湖南省10-11长沙市第一中学高三数学第五次月考 理【会员独享】
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
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长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期11月月考英语试题(含答案)
长沙市一中2025届高三月考试卷(三)英语时量：120分钟满分：150分第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirtA. 19.15.B. 9.18.C. 9.15.答案是C。
1. What is the woman concerned aboutA. Getting punished.B. Causing an accident.C. Walking a long distance.2. What is the boy doingA. Having dinner.B. Playing games.C. Doing his homework.3. What is the probable relationship between the speakersA. Friends.B. Strangers.C. Boss and employee.4. When will the woman visit LeonA. This Tuesday.B. This Thursday.C. This Friday.5. What did the woman speaker plan to doA. Do some fitness training.B. Meet friends.C. Attend a show.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学检测试卷(含解析)
1. 若复数z 满足一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学检测试卷一项是符合题目要求的）1i34i z +=-，则z =（）A.B.25C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算求出复数z ，计算其模，即得答案.【详解】由1i34i z+=-可得()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z+++-+===--+，则z =故选：C2. 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（ ）A. 12B. 15C. 18D. 21【答案】B 【解析】【分析】利用52S S -即可求得345a a a ++的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，所以34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=.故选：B.3. 抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A. (1,0)B. (1,0)-的C. 1(0,)16-D. 1(0,)16【答案】D 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,16，故选：D4. 如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（ ）A. πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】观察图象，确定函数()sin y x ωϕ=+的周期，排除B ，由图象可得当5π12x =时，函数取最小值，求ϕ由此判断AC ，结合诱导公式判断D.【详解】观察图象可得函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期为2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ππω=，故2ω=或2ω=-，排除B ；观察图象可得当π2π5π63212x +==时，函数取最小值，当2ω=时，可得5π3π22π+122k ϕ⨯+=，Z k ∈，所以2π2π+3k ϕ=，Z k ∈，排除C ；当2ω=-时，可得5ππ22π122k ϕ-⨯+=-，Z k ∈，所以π2π+3k ϕ=，Z k ∈，取0k =可得，π3ϕ=，故函数的解析式可能为πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，A 正确；5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误故选：A.5. 1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（ ）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A. 10km /s B. 20km /sC.80km /s 3D. 40km /s【答案】B 【解析】【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.【详解】由题意122m m =，122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===，得03ln 82v =，故0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--，故选：B6.若83cos 5αβ+=，63sin 5αβ-=，则()cos αβ+的值为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【详解】因为83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，所以25(3cos 4)62αβ=，2(3sin )2536αβ=，即所以2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin 2536ααββ-=，两式相加得9)104αβ+++=，所以cos()αβ+=，故选：C ．7. 如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（ ）A.427B.827C.29D.49【答案】A 【解析】【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以求解.【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以，所以该质点共两次到达1的位置的概率为211124333332713⨯⨯+⨯⨯=.故选：A.8. 设n S 为数列{a n }的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（ ）A. {}20,21-B. {}20,20-C. {}29,11-D. {}20,19-【答案】A 【解析】【分析】利用121++=+n n a a n 可证明得数列{}21n a -和{}2n a 都是公差为2的等差数列，再可求得()2=21n S n n +，有了这些信息，就可以从k 的取值分析并求解出结果.【详解】因为121++=+n n a a n ，所以()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+，假设()2=21=210n S n n +，解得=10n 或21=2n -（舍去），由存*N k ∈，1210k k S S +==，所以有19k =或20k =，由121++=+n n a a n 可得，+1223n n a a n ++=+，两式相减得：22n n a a +-=，当20k =时，有2021210S S ==，即210a =，根据22n n a a +-=可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以()211+11120a a =-⨯=，解得120a =-，当19k =时，有1920210S S ==，即200a =，根据22n n a a +-=可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以()202+10120a a =-⨯=，解得218a =-，由已知得123a a +=，所以121a =.故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（ ）在A. 直线EF 与11D B 为异面直线B. 直线1D E 与1DC 所成的角为60oC. 1D F AD ⊥D. //EF 平面11CDD C 【答案】ABD 【解析】【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB ，利用反证法可判断C ，利用线面平行判定定理可判断D.【详解】如图所示，连接AC ，1CD ，EF ，由于E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，即F 为AC 的中点，所以1//EF CD ，EF ⊄面11CDD C ，1CD ⊆面11CDD C ，所以//EF 平面11CDD C ，即D 正确；所以EF 与1CD 共面，而1B ∉1CD ，所以直线EF 与11D B 为异面直线，即A 正确；连接1BC ，易得11//D E BC ，所以1DC B ∠即为直线1D E 与1DC 所成的角或其补角，由于1BDC 为等边三角形，即160DC B ∠=，所以B 正确；假设1D F AD ⊥，由于1AD DD ⊥，1DF DD D = ，所以AD ⊥面1D DF ，而AD ⊥面1D DF 显然不成立，故C 错误；故选：ABD.10. 已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（ ）A. 12l l ⊥ B. 直线1l 与圆O 相切C. 直线2l 与圆O截得弦长为 D. OQ的值为【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 根据12l l ⊥，12120A A B B +=可判断正确；选项B 由圆心O 到1l 的距离不等半径可判断错误；选项C 根据垂直定理可得；选项D 先求出()4sin cos ,4cos sin Q θθθθ-+，根据两点间的距离公式可得.【详解】选项A ：因()cos sin sin cos 0θθθθ+-=，故12l l ⊥，A 正确；选项B ：圆O 的圆心O 的坐标为()0,0，半径为2r =，圆心O 到1l的距离为14d r ==>，故直线1l 与圆O 相离，故B 错误；选项C ：圆心O 到1l 的距离为21d ==，故弦长为l==，故C 正确；选项D ：由cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩，故()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-，故OQ ==，故D 正确故选：ACD11. 已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（ ）A. 23b ac>B. 若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C. 1313x x t t +<+D. 222222123123x x x t t t ++=++【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得()0f x '=有两个不同实根，则由0∆>即可判断；对于B ，若123,,x x x 成等差数列，则(x 2,f (x 2))为()f x 的对称中心，即可判断；对于C ，结合图象，当0a >和0a <时，分类讨论即可判断；对于D ，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.