高等数学第八章二重积分试题及答案

第八章 多元函数积分学
一、二重积分的概念与性质
1．定义
设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k n
k k k
d f σηξ
∆∑=→1
,lim
存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小
区域k σ∆的直径，而k n
k d d ≤≤=1max ） 则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二
重积分 记以
()⎰⎰D
d y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义
当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分
()⎰⎰D
d y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平
行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，
下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为
()()[]σd y x f y x f D
⎰⎰-,,1
2
3．基本性质 （1）
()()⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）
（2）
()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f D
D
D
⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,
（3）
()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12
,,,D D D
d y x f d y x f d y x f σσσ 其中2
1
UD
D D =，除公
共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则
()()⎰⎰⎰⎰≤D
D
d y x g d y x f σσ,,
（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤
D
MS d y x f mS σ, 其中
S 为区域D 的面积。

（6）
()()σσd y x f d y x f D
D
⎰⎰⎰⎰≤,,
（7）积分中值定理 设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在()D ∈ηξ,，使得
()()S f d y x f D
⋅=⎰⎰ηξσ,,
我们也把
()⎰⎰D
d y x f S
σ,1
称为()y x f ,在D 上的积分平均值。

4．对称区域上奇偶函数的积分性质
定理1．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于x 轴对称，则
()()()()⎰⎰
⎰⎰⎪⎩⎪
⎨⎧=D
D
y y x f d y x f y y x f d y x f 为偶函数对为奇函数对, ,,2,
,0,1
σσ其中1D 为D 在x 轴的上半平面部分。

定理2．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于y 轴对称，则
()()()()⎰⎰
⎰⎰⎪⎩⎪
⎨⎧=D
D
x y x f d y x f x y x f d y x f 为偶函数对为奇函数对, ,,2,
,0,2
σσ其中2D 为D 在y 轴的右半平面部分。

定理3．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于原点对称，则
()()()()()()()()⎰⎰
⎰⎰⎪⎩⎪
⎨⎧∈=--∈-=--=D
D D y x y x f y x f d y x f D y x y x f y x f d y x f ,,,,, ,,2,,,,,
,0,3
σσ其中3D 为D 的上半平面或右半平面。

定理4．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于直线x y =对称，则
()()⎰⎰⎰⎰=D
D
d x y f d y x f σσ,,
若54D D D =，4D ，5D 分别为D 在x y =的上方与下方部分，则
()()σσd x y f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰
=5
4
,,
二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型I ：设有界闭区域()()(){}
x y x b x a y x D 21,,ϕϕ≤≤≤≤=
其中()x 1ϕ，()x 2ϕ在[]b a ,上连续，()y x f ,在D 上连续。

则
()()⎰⎰⎰⎰
=D
D
dxdy y x f d y x f ,,σ ()()
()
⎰⎰
=b
a
x x dy y x f dx 21,ϕϕ
模型II ：设有界闭区域()()(){}
y x y d y c y x D 21,,ψψ≤≤≤≤= 其中()y 1ψ，()y 2ψ在[]d c ,上连续，()y x f ,在D 上连续。

则
()()⎰⎰⎰⎰=D
D
dxdy y x f d y x f ,,σ()()()
⎰⎰=d
c y y dx y x f dy 21
,ψψ
关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II 把二重积分化为累次积分从而
进行计算，对于比较复杂的区域D ，如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

