高等数学第八章二重积分试题及答案

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高等数学习题详解-第8章二重积分

习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰；（2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)22220()aa y dy x y dx -+⎰⎰；(2)21220;xxdx x y dx +⎰⎰解：(1)224422320()248aa y aa a dy x y dx d r dr πππθ-+==⋅=⎰⎰⎰⎰. (2) 22sin 3122244cos 600001sin 3cos x x dx x y dx d r dr d πθπθθθθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰ 532(21)1cos cos 4().3530πθθ--+=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)222DR x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)222DR x y d σ--3cos 2222222022cos 12()230R R d R r rdr R r d ππθππθθθ--=-=--⎰⎰⎰3333221(sin )33R R R d πππθθ-=--=⎰.4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y =+所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：21222220[()]().6DV x y x y d d r r rdr ππσθ=++=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 2424004(,)(,).xyy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序： (1)d d 10(,)yyy f x y x ⎰⎰;(2)d d 2220(,)a ax x x f x y y -⎰⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1) 211d (,)d d (,)d y x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰.(2) 222222200d (,)d d (,)d aax x aa a y a a y x f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；（2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.(3) 2242402(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰⎰.(4) 211121(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰.2. 计算积分2122x xxdx dy x y +⎰⎰.解：222sin sin 144cos cos 2220000cos cos xxx r dx dy d rdr d dr x y r πθπθθθθθθθ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 40sin ln 24(ln cos )cos 2d ππθθθθ==-=⎰. 3. 计算积分112201yy dy dx x y ++⎰⎰.解：111114cos 4cos cos 2222000sin sin [sin ]111yy r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθθθθθθθθ==-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 44001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d ππθθθθθθ=-⋅=+⎰⎰令cos t θ=,则原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222dt dt t t t t t =+=+=+++ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1⎡⎤⎣⎦上连续，且1()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰. 解：设1'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=⎰，则.11111()()()[(1)()](1)()()(())xdx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-⎰⎰⎰⎰⎰21()111(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--21[(1)(0)]22A A F F =-=. 5. 计算2Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2=1所围成的闭区域.解：11222022(13Dx yd dy ydx y y σ==+⎰⎰⎰⎰35122222011122(1)(1)(1)1)335150y d y y =++=⋅+=⎰. 6. 计算222y xdx e dy ⎰⎰.解：2222222240000211(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰⎰⎰.7. 证明211()()d ()()d 1b x bn n a a adx x y f y y b y f y y n ---=--⎰⎰⎰，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()b x b bn n aaaydx x y f y y dy x y f y dx ---=-⎰⎰⎰⎰11()()1bn b yax y f y dy n -=--⎰11()()d 1bn ab y f y y n -=--⎰。

高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）第一章函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是（2）0=x 是函数x x y +=1的第类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ，则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

二重积分习题答案

二重积分习题答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.第八章二重积分习题答案练习题1.设D：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y=200d πθ⎰⎰=222001()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题1.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y x D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 2222220(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习题八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

