000． 【解析】试题分析：设总人数为x ，由扇形统计图可知，自驾点40%，所以，x ＝480040%＝12000，选择公交前往的人数是：1200050%⨯＝6000．故答案为：6000． 考点：条形统计图与扇形统计图．17．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为__________米．（精确到1米，参3 1.73≈）【答案】208．【解析】试题分析：依题意，有∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，tan30BDAD︒=，所以，BD＝90tan30°＝303，tan60CDAD︒=，所以，CD＝90tan60°＝903，所以，BC＝1203120 1.73≈⨯≈208．故答案为：208．考点：三角函数的应用．18．如图，矩形ABCD中，2BC=，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A'、C'处，如果点A'、C'、B在同一条直线上，那么tan ABA'∠的值为__________．51-考点：三角形相似的性质，一元二次方程，三角函数．三、解答题19．计算：122131|412()3---．【答案】63【解析】试题分析：根据绝对值、分数指数幂，二次根式、负指数幂的定义解答即可．试题解析：原式31223963=--=考点：实数的运算．20．解方程：214124x x -=--． 【答案】． 【解析】试题解析：去分母，得2244x x +-=-，移项、整理得220x x --=，经检验：12x =是增根，舍去；21x =-是原方程的根，所以，原方程的根是1x =-． 考点：解分式方程．21．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，点D 在边AC 上，且2AD CD =，DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）ECB ∠的余切值．【答案】（1）22；（2）12． 【解析】试题分析：（1）先计算出AD 的长，进而算出AE 的长，在Rt △ABC 中，得到AB 的长，由BE =AB -AE 即可得到结论；（2）过点E 作EH ⊥BC 于H ，可得到EH =BH =2，从而有CH =1，在Rt △ECH 中，由三角函数定义可得到结论．22．某物流公司引进A 、B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量A y （千克）与时间x （时）的函数图像，线段EF 表示B 种机器人的搬运量B y （千克）与时间x （时）的函数图像，根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求B y 关于x 的函数解析式；（2）如果A 、B 两种机器人各连续搬运5个小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？【答案】（1）9090B y x =-（16x ≤≤）；（2）B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克． 【解析】试题分析：（1）设B y 关于x 的函数解析式为1B y k x b =+，把E 、P 的坐标代入即可得到结论；（2）设A y 关于x 的函数解析式为2A y k x =，把P 的坐标代入即可得到A y 的表达式，令x =6，代入B y ，令x =5，代入A y ，两者相减即可得到结论．答：如果A 、B 两种机器人各连续搬运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克． 考点：一次函数的图象，函数解析式，应用题．23．已知，如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE BD =． （1）求证：AD CE =；（2）如果点G 在线段DC 上（不与点D 重合），且AG AD =，求证：四边形AGCE 是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）证明△ABD ≌△CAE 即可；试题解析：（1）在⊙O 中，∵AB AC =，∴AB AC =，∴B ACB ∠=∠．∵AE ∥BC ，∴EAC ACB ∠=∠，∴B EAC ∠=∠．又∵BD AE =，∴ABD ∆≌CAE ∆，∴AD CE =；（2）联结AO 并延长，交边BC 于点H ，∵AB AC =，OA 是半径，∴AH BC ⊥，∴BH CH =．∵AD AG =，∴DH HG =，∴BH DH CH GH -=-，即BD CG =．∵BD AE =，∴CG AE =．又∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形．考点：圆的性质定理，三角形的全等，平行四边形的判定．24．如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ． （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E 的坐标．【答案】（1）245y x x =--；（2）18；（3）E 3(0,)2．【解析】1645550a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，∴这条抛物线的表达式为245y x x =--； （2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-．联结AC ，∵点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-，又145102ABC S ∆=⨯⨯=，14482ACD S ∆=⨯⨯=，∴18ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+=四边形；（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．∵1102ABC S AB CH ∆=⨯⨯=，52AB =，∴22CH =．在Rt BCH ∆中，90BHC ∠=︒，26BC =，2232BH BC CH =-=，∴2tan 3CH CBH BH ∠==；在Rt BOE ∆中，90BOE ∠=︒，tan BO BEO EO ∠=．∵BEO ABC ∠=∠，∴23BO EO =，得32EO =，∴点E 的坐标为3(0,)2．考点：二次函数的图象，二元一次方程组，三角函数，三角形的面积．25．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒，15AD =，16AB =，12BC =，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且AGE DAB ∠=∠． （1）求线段CD 的长；（2）如果AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、D 重合），设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；【答案】（1）7；（2）15或252；（3）22518x y x -=（2592x <<）． 【解析】试题分析：（1）过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ，由勾股定理求出AH 的长，进而求出DC 的长；（2）可证AEG ∆∽DEA ∆，从而得到DEA ∆是以AE 为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：① 若AE AD =，② 若AE DE =；（3）表示出DE 的长，由AEG ∆∽DEA ∆，得出EG 的长，从而得出DG 的长，由DF ∥AE ，得到DF DG AE EG=，化简即可得到结论． ① 若AE AD =，∵15AD =，∴15AE =；② 若AE DE =，过点E 作EQ AD ⊥，垂足为Q ，∴11522AQ AD ==． 在Rt DAH ∆中，90AHD ∠=︒，3cos 5AH DAH AD ∠==； 在Rt AEQ ∆中，90AQE ∠=︒，3cos 5AQ QAE AE ∠==，∴252AE =； 综上所述：当AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形时，线段AE 的长为15或252；（3）在Rt DHE ∆中，90DHE ∠=︒，222212(9)DE DH EH x =+=+-．∵AEG ∆∽DEA ∆，∴AE EG DE AE =，∴22212(9)EG x =+-，∴2222212(9)12(9)DG x x =+-+-．∵DF ∥AE ，∴DF DG AE EG =，222212(9)y x x x x+--=，∴22518x y x -=，x 的取值范围为2592x <<． 考点：勾股定理，三角形的相似，应用数学知识解决问题的能力．。
2021年上海市数学中考真题含答案解析(含答案)
2021年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题（每小题4分,共24分）1的结果是（ ）．(A)。
(B) 。
(C) 。
(D) ．2．据统计,2021年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元,这个数用科学记数法表示为（ ）．(A)608×108。
(B) 60.8×109。
(C) 6.08×1010。
(D) 6.08×1011．3．如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是（ ）．(A) y ＝x 2－1。
(B) y ＝x 2＋1。
(C) y ＝(x －1)2。
(D) y ＝(x ＋1)2．4．如图,已知直线a 、b 被直线c 所截,那么∠1的同位角是（）．(A) ∠2。
(B) ∠3。
(C) ∠4。
(D) ∠5．5．某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50, 40, 75, 50, 37, 50, 40 ,这组数据的中位数和众数分别是（ ）．(A)50和50。
(B)50和40。
(C)40和50。