【详解】因为()32f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，0a ≠，对称中心,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，因为()f x 有三个不同零点，所以()f x 必有两个极值点，即()2320f x ax bx c =++='有两个不同的实根，所以2Δ4120b ac =->，即23b ac >，故A 正确；对于B ，由123,,x x x 成等差数列，及三次函数的中心对称性，可知(x 2,f (x 2))为()f x 的对称中心，所以23bx a=-，故B 正确；对于C ，函数()()1g x f x =-，当g (x )=0时，()1f x =，为则1y =与y =f (x )的交点的横坐标即为1t ，2t ，3t ，当0a >时，画出()f x 与1y =的图象，由图可知，11x t <，33x t <，则1313x x t t +<+，当0a <时，则1313x x t t +>+，故C 错误；对D ，由题意，得()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx da x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩，整理，得123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，得()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++，即222222123123x x x t t t ++=++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.【答案】9【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()3E X =，()2D X =，则()3,12np np p =-=，即得1,93p n ==，故答案为：913. 已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上投影向量为14a - ，则ab + 为______.的【解析】【分析】由条件结合投影向量公式可求a b ⋅ ，根据向量模的性质及数量积运算律求a b +.【详解】因为b 在a上的投影向量为14a - ，所以14b a a a aa ⋅⋅=- ，又2a =，所以1a b ⋅=-，又 1= b ，所以a b +====14. 如图，已知四面体ABCD 体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.【答案】11【解析】【分析】连接,EG ED ，将多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -，利用题设条件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四面体的体积即可求得多面体EFGHBD 的体积.【详解】如图，连接,EG ED ，则多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -.因H 是AD 上靠近D 点的四等分点，则14DHE AED S S = ，又E 是AB 的中点，故11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= ，因G 是CD 上靠近D 点的四等分点，则点G 到平面ABD 的距离是点C 到平面ABD的距离的14，的故三棱锥G EDH -的体积1113218432G EDH C ABD V --=⨯=⨯=；又因点F 是BC 的中点，则133248CFGBCD BCD S S S =⨯= ，故58BFGD BCD S S = ，又由E 是AB 的中点知，点E 到平面BCD 的距离是点A 到平面BCD 的距离的12，故四棱锥E BFGD -的体积51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=，故多面体EFGHBD 的体积为11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：（1）分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；（2）补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V ，求a 的值.【答案】（1）π3A = （2）2a =【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan A =，从而得解；（2）利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于a 的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为sin cos 0a B A =,即sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，所以sin A A =,则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，因为π3A =，所以11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得224b c bc +-=，所以()234b c bc +-=，则()22344a -⨯=，解得2a =.16. 设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.【答案】（1）4230--=x y （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数式和导函数式求出(1)f 和(1)f '，利用导数的几何意义即可写出切线方程；（2）对函数()f x 求导并分解因式，根据参数a 的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减，即得()f x 的单调性.【小问1详解】当0a =时，()221ln 2f x x x x =+，()2(ln 1)f x x x '=+，因1(1),(1)22f f '==，故()f x 在1x =处的切线方程为12(1)2y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】因函数()()221ln 2f x x ax x x =++的定义域为(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x '=+++=++，① 当2a e ≤-时，若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在1(0,)e上单调递增；若1e x >，由20x a +=可得2a x =-.则当1e 2a x <<-时，20x a +<，ln 10x +>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)e 2a-上单调递减；当2a x >-时，ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在(,)2a-+∞上单调递增；② 当20e a -<<时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增；若12e a x -<<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)2ea -上单调递减；若02a x <<-，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在(0,)2a-上单调递增，③当2ea =-时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，④当0a ≥时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增；若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(0,e上单调递减；综上，当2e a <-时，函数()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e 2a -上单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当2ea =-时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当20e a -<<时，函数()f x 在(0,2a -上单调递增，在1(,2e a -上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增；当0a ≥时，函数()f x 在1(0,e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.17. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）根据线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥，再根据线面平行的性质定理可证BD ∥MN ，进而可得结果；（2）根据题意可证⊥PO 平面ABCD ，根据线面夹角可知PAC 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】设AC BD O = ，则O 为,AC BD 的中点，连接PO ，因为ABCD 为菱形，则ACBD ⊥，又因为PD PB =，且O 为BD 的中点，则PO BD ⊥，AC PO O = ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，则BD PC ⊥，又因为BD ∥平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，平面AMHN 平面PBD MN =，可得BD ∥MN ，所以MN PC ⊥.【小问2详解】因为PA PC =，且O 为AC 的中点，则PO AC ⊥，且PO BD ⊥，AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，可知PA 与平面ABCD 所成的角为60PAC ∠=︒，即PAC 为等边三角形，设AH PO G =I ，则,G AH G PO ∈∈，且AH ⊂平面AMHN ，PO ⊂平面PBD ，可得∈G 平面AMHN ，∈G 平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以G MN ∈，即,,AH PO MN 交于一点G ，因为H 为PC 的中点，则G 为PAC 的重心，且BD ∥MN ，则23PM PN PG PB PD PO ===，设2AB =，则11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========，如图，以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u uu r ，设平面AMN 的法向量()111,,x n y z =，则1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令11x =，则110,y z ==，可得(n =，设平面PAM 的法向量()222,,m x y z =，则2222220330m AM y z mAP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2x =，则123,1y z ==，可得)m =u r，可得cos ,n m n m n m⋅===⋅r u rr u r r u r ，所以平面PAM 与平面AMN.18. 