高等数学第八章二重积分试题及答案

第八章 多元函数积分学

一、二重积分的概念与性质

1．定义

设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k n

k k k

d f σηξ

∆∑=→1

,lim

存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小

区域k σ∆的直径，而k n

k d d ≤≤=1max ） 则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二

重积分 记以

()⎰⎰D

d y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义

当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分

()⎰⎰D

d y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平

行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，

下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为

()()[]σd y x f y x f D

⎰⎰-,,1

2

3．基本性质 （1）

()()⎰⎰⎰⎰=D

D

d y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）

（2）

()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f D

D

D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,

（3）

()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12

,,,D D D

d y x f d y x f d y x f σσσ 其中2

1

UD

D D =，除公

共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则

()()⎰⎰⎰⎰≤D

D

d y x g d y x f σσ,,

（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤

D

MS d y x f mS σ, 其中

S 为区域D 的面积。

（6）

()()σσd y x f d y x f D

D

⎰⎰⎰⎰≤,,

（7）积分中值定理 设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在()D ∈ηξ,，使得

()()S f d y x f D

⋅=⎰⎰ηξσ,,

我们也把

()⎰⎰D

d y x f S

σ,1

称为()y x f ,在D 上的积分平均值。

4．对称区域上奇偶函数的积分性质

定理1．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于x 轴对称，则

()()()()⎰⎰

⎰⎰⎪⎩⎪

⎨⎧=D

D

y y x f d y x f y y x f d y x f 为偶函数对为奇函数对, ,,2,

,0,1

σσ其中1D 为D 在x 轴的上半平面部分。

定理2．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于y 轴对称，则

()()()()⎰⎰

⎰⎰⎪⎩⎪

⎨⎧=D

D

x y x f d y x f x y x f d y x f 为偶函数对为奇函数对, ,,2,

,0,2

σσ其中2D 为D 在y 轴的右半平面部分。

定理3．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于原点对称，则

()()()()()()()()⎰⎰

⎰⎰⎪⎩⎪

⎨⎧∈=--∈-=--=D

D D y x y x f y x f d y x f D y x y x f y x f d y x f ,,,,, ,,2,,,,,

,0,3

σσ其中3D 为D 的上半平面或右半平面。

定理4．设()y x f ,在有界闭区域D 上连续，若D 关于直线x y =对称，则

()()⎰⎰⎰⎰=D

D

d x y f d y x f σσ,,

若54D D D =，4D ，5D 分别为D 在x y =的上方与下方部分，则

()()σσd x y f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰

=5

4

,,

二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型I ：设有界闭区域()()(){}

x y x b x a y x D 21,,ϕϕ≤≤≤≤=

其中()x 1ϕ，()x 2ϕ在[]b a ,上连续，()y x f ,在D 上连续。 则

()()⎰⎰⎰⎰

=D

D

dxdy y x f d y x f ,,σ ()()

()

⎰⎰

=b

a

x x dy y x f dx 21,ϕϕ

模型II ：设有界闭区域()()(){}

y x y d y c y x D 21,,ψψ≤≤≤≤= 其中()y 1ψ，()y 2ψ在[]d c ,上连续，()y x f ,在D 上连续。 则

()()⎰⎰⎰⎰=D

D

dxdy y x f d y x f ,,σ()()()

⎰⎰=d

c y y dx y x f dy 21

,ψψ

关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II 把二重积分化为累次积分从而

进行计算，对于比较复杂的区域D ，如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。 三、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。 模型I ：设有界闭区域()()(){}θϕγθϕβθαθγ2

1

,,≤≤≤≤=

D

其中()θϕ1，()θϕ2在[]βα,上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，

()()⎰⎰

⎰⎰=D

D

d d f d y x f θγγθγθγσ sin ,cos ,()()

()

⎰⎰

=β

α

θϕθϕγγθγθγθ21 sin ,cos d f d

模型II ：设有界闭区域()()(){}θϕγθϕπθθγ2

1

,20,≤≤≤≤=

D

其中()()θϕθϕ21,在[]π2,0上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，则

()()⎰⎰⎰⎰

=D

D

d d f d y x f θγγθγθγσ sin ,cos ,()()

()

⎰⎰

=π

θϕθϕγγθγθγθ20

s i n ,c o s 21d f d

模型III ：设有界闭区域()(){}θϕγβθαθγ≤≤≤≤=

0,,D

其中()θϕ在[]βα,上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续，则