经济数学微积分习题八答案最新版

第八章二重积分习题解答（A ）1. 将二重积分(),Df x y dxdy ⎰⎰按两种次序化为累次积分，积分区域D 是由下列曲线或直线围成的：（1）(){},1,1D x y x y =≤≤；（2）D 是由y 轴，1y =，y x =围成的区域；（3）D 是由x 轴，ln y x =，x e =围成的区域；（4）D 是由3y x =，1y =，1x =-围成的区域；（5）()22,149x y D x y ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（6）D 是由2y x =，24y x =-围成的区域；（7）D 是由x 轴，圆2220x y x +-=在第一象限的部分及直线2x y +=围成的区域；（8）D 是由x 轴，圆2240x y y +-=在第一象限的部分及抛物线24y x =-在第二象限的部分围成的区域.解（1）积分区域D 的图形如图8-1所示.由图8-1可知()()()11111111,,,Df x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ----==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）积分区域D 的图形如图8-2所示.由图8-2可知()()()1110,,,yxDf x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰图8－1 图8－2（3）积分区域D 的图形如图8-3所示.由图8-3可知()()()ln 11,,,y e xeeDf x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）积分区域D 的图形如图8-4所示.由图8-4可知()()()33111111,,,yxDf x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx ---==⎰⎰⎰⎰⎰⎰图8－3 图8－4（5）积分区域D 的图形如图8-5所示.由图8-5可知()()()22223224392332234923,,,x y x y Df x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx -------==⎰⎰⎰⎰（6）积分区域D 的图形如图8-1所示.由图8-1可知()()22242,,x xDf x y dxdy f x y dy -=⎰⎰⎰()()244024,,yyyydy f x y dx dy f x y dx ----=+⎰⎰⎰⎰图8－5 图8－6 （7）积分区域D 的图形如图8－7所示.由图8－7可知()()()2122201,,,x x xDf x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()212011,yy dy f x y dx ---=⎰⎰（8）积分区域D 的图形如图8－8所示.由图8－8可知()()()2224224224,,,x x x Df x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy -+----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()24404,y y ydy f x y dx ---=⎰⎰图8－7 图8－8 2.交换下列累次积分的积分顺序：（1）()10,ydy f x y dx ⎰⎰；（2）()10,yydy f x y dx ⎰⎰；（3）()21100,x dx f x y dy -⎰⎰；（4）()21,xx dx f x y dx ⎰⎰；（5）()221111,x x dx f x y dy ----⎰⎰；（6）()220,xxdx f x y dy ⎰⎰；（7）()()2111011ln ,,ex xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰；（8）()()312201,,yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；解（1）积分区域D 的图形如图8－9所示.由图8－9可知原式()11,xdx f x y dy =⎰⎰（2）积分区域D 的图形如图8－10所示.由图8－10可知原式()21,xxdx f x y dy =⎰⎰图8－9 图8－10（3）积分区域D 的图形如图8－11所示.由图8－11可知原式()2110,y dy f x y dx -=⎰（4）积分区域D 的图形如图8－12所示.由图8－12可知原式()21,yydy f x y dx =⎰⎰图8－11 图8－12（5）积分区域D 的图形如图8－13所示.由图8－13可知原式()()221111101,,y yy ydy f x y dx dy f x y dx -------=+⎰⎰⎰⎰（6）积分区域D 的图形如图8－14所示.由图8－14可知原式()()242222,,yy y dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰图8－13 图8－14（7）积分区域D 的图形如图8-15所示.由图8-15可知原式()101,y e ydy f x y dx -=⎰⎰（8）积分区域D 的图形如图8-16所示.由图8-16可知原式()3120,xx dx f x y dy -=⎰⎰图8－15 图8－163.计算下列二重积分：（1）()22D xy dxdy +⎰⎰，其中(){},01,12D x y x y =≤≤≤≤；（2）Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,3,1,2y x y x x x ====围成的；（3）()23334D xx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由曲线32,y x y x ==围成的；（4）xy Dye dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线ln 2,ln3,2,4y y x x ====围成的；（5）()24sin Dy xy dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,,02y y x x π===围成的；（6）()32221Dydxdy xy++⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤；（7）()6Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由直线,5,1y x y x x ===围成的；（8）()22Dxy dxdy +⎰⎰，其中D 是由直线,,,y x y x a y a ==+=()30y a a =>围成的；（9）221Dy x y dxdy +-⎰⎰，其中D 是由直线,1,1y x x y ==-=围成的；（10）Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2y x =及直线2y x =-围成的；解（1）区域D 如图8－17所示原式()21221dy x y dx =+⎰⎰()12321022231113118333x xy dy y dy y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰（2）原式()2322223111115324xxxdx ydy x x x dx x dx ==-==⎰⎰⎰⎰图8－17 图8－18（3）区域D 如图8－18所示原式)31233034xxdx x x y dy =+⎰(312340176162036111557316336x x x y x y dyx x x =+⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰（4）原式ln34ln 22xy dy ye dx =⎰⎰()ln342ln2xye dy=⎰()ln3ln34242ln 2ln 21155424y y y y e e dy e e ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ （5）原式()2204sin yy xy dx π=⎰()(20221cos 22sin 2y y dyy yπ=-=-=-（6）原式()11302221ydx dy x y =++⎰⎰()()()()((221130222111222001100110111212ln ln lnd x y dx x y x y dx x x -++=++⎡⎤=⎢⋅-⋅++⎥⎢⎥⎣⎦==+-+=⎰⎰⎰⎰⎰（7）区域D 如图8－19所示原式()1506xxdx x y dy =+⎰⎰12076763x dx ==⎰ （8）区域D 如图8－20所示原式()322aya y ady xy dx -=+⎰⎰33213yaay ax xy dy -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰3223123a a ay a y a dy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰ 33223421114323aaay a y a y a ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦图8－19 图8－20（9）原式()()1112222211112xdx x y d x y -=-+-+-⎰⎰()()13122211311212312133x x y dxx dx --⎧⎫⎪⎪=-+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭=--=⎰⎰ （10）区域D 如图8－21所示原式2221y ydy xydx +-=⎰⎰()2222125321121454428y y x y dy y y y y dy +--⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=-+++=⎰⎰图8－214.计算下列二重积分（1）2D y dxdy x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰，其中D是由曲线y =,0y x y ==所围成的第一象限部分；（2）Dyarctandxdy x⎰⎰，其中(){22,14,D x y xy =≤+≤0,x ≥}0y ≥；（3）()4Dx y dxdy --⎰⎰，其中(){}22,2D x y x y y =+≤；（4）D，其中D 是圆域222x y ax +≤的上半部分；（5）()22ln 1Dx y dxdy ++⎰⎰，其中D 是圆域221x y +≤的第一象限部分；（6）D，其中(){}2222,D x y ax y b =≤+≤；（7）Dxdxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =y x =所围成的区域；（8）Dydxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =0,y =2,2y x ==-所围成的区域；解（1）如图8－22所示原式1240tan d rdr πθθ=⋅⎰⎰()()1224024040tan 21sec 1211tan 228r d d πππθθθθπθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭=-=-=-⎰⎰（2）原式()2222011134122216d rdr ππθθπ⎛⎫=⋅=⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰图8－22 图8－23（3）如图8－23所示原式()2cos 04cos sin d r r rdr πθθθθ=--⋅⎰⎰2cos 332002cos sin 33r rr d θπθθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰2430888cos cos cos sin 33d πθθθθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ ()()23040002841cos 21cos 2cos sin 331sin 4sin 22244sin 2cos 2323214333d ππππθθθθθθθθθθθθππππ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭=--=⎰（4）如图8－24所示原式2cos 22204a d a r rdr πθθ=-⎰⎰()()()2cos 22202cos 22222002cos 322220033320414421242314481sin 333a a a d a r rdrd a r d a r a r d a d a πθπθθππθθθθθπ=-⋅=---⎧⎫⎪⎪=-⋅-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5）如图8－25所示原式()12200ln 1d r rdr πθ=+⋅⎰⎰()()()()()()()1220112222001ln 11221ln 11141ln 414r d r r r r dr r πππ=⋅++⎡⎤⎢⎥=+⋅+-+⋅+⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰图8－24 图8－25（6）如图8－26所示原式()3233202233bbaar d r dr b a πθππ===-⎰⎰ （7）如图8－27所示原式2sin 240cos d r dr πθθθ=⎰⎰2sin 3400cos 3r d θπθθ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭⎰()3408sin sin 3d πθθ=⎰4440818121sin 343426πθ⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭图8－26 图8－27（8）如图8－28所示原式22202y y dy ydx --=⎰⎰()22022y y y dy =--⎰()22202222411ydy y y dyy dy=--=---⎰⎰⎰设1sin ,y t -=有cos dy tdt =.当0y =时，2t π=-；当2y =时，2t π=.()()222202111sin cos y y dy t tdt ππ---=+⋅⎰⎰2222222cos cos sin 1cos 22022tdt t tdtt dt ππππππ--=++=+=⎰⎰⎰所以42Dydxdy π=-⎰⎰图8－285.计算下列累次积分（1）2312y xxdx e dy ⎰；（2）1xxydx dy y⎰；（3）5511ln ydy dx y x⎰⎰；（4）32211sin x dx y dy -⎰⎰；（5）221150y xx dx e dy -⎰⎰；解（1）积分区域D 的图形如图8-29所示.由图8-29可知原式2312y yye dy dx =⎰⎰()222222221320113220211222001121222200022232y y y y y y y y ey y dye ydy e y dyy e d y de y e y e e d e =-=-=-⎡⎤⎢⎥=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰图8－29 图8－30（2）积分区域D 的图形如图8－30所示.由图8－30可知原式2111000sin sin sin 1sin1y y ydy dx ydy y ydy y ==-=-⎰⎰⎰⎰ （3）积分区域D 的图形如图8－31所示.由图8－31可知原式55111114ln x dx dy dx x y===⎰⎰⎰图8－31 图8－32（4）积分区域D 的图形如图8－32所示.由图8－32可知原式21201sin y y dy dx +=⎰⎰222220111sin sin cos 4222y y dy y dy ===-⎰⎰ （5）积分区域D 的图形如图8－33所示.由图8－33可知原式2150yy e dy x dx -=⎰⎰()22222115300011122200016111621211126yy y y y y e dy x dx e y dy y de y e e d y e-----==⋅⎛⎫⎡⎤=-=-+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰⎰图8－336.计算下列曲面所围成的体积（1）1,0,0,0,1z x y z x y x y =++===+=；（2）222,0,,1z x y z y x y =+===；（3）231,0,0,0x y z x y z ++====；（4）221,3,0x y x y z z +=++==；（5）222,,0,12y x x y z z y x ====+-. 解（1）各曲面围成的立体是以曲面1z x y =++为顶，以区域(){},0,0,1D x y x y x y =≥≥+≤为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积()1DV x y dxdy =++⎰⎰()1111200001122300112313115222266xxdx x y dy y xy y dx x x dx x x x --⎛⎫=++=++⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰（2）各曲面围成的立体是以曲面22z x y =+为顶，以区域(){}2,,1D x y y x y =≥≤为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积 ()22DV x y dxdy =+⎰⎰()()()2111222222022xDD x y dxdy x y dxdy dx x y dy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2111236420011122333x x y y dx x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰17530111188221533105x x x x ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭（3）各曲面围成的立体是以曲面231x y z ++=，为顶，以区域(){},0,0,21D x y x y x y =≥≥+≤为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积123Dx yV dxdy --=⎰⎰()()()()1111222000021130********1111113412336xxdx x y dy x y y dx x dx x --⎡⎤=--=--⎣⎦-==-⋅-=⎰⎰⎰⎰（4）各曲面围成的立体是以曲面3z x y =--为顶，以区域(){}22,1D x y xy =+=为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积()3D V x y dxdy =--⎰⎰()()()()21122300102203cos sin 31cos sin 2331cos sin 2331sin cos 323d r r rdrr r d d ππππθθθθθθθθθθθθπ=--⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰（5）各曲面围成的立体是以曲面212z y x =+-为顶，以区域(){}22,,D x y y x x y =≥≥为底，母线平行于oz 轴的曲顶柱体，故所求体积()212DV y x dxdy =+-⎰⎰)212012xdx y x dy =+-⎰1512222011121222x x x x x dx ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭⎰ 13732522011298444107140x x x x x ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭7.计算下列二重积分：（1）()x y Dedxdy -+⎰⎰，其中(){},0,0D x y y x y =≤<+∞≤≤；（2）222212x y De dxdy π⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中(){,0,D x y y =≤<+∞}0x ≤<+∞；（3）11221x y De dxdy x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中(){},1,1D x y y x =≤<+∞≤<+∞；（4）()2221Ddxdy xy+⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≥；解（1）原式()limlimy ayayxyxa a e dy e dx ee dy ----→+∞→+∞==-⎰⎰⎰()20021lim 1lim 2111lim 1222aay y y y a a a a a e e dy e e e e ----→+∞→+∞--→+∞⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭⎰（2）原式2221lim2r R R d erdr πθπ-→+∞=⋅⎰⎰2222202201lim 222111lim lim 1444r R R Rr R R R r e d e e ππ-→+∞--→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（3）原式11221111limaa y xa e dx e dy xy →+∞=⎰⎰()111121211limlim 1aa y xa aa e d e d x y e e e →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰（4）原式2213300011limRR d dr d dr r rππθθ→+∞=-⎰⎰⎰⎰ 211lim 221220R R ππππ-→+∞⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅--⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=8.计算下列二重积分：（1）设(),2,02,,2,02x y x y x f x y xy y x y +≤≤≤≤⎧=⎨≤≤≤≤⎩，计算(),Df x y dxdy ⎰⎰；（2）D，其中(){},11,02D x y x y =-≤≤≤≤；（3）221D x y dxdy +-⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤；（4）{}22max ,x y De dxdy ⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤；解（1）()()()2220,xxDf x y dxdy dx x y dy dx xy dy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222200022230011223122622xx xy y dx xy dx x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ （2）如图8－34所示22222,,DDDy x dxdy y x y x dxdy x ydxdy y x⎧-≥⎪⎪-=⎨-<⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰如图所示，由对称性可知221212220002xxDy x dxdy dx y x dy dx x ydy ⎡⎤-=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰()31123200222233x dx x dx ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰其中，()31220223x dx -⎰利用第二换元法可知()31234200222222cos 2cos 3343x dx t tdt ππ-=⋅=+⎰⎰ 故，原式523π=+图8－34（3）如图8－35所示()()22222222221,111,1D DDx y dxdy x y x y dxdy x y dxdy x y ⎧+-+≥⎪+-=⎨-++<⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰221Dx y dxdy +-⎰⎰()()()()()2211122220111241230103122203124220011112243221833121211cos 83383343x x d r rdr dx xy dyr r x y y dxx x dx x dx tdt ππθπππππ--=-++-⎛⎫⎡⎤=⋅-+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦=-+-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰图8－35 图8－36 （4）如图8－36所示{}2222max ,,,y x y Dx D De dxdy x y e dxdy e dxdy x y⎧≤⎪⎪=⎨>⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰ {}222211max ,0xyx y x y Dedxdy dx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111x y e xdx e ydy e =⋅+⋅=-⎰⎰（B ）1. 计算Dydxdy ⎰⎰，其中D ()10,0,x ya b a b+=>> 0,0x y ==围成的.解22000122ba b x aaDbydxdy dx ydy b x dxa+-⎛==+-⎝⎰⎰⎰⎰⎰22222221244230a b b b b xb x x b x dxa a a a aab⎛⎫⎫=++-++⎪⎪⎪⎭⎝⎭=⎰2.计算()()2222sinx yDe x y dxdyπ-+-+⎰⎰，(){}22,D x y x yπ=+≤. 解()()()222222200sin sinx y rDe x y dxdy d r rdrπππθ-+---+=⋅⋅⎰⎰⎰()222sinr r rdrππ--=⋅⋅事实上，()22sinr r rdrπ--⋅⋅()221cos2r d rπ--=-()()()()()()()()()2222222222221cos22111sin22111sin sin22211sin2r rrr rre r r e rdre d re e r r rdre r rdrπππππππππ------------⎡⎤⎛=-+⋅⎢⎥⎝⎢⎥⎣⎦=+-⎡⎤⎛=+-⋅+⋅⋅⎢⎥⎝⎢⎥⎣⎦=+-⋅⋅故()()221sin14r r rdr eππ--⋅⋅=+，()22sinr r rdrπ--⋅⋅()()121142e eππππ=⋅+=+3. 计算()22Dx y y dxdy ++⎰⎰，其中D 是由224,x y +=和()2211x y ++=围成的.解如图8－37所示()22Dx y y dxdy ++⎰⎰()()2222D D x y y dxdy x y y dxdy =++-++⎰⎰⎰⎰大圆小圆其中，()2222D D D x y y dxdy x y dxdy ydxdy ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰大圆大圆大圆22201603d r dr πθπ=+=⎰⎰ ()2222D D D x y y dxdy x y dxdy ydxdy ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰小圆小圆小圆（根据对称性）32cos 2223209rd r dr ππθ-=+=⎰⎰所以，原式()16329π=-.图8－37 图8－38 4. 计算22224Dx y x y +--⎰⎰，其中D 是由211,y x y x =--=-围成的.解如图8－38所示202sin 04Dd θπθ--=⎰⎰令2sin ,2cos ;0,0;2sin ,r t dr tdt r t r t θθ=====-=-原式2044sin 2cos 2cos td tdt tθπθ--=⎰⎰()00421cos 2d t dt θπθ--=-⎰⎰()042sin 2t t d θπθ--=-⎰22411cos 22162ππθθ-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭5. 计算D，其中D 是由221x y +=的上半圆和222x y y +=的下半圆围成的.解如图8－39所示12DD D =+2sin 620062d rdr d rdr ππθπθθ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()()()112sin 122226220001124444223d r d r r d r πθπθ⎡⎤=----⋅--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()2sin 133226220001222442363r d r θππθ⎡⎤=⎢-⋅--⋅-⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ()3601828cos 839d πθθπ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰()260418281sin sin 939d ππθθπ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦⎰366001238812sin sin 9333312341823222933939ππππθθπππ⎡⎤=--+⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤-=--+=-⎢⎥⎣⎦图8－39 6. 计算()1100,xyf x y dxdy ''⎰⎰，其中(),f x y 具有二阶连续偏导数. 解()()11110000,,xy xf x y dxdy f x y dx '''=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()()()()()101100,1,0,1,01,10,00,11,0xx f x f x dx f x f x f f f f ''=-⎡⎤⎣⎦=-=+--⎰7. 设函数()f x 在[]0,a 上连续，求证()()()2002a a ax f x dx f y dy f x dx ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰. 证明()()()()0aa a yxf x dx f y dy f y dy f x dx =⎰⎰⎰⎰()()0a xf x dx f y dy =⎰⎰()()02a a x f x dx f y dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()0a a a xxf x dx f y dy f x dx f y dy =+⎰⎰⎰⎰()()()()0020aa xx af x dx f y dy f y dy f x dx ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰8.计算2222yRy x y x dy edx dy dx ----+⎰.解222200yRy x y x dy edx dy dx ----+⎰()()222222200441211248RR r r R r R d e rdr d e d r ee ππππθθππ----==--=-⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰9. 求证：()()()222a aDf x y dxdy a t f t dt -+=-⎰⎰⎰，其中(){},,D x y x a y a =≤≤.证明()()aaaaDf x y dxdy dx f x y dy --+=+⎰⎰⎰⎰令x y t +=，y t x =-，因为a y a -≤≤，故x a t x a -≤≤+()()aa a x aaaax adx f x y dy dx f t dt +----+=⎰⎰⎰⎰交换累次积分次序得()()()0220t aaaaat aDf x y dxdy f t dt dx f t dt dx +---+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()022022222aa aat a f t dt a t f t dta t f t dt--=++-=-⎰⎰⎰10. 计算广义二重积分()22x y x y edxdy +∞+∞-+-∞-∞-⎰⎰.解如图8－40所示()()()()()222222,,x y x y x y x y e dxdy x yx y e dxdy y x e dxdy y x +∞+∞-++∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-∞-∞-+-∞-∞⎧-≥⎪-=⎨⎪-≥⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()2222225224430044544300444304lim cos sin sin cos 11lim cos sin sin cos 2211lim sin cos 22R R r r R R R r r R R r r R d e r dr d e r dr d rde d rde r e e ππππππππππθθθθθθθθθθθθθθ--→+∞---→+∞---→+∞-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⋅-⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2205400411sin cos 224242R R R r r dr r e e dr ππθθππ--⎡⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎣⎤⎛⎫-+⋅-⋅+⎥ ⎪⎝⎭⎦=⨯=⎰⎰图8－40四、自测题及答案1. 累次积分()cos 20cos ,sin d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成（）（A ）()1,dx f x y dy ⎰ （B ）()10,dx f x y dy ⎰ （C ）()1,dy f x y dx ⎰ （D ）()10,dy f x y dx ⎰2. 设()()010a y x f x g x ≤-≤⎧==⎨⎩其他 ()0a >，区域D 表示全平面，则()()Df xg y x dxdy -=⎰⎰（）.（A ）22a （B ）2a （C ）21a - （D ）21a +3. 设. 区域D 是xy 平面上以()()()1,1,1,1,1,1A B C ---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则()cos sin Dxy x y dxdy +=⎰⎰（）（A ）0（B ）12D xydxdy ⎰⎰（C ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （D ）()14cos sin D xy x y dxdy +⎰⎰4. 计算()2331216Dxx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由1x =、3y x =、y =.5. 交换累次积分次序()2,ydy f x y dx ⎰.6.交换累次积分次序22202d (,)d (,)d x I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰7. 交换累次积分次序()()228812,,x xxdx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰.8. 计算cos Dy x dxdy -⎰⎰，其中(),,0122D x y x y ππ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭；9. 利用二重积分计算由曲线sin ,cos ,0y x y x x ===所围成区域的面积1. （A ）2. （B ）3. （C ）4.421845. ()222,xx dx f x y dy ⎰⎰6.2(,)d dy f x y x ⎰7.()()48142,,y ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰8.2π- 1。