已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）线段AB 的长为6； （2）（i ）直线l的方程为2x y =±+；（ii ）直线l的斜率的取值范围为33()(44- .【解析】【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；（2）（i ）（ii ）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】由双曲线22:13y x Γ-=的方程，可得221,3a b ==，所以1,2a b c ====，所以1(2,0)F -，2(2,0)F ，若AB x ⊥轴，则直线AB 的方程为2x =，代入双曲线方程可得(2,3),(2,3)A B -，所以线段AB 的长为6；【小问2详解】（i ）如图所示，若直线l 的斜率为0，此时l 为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设:2l x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(31)1290t y ty -++=，t 应满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，由根与系数关系可得121222129,3131t y y y y t t +=-=--，直线1AF 的方程为110(2)2y y x x -=++，令0x =，得1122y y x =+，点112(0,2y M x +，直线1BF 的方程为220(2)2y y x x -=++，令0x =，得2222y y x =+，点222(0,2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==-，111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ 12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++，由11F AB F MN S S = ，可得1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++，所以21212|4()16|4t y y t y y +++=，所以222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--，解得22229484816||431t t t t -+-=-，22916||431t t -=-，解得22021t =，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以t =所以直线l的方程为2x y =±+；（ii ）由1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，可得2190F MF >︒∠，所以110F F N M < ，又112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+ ，所以1212224022y y x x +⨯<++，所以121210(2)(2)y y x x +<++，所以1221212104()16y y t y y t y y +<+++，所以2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--，所以22970916t t -<-，解得271699t <<43t <<或43t -<<，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以直线l的斜率的取值范围为33((44- .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12211||||2F F y y ⨯-或121||||2AB x x ⨯-.19. 已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）12170,1,4b b b === （2）1(1)22n n +-⨯+ （3）n a n =【解析】【分析】（1）根据集合新定义，利用列举法依次求得对应值即可得解；（2）根据集合新定义，求得12,b b ，121222i i i b b b i +++==== ，从而利用分组求和法与裂项相消法即可得解.（3）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；【小问1详解】因为2n a n =，则123451,4,9,16,25a a a a a =====，所以{}*11i B i a =∈<=∅N ∣，{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣，故12170,1,4b b b ===.【小问2详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N ，所以10b =，20b =，当122i i k +<≤时，则满足i a k <的元素个数为i ，故121222i i i b b b i +++==== ，所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ 1212222n n =⨯+⨯++⨯ ，注意到12(1)2(2)2n n n n n n +⨯=-⨯--⨯，所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ 1(1)22n n +=-⨯+.【小问3详解】由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =，若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾，所以11a =，设()*1n n n d a a n +=-∈N，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ，假设存在*k ∈N 使得2k d ≥，设k a t =，由12k ka a +-≥得12k a t++≥，由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾，所以对任意*n ∈N 都有1n d =，所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考(七)数学试题试卷(七)
长沙市一中2024 届高三月考试卷(七)数学试卷一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 样本数据15 、13 、12 、31 、29 、23 、43 、19 、17 、38 的中位数为( )(A) 19 (B) 23 (C) 21 (D) 182. 已知集合A = {x''' e x2 −2x ≤ 1}, B = {−1, 0, 1}, 则集合A ∩ B 的非空子集个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 73. 已知实部为3 的复数z 满足z · (1 −2i) 为纯虚数, 则|z| = ( )(D) √54. 已知数列{a n } 满足a n = 3n −b (n ∈ N* , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|a n |} 是递增数列”的( )(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5. 已知tan θ= 2, 则 sin 2θ= ( )(A) (B) 2 (C) 1 (D)6. 过抛物线E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 的直线交E 于点A, B , 交E 的准线l 于点C , AD ⊥ l , 点D 为垂足.若F 是AC 的中点, 且|AF | = 3, 则|AB| = ( )(A) 4 (B) 2√3 (C) 3√2 (D) 37. 已知双曲线C: kx2 −y2 = 1 的左焦点为F , P (3m, −4m) (m > 0) 为C 上一点, 且P 与F 关于C 的一条渐近线对称, 则C 的离心率为( )(A) (B) √3 (C) 2 (D)√58. 已知函数f(x) 的定义域为R, 且满足f(x) + f(3 −x) = 4, f(x) 的导函数为g(x), 函数y = g(x −1) 的图象关于点(2, 1) 中心对称, 则f + g(2024) = ( )(A) 3 (B) −3 (C) 1 (D) −1二、多项选择题: 本题共3 小题, 每小题6 分, 共18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分.9. 已知函数cos 2x + sin 2x, 则( )(A) 函数f (x −关于原点对称(B) 曲线y = f(x) 的对称轴为x = + , k ∈ Z2 cos2 θ + 4 sin2 θ(C) f (x) 在区间单调递减(D) 曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为2x −2y + 1 = 010. 已知二面角A −CD −B 的大小为, AC ⊥ CD , BD ⊥ CD , 且CD = 1, AC + BD = 2, 则( )(A) △ABD 是钝角三角形(B) 异面直线AD 与BC 可能垂直(C) 线段AB 长度的取值范围是[2, √5) (D) 四面体A −BCD 体积的最大值为11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继续; 若回答错误, 得0 分, 同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是和 , 且第1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第i 次答题者是甲的概率为P i , 第i 次回答问题结束后中甲的得分是K i , 则( )(A) P2 =(C) P i+1= P i+ P i+ K i−1三、填空题: 本题共3 小题, 每小题5 分, 共15 分.12. (x + 3y)(x −y)8 的展开式中x3 y6 的系数为.13. 已知动点P 在圆M : (x −m + 1)2 + (y −m)2 = 1 上, 动点Q 在曲线y = ln x 上. 若对任意的m ∈ R, |PQ| ≥ n恒成立, 则n 的最大值是.14. 已知正六棱锥的高是底面边长的2√3 倍, 侧棱长为√13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为.四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 盒中有形状、大小均相同的卡片6 张, 卡片依次标记数字1, 2, 2, 3, 3, 3.(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为1 的概率;(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量X , 求X 的分布列和E(X).16. 如图三棱锥P −ABC 中, PA = BC , AB = PC , AC ⊥ PB.(1) 证明: AB = BC;(2) 若平面PAC ⊥ 平面ABC , AC = √2AB , 求二面角A −PB −C 的余弦值.PA CB17. 已知定义在 (0, π) 上的函数 f (x) = cos 2 x + sin x.(1) 求 f (x) 的极大值点;(2) 证明: 对任意x 4 − x 2 + 1. 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为 A(0, 1), B(0, −1), 其右焦点为 F , 且 F #---A -→ · B #---A -→ = F #---A -→ · F #---B -→ .(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若点 P (2, −1), 在直线 BP 上存在两个不同的点 P 1 , P 2 满足 P #---P ---1→ · P #---P ---2→ = P #---B -→2 . 若直线 AP 1 与直线 AP 2 分别交 C 于点 M , N (异于点 A), 证明: P , M , N 三点共线.19. 定义 △ABC 三边长分别为 a, b, c, 则称三元无序数组 (a,b, c) 为三角形数. 记 D 为三角形数的全集, 即 (a,b, c) ∈D.(1) 证明:“ (a,b, c) ∈ D ”是“(√a, √b, √c) ∈ D ”的充分不必要条件;(2) 若锐角 △ABC 内接于圆 O , 且 x O #---A -→ + y O #---B -→ + z O #---C -→ = 0, 设 I = (x,y, z) (x, y, z > 0).① 若 I = (3, 4, 5), 求 S △AOB : S △AOC ;② 证明: I ∈ D.。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考(一)地理试题