(D)40和40．6．如图,已知AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线,那么下列结论一定正确的是（ ）．(A)△ABD 与△ABC 的周长相等。
(B)△ABD 与△ABC 的周长相等。
(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍。
(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．二、填空题（每小题4分,共48分）7．计算：a (a ＋1)＝_________．8．函数的定义域是_________．9．不等式组的解集是_________．10．某文具店二月份销售各种水笔320支,三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%,那么该文具店三鱼粉销售各种水笔_________支．11．如果关于x 的方程x 2－2x ＋k ＝0（k 为常数）有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是_________．11y x =-12,28x x ->⎧⎨<⎩12．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i ＝1∶2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为_________米．13．如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛,那么恰好抽到初三（1）班的概率是_________．14．已知反比例函数（k 是常数,k ≠0）,在其图像所在的每一个象限内,y 的值随着x 的值的增大而增大,那么这个反比例函数的解析式是_________（只需写一个）．15．如图,已知在平行四边形ABCD 中,点E 在边AB 上,且AB ＝3EB ．设,,那么＝_________（结果用、表示）．16．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛,已知他们每人五次投得的成绩如图所示,那么三人中成绩最稳定的是_________．17．一组数：2, 1, 3, x , 7, y , 23,…,满足“从第三个数起,前两个数依次为a 、b,紧随其后的数就是2a －b ”,例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2－1”得到的,那么这组数中y 表示的数为__________．18．如图,已知在矩形ABCD 中,点E 在边BC 上,BE ＝2CE ,将矩形沿着过点E 的直线翻折后,点C 、D 分别落在边BC 下方的点C ′、D ′处,且点C ′、D ′、B 在同一条直线上,折痕与边AD 交于点F ,D ′F 与BE 交于点G ．设AB ＝t ,那么△EFG 的周长为______________（用含t 的代数式表示）．ky x=AB a = BC b =DE a b三、解答题（本题共7题,满分78分）19．（本题满分10分）20．（本题满分10分）解方程：．21．（本题满分10分,第（1）小题满分7分,第（2）小题满分3分）已知水银体温计的读数y （℃）与水银柱的长度x（cm ）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计,其部分刻度线不清晰（如图）,表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x （cm ） 4.2…8.2来源学科网ZXXK]9.8体温计的读数y （℃）35.0…40.042.0（1）求y 关于x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）。
2021上海中考23题解法汇总及错因分析
2021上海中考23题解法汇总及错因分析
上海中考的23题⼀直重点考察平⾏四边形和特殊四边形的判定和性质，是⼀道分值为12分的结合证明题，重点考察了特殊四边形和全等三⾓形、相似三⾓形、⽐例线段及圆的性质或判定的综合应⽤。
1、平⾏四边形的判定：
2、平⾏四边形的性质：
平⾏四边形的两组对边分别平⾏且相等，两组对⾓相等，对⾓线互相平分。
3、矩形和菱形的判定：
4、矩形和菱形的性质：
解法分析：本题的已知条件中出现了等弦以及弦的中点，因此联想到圆中的四等定理以及垂径定理。
本题的证明问题中的第(1)问是证明线段的垂直，根据图形特点，由此我们可以联想到等腰三⾓形的三线合⼀定理或者线段的垂直平分线的性质定理。
第(2)增设了AF//OP的条件，利⽤(1)的结论，我们可以很容易得到∠PFE=90°，因此将问题转化为如何证明AFEC为平⾏四边形，通过联想平⾏四边形的判定定理，找到对应的条件和⽅法进⾏佐证。
2021上海中考23-1具体解法分析:
解法3主要利⽤了拓展内容中的圆周⾓的性质，结合全等三⾓形的相关性质定理进⾏证明。
2021上海中考23-1具体错因分析:
2021上海中考23-2具体解法分析:
说明：除了上述的三种办法外，也可以利⽤类似的办法证明三个⾓是直⾓的四边形是矩形；同时也可以利⽤AP=CP，EP=PF，利⽤⽐例线段的性质证明AC//EF。
2021上海中考23-2具体错因分析:
纵观2016、2019、2021年圆背景下的上海中考23题的，主要还是围绕着四等定理和垂径定理展开，结合特殊四边形的判定和性质，再利⽤全等三⾓形和相似三⾓形作为⼯具，进⾏线段或⾓的转化，达到证明的⽬的。
2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-23题含详解
专题2021年分类汇编-23题专题一A字型X型【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB、AC上，△ABC的高AH交GF于点l．（1）求证：BD•EH＝DH•CE；（2）设DE＝n•EF（n为正实数），求证：11nBC AH EF+=．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD 上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；②如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）专题二相似三角形之等量代换【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB ＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE＝∠CAD，DE与AC交于点F，CE•CB＝AB•CD．（1）求证：AD∥BC；（2）当AD＝DE时，求证：AF2＝CF•CA．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．专题三相似三角形之面积比【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE ∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB．专题四相似三角形综合题【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC；（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF•DC＝EF•BC．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．专题2021年分类汇编-23题专题一A 字型X 型【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB 、AC 上，△ABC 的高AH 交GF 于点l ．（1）求证：BD •EH ＝DH •CE ；（2）设DE ＝n •EF （n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△BDG ∽△ABH ，△FEC ∽△ACH ，对应边成比例整理即可得结；（2）根据已知条件证明△AGF ∽△ABC ，对应边成比例即可证明结论．【解答】（1）证明：∵四边形DEFG 是矩形，∴GD ⊥BC ，FE ⊥BC ，DG ＝EF ，∵AH ⊥BC ，∴GD ∥AH ∥FE ，∴BD BG =DH GA CE FC =HE FA∵GF ∥BC ∴BG FC =GA FA ∴BD CE =DH EH∴BD •EH ＝DH •CE ；（2）证明：∵DF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF AF =BC AC ，∵FC EF =AC AH ，∴GF EF 1BC AH AF FC AC AC+=+=，∵GF ＝DE ＝n •EF ，∴1n EF EF BC AH += ，∴11n BC AH EF+=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△FAB，得AD DE BF AB=，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得BE BMDE AD=，进而证出BM DNBC DC=，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴AD DEBF AB=，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴BE BM DE AD=，∵BE DNDE DC=，∴BM DNAD DC=，∴BM DNBC DC=，∴MN∥BD，∴EF∥MN．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：③如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；④如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【分析】（1）写出已知，求证，证明即可．（2）连接CA，DB，延长CA交DB延长线于点F，连接AD，BC交于点F，作直线EF交AB于点M，交CD于点N，点M，N即为所求作．【解答】解：（1）已知：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，EF经过点O，且EF∥BC，求证：OE＝OF．