第八章二重积分

∫c d y∫ψ ( y)
1
d
ψ 2 ( y)
f (x, y) dx
变号时, 变号当被积函数 f (x, y)在D上变号由于
f (x, y) + f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) = 2 2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
四、曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为
y = 2 (x)
z z = f (x, y)
1(x) ≤ y ≤ 2 (x) D = (x, y) a ≤ x ≤b
任取截面积为故曲顶柱体体积为平面截柱体的
y
D
O
a x0 b x y = 1(x)
V = ∫∫ f (x, y) dσ = ∫ A(x)记 d x
例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为
x2 + y2 = R2, x2 + z2 = R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z = R2 x2
z
R
O
0 ≤ y ≤ R2 x2 (x, y) ∈ D : 0≤ x ≤ R 则所求体积为
D D
3. ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫D f (x, y)dσ + ∫∫D f (x, y)dσ
D
1 2
σ 为D 的面积, 则
σ = ∫∫D1 dσ = ∫∫D dσ
5. 若在D上 f (x, y)≤ (x, y) , 则
∫∫D f (x, y) dσ ≤ ∫∫D (x, y) dσ
特别, 由于 f (x, y) ≤ f (x, y) ≤ f (x, y)

高等数学课后答案第八章习题详细解答

习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

二重积分习题答案精编WORD版

二重积分习题答案精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八章二重积分习题答案练习题8.11.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y =20d πθ⎰⎰=22201()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题8.21.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd yx D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰=222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 222222(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习题八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

高数二重积分习题加答案

0 3a2 r 2
2a a2 r 2 d (a2 r 2 )
a0
6
3
4
2 3
6
2 3
a2.
练习题
交换下列二次积分的次序:
1 2y
3 3 y
1. 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx;
1
1 1 x2
2. 0 dx x f ( x, y)dy;
计算下列二次积分：
D
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围.
1y
先对 y 积分
y =1– x
x
I dx f ( x, y)dy
x
0
1x
y = x –1 –1
先对 x 积分
1y
D1
0
D2
x =1– y
I
D1 D2
y
dy f ( x, y)dx
1x
y
dy f ( x, y)dx
y x2 d D
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
D3
D1
D2
1
dx
x2
( x2 y)dy
1
dx
1 ( y x2 )dy 11.
1 0
1
x2
15
例7 证明
b
dx
x
(x
y)n2
f
(
y)dy
1
b
(b
y)n1
f
( y)dy.
aa
n1 a
证
b
dx
x
D ( x)D ( y) D
2
其中a, b为常数， D {( x, y) 0 x, y 1}.