大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(一)地 理得分 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷 选择题(共48分)一 选择题：本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
区域人口迁移通常经历单核心向多核心演化的过程。
下图为我国长三角不同时期人口迁移的空间演化过程示意图。
据此完成1~2题。
1.与单核心阶段相比，多核心阶段人口迁移的特点是A.人口迁移的通道较少B.人口迁移的规模更小C.人口仅在小城镇阿流动D.人口迁移的频次更高2.在多核心阶段，若次级城市吸引力增强，可能带来的影响有①疏导核心城市的人口压力 ②加剧核心城市的逆城市化③降低核心城市的行政级别 ④促进区域经济一体化发展A.①②B.②③C.①④D.③④甘肃西接阿尔金山和祁连山，是我国西北地区重要的生态安全屏障。
为规范国土空间开发，实现区域的协调发展，甘肃将全省划分为3个主体功能区：城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区(图1)。
图2示意2021年县域碳排放网络空间关联关系图(节点的大小表示在网络关系中的重要程度，节点间线的长度和粗细表示联系的频繁程度)。
据此完成3~5题。
3.甲、乙、丙分别表示A.城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区B.城镇化发展区、重点生态功能区、农产品主产区C.农产品主产区、重点生态功能区、城镇化发展区D 重点生态功能区、城镇化发展区、农产品主产区关于甘肃省碳排放的说法，正确的是①陇中地区的碳排放强度最小②陇东南地区碳中和压力最大③河西地区因受地形的影响县域间碳排放网络空间联系弱④县域碳排放网络空间紧密度由中小县．域向周边县域递减A.①②B.①④C.②③D.③④5.关于城关区的发展方向，下列规划合理的是A.积极推进农创产业及新型农业发展B.积极创新推动低碳试点，发挥低碳引领导向C.积极发展生态经济和文化旅游经济D.积极优化产业结构，停止高耗能产业的发展风和水是干旱地区的两种主要作用力。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B = （）A.()0,6 B.()4,6 C.[)2,4 D.()[),02,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合B ,即可根据交集的定义求解.【详解】由{}240B x x x =-<可得{}04B x x =<<，故A B = [)2,4，故选：C2.命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是（）A.x ∃∈R ，2220x x -+≥B.x ∃∈R ，2220x x -+>C.x ∀∈R ，2220x x -+≤D.x ∀∈R ，2220x x -+>【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是为：x ∀∈R ，2220x x -+>，故选：D.3.设a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由11a<可得1a >或0a <，即可判断.【详解】由11a<可得1a >或0a <，又{}1a a >≠⊂{1a a >或0}a <所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件.故选:A4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.2(),()x f x x g x x ==B.()(),()()f x x x Rg x x x Z =∈=∈C.,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩ D.2(),()f x x g x ==【答案】C 【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =∈和()()g x x x Z =∈的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =的定义域为R ，2()g x =的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.5.函数1xy x=+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】探讨函数1xy x=+的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.【详解】函数1xy x=+的定义域为{R |1}x x ∈≠-，选项C ，D 不满足，因111111x y x x+-==-++，则函数1xy x =+在(,1)∞--，(1,)-+∞上都单调递增，B 不满足，则A 满足.故选：A【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.6.若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）A.15 B.16C.64D.128【答案】A 【解析】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，1-，“3和13”，“2和12”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为1A ∈，111A =∈；1A -∈，111A =-∈-；2A ∈，12A ∈；3A ∈，13A ∈；这样所求集合即由1，1-，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为42115-=，故选:A.7.某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（）A.20B.21C.23D.25【答案】B 【解析】【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x ，只参加其中一个小组的人数为y ，根据题意列出方程即可.【详解】如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x ，只参加其中一个小组的人数为y ，则()()()32252256x x x x y -+-+-++=，即223y x =-．因为22x ≤，所以21y ≤．故选：B.8.已知集合P ，Q 中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P ，Q 中的元素都为正数；②对于任意(),a b Q a b ∈≠，都有aP b∈；③对于任意(),a b P a b ∈≠，都有ab Q ∈；则下列说法正确的是（）A.若P 有2个元素，则Q 有3个元素B.若P 有2个元素，则P Q ⋃有4个元素C.若P 有2个元素，则P Q ⋂有1个元素D.存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【解析】【分析】若集合P 中有2个元素，设{},P a b =，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC ；假若P 有3个元素，设{},,P a b c =，再根据题设条件推导分析，可得到P 中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D 选项.【详解】若P 有2个元素，设{}(),0,0,P a b a b a b =>>≠，则ab Q ∈，因为Q 至少有2个元素，所以Q 中除ab 外至少还有一个元素，不妨设x ∈Q ，x ab ≠，则0,,x abx P P ab x>∈∈，若x ab ab x=，则()22x ab =且0,0x ab >>，所以x ab =，与假设矛盾，所以x ab ab x≠，所以,x ab a b ab x ==或,x ab b a ab x ==，当,x ab a b ab x ==时，则,1x a ab ==，所以1b a=，若1a =，则1a b ==，与a b ≠矛盾，所以1a ≠，同理可知1b ≠，所以此时{}1,,1,P a Q a a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}1,1,,P Q a P Q a a ⎧⎫==⎨⎩⎭U I ；当,x abb a ab x ==时，则,1x b ab ==，所以1a b=，若1a =，则1a b ==，与a b ≠矛盾，所以1a ≠，同理可知1b ≠，此时{}1,,1,P b Q b b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}1,1,,P Q b P Q b b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U I ；由上可知，当P 有2个元素，则Q 有2个元素，P Q ⋃有3个元素，P Q ⋂有1个元素，故A 错误，B 错误，C 正确；不妨假设P 有3个元素，设{},,P a b c =，则,,a b c 为互不相等的正数，由③可知：,,ab Q ac Q bc Q ∈∈∈，又因为,,a b c 为互不相等的正数，所以,,ab ac bc 也为互不相等的正数，由②可知：,,,,,b c a c a ba ab bc c都是集合{},,P a b c =的元素，因为,,a b c 为互不相等的正数，所以,,,,,b c a c a b a a b b c c 都是不等于1的正数，所以,,b a c a c ba b a c b c ≠≠≠，又因为,b c 为互不相等的正数，所以,a a c bb c a a≠≠，考虑到b a a b ≠和a a b c ≠，若b a a c ≠，则,,a b ab a c为互不相等的正数，又因为b a ac ≠，所以a c b a ≠，所以c a是与,,a b ab ac 不相等正数，因为,,,c a b aa b a c都是集合P 的元素，所以集合P 中至少有4个元素，这与假设矛盾，因此考虑b aa c=的情况，所以2a bc =，同理可得22,b ac c ab ==，所以333a b c abc ===，所以a b c ==，这与集合中元素的互异性矛盾，所以P 有3个元素不可能成立，故D 错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A.11a b< B.2ab b < C.2ab a -<- D.11ab-<-【答案】D 【解析】【分析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论．