证明：∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE AO=BC AC，OF DO=BC DB，∵AD∥BC，∴AO DO=AC DB，∴EO OF=BC BC，∴EO＝OF．（2）如图3中，点M，N即为所求作．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．专题二相似三角形之等量代换【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ADF∽△CDB，可得∠F＝∠B，由余角的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CBD，可得AB BEBC BD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BCAD CD=，设AF BCAD CD=＝k，∴AF＝kAD，BC＝kCD，∴DF＝AD，BD CD，∴DF AD BD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△CDB，∴∠F＝∠B，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；方法2：∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BC AD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△FAD∽△BCD，∴∠B＝∠F，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；（2）∵BE＝CE，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△CBD，∴AB BE BC BD=，∴BC•12BC＝AB•BD，∴BC2＝2BD•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到AF EFAC AB=，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴AF EF BF DF=，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴AF EFAC AB，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，可得△ADE∽△BCE，得∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，根据AB＝AD，进而可以证明结论；（2）根据DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，可得△ADB∽△ADE，对应边成比例，结合（1）△ADE∽△CBE对应边成比例，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB；（2）∵DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，∴△ADB∽△EDA，∴AB AD AE DE=，∵△ABE∽△ACB，∴AD DE BC EC=，∴AD BCDE EC=，∴AB BCAE EC=，∴AB•EC＝BC•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CE CGBE AG=，进而可得CE CGBE BF=，由等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠DCB，由相似三角形的判定可得结论；（2）通过证明△ABE∽△CBA，可得AB BEAC AB=，可得结论．【解答】证明：（1）∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵EG∥AB，∴CE CG BE AG=，∵BF＝AG，∴CE CG BE BF=，∴△BFE∼△CGE；（2）∵△BFE∼△CGE，∴∠BEF＝∠GEC，∠BFE＝∠EGC，∵∠AEG＝∠C，∠GEB＝∠AEG+∠AEB＝∠C+∠EGC，∴∠AEB＝∠EGC，∴∠BEF＝∠GEC＝∠BFE＝∠EGC，∴BE＝BF，EC＝GC，∴BE＝AG，∵GE∥AB，∴∠AEG＝∠BAE，∴∠BAE＝∠C，又∵∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴AB BE AC AB=，∴AB 2＝AC •BE ＝AC •AG ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABE ∽△CBA 是本题的关键．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠DCB ，联结AC ，点E 在边BC 上，且∠CDE ＝∠CAD ，DE 与AC 交于点F ，CE •CB ＝AB •CD ．（1）求证：AD ∥BC ；（2）当AD ＝DE 时，求证：AF 2＝CF •CA．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ABC ∽△ECD ，可得∠CDE ＝∠ACB ＝∠CAD ，可得结论；（2）由“ASA ”可证△ADF ≌△DEC ，可得AF ＝CD ，通过证明△ADC ∽△DFC ，可得CD CF AC CD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵CE •CB ＝AB •CD ，∴AB BC EC DC=，又∵∠B ＝∠DCB ，∴△ABC ∽△ECD ，∴∠CDE ＝∠ACB ，∵∠CDE ＝∠CAD ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC ；（2）∵AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DEC ，在△ADF 和△DEC 中，DAC=CDE AD=DE ADF=DEC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADF ≌△DEC （ASA ），∴AF ＝CD ，∵∠CDE ＝∠DAC ，∠DCA ＝∠DCF ，∴△ADC ∽△DFC ，∴CD CF AC CD=，∴CD 2＝CF •CA ，∴AF 2＝CF •CA ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AF ＝CD 是本题的关键．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到AD DF=BC BD，再证明△ADE∽△CBE，则AD DE=BC BE，然后利用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到DF DE=BD BE，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴AD DF=BC BD，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴AD DE=BC BE，∴DF DE=BD BE；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴DC DE=BD DC，∴DC2＝DE•DB，∵DF DE=BD BE，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．专题三相似三角形之面积比【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△ACB，可得AE ABAD AC=，根据∠A＝∠A，证明△ADC∽△AEB，即可得结论；（2）根据已知条件证明△EDF∽△EBD，可得DF EF DEBD DE BE==，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AE AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴DF EF DEBD DE BE==，2()DF EF DEBD DE BE= ，∴22DF EF BD BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CH ⊥AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE ∽△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD的面积的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH ＝∠CBH ，根据等腰三角形的性质得到∠CED ＝∠CDE ，进而得到∠AEC ＝∠ADB ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，根据相似三角形的性质得到AD BD AE CD=，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC ⊥BC ，CH ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠AHC ＝90°，∴∠ACH ＝∠CBH ，∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠CDE ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴△ACE ∽△ABD ；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，∴∠CAD ＝∠G ，∵△ACE ∽△ABD ，∴AD BD AE CD =，∠CAD ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠G ，∴AB ＝BG ，∵BG ∥AC ，∴△ADC ∽△GDB ，∴BG BD AC CD =，∴AD BD AE CD=，∴ACD ABD ACE ACDS S S S ∆∆∆∆=，∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB=．