高等数学练习册第八章习题参考答案(1)

解令x a cos t, y a sin t,
I
2 0
1 a2
[a 2
(cos
t
sin
t
)(
sin
t
)
(cos
t
sin
t
)
cos
t
]dt
2
0 dt 2 .
p55. 2.计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,其中 L
L为抛物线y x2上从点(1,1)到点(1,1)的一段弧.
C
(2)曲线弧C的重心坐标为
xG
1 x( x, y)ds
MC
,yG
1 y( x, y)ds .
MC
p51.2.设光滑曲线L关于x轴对称, L1是L在x轴上方的部分, (1)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为奇函数,则Biblioteka f ( x, y)ds 0 ; L
(2)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为偶函数,
(1)当p点从点A(a , 0)经位于第一象限的弧段到 B(0,b)时, F所作的功;
(2)当p点经过全椭圆时,F所作的功.
p56. 解 F | F | F 0 x2 y2 ( x , y ) x2 y2 x2 y2
( x, y),
(1) W F d s ( x)dx ( y)dy
0
22
a2
2
| cos
t
| dt
2a 2
2 cos udu 2a2 .
20
2
0
p52. 3.计算 | xy | ds,其中L :圆周x2 y2 a2. L
解法1
I 4
2
a3
sin t

二重积分习题解答

二重积分习题解答(一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1．12200I dy x y dx =⎰，则交换积分次序后得 C 。

（A）1220I dy x y dy =⎰；（B）12203I x y dy =⎰；（C ）2112203x I dx x y dx -=⎰⎰；（D ）2112203x I dx x y dy +=⎰⎰。

2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则x yDedxdy +=⎰⎰ D. .(A)2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ;3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则(,)D f x y dxdy =⎰⎰ C(A)120(,)xx dx f x y dy -⎰⎰, (B) 21(,)yydyf x y dx -⎰⎰, (C) 212(,)xxdx f x y dy -⎰⎰, (D) 1(,)xdx f x y dy ⎰⎰.;4．22x y DI e dxdy --=⎰⎰，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。

（A ）221[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（B ）2124[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（C ）21202[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰；（D ）221[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰。

5. 2DI xy d σ=⎰⎰, 其中22:1D x y +≤的第一象限部分,则 C 。

（A）120I dy dy =⎰；（B ）1120I dx xy dy =⎰⎰；（C）12I dx dy =⎰；（D ）1232cos sin I d r dr πθθθ=⎰⎰。

填空题1.交换二次积分次序，1(,)xI f x y dy =⎰＝。

故211(,)(,)yxy I dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰2．设积分域D 由11,22,x y -≤≤-≤≤围成，则3(2)Dx y dxdy +=⎰⎰ 0 3．设积分域为22{(,)|14,}D x y x y y x =≤+≤≥，则积分22()Df xy dxdy +=⎰⎰在极坐标下的二次积分为。

高等数学习题详解-第8章二重积分[优质文档]

习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰；（2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)220)ady x y dx +⎰；(2)21;xxdx ⎰⎰解：(1)4422320)248aaa a dy x y dx d r dr πππθ+==⋅=⎰⎰⎰.(2) 2sin 31244cos 600001sin 3cos x x dx d r dr d πθπθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011c o s 111(c o s )[(c o s )(c o s )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰531cos cos 4()3530πθθ--=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)Dσ3cos 22222022cos 12()230R R d R r d ππθππθθθ--==--⎰⎰⎰ 3333221(s i n )33R R R d πππθθ-=--=⎰. 4. 求由曲面z =x 2+y 2与z =所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：212220()]().6DV x y d d r r rdr ππσθ=+=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 244004(,)(,).yy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序：(1)d d 10(,)yy f x y x ⎰;(2)d d 20(,)a x x y y ⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1)211d (,)d d (,)d x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰.(2) 200d (,)d d (,)d aaa a x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；（2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.。

二重积分习题练习及解析

1
x y1
记D1为D的y≥0的部分. 则
D1
1
ox
x y 1
原式= 2 (| x | | y |)dxdy
1
D1
0
1 x
2
(
y
x)dxdy
2 dx 1
4
又
2d 2πa2 , 所以原式 = πa4 2πa2 .
x2 y2a2
4
21
例证明: 曲面z a ( x) b ( y) , x2 y2 c2 , z 0 (x) ( y)
所围立体的体积等于 1 πc2(a b),其中 (u)是连续
2
的正值函数, 且a 0,b 0,c 0.
4
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积.
3. 物理意义
若平面薄片占有平面内有界闭区域D,
它的面
密度为连续函数 ( x, y), 则它的质量M为:
M ( x, y)d .
D
5
（二）二重积分的性质
(重积分与定积分有类似的性质)
性质1(线性运算性质) 设、为常数, 则
f ( y), f (arctan y) 或积分域为圆域、扇形域、
x
x
圆环域时, 则用极坐标计算;
18
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应
将积分域分割成几个子域, 使被积函数在每个子域中保持同一符号, 以消除被积函
数中的绝对值符号.
19
典型例题
1.交换积分次序
z = f (x, y)的二重积分 n
其中 I是各D小f闭( x区, 域y)的d直径l中im0的i最1 大f (值i.,i ) i