【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得111,12a b =-=-，∴11a b>，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确．故选：D ．10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34xx -≤≤∣，则下列说法正确的是（）A.0a <B.不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C.0a b c ++<D.2342cb ++的最小值为4-【答案】AB 【解析】【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到,b c 关于a 的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34xx -≤≤∣，所以3,4-是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，故A 正确；所以3434ba c a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<，即2120ax ax a -++<，则21210x x --<，解得1143x -<<，所以不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，故B 正确；而12120a b c a a a a ++=--=->，故C 错误；因为0,,12a b a c a <=-=-，所以344a -+>，则()222623483423434c a a b a a +=-=+-+-+-+-+84≥=-，当且仅当()223434a a =-+-+，即1a =或53a =时，等号成立，与0a <矛盾，所以2342cb ++取不到最小值4-，故D 错误.故选：AB.11.已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（）A.xy 的最大值为625B.C.32x y +的最小值为52D.22x y +的最大值为10013【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得2的最大值可判断B ；利用基本不等式“1”的代换可判断C ；利用二次函数的性质可判断D ；【详解】0x >，0y >且3210x y +=，1003x ∴<<，<<0y 5对于A，利用基本不等式得1032x y =+≥256xy ≤，当且仅当32x y =，即55,32x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为256，故A 错误；对于B，21010102320x y =++++=+=，当且仅当32x y =，即55,32x y ==，故B 正确；对于C ，()32132166145329110101203x x y x y y x y y x ⎛⎛⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎛⎫+=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭⎭⎝，当且仅当66x y y x =，即2x y ==时，等号成立，所以32x y +的最小值为52，故C 正确；对于D ，22222102134013009y y x y y y -⎛⎫++ ⎪⎝-+=⎭=()05y <<利用二次函数的性质知，当20013y <<时，函数单调递减；当20513y <<时，函数单调递增，()222min201340120100131330091x y ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭-⨯+=∴=+，()()222max55221340150099x y -⨯+=⨯<+，故D错误；故选：BC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若函数f （x ）＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－4]【解析】【分析】求出二次函的对称轴，根据二次函数的单调性，确定对称轴的位置，即可求解.【详解】∵f （x ）＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，对称轴方程为(1)x a =-+，要使f （x ）在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4，∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．故答案为:(－∞，－4].【点睛】本题考查二次函数的单调性，属于基础题.13.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]0,8．【解析】【分析】由题意得220ax ax -+≥恒成立，结合二次不等式恒成立对a 进行分类讨论进行求解．【详解】由题意得220ax ax -+≥恒成立，当0a =时，20≥恒成立，满足题意；当0a ≠时，280a a a >⎧⎨-≤⎩，解得08a <≤．综上08a ≤≤．故答案为：[]0,8．14.已知函数()()2462f x x a x a =-++-，若集合(){}N 0A x f x =∈<中有且只有两个元素，则实数a 的取值范围是______【答案】3,15⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】先将集合的元素个数转化为不等式的自然数解的个数，再分离参数，转化为求函数的取值范围问题，再结合函数的图象进行求解.【详解】由(){}N 0A x f x =∈<中有且只有两个元素，得()24620x a x a -++-<有且只有两个自然数解，即2462x x a x -+>+有且只有两个自然数解，令2t x =+，则()1882a t t t>+-≥，令()()1882g t t t t=+-≥，作出()()1882g t t t t=+-≥的图象（如图所示），又因为()142g =，()355g =，()()361g g ==所以315a <≤.故答案为：3,15⎛⎤ ⎥⎝⎦.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知集合{}121A x m x m =-≤≤-，集合()(){}230B x x x =-+<．（1）若2m =，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的范围．【答案】（1）{}33A B x x ⋃=-<≤（2）3(,2-∞【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B ，由集合的并集运算可得结果；（2）根据条件对集合A 分类讨论，分别求出实数m 的范围.【小问1详解】由2m =时，集合{}13A x x =≤≤，()(){}{}23032B x x x x x =-+<=-<<，所以{}{}{}133233A B x x x x x x ⋃=≤≤⋃-<<=-<≤，【小问2详解】当121m m ->-，即0m <时，集合=∅，符合A B ⊆，当≠∅时，由A B ⊆，有013212m m m ≥⎧⎪->-⎨⎪-<⎩，解得302≤<m ，综上可知，若A B ⊆，则m 的范围是3(,2-∞.16.如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为360m ，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为6m ，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为m x ，墙高5m，（1）试将垃圾池的总造价y （元）表示为(m)x 的函数，并指出x 的取值范围；（2）怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】（1）详解见解析（2）当垃圾池的高为103m 、宽为3m 时，垃圾池总造价最低为10800元.【解析】【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用均值不等式求最值.【小问1详解】无盖长方体垃圾池的容积为360m ，长为6m ，高为x m ，则宽10xm ，()60180620200y x x =++⨯，即1200010803600y x x=++，(]0,5x ∈.【小问2详解】1200010803600360010800y x x =++≥=，当且仅当120001080x x =取等号，即(]100,53x =∈.所以当垃圾池的高为103m 宽为3m 时，垃圾池总造价最低为10800元.17.已知()24xf x x =+，()2,2x ∈-．（1）求证：函数()f x 在区间()2,2-上是增函数；（2）求函数()f x 在区间()2,2-上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）用单调性的定义证明即可.（2）由()f x 在区间()2,2-上的单调性易得值域.【小问1详解】令1222x x -<<<，则()()()()22211222112122222121444444x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()121212121222222121444444x x x x x x x x x x xx xx -----==++++，又1240x x -<，120x x -<，22+412+4>0，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在区间()2,2-上是增函数.【小问2详解】由（1）知函数()f x 在区间()2,2-上是增函数，又()()112,244f f -=-=，所以函数()f x 在区间()2,2-上的值域为11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.已知函数()11mx f x =++，()()21g x x x a =++.（1）当0a =，1m =-时，解关于x 的不等式()()f x g x ≥；（2）当0m =时，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当0m <，0a <时，若点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数()y f x =与函数()y g x =图象的公共点，且12x x ≠，求证：()1221223a x x --<+<.