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由题意可证△ADE∽△ACD，可得∠ADE＝∠ACD，由平行线的性质可得∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE＝∠ACD，可得结论；（2）由相似三角形的性质可得CD DEBC CD=，可得22CD CD DE DEBC BC CD BC=⋅=，由平行线分线段成比例可得结论．【解答】证明：（1）∵AD2＝AE•AC，∴AD AC AE AD=，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠ADE＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ACD，∴△BCD∽△CDE；（2）∵△BCD∽△CDE，∴CD DE BC CD=，∴22CD CD DE DE BC BC CD BC=⋅=，∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，∴22CD ADBC AB=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．专题四相似三角形综合题【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△DCE∽△BCD，可得DC CEBC CD=，可得结论；（2）由直角三角形的性质可得AM＝ME＝CM，进而可得∠MCE＝∠MEC，通过证明点A，点C，点E，点D四点共圆，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴DC CE BC CD=，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD ∥BC ，∠ABD ＝∠C ，AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=；（2）联结EF ，如果∠ADB ＝∠BDF ，求证：DF •DC ＝EF •BC ．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AB BD DC BC =，证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AE BD DF BC=，则可得出结论；（2）证明△ADB ∽△EDF ，由相似三角形的性质得出∠ABD ＝∠EFD ，证明△EDF ∽△DBC ，得出DF EF BC DC =，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∵∠ABD ＝∠C ，∴△ABE ∽△DCF ，∴AE AB DF DC=，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴△ABD ∽△DCB ，∴AB BD DC BC =，∴AE BD DF BC =；（2）证明：∵∠ADB ＝∠DBF ，∠ADB ＝∠BDF ，∠BFD ＝90°，∴∠DBF ＝∠BDF ，∴∠DBF ＝ADE ＝45°，∴△AED 和△BFD 都是等腰直角三角形，∴AD BD DE DF==又∵∠ADE ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△EDF ，∴∠ABD ＝∠EFD ，∵∠ABD ＝∠C ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠EDF ＝∠DBC ，∴△EDF ∽△DBC ，∴DF EF BC DC=，∴DF •DC ＝EF •BC ．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴DE CE=CE BC，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴BE EF=BF AE，∴BE•EF＝BE•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键．。
精品解析：上海市2021年中考数学真题(解析版)
上海市2021年中考数学试题一、选择题1.下列实数中，有理数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】解：A 2是无理数B 3是无理数C 12为有理数D 55是无理数故选：C【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键2.下列单项式中，23a b 的同类项是（）A.32a b B.232a b C.2a b D.3ab 【答案】B【解析】【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致，∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．3.将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A.开口方向不变B.对称轴不变C.y 随x 的变化情况不变D.与y 轴的交点不变【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y 随x 的变化情况不变；与y 轴的交点改变故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A.2kg /包B.3kg /包C.4kg /包D.5kg /包【答案】A【解析】【分析】选择人数最多的包装是最合适的．【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．故选：A ．【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可．5.如图，已知平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，E 为AB 中点，求12a b += （）A.ECB.CEC.EDD.DE【答案】A【解析】【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，E 为AB 中点，∴1122a b AB BC EB BC EC +=+=+= 故选A ．【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则．6.如图，已知长方形ABCD 中，4,3AB AD ==，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点,C D 与圆A 的位置关系是（）A.点C 在圆A 外，点D 在圆A 内B.点C 在圆A 外，点D 在圆A 外C.点C 在圆A 上，点D 在圆A 内D.点C 在圆A 内，点D 在圆A 外【答案】C【解析】【分析】根据内切得出圆A 的半径，再判断点D 、点E 到圆心的距离即可【详解】∵圆A 与圆B 内切，4AB =，圆B 的半径为1∴圆A 的半径为5∵3AD =<5∴点D 在圆A 内在Rt △ABC 中，5AC ===∴点C 在圆A 上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题7.计算：72=x x ÷_____________．【答案】5x 【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可【详解】∵72=x x ÷5x ,故答案为:5x ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．8.已知6()f x x=，那么f =__________．【答案】【解析】【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．【详解】解：∵6 ()f xx=，∴f=，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键．9.3=，则x=___________．【答案】5【解析】【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解．3=，两边同平方，得49x+=，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，∴x=5，故答案是：5．【点睛】本题主要考查解根式方程，把根式方程化为整式方程，是解题的关键．10.不等式2120x-<的解集是_______．【答案】6x<【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】2120x-<212x<6x<故答案为：6x<．【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．11.70︒的余角是__________．【答案】20︒【解析】【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】70︒的余角是90°-70︒=20︒故答案为：20︒．【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．12.若一元二次方程2230x x c -+=无解，则c 的取值范围为_________．【答案】98c >【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到()2342c =--⨯ ＜0，然后求出c 的取值范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程2230x x c -+=无解，∵2a =，3b =-，c c =，∴()2243420b ac c =-=--⨯< ，解得98c >，∴c 的取值范围是98c >．故答案为：98c >．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13.有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为__________．【答案】38【解析】【分析】根据概率公式计算即可【详解】根据概率公式，得偶数的概率为38，故答案为：38．