二重积分的计算方法例题及解析

二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。

2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。

- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。

- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。

- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。

- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。

- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。

酱菜学校二重积分习题参考答案

第八章二重积分习题参考答案（2012）练习8.11.二重积分定义中,极限过程为什么不取0σ∆→{}12(max ,,...,)n σσσσ∆=∆∆∆,即最大区域面积趋于零来描述“对D 的无限细分”？答：n 无限增大，精细的分割是指分割后每个小区域的任意两点的距离很小，这样(,)k k k f ξησ∆才接近实际值；直线上小区间长度很短就能保证其内任意两点距离很小，而平面上，小区域面积很小和其内任意两点距离很小却不是一回事，比如非常扁的长条面积虽小，但两头的点的距离却很大；定义的里0d →必有0σ∆→，但0σ∆→，不一定0d →，故不取0σ∆→来描述“对D 的无限细分”.2.有人说：“二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰的几何意义是以(,)z f x y =为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积.”是否正确？为什么？答：不正确，二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰的几何意义包含三种情形而不是这一种情况.3.比较下列二重积分的大小：（1）2322()():(2)(1) 2.DDx y d x y d D x y σσ++-+-≤⎰⎰⎰⎰与（2）2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ++⎰⎰⎰⎰与:(1,),(1,1),(2,0)D A B C 顶点为0的三角形闭区域.解：（1）在D 内显然有1x y +≥,所以在D 内有23()()x y x y +≤+故23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.xx y +（2）由已知可得BC 的直线方程为2,x y +=从而D 内有12, 0ln()1x y x y ≤+≤≤+< 所以2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.4.利用二重积分性质估计下列积分值：（1）(1),:01,02;DI x y d D x y σ=++≤≤≤≤⎰⎰ （2）2222(9),: 4.DI x y d D x y σ=+++≤⎰⎰解:（1）由于114(,)x y x y D ≤++≤∈ 所以(1)4DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1)4(2D D D DS x y d S S D σ≤++≤=⎰⎰为面积）21)8Dx y d σ≤++≤⎰⎰（.（2）因为229913(,)x y x y D ≤++≤∈所以229(9)134D D D DS x y d S S σπ≤++≤=⎰⎰2236(9)52Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰.5.判断二重积分22ln()DI x y d σ=+⎰⎰值的符号，: 1.D x y +≤解: 因为(,)x y D ∈有1x y +≤，所以2()1x y +≤22121x y xy +≤-≤即所以22()0In x y +≤于是22()0DIn x y d σ+≤⎰⎰ 故I 取负号.练习8.21.若(,)f x y 在:,D a x b c y d ≤≤≤≤上两个二次积分都存在,则它们必定相等,即(,)(,)b dd baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰对否？为什么？xxyx解：对. 因为根据定理1有(,)(,)bdacDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(,)(,)d bcaDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰，所以等式成立.2. 交换下列二次积分次序：（1）2211(,)x dx f x y dy ⎰⎰；解：由已知的二次积分得积分区域2:12,1D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,1,2y x y x ===围成；写成y 型区域:142D y x ≤≤≤≤故2211(,)x dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰241),(ydx y x f dy .（2）10(,)y dy f x y dx ⎰ 解：由已知得积分区域D 为： y x y y ≤≤≤≤，10 推出D 由2,y x y x ==围成；写成x 型区域 2:01,D x x y x ≤≤≤≤故1(,)ydy f x y dx =⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰.（3）211(,)yydy f x y dx ⎰⎰解：由已知得积分区域D 为： y x yy ≤≤≤≤121，推出D 由1,,2y y x y x===围成；将D 写成x 型区域y xyx=12y =x1D :111,22x y x≤≤≤≤ 2D ：12,2x x y ≤≤≤≤故211(,)y ydy f x y dx ⎰⎰=12112(,)xdx f x y dy ⎰⎰+221(,)xdx f x y dy ⎰⎰.（4）1220010(,)(,).x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰ 解：由已知得积分区域D 由1D 和2D 构成1D : 01,0x y x ≤≤≤≤2D : 12,02x y x ≤≤≤≤-推出D 由,0,2y x y x y ==+=围成; 写成y 型区域 :012D y y x y ≤≤≤≤-，故12201(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-yydx y x f dy 210),(.3.计算下列二重积分：（1）323(3)Dx x y y d σ++⎰⎰，其中D 是矩形闭区域x y ≤≤≤≤01，01；解：1132332300(3)(3)Dx x y y d dx x x y y dy σ++=++⎰⎰⎰⎰24132100(3)24y y x y xdx =++⎰ 132031()24x x dx =++⎰43111()1424x x x =++=.（2）223/2(1)Dyd x y σ++⎰⎰，其中D 是矩形闭区域x y ≤≤≤≤01，01；解：3322112222(1)(1)Dyy d dx dy xy x y σ=++++⎰⎰⎰⎰=32112220011[]2(1)dy dx x y ++⎰⎰x31122220011[(1)]2(1)d x y dx x y =++++⎰⎰121221001[(2)(1)]2x y dx -=⋅-⋅++⎰ 11221220[(2)(1)]x x dx --=-+-+⎰=11-⎰⎰（利用第六章公式）1100ln(ln(x x =+-ln(1ln(1=-+2)ln(1=-.（3）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是三顶点分别为,πππ(0,0),(,0)和()的三角形闭区域；解：由已知推出D 由,0,y x y x π===围成；:0,0D x y x π≤≤≤≤cos()cos()xDx x y d dx x x y dy πσ+=+⎰⎰⎰⎰=00[sin()]xx x y dx π+⎰(sin 2sin )x x x dx π=-⎰sin 2sin x xdx x xdx ππ=-⎰⎰01(cos 2)cos 2xd x xd x ππ=-+⎰⎰ 00001(cos 2cos 2)cos cos 2x x xdx x x xdx ππππ=-++-⎰⎰0011(cos 2cos 22)sin 22xd x x πππππ=-+--⎰ 322πππ=--=-.（4）2Dxy dxdy ⎰⎰，其中D 是由22(0)2py px x p ==>,围成的闭区域.解：D 为：2,,22y pp y p x p -≤≤≤≤ x22222p y pp pDxy dxdy dy xy dx -=⎰⎰⎰⎰=22222p y p px y dy -⎰=2422()88pp p y y dy p --⎰ 22621()88pp p y y dy p-=-⎰ 237502122838721p p p y y p p =⋅⋅-⋅⋅=. 4.将下列二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标形式的二次积分：（1）222:D x y a +≤；解：因为222:D x y a +≤将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y a +=得222(r a x y a =+=的极坐标方程)极坐标系下:020D r a θπ≤≤≤≤，所以200(,)(cos ,sin )aDf x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰（2）22:2.D x y x +≤解：因为22:2D x y x +≤，即22(1)1x y -+≤ 将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:02cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤，所以2cos 202(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.xx2px2a =5.将下列二次积分转化为极坐标系下的二次积分：（1）2200()Rdx f x y dy +⎰；解：已知:0,0D x R y ≤≤≤≤为推出D 由222,0,0x y R y x +===围成；极坐标系下:002D r R πθ≤≤≤≤，22()Rdx f x y dy +⎰2200()Rd f r rdr πθ=⎰⎰.（2）200(,).Rdy f x y dx ⎰解：已知D为：02,0y R x ≤≤≤≤ 推出D 由222x y Ry +=即222(),0x y R R x +-==将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y Ry +=得222sin (2r R x y Ry θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:002sin 2D r R πθθ≤≤≤≤，20(,)Rdy f x y dx ⎰2sin 200(cos ,sin )R d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰.6.利用极坐标计算下列二重积分：（1）{}22(4)(,)|4Dx y d D x y x y σ--+≤⎰⎰，=解： 22:4D x y +≤极坐标系下:0202D r θπ≤≤≤≤，22(4)(4cos sin )(4cos sin )DDx y d r r rdrd d r r rdrπσθθθθθθ--=--=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰332222200(2cos sin )33r r rd πθθθ=--⎰ 2088(8cos sin )33d πθθθ=--⎰xxx2R 422()y R R -=2208816sin cos 1633πππθθπ=-+=.（2）22:1,0,0DD x y x y σ+≤≥≥，解：22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 极坐标系下:0012D r πθ≤≤≤≤，200Dd πσθ=⎰⎰2d πθ=⎰⎰02π=⎰2200()44r t ππ===⎰⎰111()44ππ==-⎰⎰⎰21101(arcsin 42t π=-⎰121[(1)]422t ππ=+-⎰()(1)(2)42428ππππππ==-=-. （3）22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=以及坐标轴所围成的在第一象限的区域；解： 222:2,0,0D x y x y +≤≥≥极坐标系下:0022D r πθ≤≤≤≤，22222ln(1)ln(1)Dx y d d r rdr πσθ++=+⎰⎰⎰⎰220ln(1)2r rdr π=+⎰2220ln(1)4r dr π=+⎰2220ln(1)(1)4r d r π=++⎰521ln (1)4tdt r t π=+=⎰x1=x45511(ln )4t t dt π=-⎰(5ln 54)4π=-.（4）222222sin(),:4,0,0.Dx y dxdy D x y x y ππ+≤+≤≥≥⎰⎰解： 2222:4,0,0D x y x y ππ≤+≤≥≥极坐标系下:022D r πθππ≤≤≤≤，22222sin()sin Dx y dxdy d r rdr πππθ+=⎰⎰⎰⎰ 222()(s i n )d r r d r πππθ=⋅⎰⎰ 22222sin sin 24r rdr r dr ππππππ==⎰⎰2222(cos )(cos cos 4)44r ππππππ=-=-.练习8.3（不作要求）1. 用二重积分变换计算：（1）22(),:;Dx y dxdy D x y x y ++≤+⎰⎰解： 22x y x y +≤+由，得22211()()22x y -+-≤令11,,22u x v y =-=-作变换11,,22x u y v =+=+101001J ==≠ 在变换下D 变成221:2D u v '+≤11()()(1)22DD D x y dxdy u v J dudv u v dudv ''+=+++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰:0202D r θπ'≤≤≤≤=，20()cos sin 1)Dx y dxdy d r r rdr πθθθ+=++⎰⎰⎰20[(cos sin )d πθθθ=+⎰x22001sin )124d d ππθθθθ=++⎰⎰220cos )1242ππθπθθ=-+=.（2）222222(),:1,0,0.Dx y x y dxdy D a b a b ++≤>>⎰⎰解：令,,x y u v a b== 作变换,,x au y bv ==000a J ab b==≠ 在变换下D 变成22:1D u v '+≤ 222222()()DD xy dxdy a u b v abdudv '+=+⎰⎰⎰⎰:0201D r θπ'≤≤≤≤，21222222220()(cos sin )Dx y dxdy d a r b r abrdr πθθθ+=+⎰⎰⎰⎰ 21222230(cos sin )d a b abr dr πθθθ=+⎰⎰42222210(cos sin )4rab a b d πθθθ=+⎰22222200(cos sin )4ab a d b d ππθθθθ=+⎰⎰2222001cos 21cos 2()422ab a d b d ππθθθθ+-=+⎰⎰222222011[(sin 2)(sin 2)42222ab a b ππππθθθθ=++-22()4ab a b π=+. 2. 用二重积分求由直线,(0),x y m x y n m n +=+=<<,(0)y ax y bx a b ==<< 所围成的区域D 的面积S . 解：令 ,,yu x y v x=+= 作变换,.11u uv x y v v==++x122211(1)0(1)1(1)u v v uJ v u v vv -++==≠+++在变换下D 变成:D m u n a v b '≤≤≤≤221()[](1)(1)n b m a DD D u S dxdy J dudv dudv udu dv v v ''====⋅++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2221()()()()212(1)(1)n b ma ub a n m v a b --=⋅-=+++.习题八 1. 填空题（1）设D 是第II 象限内的一个有界闭区域，且01y <<记32312,DDI yx d I y x d σσ==⎰⎰⎰⎰1323,DI y x d σ=⎰⎰则123I I I 、、的大小顺序为 . 答案：312I I I <<分析：因为01y <<,所以122y y y <<；而30x <，于是133232y x yx y x <<，故312I I I <<.（2）若D 是由直线1x y +=与两坐标轴围成的三角形区域，且1()()Df x dxdy x dx ϕ=⎰⎰⎰，则()x ϕ= .xax n答案： ()(1)()x x f x ϕ=-分析：因为1100()()xDf x dxdy dx f x dy -=⎰⎰⎰⎰1100()(1)()f x x dx x dx ϕ=-=⎰⎰所以()(1)()x x f x ϕ=-（3）设D 由(0)01y kx k y x =>==、、围成的有界闭区域，且21,15Dxy dxdy =⎰⎰则k = . 答案： 1k =分析：311220003kxkxDy xy dxdy dx xy dy xdx ==⎰⎰⎰⎰⎰3353141001,3351515k k x k x dx ====⎰ 31(0)k k =>，所以 1k =.（4）设()00(,)(,)(0)aa x ady f x y dx dx f x y dy a ϕ-=>⎰⎰⎰,则()x ϕ= .答案：()x ϕ=分析：因为0,y a x ≤≤-≤推出D 为222x y a +=的上半圆；换积分次序有:,0D a x a y -≤≤≤≤()(,)(,)(,)aaa x aady f x y dx dx f x y dy dx f x y dy ϕ--==⎰⎰⎰⎰所以()x ϕ=（5）设{}(,)10D x y x y x =+≤≥且,按先y 后x 的积分次序写二次积分()Dx y dxdy +⎰⎰= (结果中被积函数不含绝对值符号).