【答案】（1）110,122⎡⎡⎫-+---⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭（2）[)0,+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）即解不等式2101--≥+x x x x ，分0x =、0x >、0x <且1x ≠-讨论，解不等式可得答案；（2）转化为2111x a x x -≥=-+在[)1,x ∞∈+上恒成立，求得1x -的最大值可得答案；（3）由()()f x g x =得()()()32121101x a x a x a m x +++-+--=≠-，化简方程得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，结合一元二次不等式求解可得答案.【小问1详解】当0a =，1m =-时，即解不等式2111-+≥+x x ，可得2101--≥+x x x x ，当0x =时，00≥成立，当0x >时，得2101--≥+x x x ，即解210--≥x x ，解得1502-+<≤x ；当0x <且1x ≠-时，得2101--≤+x x x ，解得112--≤<-x ，综上所述，不等式的解集为110,,122⎡⎡⎫-+-⋃-⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭；【小问2详解】当0m =时，可得()1f x =，()()21g x x a x =++，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，即()211x a x ++≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，即2111x a x x -≥=-+在[)1,x ∞∈+上恒成立，即当[)1,x ∞∈+时，1x -的最大值为0，所以0a ≥，所以实数m 的取值范围[)0,∞+；【小问3详解】由()()f x g x =，可得()2111mx a x x +=+++，可得()()()32121101x a x a x a m x +++-+--=≠-，因为点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数=与函数=图象的公共点，可得()()3211112110x a x a x a m +++-+--=，()()3222212110x a x a x a m +++-+--=，两式相减得()()()()33222121211210x x a x x a x x -++-+--=，因为12x x ≠，所以()()222211211210x x x x a x x a ++++++-=，可得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，则()221214t t a t a +++-<，整理得()2312104t a t a +++-<，解得()21223a t --<<，所以()2121223a x x --<+<.【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是化简方程得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，结合一元二次不等式求解可得答案.19.已知集合A 为非空数集.定义：{}|,,,{|,,}S x x a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈（1）若集合{1,3}A =，直接写出集合S ，T ；（2）若集合{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<且TA =．求证：423x x =；（3）若集合{}|02024,N ,A x x x S T ⊆≤≤∈⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】（1）{2,4,6}S =，{0,2}T =（2）证明见解析（3）1350.【解析】【分析】（1）根据新定义直接求出,S T ；（2）首先根据定义得出213141,,}{0,T x x x x x x =---234{0,,,}x x x =，然后由324240x x x x x <-<-<，得出结论，再验证43x x -也是T 中元素即得；（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，利用最大的k a 和最小的1a 构造也S 中至少含有的元素，以及T 中至多含有的元素，得21,S k T k ≥-≥，然后由利用S T ⋂=∅，得31S T S T k ⋃=+≥-，再由S T 中最小的元素0与最大的元素2k a 得到1350k ≤，然后构造一个集合{,1,2,,2024}A m m m =++ ，由S T ⋂=∅得出m 的范围，求得S T 中元素个数可以为1350，从而得出结论．【小问1详解】由已知{1,3}A =，则{2,4,6}S =，{0,2}T =；【小问2详解】由于集合{}12341234,,,,,A x x x x x x x x =<<<且TA =，所以T 中也只包含四个元素，因为2131410x x x x x x <-<-<-，即213141,,}{0,T x x x x x x =---且10x =，即234{0,,,}T x x x =，又3242410x x x x x x <-<-<-，所以322423,x x x x x x -=-=，从而3242322,3x x x x x x ==+=，此时243x x x -=满足题意，所以423x x =；【小问3详解】设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，1121312312k k k k k a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+< 2k a ，112131121,,k S k a a a a a a a a T k ≥--<-<-<<-∴≥ ，∵S T ⋂=∅，∴31S T S T k ⋃=+≥-，又S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，则()*21,31214049N ,1350k k S T a k a k k ⋃≤+∴-≤+≤∈∴≤设{,1,2,,2024}A m m m =++ ，N m ∈，则{2,21,22,,4048},{0,1,2,,2024}S m m m T m =++=- ，因为S T ⋂=∅，可得20242m m -<，即26743m >，故m 的最小值为675，于是当675m =时，A 中元素最多，即675,676,6},{77,2024A = 时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1350.【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合A 中元素进行排序，即设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，利用集合中的最大元素和最小元素确定S 的最小值，T 的最小值，确定k 的范围，然后构造出一个集合，使得S T ⋃能取得范围内的最大值．。
湖南省长沙市第一中学2023届高三月考数学试卷 (八)
长沙市一中2023届高三月考试卷(八)数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={xx2<2x},集合B={x|log2(x−1)<1},则A∩B=()(A){x|0<x<3}(B){x|1<x<2}(C){x|2⩽x<3}(D){x|0<x<2}2.在复平面内,复数z与21−i对应的点关于虚轴对称,则z等于()(A)1+i(B)−1−i(C)1−i(D)−1+i3.若双曲线C:x29−y2m=1(m>0)的一条渐近线与x轴的夹角是π3,则C的虚轴长是()(A)2√33(B)3√3(C)2(D)6√34.若(1+x)(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+···+a8x8,则a1+a3+a5+a7的值是()(A)−1(B)−2(C)2(D)15.在△ABC中,“cos A+sin A=cos B+sin B”是“∠C=90◦”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔,纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士,它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度,某同学设计了如下测量方案:在烈士纪念塔底座平面的A点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为32,然后直线走了20m,抵达纪念塔底座平面B点位置测得纪念塔顶端的仰角为π3.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为π3,则该烈士纪念塔的高度约为()(A)30m(B)45m(C)60m(D)75m7.已知点P(2,2),直线AB与抛物线C:y2=2x交于A、B两点,且直线P A,P B的倾斜角互补,则直线AB的斜率为()(A)−14(B)−12(C)−1(D)−28.函数g(x)=ln xx+1在区间[t,+∞)(t∈N∗)上存在极值,则t的最大值为()(A)2(B)3(C)4(D)5二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知a,b∈(0,+∞),λ=a+b,µ=√3ab,则()(A)λ−µ<0(B)λ−µ⩾0(C)µλ⩽√32(D)µλ>√3210.数列{a n}首项a1=2,对一切正整数n,都有a n+1=2−1a n,则()(A)数列{1a n−1}是等差数列(B)对一切正整数n都有a n>1(C)存在正整数n,使得a n=2a2n(D)对任意小的正数ε,存在n0∈N,使得|a n+1−a n|<ε(n>n0)11.已知直线l:x−y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上,圆C:(x−2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP,则点P的横坐标的取值可以为()(A)13(B)12(C)3(D)512.将2n(n∈N∗)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中,已知每个球放入这2个盒子的可能性相同,且每个盒子容纳球数不限,记2个盒子中最少的球数为X(0⩽X⩽n,X∈N∗),则下列说法中正确的有()(A)当n=1时,方差D(X)=1 4(B)当n=2时,P(X=1)=3 8(C)∀n⩾3,∃k∈[0,n)(k,n∈N∗),使得P(X=k)>P(X=k+1)成立(D)当n确定时,期望E(X)=n(22n−C n2n)22n三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数f(x)的图象在区间(1,3)上连续不断,能说明“若f(x)在区间(1,3)上存在零点,则f(1)·f(3)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)=.14.若随机变量ξ的数学期望和方差分别为E(ξ),D(ξ),则对于任意ε>0,不等式P(|ξ−E(ξ)|⩾ε)⩽D(ξ)ε2成立.在2023年湖南省高三九校联考中,数学科考试满分150分,某校高三共有500名学生参加考试,全体学生的成绩ξ的期望E(ξ)=80,方差D(ξ)=42,则根据上述不等式,可估计分数不低于100分的学生不超过人.15.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60◦,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若# »OP=x e1+y e2(其中e1,e2分别是x轴,y轴正方向的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y),向量# »OP的斜坐标为(x,y),# »OM=(3,1),# »ON=(1,3),则△OMN的面积为.x16.