【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．14.已知函数y kx =经过二、四象限，且函数不经过(1,1)-，请写出一个符合条件的函数解析式_________．【答案】2y x =-（0k <且1k ≠-即可）【解析】【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．【详解】解：∵正比例函数y kx =经过二、四象限，∴k <0，当y kx =经过(1,1)-时，k =-1，由题意函数不经过(1,1)-，说明k ≠-1，故可以写的函数解析式为：2y x =-(本题答案不唯一，只要0k <且1k ≠-即可)．【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，y kx =(k ≠0)当0k <时经过第二、四象限；当0k >时经过第一、三象限．15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．【答案】335k 【解析】【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润．【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为()510y mx n x =+≤≤，将（5，4k ），（10，k ）代入关系式：5410m n k m n k +=⎧⎨+=⎩，解得357m k n k⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴()375105y kx k x =-+≤≤令8x =，则115y k =∴利润=()11338555k k -⨯=【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量．16.如图，已知12ABD BCD S S = ，则BOC BCDS S =_________．【答案】23【解析】【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出12AD BC =，再根据△AOD ∽△COB 得出12OD AD OB BC ==，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可【详解】解：作AE ⊥BC ，CF ⊥BD ∵12ABD BCD S S = ∴△ABD 和△BCD 等高，高均为AE ∴112122ABD BCD AD AE S AD S BC BC AE === ∵AD ∥BC∴△AOD ∽△COB ∴12OD AD OB BC ==∵△BOC 和△DOC 等高，高均为CF ∴1·2211·2BOC DOCOB CF S OB S OD OD CF === ∴BOC BCD S S = 23故答案为：23【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．【答案】2．【解析】【分析】由六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC 、△CDE 、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【详解】解：如图所示，连接AC 、AE 、CE ，作BG ⊥AC 、DI ⊥CE 、FH ⊥AE ，AI ⊥CE ，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120︒，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30︒，∴BG=DI=FH=1 2，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=3 2，∴AC=AE=CE3，∴由勾股定理得：AI=3 2，∴S=111333 33322222⨯+=，故答案为：33 2．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点,2P OP=，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．【答案】221d ≤≤【解析】【分析】先确定正方形的中心O 与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．【详解】解：如图1，设AD 的中点为E ，连接OA ，OE ，则AE =OE =1，∠AEO =90°，2OA =．∴点O 与正方形ABCD 边上的所有点的连线中，OE 最小，等于1，OA 2．∵2OP =，∴点P 与正方形ABCD 边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E 落在OP 上时，最大值PE =PO -EO =2-1=1；如图3所示，当点A 落在OP 上时，最小值22PA PO AO =-=-．∴当正方形ABCD 绕中心O 旋转时，点P 到正方形的距离d 的取值范围是221d ≤≤．故答案为：221d ≤≤【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．三、解答题19.计算：1129|12-+-【答案】2【解析】【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．【详解】解：1129|1|2-+--，(112--⨯=31，=2．【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键．20.解方程组：22340x y x y +=⎧⎨-=⎩【答案】21x y =⎧⎨=⎩和63x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由第一个方程得到3x y =-，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出y ，再回代第一个方程中即可求出x ．【详解】解：由题意：223(1)40(2)x y x y +=⎧⎨-=⎩，由方程(1)得到：3x y =-，再代入方程(2)中：得到：22(3)40y y --=，进一步整理为：32y y -=或32y y -=-，解得11y =，23y =-，再回代方程(1)中，解得对应的12x =，26x =，故方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩和63x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可．21.已知在ABD △中，,8,4AC BD BC CD ⊥==，4cos 5ABC ∠=，BF 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长；（2）求tan FBD ∠的值．【答案】（1）6AC =；（2）310【解析】【分析】（1）在Rt △ABC 中，利用三角函数即可求出AB ，故可得到AC 的长；（2）过点F 作FG ⊥BD ，利用中位线的性质得到FG ，CG ，再根据正切的定义即可求解．【详解】（1）∵AC BD ⊥，4cos 5ABC ∠=∴cos 45ABC BC AB ∠==∴AB =10∴AC 6=；（2）过点F 作FG ⊥BD ，∵BF 为AD 边上的中线．∴F 是AD 中点∵FG ⊥BD ，AC BD⊥∴//FG AC∴FG 是△ACD 的中位线∴FG =1=2AC 3CG=1=22CD ∴在Rt △BFG 中，tan FBD ∠=338210FG BG ==+．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．22.现在5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G 手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G 手机速度很快，比4G 下载速度每秒多95MB ，下载一部1000MB 的电影，5G 比4G 要快190秒，求5G 手机的下载速度．【答案】（1）36万部；（2）100MB /秒【解析】【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数；（2）设5G 手机的下载速度为x MB /秒，则4G 下载速度为()95x -MB /秒，根据下载一部1000MB 的电影，5G 比4G 要快190秒列方程求解．【详解】（1）3月份的百分比=130%25%45%--=三月份共生产的手机数=8045%=36⨯（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设5G 手机的下载速度为x MB /秒，则4G 下载速度为()95x -MB /秒，由题意可知：1000100019095x x-=-解得：100x =检验：当100x =时，()950x x ⋅-≠∴100x =是原分式方程的解．答：5G 手机的下载速度为100MB /秒．【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0．23.已知：在圆O 内，弦AD 与弦BC 交于点,,,G AD CB M N =分别是CB 和AD 的中点，联结,MN OG ．（1）求证：OG MN ⊥；（2）联结,,AC AM CN ，当//CN OG 时，求证：四边形ACNM 为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连结,OM ON ，由M 、N 分别是CB 和AD 的中点，可得OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，由AB CD =，可得OM ON =，可证()Rt EOP Rt FOP HL ∆∆≌，MG NG MGO NGO =∠=∠，，根据等腰三角形三线合一性质OG MN ⊥;（2）设OG 交MN 于E ，由Rt EOP Rt FOP ∆∆≌，可得MG NG =，可得CMN ANM ∠=∠，1122CM CB AD AN ===，可证CMN ANM ≌可得AM CN =，由CN ∥OG ，可得90AMN CNM ∠=∠=︒，由+=180AMN CNM ∠∠︒可得AM ∥CN ，可证ACNM 是平行四边形，再由90AM N ∠=︒可证四边形ACNM 是矩形．