三、在极坐标系中化二重积分为累次积分
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I ：设有界闭区域()()(){}θϕγθϕβθαθγ2
1
,,≤≤≤≤=
D
其中()θϕ1，()θϕ2在[]βα,上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，
()()⎰⎰
⎰⎰=D
D
d d f d y x f θγγθγθγσ sin ,cos ,()()
()
⎰⎰
=β
α
θϕθϕγγθγθγθ21 sin ,cos d f d
模型II ：设有界闭区域()()(){}θϕγθϕπθθγ2
1
,20,≤≤≤≤=
D
其中()()θϕθϕ21,在[]π2,0上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，则
()()⎰⎰⎰⎰
=D
D
d d f d y x f θγγθγθγσ sin ,cos ,()()
()
⎰⎰
=π
θϕθϕγγθγθγθ20
s i n ,c o s 21d f d
模型III ：设有界闭区域()(){}θϕγβθαθγ≤≤≤≤=
0,,D
其中()θϕ在[]βα,上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，则
()()⎰⎰⎰⎰=D
D
d d f d y x f θ
γγθγθγσ sin ,cos ,()()⎰⎰=βαθϕγγθγθγθ0
s i n ,c o s d f d 模型IV ：设有界闭区域()(){}θϕγπθθγ≤≤≤≤=
0,20,D
其中()θϕ在[]π2,0上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，则
()()θγγθγθγσd d f d y x f D
D
sin ,cos ,⎰⎰
⎰⎰= ()()
⎰⎰=π
θϕγγθγθγθ200
sin ,cos d f d
例题：
一、选择题
1.设f(x,y) 为连续函数，则使=⎰≤+1
22),(y x dxdy y x f 4⎰
2
/0
πθ
d rdr
r r f )sin ,cos (1
⎰
θθ成立的充分条件是
A f(-x,-y)=f(x,y)
B f(-x,-y)=-f(x,y)
C f(-x,y)= f(x,-y)=-f(x,y)
D f(-x,y)= f(x,-y)=f(x,y)
2. 设D ：12
2
≤+y x ，y ≥0；D 1：12
2
≤+y x ，x ≥0，y ≥0则
A ⎰⎰⎰⎰=D
D xydxdy xydxdy 1
2 B ⎰⎰⎰⎰=D
D xdxdy ydxdy 1
2
C
⎰⎰⎰⎰=D
D ydxdy xdxdy 1
2 D
⎰⎰⎰⎰+=+D
D
dxdy y x dxdy y x )(2)(
3. 设D 是xoy 平面以（1，1），（－1，1），和（－1，－1）为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限的部分，且f(x,y)=xy+⎰⎰D
y)dxdy f(x,则
A ⎰⎰⎰⎰=D
D dxdy y x dxdy y x 1
),f(),f( B
⎰⎰⎰⎰=D
D dxdy y x dxdy y x 1
),f(2),f(
C ⎰⎰⎰⎰=D
D dxdy dxdy y x 1
x)f(y,2),f( D ⎰⎰⎰⎰=D
D
dxdy dxdy y x x)f(y,),f(
4. 设D 是xoy 平面以（1，1），（－1，1），和（－1，－1）为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限的部分，则⎰⎰
+D
dxdy y x xy )sin cos (等于
A ⎰⎰1
sin cos 2
D ydxdy x B ⎰⎰1
2D xydxdy
C 4
⎰⎰+1
)sin cos (D dxdy y x xy D 0
5. ⎰
⎰
=
θ
π
θθθcos 0
2
)sin ,cos (rdr r r f d I 化为在直角坐标系下的二次积分的正确结
果为（ ）A
⎰1
dy ⎰
-20),(y y dx y x f B
⎰1
0dy ⎰
-2
10),(y dx y x f C
⎰1
dx ⎰
1
),(dy y x f D
⎰10
dx ⎰
-2
),(x x dy y x f
二、改变下列积分次序: 1.
⎰
⎰--a
x a a
x a dy y x f dx 0
22
22
2),( 2.
⎰⎰
⎰⎰
-+3
1
230
1
),(),(2
x x dy y x f dx dy y x f dx
3.
⎰
⎰⎰
⎰
----+2
2
21
20
1
),(),(x x
x x
dy y x f dx dy y x f dx 4.
⎰
⎰
π
sin 0
),(x
dy y x f dx
三、求解下列二重积分: 1.
⎰⎰⎰⎰+42
2
21
2sin
2sin
x
x
x
dy y
x
dx dy y
x
dx ππ 2. ⎰⎰-
x y dy e
dx 0
2
10
2
3.
⎰⎰
D
dxdy x
y
6, D: 由y = x 4－x 3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形 4.
dx e dy e
dx e
dy e
y
y R x R
R y x R
y ⎰⎰
⎰⎰
-----+0
2
2
2
22
2
2
2
5.
：由
与
所围的区域
6.
⎰⎰
+D
dxdy y
x xy
2
2, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 7. 求
)D
I y d σ=⎰⎰, 1)1(4
:2
222≥++≤+y x y x D 8.
⎰⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-D
dxdy b y a x 2
21, D: 12222≤+b y a x
9.计算dxdy y x x x y y D
⎰⎰++++++2
221)1ln(1，其中D={(x,y)|0,12
2≥≤+y y x } 10.设f(x)连续且恒不为零，求
dxdy y f x f y bf x af I R y x ⎰⎰≤+++=
2
22)()()
()( 11.计算二重积分I=
⎰⎰+++++D y
x y x y x 22221)1ln()1ln(dxdy,其D={(x,y)|10,10≤≤≤≤y x } 。

四、带绝对值号的二重积分 1. 计算
||102
x y ≤≤≤⎰⎰
2. 计算
dxdy y x D
⎰⎰+)cos(，其中D 是由直线y=x,y=0,x=
2
π
所围成的区域 五、二重积分中求未知函数的题
1. 设),(y x f 为连续函数，且⎰⎰+
=D
dxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 为由
y=0,y=x 2,x=1围成的平面区域，求),(y x f 。

2. 设f(t)在[]+∞,0上连续，且dxdy y x f t f t y x )2
1(
1)(22
42
22
++
=⎰⎰
≤+
六、综合题 1. 计算I （a,b ）＝
d x d y )x
z
()y z (
12
222b -a y x 22⎰⎰
≤+∂∂+∂∂+，其中Z 是由方程x 2+y 2+z 2=a 2
所确定的x,y 的函数，且0<b a z ≤≤。

2. 设函数u=f(2
2
y x +)，满足dsdt t s 11
y u x u 2
222y x t s 2
22222⎰⎰+≤+++=∂∂+∂∂，且 0(x)f lim 0
x ='+→（1）试求函数f /(x)的表达式（2）若f(0)=0,求20
x x
f(x)
lim +
→ 3. 设f(x,y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为0，证明：
dxdy y
x y f
y x f x
21
-lim
f(0,0)D
2
20⎰⎰+∂∂+∂∂=→πξ，其中D 为圆环域：1y x 2
22≤+≤ξ 4. 设)(x f 为可导函数，且0)0(=f ，2)0(='f 。

试求：dxdy t y x f t y x t ⎰⎰
≤+→+++
2
22)
1ln()(lim 3
220
5. 设证明
连续，y f )('
[()(0)]a x
I dx f a f π==-⎰。