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,点E∈平面AA1B1B,点F是线段AA1的中点,若D1E⊥CF,则当△EBC的面积取得最小值时,三棱锥E−BCC1外接球的体积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=2sin x2cosx2+2√3cos2x2−√3,x∈[−π6,π3].(1)已知f(α)=85,α∈(−π6,π3),求sinα;(2)若不等式|f(x)−m|⩽3恒成立,求整数m的最大值.18.设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1,2na n−2S n=n2−n,n∈N∗.(1)求证:数列{a n}是等差数列;(2)令b n=2−a n2n,求数列{b n}的前n项和T n.19.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,点P是长方形A1B1C1D1内一点,∠AP C是二面角A−P D1−C的平面角.(1)证明:点P在A1C1上;(2)若AB=BC,求直线P A与平面P CD所成角的正弦的最大值.B C DA PB1C1D1A120.(1)对于任意两个事件A,B,若P(A)>0,P(B)>0,证明:P(A)P(A)=P(A|B)P(A|B)·P(B|A)P(B|A);(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为:设A1,A2,···,A n是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪···∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,···,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(A i|B)=P(A i)P(B|A i)P(B)=P(A i)P(B|A i)n∑k=1P(A k)P(B|A k),i=1,2,···,n.①已知某地区烟民的肺癌发病率为1%,先用低剂量C进行肺癌筛查,医学研究表明,化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性(有病),而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性(无病),现某烟民的检验结果为阳性,请问他真的患肺癌的概率是多少?②为了确保诊断无误,一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时,此人患肺癌的概率就不再是1%,这是因为第一次检查呈阳性,所以对其患肺癌的概率进行修正,因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率.请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性,则他真的患肺癌的概率是多少?21.已知f(x)=e x−tx,x∈R.(1)函数f(x)有且仅有一个零点,求t的取值范围.(2)当t=1时,证明:∃ξ∈(a,b)(其中a>0),使得f(b)−f(a)b−a=eξ−1.22.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年−公元前325年),大约100年后,阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质:如图1,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线l ′表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线,已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)(c >0),若由F 1发出的光线经椭圆两次反射后回到F 1经过的路程为8c .对于椭圆C 除顶点外的任意一点P ,椭圆在点P 处的切线为l ,F 1在l 上的射影为H ,其中|OH |=2√2.H F 1F 2法线l ′图1O P切线l•图2(1)求椭圆C 的方程;(2)如图2,过F 2作斜率为k (k >0)的直线m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(点A 在x 轴上方).点M ,N 是椭圆上异于A ,B 的两点,MF 2,NF 2分别平分∠AMB 和∠ANB ,若△MF 2N 外接圆的面积为81π8,求直线m 的方程.。
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二)数学试题
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．26336-C ．2366+4．设向量a 与b的夹角为θ，定义则a b ⊕=（）A ．()34，B ．(-5．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，浓度达到峰值，此后每经过2浓度的40%，当血药浓度为峰值的A ．11小时B ．136．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知ln 56a =，ln 47b =，ln 38c =，要比较()ln ln(11)f x x x =-来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（A ．52C ．1968．定义在R 上的不恒为零的偶函数()()5122k f k f k =⎡⎤+-=⎣⎦∑（A ．30B ．60二、多选题9．气象意义上从春季进入夏季的标志为乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位①甲地：5个数据的中位数为②乙地：5个数据的中位数为③丙地：5个数据中有一个数据是则肯定进入夏季的地区有（A ．一个都没有C ．乙地10．点P 是直线3y =上的一个动点，过点则（）A ．存在点P ，使得APB ∠A ．AC 与平面BPQ 有可能平行B ．11B D 与平面BPQ 有可能平行C ．三角形BPQ 周长的最小值为D ．三棱锥A BPQ -的体积为定值12．设正整数010199n a a =⋅+⋅+⋅⋅⋅{}(0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅A ．()113ω=C ．()()9101n n ωω+=+三、填空题13．()()5211x x ++的展开式中4x 14．写出一个同时具有下列两个性质的函数①()f x 的值域为(),2-∞；②当x 15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>足1290F MF ∠=︒，12F MF △的内切圆与16．已知正四面体A BCD -的外接球半径为四、解答题(1)证明：平面POB ⊥平面PBC ；(2)若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线所成角的正弦值为155，若存在，求三棱锥P AQE -的体积，若不存在，说明理由19．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC OAC ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=(1)在①cos cos 1a C c A +=；②4sin sin cos21B A A +=；③12cos sin A A -+个作为条件，判断ABC 是否存在，若存在，求出ABC 的周长，若不存在，说明理由（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的取值范围.20．已知函数ln ()e xxf x a=-.上是减函数，求实数a 的最大值；2ln aa+.．新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A ，B ，个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是某次多项选择题专项训练中，共有(k k ∈N(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为线AM，BM分别交椭圆于两点P（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值。
湖南省长沙2025届高三上学期月考(一)数学试题含答案
2025届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合[),A a =+∞，()1,2B =-，若A B =∅ ，则（）A.1>-aB.2a > C.1a ≥- D.2a ≥【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由集合[),A a =+∞，()1,2B =-，因为A B =∅ ，则满足2a ≥.故选：D.2.已知复数z 满足22z -=，z 的取值范围为（）A.[]0,2 B.()0,2 C.[]0,4 D.()0,4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用复数模的几何意义，得到复数z 在复平面内对应的轨迹，进而结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意知复数z 满足22z -=，可得复数z 在复平面内对应的轨迹为以(2,0)A 为圆心，2r =为半径的圆，且z 表示圆上的点到原点(0,0)O 的距离，则max min 224,220z OA r z OA r =+=+==-=-=，所以z 的取值范围为0,4.故选：C.3.在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则AB BC=A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．【详解】由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠，又因为2BC CA CA AB⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C BC A BC A BC⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuvuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）所以2AB BC=uu u v uu u v ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算．4.若函数()2211x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】将函数解析式化为()211xf x x =++，令()21xg x x =+，判断()g x 的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可.【详解】()2222221111111x x xf x x x x x x x +==+=+++++++，令()21x g x x =+，则其定义域为R ，又()()()2211x x g x g x x x --==-=-+-+，所以()21xg x x =+为奇函数，则()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 112f x f x g x g x +=+++=，则2M N +=.