【详解】证明：（1）连结,OM ON ，∵M 、N 分别是CB 和AD 的中点，∴OM ，ON 为弦心距，∴OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，90GMO GNO ∴∠=∠=︒，在O 中，AB CD =，OM ON ∴=，在Rt △OMG 和Rt △ONG 中，OM ON OG OG =⎧⎨=⎩，()Rt GOM Rt GON HL ∴∆∆≌，∴MG NG MGO NGO =∠=∠，，OG MN ∴⊥;（2）设OG 交MN 于E ，()Rt GOM Rt GON HL ∆∆ ≌，∴MG NG =，∴GMN GNM ∠=∠，即CMN ANM ∠=∠，1122CM CB AD AN === ，在△CMN 和△ANM 中CM AN CMN ANM MN NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CMN ANM ∴ ≌，,AM CN AMN CNM ∴=∠=∠，∵CN ∥OG ，90CNM GEM ∴∠=∠=︒，90AMN CNM ∴∠=∠=︒，+90+90=180AMN CNM ∴∠∠=︒︒︒，∴AM ∥CN ，ACNM ∴是平行四边形，90AMN ∠=︒ ，∴四边形ACNM 是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．24.已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）点A 在直线PQ 上且在第一象限内，过A 作AB x ⊥轴于B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角ABC ．①若A 与Q 重合，求C 到抛物线对称轴的距离；②若C 落在抛物线上，求C 的坐标．【答案】（1）21922y x =-+；（2）①1；②点C 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)将(3,0)(1,4)P Q 、两点分别代入2y ax c =+，得90,4,a c a c +=⎧⎨+=⎩,解方程组即可;（2）①根据AB =4,斜边上的高为2,Q 的横坐标为1,计算点C 的横坐标为-1,即到y 轴的距离为1；②根据直线PQ 的解析式，设点A （m ，-2m +6）,三角形ABC 是等腰直角三角形，用含有m 的代数式表示点C 的坐标，代入抛物线解析式求解即可.【详解】（1）将(3,0)(1,4)P Q 、两点分别代入2y ax c =+，得90,4,a c a c +=⎧⎨+=⎩解得19,22a c =-=．所以抛物线的解析式是21922y x =-+．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点(1,4)Q 重合时，4AB =，作CH AB ⊥于H ．∵ABC 是等腰直角三角形，∴CBH 和CAH 也是等腰直角三角形，∴2CH AH BH ===，∴点C 到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，由(3,0)(1,4)P Q 、，得30,4,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2,6,k b =-⎧⎨=⎩∴直线PQ 的解析式为26y x =-+，设(,26)A m m -+，∴26AB m =-+，所以3CH BH AH m ===-+．所以3,(3)23C C y m x m m m =-+=--+-=-．将点(23,3)C m m --+代入21922y x =-+，得2193(23)22m m -+=--+．整理，得22730m m -+=．因式分解，得(21)(3)0m m --=．解得12m =，或3m =（与点B 重合，舍去）．当12m =时，1523132,3322m m -=-=--+=-+=．所以点C 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．25.如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，求AD BC的值；（2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．【答案】（1）①见解析；②23；（2）1或3+【解析】【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，DAC DCA OBC OCB ∠=∠=∠=∠，由此可得DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒，作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．根据30°所对直角边是斜边的一半可知CH m =，由此可得AD BC 的值．（2）①当点E 在AD 上时，可得四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，在Rt ACE 和Rt DCE V 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-求解即可．②当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m =；由EOC ECB ∽得EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+，解出x 的值即可．【详解】（1）①由AD CD =，得12∠=∠．由//AD BC ，得13∠=∠．因为BO 是Rt ABC △斜边上的中线，所以OB OC =．所以34∠=∠．所以1234∠=∠=∠=∠．所以DAC OBC ∽．②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒．作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．在Rt DCH △中，60,2DCH DC m ∠=︒=，所以CH m =．所以3BC BH CH m =+=．所以2233AD m BC m ==．（2）①如图5，当点E 在AD 上时，由//,AD BC O 是AC 的中点，可得OB OE =，所以四边形ABCE 是平行四边形．又因为90ABC ∠=︒，所以四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2AE x =-．已知3OE =，所以6AC =．在Rt ACE 和Rt DCE V 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-．解得1x =+，或1x =（舍去负值）．②如图6，当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2CE x =-．设OB OC m ==，已知3OE =，那么3EB m =+．一方面，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m=，另一方面，由24BEC ∠=∠∠，是公共角，得EOC ECB ∽．所以EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+．等量代换，得32232x x x m m -==-+．由322x x m =-，得226x x m -=．将226x x m -=代入3223x x m -=-+，整理，得26100x x --=．解得3x =+，或3x =．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．。
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专题23 命题与证明一、单选题（共12小题）1.（2020•长沙模拟）用尺规作图作△ABC的BC边上的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的BC边上的高，AD⊥BC，∴选项B正确，故选：B．【知识点】作图—基本作图、三角形的角平分线、中线和高2.（2020•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点D和点E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF＝3，AG＝2，则BC＝（）A．5 B．4C．2D．2【解答】解：由作法得GF垂直平分AB，∴FB＝F A，AG＝BG＝2，∴∠FBA＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∠FBA+∠FBC＝90°，∴∠C＝∠FBC，∴FC＝FB，∴FB＝F A＝FC＝3，∴AC＝6，AB＝4，∴BC＝＝＝2故选：C．【知识点】线段垂直平分线的性质、作图—基本作图3.（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H．再分别以点G、H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则△ADF的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：根据画图过程可知：DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠EAM＝∠CAM，∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∴∠EAF＝∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠F AD＝∠ADB＝90°，∴△ADF的形状是等腰直角三角形．故选：D．【知识点】等边三角形的判定、等腰直角三角形、作图—基本作图、等腰三角形的判定4.（2020•襄城区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若AB＝5，BF＝6，则AE的长为（）A．8 B．10 C．11 D．