答案：10110100()()xx dx x y dy dx x y dy ---++⎰⎰⎰⎰ 分析：由12D D D =1:01,10,D x x y ≤≤-≤≤ 2:01,01,D x y x ≤≤≤≤-有10110100()()()xx Dx y dxdy dx x y dy dx x y dy --+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 若322111()00()(,)(,)x y x y dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰,则12((),())y y ϕϕ= .答案：12((),())y y ϕϕ=分析：因为3223113200(,)(,)([0,1])x x x x dx f x y dy dx f x y dy x x x =-∈≤⎰⎰⎰⎰(,)Df x y dxdy =-⎰⎰由已知推出D 由32,y x y x ==围成；换积分次序有:01,D y x ≤≤≤原二次积分1100(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx =-=⎰⎰211()()(,)y y dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰故 12((),())y y ϕϕ=.(7) 若{}222(,)D x y x y a =+≤(0)a >,Dπ=，则a = .答案：a = 分析：因为:020D r a θπ≤≤≤≤，2Dd πθ=⎰⎰322222320001122()[()]2[()()]2233ad a r a r a πθπππ=⋅--=-⋅-==⎰⎰33231,32a a ==，所以a =. （8）已知22222()():(0)DF t f x y dxdy D x y t t =++≤>⎰⎰,则()F t '= .答案：2()2()F t tf t π'=分析：由积分区域222x y t +≤和被积函数22()f x y +的形式知用极坐标计算 :02,0D r t θπ≤≤≤≤222()()()DDF t f x y dxdy f r rdrd θ=+=⎰⎰⎰⎰222220()()[()]2()t t td f r rdr d f r rdr f r rdr ππθθπ==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰得 2()2()F t tf t π'=.2. 选择题（1）估计积分22||||101100cos cos x y I dxdy x y +≤=++⎰⎰的值，则正确的是（）. A. 11.042I << B. 1.04 1.96I << C. 1.962I << D. 2 2.14I << 答案：C分析：由已知有1410102002D S =⋅⋅⋅=,根据二重积分中值定理有22200(,)100cos cos D I f S ξηξη=⋅=++ (,)D ξη∈ 又220cos cos 2ξη<+<, 得 200200102100I << 即1.962I <<，故选C .（2）设区域12:11,22;:01,02,D x y D x y -≤≤-≤≤≤≤≤≤又1222322312(),(),D D I x y d I x y d σσ=+=+⎰⎰⎰⎰则正确的是（）.A. 124I I >B. 124I I <C ．124I I = D. 122I I = 答案： C分析：因为2D 与1D 在第一象限重合，1D 关于x 轴、y 轴都对称，被积函数关于y 、x 都是偶函数，x所以124I I =，故选C .（3）设22:1,0,0,D x y x y +≤≥≥则Dxydxdy ⎰⎰=（）.A. 100dx ⎰ B. 00C. 100dx ⎰ D. 110dx xydy ⎰⎰答案： C分析：因为:01,0D x y ≤≤≤≤所以100Dxydxdy dx =⎰⎰⎰,故选C . （4）cos 200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰=（）.A. 1100(,)dx f x y dy ⎰⎰ B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 100(,)dx f x y dy ⎰ D. 1(,)dy f x y dx ⎰答案： C分析：已知:00cos 2D r πθθ≤≤≤≤由cos r θ=有2cos r r θ=得22x y x +=即22211()()22x y -+=，推出D 为22211()()22x y -+=的上半圆；所以:010D x y ≤≤≤≤于是cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰10(,)dx f x y dy ⎰，故选C.（5）设(,)f x y 是所给积分区域上的连续函数，则下列等式成立的是（）.A. (,)(,)bddba c c a dx f x y dy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰ B. (,)(,)bddba c c a dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰ C. ()()()()(,)(,)bg x g x ba x x a dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰D. ()()()()(,)(,)b g x b g x a x a x dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰ 答案：B分析：正确的是(,)(,)bdd ba ccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰, 故选B .（6）1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰（）.A. 1100(,)x dy f x y dx -⎰⎰B. 1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰ C. 1100(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 1100(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 答案：D分析：已知:0101D x y x ≤≤≤≤-,推出D 由1,0,0x y y x +===围成；换积分次序有:0101D y x y ≤≤≤≤- 所以1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰110(,)ydy f x y dx -⎰⎰, 故选D .（7）圆1r =之外和圆r θ=之内的公共部分的面积S =（）. A．/60d rdr πθθ⎰B. /6d rdr πθθ⎰C. /602d rdr πθθ⎰D. /62d rdr πθθ⎰答案：C分析：由1r =有21r =得221x y +=2cos r r θθ=由有22222(x y x x y +=+=得即 12DD S d d σσ==⎰⎰⎰⎰, 1D 是D 在x 轴上方部分22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩交点：11(),()2222- 故有1sin ,26πθθ==1:016D r πθθ≤≤≤≤于是S=1/60122D d d rdr πθσθ=⎰⎰⎰, 故选C .（8）当D 是由（）围成的区域时，112Ddxdy =⎰⎰.A. 0x =，0y =及220x y +-=B. 1x =,2x =及3y =,4y =C. 11,22x y == D. 1,1x y x y +=-= 答案：D分析：1111122222A I S ∆==⋅⋅⋅=, 111(21)(43)222B I S ==-⋅-=矩,211111[()]22222C I S ==--=矩, 11144111222D I S ∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=即112D DI dxdy ==⎰⎰ 故选D . (9)下列结论中不成立的有（）.A. (,)0Dd f x y dxdy =⎰⎰B. (,)0D f x y dxdy x ∂=∂⎰⎰ C.(,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰ D. 111000(,)(,)dv f u v du f u x du x∂=∂⎰⎰⎰答案：D分析：因为(,)Df x y d x d y=⎰⎰常数，所以(,)0Dd f x y dxdy =⎰⎰，(,)0D f x y dxdy x ∂=∂⎰⎰，(,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰均成立，故选D .(10)设12(,)()()f x y f x f y =且11()()F x f x '=，22()()F y f y '=，则11(,)dx f x y dy ⎰⎰=（）.A. (1,1)(0,0)f f -B. 1212(1)(1)(0)(0)F F F F ⋅-⋅C. 111200()()F x dx F y dy ⋅⎰⎰D. 12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F ⋅-⋅-⋅+⋅ 答案：D 分析：1111120(,)()()dx f x y dy dx f x f y dy =⋅⎰⎰⎰⎰11120(())(())f x dx f y dy =⋅⎰⎰111020[()][()]F x F y =⋅1122[(1)(0)][(1)(0)]F F F F =-⋅-12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F =⋅-⋅-⋅+⋅, 故选D .(11) 100(,)xdx f x y dy =⎰⎰（）；A. 100(,)xdy f x y dx ⎰⎰ B. 10(,)x dy f x y dx ⎰⎰ C. 110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ D. 100(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 答案：C分析：已知:010D x y x ≤≤≤≤, 推出D 由,0,1y x y x ===围成；交换积分次序:011D y y x ≤≤≤≤1(,)x dx f x y dy ⎰⎰=110(,)ydy f x y dx ⎰⎰, 故选C .(12) 设22:14D x y ≤+≤,则Ddxdy =⎰⎰（）；A. πB. 3πC. 4πD. 15π 答案：B分析：因为22213D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰，故选B .(13)设12D D D = ，而1D 是以(0,0),(2,1),(2,0)为顶点的三角形区域,2D 是以(0,0),(2,0),(21-，）为顶点的三角形区域，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）；A. 0B. 1(,)D f x y dxdy ⎰⎰+ 2(,)D f x y dxdy ⎰⎰C. 2(,)D f x y dxdy ⎰⎰ D. 1(,)D f x y dxdy ⎰⎰答案：B分析：由已知显然有12D D S S =,但被积函数只是记号(,)f x y 不是具体解析式,而12D D D = ，所以(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,故选B .（14）若D 是以(1,1),(1,1),(11---，）为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（）；A. 21cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B. 21D xydxdy ⎰⎰C. 41(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D. 41cos sin D x ydxdy ⎰⎰答案：A分析：设1234D D D D D = (如图)12:D D 图形关于y 轴对称，被积函数中cos sin x y关于x 是偶函数，xy 关于x 是奇函数；34:D D 图形关于x 轴对称，被积函数关于y 是奇函数；1234(cos sin )(cos sin )(cos sin )DD D D D xy x y dxdy xy x y dxdy xy x y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 002cos sin D D x ydxdy x ydxdy =++=⎰⎰⎰⎰, 故选A .（15）若已知00()dx xf y dy ππ⎰⎰=1,则0()f x dx π=⎰（）；A. 1πB.21π C. 22π D. 不能确定答案： C分析：因为2000000()()[()]()[()]2x dx xf y dy xdx f y dy f y dy ππππππ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 2()12f y dy ππ==⎰, 所以22()()f y dy f x dx πππ==⎰⎰, 故选C（16）设平面区域22:1D x y +≤,0y ≥,且DI f dxdy =⎰⎰的被积函数在D 上连续,则在极坐标下,I =（）；A. 10()rf r dr π⎰ B. 102()rf r dr π⎰ C. 102()f r dr π⎰ D. 10()f r dr π⎰ 答案： A 分析：:001D r θπ≤≤≤≤1()DI f dxdy d f r rdr πθ==⎰⎰⎰⎰1100()()()f r rdr rf r dr πθπ=⋅=⎰⎰, 故选A .（17）若{(,)2D xy x y x =≤≤,则在极坐标下(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）； A. /4100(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰ B. /21/40(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰⎰ C. /42cos 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰ D. /22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰答案：D分析：由已知22222(1)1y x y x x y =+=-+=有得推出D 由222x y x +=即22(1)1,x y y x -+==围成；将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:02cos 42D r ππθθ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy =⎰⎰/22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰, 故选D .（18）二重积分I 在极坐标系下为100(cos ,sin )I d f r r rdr πθθθ=⎰⎰,则在直角坐标系下I =（）；A. 100(,)dx f x y dy ⎰B. 102(,)dx f x y dy ⎰C. 110(,)dx f x y dy -⎰D. 1(,)dy f x y dx ⎰答案： C分析：由已知的:001D r θπ≤≤≤≤推出D 为单位圆221x y +=的上半圆部分，所以直角坐标系下:110D x y -≤≤≤≤110(,)I dx f x y dy -=⎰, 故选C .(19) 设31()DI ln x y d σ=+⎰⎰,32()DI x y d σ=+⎰⎰,33sin ()DI x y d σ=+⎰⎰,D 是由0x =，0y =，12x y +=与1x y +=围成的区域,则（）；123321132312....A I I I B I I I C I I I D I I I <<<<<<<<答案： C分析：由已知的D 可知112x y ≤+≤,1ln 2lnln()ln102x y -=≤+≤= 3()0ln x y +≤非正,3()0x y +>,3sin ()0x y +>而sin()x y x y +<+,于是333()sin ()()ln x y x y x y +<+<+ 所以132I I I <<, 故选C . (20) 设sin (,)xf x y x=，则(,)f x y 在由0y =,y x =及1x =围成的平面区域D 上的平均值为（）.A. 22cos1-B. 1sin1-C. cos11-D. 1 答案：A分析：由已知有:010D x y x ≤≤≤≤10011sin (,)(,)1112xDDxf f x y dxdy dx dy S xξη==⋅⋅⎰⎰⎰⎰11002sin 2cos 22cos1xdx x ==-=-⎰, 故选A . 3.利用二重积分性质估计下列积分值：（1）2222(49),:4DI x y d D x y σ=+++≤⎰⎰；解：由22(,)49f x y x y =++，22:4D x y +≤ 显然有(0,0)9m f ==最大值在边界2222x y +=上取得，即求22(,)49f x y x y =++ 满足2222x y +=的最值，方法①：将224y x =-代入有222()4(4)9325f x x x x =+-+=-+()60f x x '=-=令得唯一驻点 0x =，()6f x ''=-，(0)60f ''=-< 0x =是极大值点也就是最大值点，(0)25M f ==方法②：令2222(,,)49(4)F x y x y x y λλ=++++-2222084200x y F x x F y y F x y λλλ+-'=+==⎧⎪'=+=⎨⎪'=⎩解得0x =，2y =±；0y =，2x =± 可能的极值点(0,2),(0,2),(2,0),(2,0)--检验可得(0,2)(0,2)25f f -==为最大值，即25M = 于是2294925(,)x y x y D ≤++≤∈所以 229(49)25D D DS x y d S σ≤++≤⎰⎰, 4D S π=即 2236(49)100Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰ 故 36100I ππ≤≤.