第一章 有理数

第一章有理数

1、1 正数和负数

☐正数：

大于0的数叫做正数。

☐负数：

在正数的前面加“-”就是负数。

-a是负数吗？

☐0既不是正数也不是负数。

0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。

搞清相反意义的量

例1 气球上升记为正，则上升-5米则表示：下降5米

有理数：整数和分数统称为有理数

☐例题2：把下列的数放入相应的项：

16，-3.5，-5， -5.32，2.73，2.349，3/4，101/203，7/9

有理数：

整数：

分数：

1.2.2数轴

☐规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

☐数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

☐注意事项：

☐⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

☐⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

☐一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；

表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

例4 、下列各图中，表示数轴的是()

a a

例5、数a 、b 在数轴上的位置关系如图所示，那么下列四个数大小的关系是（ ）

A 、a ＞b ＞－b ＞－a ；

B 、－a ＜ b ＜ －b ＜ a ；

C 、－b ＞ a ＞b ＞－a ；

D 、－a ＜ －b ＜ a ＜ b 。

1.2.3相反数

☐ 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

☐ 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

☐ 在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4 绝对值

☐ 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

☐ 一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

☐ 在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 ☐ 比较有理数的大小：

☐ ⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

☐ ⑵两个负数，绝对值大的反而小。

☐

☐ （1），当a 是正数时，

= a

☐ ☐ （2），当a 是负数时，

= -a

☐

☐（3），当a是0时，= 0

a

有理数的加减法

☐1.3.1有理数的加法

☐有理数的加法法则：

☐⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

☐⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

☐⑶一个数同0相加，仍得这个数。

☐加法交换律：a＋b＝b＋a

☐加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

☐ 1.3.2有理数的减法

☐有理数的减法可以转化为加法来进行。

☐有理数减法法则：

☐减去一个数，等于加这个数的相反数。a－b＝a＋(－b)

☐1.4有理数的乘除法

☐1.4.1有理数的乘法

☐有理数乘法法则：

☐两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

☐任何数同0相乘，都得0。

☐乘积是1的两个数互为倒数。

☐几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

☐乘法交换律：ab＝ba

☐乘法结合律：（ab）c＝a（bc）

☐乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋ac

☐1.4.2有理数的除法

☐有理数除法法则：

☐除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

☐a÷b＝a·（1/b）(b≠0)

☐两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

☐因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

做一做

1、在有理数中最小的正整数是_____，最大的负整数是____，绝对值最小的有理数是_____，相反数是它本

身的数是_____。

2、绝对值是5的有理数是________，绝对值不大于3的整数是________________。

3、在数轴上，点A表示4，距离点A 5个单位的的数是_____。

4、点A表示6，把它先向左移动7个单位，再向右移动3个单位后，点A最后的位置所表示的数是_____。

答案：1,-1,0,0. +_5;0,+_1,+_2,+_3. 9或-1.2

1、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质

量的克数，用负数记不足规定质量的克数）：+11，-24，+29，-11，+13，-39，请指出哪一个足球的质量好一些，并用绝对值的知识说明。求出质量最大的足球的质量比质量最小的足球大多少克？

练习与巩固：

1、绝对值最小的数是＿＿＿，绝对值等于本身的数是＿＿＿，

2、下列说法中，正确的有（）

⑴绝对值相等的两个数必相同或互为相反数

⑵正数和零的绝对值等于它本身

⑶只有负数的绝对值是它的相反数

⑷一个数的绝对值必为正。

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

3、若|x－5|＋|y＋3|＝0，求2x＋3y的值。

养成先确定符号的好习惯

有理数运算与小学算术运算的重要区别是多了一个符号问题。因为每一个有理数都是由两部分构成：一是符号，二是绝对值。因此确定符号是有理数运算不可缺少的一部分，所以我们对有理数运算要养成先定符号，再求绝对值的好习惯。

一、加法

计算下列各题：

(1)（-11）+（-9）

(2)（-27）-（+102）

(3)（-1.08）+0-2.92

(4)（-3.5) + (+7) ;

(5) (-1.08) + 0 ;

(6) (+2/3) + (-2/3);

（一）、有理数加法的类型

1. 5 + 3 = 8

2.（-5）+（-3）= - 8 同号两数相加

3. 5+（-3）=2

4. 3+（-5）=-2 异号两数相加

5. 5+（-5）=0 互为相反数相加

6.（-5）+0=-5 一数和零相加

（二）、加法的结合律和交换律

加法的交换律：a+b=b+a

加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

练习：1、-2-1+3的值等于( )

A.0

B.2

C.-2

D.-3

2、把（+5）-（+3）-（-1）+（-5）写成省略括号的和的形式是( )