12【解答】解：∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAG，∴∠BAG＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，由作图可知：AB＝AF，∠BAE＝∠F AE，∴BH＝FH＝3，BF⊥AE，由勾股定理得：AH＝EH＝4，∴AE＝8，故选：A．【知识点】角平分线的性质、作图—基本作图、平行四边形的性质5.（2019•成都一模）如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（4，0），按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A．（4，）B．（，4）C．（，4）D．（4，）【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H．由作图可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，时GB＝GH＝x，∵S△OBC＝×3×4＝×5×x+×4×x，∴x＝，∴G（4，）．故选：A．【知识点】矩形的性质、坐标与图形性质、作图—基本作图6.（2019•海港区一模）已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，点E即为所求作的点．故选：A．【知识点】相似三角形的判定、作图—复杂作图7.（2019•金水区校级一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．如果CD＝AC，∠ACB ＝105°，那么∠B的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC＝BD，故∠DCB＝∠DBC，∵DC＝AC，∴∠A＝∠CDA，设∠B为x，则∠BCD＝x，∠A＝∠CDA＝2x，可得：x+2x+105°＝180°，解得：x＝25，即∠B＝25°，故选：B．【知识点】作图—基本作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质8.（2019•信阳一模）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2x，y+1），则y关于x的函数关系为（）A．y＝x B．y＝﹣2x﹣1 C．y＝2x﹣1 D．y＝1﹣2x【解答】解：由作图可知，点P在第二象限的角平分线上，横坐标与纵坐标互为相反数，∵P（2x，y+1），∴2x+y+1＝0，∴y＝﹣2x﹣1，故选：B．【知识点】作图—基本作图9.（2020•坪山区一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，适当的长为半径作弧，分别交x轴、y轴于点M、点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P（a，b），则a与b的数量关系为（）A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0【解答】解：利用作图得点OP为第二象限的角平分线，所以a+b＝0．故选：A．【知识点】作图—基本作图10.（2020•石家庄模拟）如图，已知点D、E分别在∠CAB的边AB、AC上，若PD＝6，由作图痕迹可得，PE的最小值是（）A．2 B．3 C．6 D．12【解答】解：根据作图痕迹可知：AP是∠BAC的平分线，∵PD⊥AB，且PD＝6，当PE⊥AC时，PE＝PD＝6，∴PE的最小值是6．故选：C．【知识点】作图—基本作图11.（2020•路南区一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3【解答】解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；在图3中，利用作法得AE＝AF，AM＝AN，则可判断△ADM≌△ADN，所以∠AMD＝∠AND，则可判断△MDE≌△NDF，所以D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．故选：A．【知识点】作图—基本作图12.（2020•虹口区二模）已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），那么交点O是△ABC的（）A．外心B．内切圆的圆心C．重心D．中心【解答】解：由尺规作图可知，MN、PQ分别是线段BC、AC的垂直平分线，∴点D、E分别是BC、AC的中点，∴AD、BE是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，故选：C．【知识点】三角形的外接圆与外心、作图—基本作图、三角形的重心、三角形的内切圆与内心二、填空题（共10小题）13.（2020•松滋市一模）如图，在边长是4×4，小正方形边长为1的正方形网格图中，线段AB的两个端点都在格点上，若以AB为斜边，则可以作出个格点直角三角形，并在答题卡的图中作出其中面积最大的格点直角三角形．【解答】解：如图所示：线段AB的两个端点都在格点上，以AB为斜边，可以作出4个格点直角三角形，△ABC的面积最大．故答案为4．【知识点】勾股定理的逆定理、作图—应用与设计作图、勾股定理14.（2019•河西区二模）在每个小正方形的边长为1的网格中，有△ABC，点A，B，C都在格点上（Ⅰ）△ABC的面积等于．（Ⅱ）求作其内接正方形，使其一边在BC上，另两个顶点各在AB，AC上．在如图所示的网格中，请你用无刻度的直尺，画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）5×4÷2＝10．故△ABC的面积等于10，故答案为：10；（Ⅱ）如图所示：取格点D，F，E，连接DE，DF分别交AB，AC于点M，N，再取格点S，T．G，K，连接GK，ST交于点Q，连接MQ并延长MQ交BC于点P，同理得到点R，四边形MPRN即为所求的正方形；故答案为：取格点D，F，E，连接DE，DF分别交AB，AC于点M，N，再取格点S，T．G，K，连接GK，ST交于点Q，连接MQ并延长MQ交BC于点P，同理得到点R，四边形MPRN即为所求的正方形．【知识点】作图—复杂作图、相似三角形的判定与性质15.（2019•新乡二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）AC的长等于；（Ⅱ）在线段AC上有一点D，满足AB2＝AD•AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）AC＝，故答案为：5，（Ⅱ）要满足AB2＝AD•AC，即AD＝，构造△AEC，如图所示，过点E作EF⊥AC于点F，由相似三角形的性质易证：CE2＝CF•AC，∴CF＝以点A为圆心，CF长为半径作圆交AC于点D，连接BD，此时△ABD∽△ACB，故答案为：构造△ACE，过点E作EF⊥AC于点F，以点A为圆心，CF长为半径作圆交AC于点D．【知识点】作图—复杂作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质16.（2020•扶沟县一模）在△ABC中，尺规作图的痕迹如图所示，已知∠ADB＝50°，∠A＝110°，则∠ABC的度数为．【解答】解：由作图可知：EF垂直平分线段BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝50°，∴∠C＝25°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣110°﹣25°＝45°，故答案为45°．【知识点】三角形内角和定理、作图—复杂作图、三角形的外角性质17.（2019•怀柔区二模）下面是一位同学的一道尺规作图题的过程．已知：线段a，b，c．求作：线段x，使得a：b＝c：x．他的作法如下：①以点O为端点画射线OM，ON；②在OM上依次截取OA＝a，AB＝b；③在ON上截取OC＝c；④联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．这位同学作图的依据是．【解答】解：这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例．【知识点】作图—复杂作图、平行线分线段成比例18.（2019•花溪区一模）下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程．如图1，直线L1与L2相交于点O，A，B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB＝30°，请在图中作出符合条件的点P．作法：如图2，（1）以AB为边在L2上方作等边△ABC；（2）以C为圆心，AB长为半径作⊙C交直线L1于P1，P2两点．则P1、P2就是所作出的符合条件的点P．请回答：该作图的依据是．【解答】解：（1）如图1，由作法得AC＝BC＝AB，△ABC是等边三角形；（2）如图2，由作法得CA＝CB＝AB＝CP1＝CP2，∴直线L1的两点P1，P2和A，B在半径为AB的圆上，故答案为：等边三角形的定义，到圆心的距离等于半径的点在圆上．【知识点】作图—复杂作图、等边三角形的性质19.（2019•长春模拟）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连结OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是度．【解答】解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠A＝124°，∴∠AEB＝（180°﹣124°）＝28°，故答案为28．【知识点】平行线的性质、作图—应用与设计作图20.（2019•天津一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点．（1）线段AC的值为；（2）在如图所示的网格中，AM是△ABC的角平分线，在AM上求一点P，使CP+DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【解答】解：（1）AC＝＝5，故答案为5．（2）如图，取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P即为所求．【知识点】作图—复杂作图、轴对称-最短路线问题21.（2019•柯桥区模拟）如图，五个边长为1的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D．