（2）22221(),:1DI ln x y d D x y eσ=+≤+≤⎰⎰；解：因为2211(,)x y x y D e≤+≤∈所以2211ln ln()ln10x y e-=≤+≤=22()0D DS In x y d σ-≤+≤⎰⎰ 2211(1)D S eπππ=⋅-=- 221(1)()0DIn x y d e πσ--≤+≤⎰⎰ 所以1(1)0I e π-≤≤.（3）22sin sin ,:0,0.DI x yd D x y σππ=≤≤≤≤⎰⎰解：由:0,0D x y ππ≤≤≤≤ 有22220sin sin sin sin 122x y ππ≤≤=于是2220sin sin D Dx yd S σπ≤≤=⎰⎰ 所以20I π≤≤.4.化二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰为二次积分（两种积分次序都要）：（1）{}(,)|||1,|1D x y x y =≤≤；解：:11,11D x y -≤≤-≤≤1111(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ--=⎰⎰⎰⎰ （先对y 积分，后对x 积分）1111(,)dy f x y dx --=⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）（2）D 是由0x =，1y =及y x =围成的区域；解：将D 表示成x 型：1,10≤≤≤≤y x x(,)Df x y d σ⎰⎰11(,)xdx f x y dy =⎰⎰ （先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：y x y ≤≤≤≤0,10(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)ydy f x y dx =⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）（3）D 是由0y =，ln y x =及x e =围成的区域. 解：将D 表示成x 型：1,0ln x e y x ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)eInxdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：01,y y e x e ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰10(,)y eedy f x y dx =⎰⎰ （先对x 积分，后对y 积分）5.交换下列二次积分次序：（1）1120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；解：积分区域为：10,12x x y x ≤≤≤≤-换成y 型： 11:0,02D y x y ≤≤≤≤ 21:1,012D y x y ≤≤≤≤-1120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰120(,)ydy f x y dx =⎰⎰+11102(,)ydy f x y dx -⎰⎰.（2）122001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰；解：第一项积分的积分区域1:01,0D x y ≤≤≤≤ 第二项积分的积分区域2:12,02D x y x ≤≤≤≤-22222(1)1y x y x x y =+=-+=由有即，22y x x =-=-+将两区域合并成区域D 并表示成y 型：:01,12D y x y ≤≤≤≤-1221(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰1201(,)ydy f x y dx -=⎰⎰.（3）2122002(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰；解：第一项积分的积分区域为 211:0202D x y x ≤≤≤≤，,第二项积分的积分区域为 2:20D x y ≤≤≤≤228y x y =+=由得，212y x =将两区域合并成区域D 并表示成y 型：: 02,D y x ≤≤≤21222(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰2(,)dy f x y dx =⎰.（4）10(,).dx f x y dy ⎰解：积分区域:01,D x y ≤≤≤≤222211()24y x y x x y =+=-+=由得即，y =将D 表示成y 型域要分成三个区域123D D D 、、：211:1,12D y y x ≤≤≤≤2211:0,22D y y x ≤≤≤≤=31:0,12D y x ≤≤≤≤10(,)dx f x y dy⎰22111122102(,)(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx =++⎰⎰⎰⎰.6.计算下列二重积分：（1）(6)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y x =,5y x =及1x =围成的区域；解：:015D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)(6)Dx y dxdy +⎰⎰150(6)xxdx x y dy =+⎰⎰⎰⋅+=1052)26(dx y xy xx 3763767613102=⋅==⎰x dx x . （2）x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由1x y +≤所确定的闭区域；解：将D 表示成x 型分为：1:1011D x x y x -≤≤--≤≤+，2:01,11D x x y x ≤≤-≤≤-x yDe d σ+⎰⎰12x y x y D D e dxdy e dxdy ++=+⎰⎰⎰⎰ 01111101xxx y x y xx dx e dy dx e dy +-++----=+⎰⎰⎰⎰1111110x y xx yxx x e edx e e dx +-----=+⎰⎰0111111()()x x x x x x e e e dx e e e dx +-----=-+-⎰⎰ 0112112111x x e dx e dx e dx edx +----=--+⎰⎰⎰⎰111111()()22e e e e e e e e=----+=-. （3）22()Dx y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线2y =,y x =及2y x =所围成的闭区域；解：:022yD y x y ≤≤≤≤(y 型)22()Dxy x d σ+-⎰⎰22220()y ydy x y x dx =+-⎰⎰232220()32y y x x y x dy =+-⎰ 232193()248y y dy =-⎰ 432019113()24486y y =-=. （4）22y Dx e dxdy -⎰⎰，其中D 由直线y x =,1y =及y 轴所围成；解：:01,0D y x y ≤≤≤≤ (y 型)22y Dx edxdy -⎰⎰2120yy dy x edx -=⎰⎰231003y yx edy -=⋅⎰ 213013y e y dy -=⋅⎰2122016y e y dy -=⋅⎰ 21016t y tte dt=-=⎰111()6t t te e dt --=--⎰110111()663t e e e--=-+=-. （5）cos Dxdxdy x⎰⎰，其中D 由曲线2y x =与y x =所围成. 解;2:01,D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)cos Dxdxdy x ⎰⎰221100cos cos ()x x x x x x dx dy y dx x x ==⎰⎰⎰ 120cos ()xx x dx x =-⎰10(cos cos )x x x dx =-⎰ 1111000sin sin sin1(sin sin )x xd x x x xdx =-=--⎰⎰10sin1(sin1cos )1cos1x =-+=-.7.将下列二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分：（1）22:14D x y ≤+≤；解：:02,12D r θπ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy ⎰⎰221(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰（2）22:(1)(1) 1.D x y -+-≤解：由22221112210x y x y x y -+-=+--+=（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++=r =cos sin θθ=+或由22221112210x y x y x y -+-≤+--+≤（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++≤222(cos sin )(cos sin )2sin cos 0r r θθθθθθ-+++-≤ 2[(cos sin )]sin 2r θθθ-+≤，(cos sin )r θθ-+≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+故极坐标系下:0,2D πθ≤≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+(,)Df x y dxdy⎰⎰cos sin 20cos sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθθθ++=⎰⎰8.将下列二次积分转化为极坐标系下的二次积分：（1）20x dx f dy ⎰；解：由已知的:02D x x y ≤≤≤推出D由,,2y x y x ==围成，tan 14y x x x πθθ====，tan 3y x πθθ==== 2cos 22sec (2x r r x θθ====由，有，得的极坐标方程)所以极坐标系下:02sec 43D r ππθθ≤≤≤≤故22sec 3004()x dx f dy d f r rdr πθπθ=⎰⎰⎰.（2）2100(,).x dx f x y dy ⎰⎰解：由已知的2:010D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,0,1y x y x ===围成，将cos ,sin x r y r θθ== 代入2,1y x x ==得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)sec (1r x θ==的极坐标方程)所以极坐标系下1:00sec 4D r πθθ≤≤≤≤2:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤故21sec sec tan 440(,)(cos ,sin )(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr d f r r rdrππθθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰sec sec tan 40[(cos ,sin )(cos ,sin )]f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰2sec 040ec tan [(cos ,sin )(cos ,sin )]s f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=+⎰⎰⎰sec 40sec tan [(cos ,sin )]f r r rdr d πθθθθθθ=⎰⎰sec 40sec tan (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθθ=⎰⎰9.利用极坐标计算下列二重积分：（1）22,:DD x y x +≤；解：由2222211()()22x y x x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ== 代入22x y x +=得22cos (r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤cos 0Dd rdr πθπθ=⎰⎰２－２5cos 222)r d πθπθ-=⎰3222cos 5d ππθθ-=⎰2204(1sin )sin 5d πθθ=-⎰ 2304sin 8(sin )5315πθθ=-=. （2）1222()Dx y dxdy -+⎰⎰,D ：y x =与2y x =所围成的闭区域.解：将cos ,sin x r y r θθ== 代入2y x =得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)所以极坐标系下:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤1sec tan 22421()Dx y dxdy d rdr rπθθθ-+=⎰⎰⎰⎰4sec tan d πθθθ=⎰4sec 1πθ==.10.利用适当的坐标系计算下列二重积分：（1）22Dx d yσ⎰⎰,其中D 是由直线2x =,y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；解：1:12,D x y x x≤≤≤≤ (x 型)2221221x x Dx x d dx dy y y σ=⎰⎰⎰⎰22111()xxx dx y =-⎰2211()x x dx x =-+⎰=42232119()()424x x x x dx -=-=⎰. （2）22()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3(0)y a a =>所围成的区域；解：:3,D a y a y a x y ≤≤-≤≤(y 型)22()Dx y d σ+⎰⎰=322()a y ay ady x y dx -+⎰⎰332()3a y y y ay aax y xdy --=+⎰33321{[()]}3aa y y a ay dy =--+⎰443333411()1434343a aa aaay y a y aa -=-+=.（3）Dσ⎰⎰,其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的区域.解：由22222()()22R R x y Rx x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ== 代入22x y Rx +=得22cos (r R x y Rx θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r R ππθθ-≤≤≤≤Dσ⎰⎰22cos 0R d ππθθ-=⎰⎰22cos 20R d ππθθ-=⎰⎰22cos 2201()2R d R r ππθθ-=--⎰⎰ 223222cos 012()23R R r d ππθθ-=--⎰ 223331(sin )3R R d ππθθ-=--⎰ 23302133R d R πθπ==⎰. 11.用二重积分求由24x y y =-及4x y +=所围成的平面图形的面积. 解：由224(2)4x y y x y =-=--+有241,44x y y y y x y ⎧=-==⎨+=⎩得 2:14,44D y y x y y ≤≤-≤≤-(y 型)24414y y yDS d dy dx σ--==⎰⎰⎰⎰421(44)y y y dy =--+⎰23424119(54)(54)232y y y y dy y =--=--=⎰.12.计算2110.x y I dy e dx ⎰⎰＝解：由已知的:01,1D y y x ≤≤≤≤推出D 由,0,1y x y x ===围成，将D 表示成x 型：01,0x y x ≤≤≤≤221110xx x yI dy e dx dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2211000()x xx e y dx e xdx =⋅=⋅⎰⎰ 221210111(1)222x x e dx e e ===-⎰. 13．求由曲面22z x y =+、三坐标平面和平面1x y +=所围成的立体体积. 解：因为 22()DV x y dxdy =+⎰⎰而:01,01D x y x ≤≤≤≤-所以 112200()xV dx x y dy -=+⎰⎰312100()3x y x y dx -=+⎰12301[(1)(1)]3x x x dx =-+-⎰ 123011(6431)36x x x dx =--+=⎰. *14.计算1(0,0).ln b ax x I dx a b x->>⎰＝解：这题是求定积分，但积分难以进行. 注意到ln ln yb a byb aax x x x dy xx-==⎰，因此I 可化为二次积分. 111000()ln b ab b y y a a x x I dx x dy dx dx x dy x-===⎰⎰⎰⎰⎰ 交换二次积分次序：111001()1bbyy aaI dy x dx x dy y +==⋅+⎰⎰⎰ 11ln 1ln(1)ln(1)ln11bb aab dy y b a y a +==+=+-+=++⎰. *15.设(,)f x y 连续,且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰,其中D 是由20,,y y x ==1x =所围成的区域，求(,)f x y .解：将(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰两边同时二重积分(,)[(,)]DDDDf x y dxdy xydxdy f u v dudv dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,)DDDxydxdy f u v dudv dxdy =+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,)D DDxydxdy S f u v dudv =+⋅⎰⎰⎰⎰(1)(,)D DDS f x y dxdy xydxdy -=⎰⎰⎰⎰。