“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的对角线长为．【解答】解：如图所示：四边形ACBE是正方形，AB与CE是正方形的对角线，边长为，则CD＝DE＝AD＝BD，则组成的这个矩形的长与宽分别为，，∴这个矩形的对角线的长＝＝故答案为：．【知识点】矩形的性质、作图—应用与设计作图、图形的剪拼22.（2019•东丽区一模）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，点P，Q为线段AB上的动点，且满足PQ＝1．（Ⅰ）当点Q为线段AB中点时CQ的长度等于．（Ⅱ）当线段CQ+CP取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q 的：．【解答】解：（I）当点Q为线段AB中点时CQ的长度等于2.5；故答案为2.5．（Ⅱ）线段CQ+CP的值最小时，点P，Q必在△ABC的AB边上的高线的垂足的两侧，并且关于垂足对称，即离垂足的距离为0，5．所以先找到C关于ABD的对称点H，连接CH交AB于点O，下一步取格点D，使得AB∥CD，AB＝CD，取格点E，F，连接EF，则CG＝1，取格点N，L，使得BN＝3，NL∥AB，NL＝AB，此时直线LN与直线CD到直线AB的距离相等，取格点H，T，使得HT∥AB，TH＝AB，取格点J，K，连接JK交TH于M，此时HM＝CG＝1，连接GM，此时GM∥CH，设直线LN交MG于T，交CH于R，此时TR＝CG＝1，OR＝OC，矩形CGTR关于直线AB对称，连接CT交AB于Q，此时OQ＝0.5，点Q即为所求．故答案为：取格点D，E，F，连接CD，EF，它们相交于点G，取格点H，I，J，K，连接HI，JK，它们相交于点M，连接GM，取格点L，N，连接LN且延长，交GM于T，连接TC交AB于Q，点Q即为所求．【知识点】勾股定理、作图—复杂作图、轴对称-最短路线问题三、解答题（共8小题）23.（2020•禅城区模拟）如图，已知Rt△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交AC于点E．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求AE的长．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；（2）如图，连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，∵Rt△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝6．∵Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AE＝．【知识点】线段垂直平分线的性质、勾股定理、作图—基本作图24.（2020•颍州区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是直径．（1）尺规作图：作∠ACB的平分线CD，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）尺规作图如图所示；（2）连接OC，则∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的直径，CD是∠ACB的平分线∴∠ADB＝90°，∠ACD＝∠DCB．∴AD＝BD．故，AC＝1，．∴．∴．【知识点】三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算、圆周角定理、作图—基本作图25.（2019•合肥模拟）已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，F为AC的中点．⊙O是以AF为直径的圆，交AB于点D，交BF于点E．（1）过E点作⊙O的切线，并标出它与BD的交点M（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接ME，求证：ME是线段BD的垂直平分线．【解答】（1）解：如图，ME为所作；（2）∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠A＝60°，∵F为AC的中点，∴F A＝FB＝FC，∴△ABF为等边三角形，∴∠AFB＝∠ABF＝60°，而OF＝OE，∴△OEF为等边三角形，∴∠EOF＝60°，∴∠EOF＝∠A，∴OE∥AB，而OE⊥ME，∴AB⊥EM，∵∠BDE＝∠AFE＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴ME是线段BD的垂直平分线．【知识点】直角三角形斜边上的中线、作图—复杂作图、切线的性质、线段垂直平分线的性质26.（2020•张家港市模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规作图（1）作出AB边上的中线CD；（2）作出△ABC的角平分线AE；（3）若AC＝5，BC＝12，求出斜边AB上的高的长度．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）如图，线段AE即为所求．（3）作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°∴AB＝＝＝13，∵•AC•BC＝•AB•CH∴CH＝＝．【知识点】作图—复杂作图、角平分线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质27.（2020•花都区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2，AB＝6，∠DAB＝60°，E为边CD上一点．（1）尺规作图：延长AE，过点C作射线AE的垂线，垂足为F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）当点E在线段CD上（不与C，D重合）运动时，求EF•AE的最大值．【解答】解：（1）如图，射线CF即为所求．（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H．设EC＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，∴∠BAD＝∠ADH＝60°，∵∠H＝90°，∴∠DAH＝30°，∴DH＝AD＝1，∴CH＝CD+DH＝6+1＝7，∵∠CFE＝∠H＝90°，∠CEF＝∠AEH，∴△CFE∽△AHE，∴＝，∴EF•AE＝CE•EH＝x（7﹣x）＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴EF•AE的最大值为．【知识点】作图—基本作图、平行四边形的性质28.（2020•长春模拟）已知：直线1及直线1外一点M．请根据下列提供的数学原理一、二、三，分别在图①，②，③中使用直尺和圆规作直线MN，使得MN ∥l．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图所示，根据题意的数学原理一、二、三，图1，2，3中直线MN即为所求．【知识点】作图—复杂作图、平行线的判定29.（2019•山西模拟）为提升城市品味、改善居民生活环境，我省某市拟对某条河沿线十余个地块进行片区改造，其中道路改造是难度较大的工程如图是某段河道坡路的横截面，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段，CM与水平地面AN的距离为12米．已知山坡路AB的路面长10米，坡角BAN＝15°，山坡路BC与水平面的夹角为30°，为了降低坡度，方便通行，决定降低坡路BC的坡度，得到新的山坡AD，降低后BD与CM相交于点D，点D，A，B在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，求整个山坡路AD的长和CD的长度（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58结果精确到0.1米）【解答】解：过B作BE⊥AN于E，过D作DF⊥AN于F，过C作CG⊥AN于G，过B作BH⊥CG于H，则四边形CGFD和四边形BEGH是矩形，∴BE＝GH，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，∴CH＝DF﹣GH，由题意得，DF＝12，AB＝10，在Rt△ABE中，BE＝AB•sin15°＝10×0.26＝2.6，在Rt△ADF中，DF＝AB•sin15°，AD＝12÷0.26＝46.2，∴CH＝DF﹣BE＝9.4，在Rt△CBH中，CH＝BC•sin30°，BC＝CH÷0.5＝18.8，∵CD∥AN，∴∠CDB＝∠BAN＝15°，∵∠CBH＝30°，∴∠DBC＝15°，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB＝18.8（米），答：修整后山坡路AD的长约为46.2米，CD的长约为18.8米．【知识点】作图—应用与设计作图、解直角三角形的应用-坡度坡角问题30.（2019•荔湾区校级二模）在边长为12的正方形ABCD中，P为AD的中点，连结PC，（1）作出以BC为直径的⊙O，交PC于点Q（要求尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AQ，证明：AQ为⊙O的切线；（3）求QC的长与cos∠DAQ的值；【解答】解：（1）如图，点Q为所作；（2）证明：过Q点作QE⊥BC于E，交AD于F，连接BQ、OQ、OA，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝AD＝AB＝12，AD∥BC，在Rt△PCD中，PC＝＝6，∵BC为直径，∴∠BQC＝90°，∵PD∥BC∴∠CPD＝∠BCQ，∴Rt△BCQ∽Rt△CPD，∴CQ：PD＝BC：CP，即CQ：6＝12：6，∴CQ＝，∵CQ2＝CE•CB，∴CE＝＝，在Rt△CEQ中，QE＝＝，∴FQ＝12﹣＝，∵AF＝AD﹣FD＝AD﹣CE＝12﹣＝．∴AQ＝＝12，在△OAB和△OQA中，∴△OAB≌△OQA（SSS），∴∠OQA＝∠OBA＝90°，∴OQ⊥AQ，∴AQ为⊙O的切线；（3）由（2）得CQ＝，AF＝，AQ＝12，∴cos∠EAQ＝＝，即cos∠DAQ的值为．【知识点】作图—复杂作图、圆周角定理、解直角三角形、正方形的性质、切线的判定与性质。