二重积分练习题答案

11
8、 ∫∫ x − y dxdy ， D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解：原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y) 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
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3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax ， 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1，将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累次积分 =
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr

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第八章多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ）则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质（1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。

（6）()()σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤,,（7）积分中值定理设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在()D ∈ηξ,，使得()()S f d y x f D⋅=⎰⎰ηξσ,,我们也把()⎰⎰Dd y x f Sσ,1称为()y x f ,在D 上的积分平均值。

4．对称区域上奇偶函数的积分性质定理1．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于x 轴对称，则()()()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DDy y x f d y x f y y x f d y x f 为偶函数对为奇函数对, ,,2,,0,1σσ其中1D 为D 在x 轴的上半平面部分。

定理2．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于y 轴对称，则()()()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DDx y x f d y x f x y x f d y x f 为偶函数对为奇函数对, ,,2,,0,2σσ其中2D 为D 在y 轴的右半平面部分。

定理3．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于原点对称，则()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧∈=--∈-=--=DD D y x y x f y x f d y x f D y x y x f y x f d y x f ,,,,, ,,2,,,,,,0,3σσ其中3D 为D 的上半平面或右半平面。

定理4．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于直线x y =对称，则()()⎰⎰⎰⎰=DDd x y f d y x f σσ,,若54D D D =，4D ，5D 分别为D 在x y =的上方与下方部分，则()()σσd x y f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰=54,,二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型I ：设有界闭区域()()(){}x y x b x a y x D 21,,ϕϕ≤≤≤≤=其中()x 1ϕ，()x 2ϕ在[]b a ,上连续，()y x f ,在D 上连续。

则()()⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ,,σ ()()()⎰⎰=bax x dy y x f dx 21,ϕϕ模型II ：设有界闭区域()()(){}y x y d y c y x D 21,,ψψ≤≤≤≤= 其中()y 1ψ，()y 2ψ在[]d c ,上连续，()y x f ,在D 上连续。

则()()⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ,,σ()()()⎰⎰=dc y y dx y x f dy 21,ψψ关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II 把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D ，如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

三、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I ：设有界闭区域()()(){}θϕγθϕβθαθγ21,,≤≤≤≤=D其中()θϕ1，()θϕ2在[]βα,上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f d y x f θγγθγθγσ sin ,cos ,()()()⎰⎰=βαθϕθϕγγθγθγθ21 sin ,cos d f d模型II ：设有界闭区域()()(){}θϕγθϕπθθγ21,20,≤≤≤≤=D其中()()θϕθϕ21,在[]π2,0上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，则()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f d y x f θγγθγθγσ sin ,cos ,()()()⎰⎰=πθϕθϕγγθγθγθ20s i n ,c o s 21d f d模型III ：设有界闭区域()(){}θϕγβθαθγ≤≤≤≤=0,,D其中()θϕ在[]βα,上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，则()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f d y x f θγγθγθγσ sin ,cos ,()()⎰⎰=βαθϕγγθγθγθ0s i n ,c o s d f d 模型IV ：设有界闭区域()(){}θϕγπθθγ≤≤≤≤=0,20,D其中()θϕ在[]π2,0上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，则()()θγγθγθγσd d f d y x f DDsin ,cos ,⎰⎰⎰⎰= ()()⎰⎰=πθϕγγθγθγθ200sin ,cos d f d例题：一、选择题1.设f(x,y) 为连续函数，则使=⎰≤+122),(y x dxdy y x f 4⎰2/0πθd rdrr r f )sin ,cos (1⎰θθ成立的充分条件是A f(-x,-y)=f(x,y)B f(-x,-y)=-f(x,y)C f(-x,y)= f(x,-y)=-f(x,y)D f(-x,y)= f(x,-y)=f(x,y)2. 设D ：122≤+y x ，y ≥0；D 1：122≤+y x ，x ≥0，y ≥0则A ⎰⎰⎰⎰=DD xydxdy xydxdy 12 B ⎰⎰⎰⎰=DD xdxdy ydxdy 12C⎰⎰⎰⎰=DD ydxdy xdxdy 12 D⎰⎰⎰⎰+=+DDdxdy y x dxdy y x )(2)(3. 设D 是xoy 平面以（1，1），（－1，1），和（－1，－1）为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限的部分，且f(x,y)=xy+⎰⎰Dy)dxdy f(x,则A ⎰⎰⎰⎰=DD dxdy y x dxdy y x 1),f(),f( B⎰⎰⎰⎰=DD dxdy y x dxdy y x 1),f(2),f(C ⎰⎰⎰⎰=DD dxdy dxdy y x 1x)f(y,2),f( D ⎰⎰⎰⎰=DDdxdy dxdy y x x)f(y,),f(4. 设D 是xoy 平面以（1，1），（－1，1），和（－1，－1）为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限的部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (等于A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x B ⎰⎰12D xydxdyC 4⎰⎰+1)sin cos (D dxdy y x xy D 05. ⎰⎰=θπθθθcos 02)sin ,cos (rdr r r f d I 化为在直角坐标系下的二次积分的正确结果为（）A⎰1dy ⎰-20),(y y dx y x f B⎰10dy ⎰-210),(y dx y x f C⎰1dx ⎰1),(dy y x f D⎰10dx ⎰-2),(x x dy y x f二、改变下列积分次序: 1.⎰⎰--ax a ax a dy y x f dx 022222),( 2.⎰⎰⎰⎰-+312301),(),(2x x dy y x f dx dy y x f dx3.⎰⎰⎰⎰----+2221201),(),(x xx xdy y x f dx dy y x f dx 4.⎰⎰πsin 0),(xdy y x f dx三、求解下列二重积分: 1.⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinxxxdy yxdx dy yxdx ππ 2. ⎰⎰-x y dy edx 021023.⎰⎰Ddxdy xy6, D: 由y = x 4－x 3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形 4.dx e dy edx edy eyy R x RR y x Ry ⎰⎰⎰⎰-----+0222222225.：由与所围的区域6.⎰⎰+Ddxdy yx xy22, D: y ≥ x 及1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 7. 求)DI y d σ=⎰⎰, 1)1(4:2222≥++≤+y x y x D 8.⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ddxdy b y a x 221, D: 12222≤+b y a x9.计算dxdy y x x x y y D⎰⎰++++++2221)1ln(1，其中D={(x,y)|0,122≥≤+y y x } 10.设f(x)连续且恒不为零，求dxdy y f x f y bf x af I R y x ⎰⎰≤+++=222)()()()( 11.计算二重积分I=⎰⎰+++++D yx y x y x 22221)1ln()1ln(dxdy,其D={(x,y)|10,10≤≤≤≤y x } 。