故选：B.5.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面AB,是线段ED 的中点，则A.BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B.BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C.BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D.BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B 【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．连BF ， 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,,22MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形．6.tan10tan503tan50︒+︒+︒︒的值为（）A.3B.3C.3D.33【答案】B 【解析】【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果.【详解】tan10tan503tan10tan50︒+︒︒︒()()tan 10501tan10tan 503tan 50=︒+︒-︒︒+︒︒)31tan10tan503tan 50=-︒︒+︒︒33tan10tan503tan50=-︒︒︒︒3=故选：B.7.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M =“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是（）A.第一次朝上面的数字是偶数B.第一次朝上面的数字是1C.两次朝上面的数字之和是8D.两次朝上面的数字之和是7【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】抛掷骰子两次，共有6636⨯=个基本事件数，则()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6M =，()()()()()()}5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共18个基本事件，则()181362P M ==，设事件E 为第一次朝上面的数字是偶数，则事件M 与事件E 是对立事件，故A 错误；设事件F 为第一次朝上面的数字是1，则F M ⊆，故B 错误；设事件N 为两次朝上面的数字之和是8，则()()()()(){}2,6,3,5,4,4,5,3,6,2N =共5个基本事件，则()536P N =，且()(){}3,5,5,3MN =，则()213618P MN ==，()()()P MN P M P N ≠⋅，所以C 错误；设事件Q 两次朝上面的数字之和是7，则()()()()()(){}1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1Q =，则()61366P Q ==，且()()(){}1,6,3,4,5,2MQ =，则()313612P MQ ==，因为()()()P MQ P M P Q =⋅，所以事件M 与事件Q 相互独立.故选：D8.一只蜜蜂从蜂房A 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用n a 表示蜜蜂爬到n 号蜂房的方法数，则10a =（）A.10B.55C.89D.99【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}n a 的递推公式，再依次计算求出10a .【详解】依题意，12n n n a a a --=+（*n ∈N ，3n ≥），11a =，22a =，所以34567893,5,8,13,21,34,55,a a a a a a a =======1089a =.故选：C二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知一组样本数据1x ，2x ，…，()201220x x x x ≤≤≤ ，下列说法正确的是（）A.该样本数据的第60百分位数为12x B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数C.剔除某个数据i x （1i =，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差D.若1x ，2x ，…，10x 的均值为2，方差为1，11x ，12x ，…，20x 的均值为6，方差为2，则1x ，2x ，…，20x 的方差为5【答案】BC 【解析】【分析】由百分位数的定义即可判断A ；由极差的定义即可判断C ，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断B ；由方差计算公式即可判断D.【详解】对于A ，由2060%12⨯=，所以样本数据的第60百分位数为12132x x +，故A 错误；对于B ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故B 正确；对于C ，剔除某个数据i x （1i =，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C 正确；对于D ，由10102642020x =⨯+⨯=，则()()22210101112426420202s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦，所以则1x ，2x ，…，20x 的方差为112，故D 错误.故选：BC.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()1,2M ，()11,A x y ，()22,B x y 都在抛物线上，且0FA FB FM ++=ruu r uu r uuu r ，则下列结论正确的是（）A.抛物线方程为22y x= B.F 是ABM 的重心C .6FA FM FB ++= D.2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△【答案】BCD 【解析】【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得F 是ABM 的重心，利用抛物线的定义可得6FA FM FB ++= ，利用三角形面积公式及122x x +=，可得2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△.【详解】对于A ，由()1,2M 在抛物线上可得42p =，即抛物线方程为24y x =，错误；对于B ，分别取,AB AM 的中点,D E ，则2FA FB FD +=uu u u r uu r u r ，2FM FD =-uuu r uu u r，即F 在中线MD 上，同理可得F 也在中线BE 上，所以F 是ABM 的重心，正确；对于C ，由抛物线的定义可得121,2,1FA x FM FB x =+==+uu r uuu r uu r，所以124++=++FA FM FB x x uu r uuu r uu r.由()10F ,是ABM 的重心，所以12113x x ++=，即122x x +=，所以1246++=++=FA FM FB x x uu r uuu r uu r，正确；对于D ，112AFO S OF y =△，221114AFO S y x ==△；同理222214BFOSy x ==△,21MFO S =△，所以2221213AFO BFO MFO S S S x x ++=++=△△△，正确.故选：BCD.11.已知函数()()()322,,R ,f x x ax bx c a b c f x =-++'∈是()f x 的导函数，则（）A.“0a c ==”是“()f x 为奇函数”的充要条件B.“0a b ==”是“()f x 为增函数”的充要条件C.若不等式()0f x <的解集为{1xx <∣且1}x ¹-，则()f x 的极小值为3227-D.若12,x x 是方程()0f x '=的两个不同的根，且12111x x +=，则0a <或3a >【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A 正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B 错误；利用导数求得函数()f x 的单调性，进而求得()f x 的极小值，可判定C 正确；结合二次函数的性质，结合0∆>，列出不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，当0a c ==时，函数()3f x x bx =+，则满足()()3f x x bx f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，所以充分性成立；若()f x 为奇函数，则()322f x x ax bx c -=---+=()322f x x ax bx c -=-+--，则24ax -20c =恒成立，所以0a c ==，所以必要性成立，所以A 正确；对于B 中，当0a b ==时，()3f x x c =+，可得()230f x x '=≥，所以()f x 为增函数；由()234f x x ax b =-+'，当()f x 为增函数时，216120a b ∆=-≤，所以“0a b ==”是“()f x 为增函数”的充分不必要条件，所以B 错误；对于C 中，由()234f x x ax b =-+'，若不等式()0f x <的解集为{|1x x <且1}x ¹-，则()f x 在R 上先增后减再增，则()1f '-=()()0,110f f =-=，解得21a b c ===-，故()()()232111f x x x x x x =+--=+-，可得()()()2321311f x x x x x '=+-=-+，令()0f x '=，解得=1x -或13x =，当(),1x ∈-∞-内，()0f x '>，()f x 单调递增；当11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭内，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为2111321133327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 正确．对于D 中，由()234f x x ax b =-+'，因为12,x x 是方程()0f x '=的两个不同的根，所以216120a b ∆=->，即2430a b ->，且1x +2124,33a bx x x ==，由12111x x +=，可得1x +212x x x =，所以433a b =，即4b a =，联立方程组，可得230a a ->，解得0a <或3a >，所以D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.点M 在椭圆221259x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，N 为MF 的中点，3ON =，则MF =_________.【答案】4【解析】【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得||MF '，再由椭圆定义求解||MF 即可．【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设F 为左焦点，F '为右焦点，由椭圆221259x y +=，得5a =，210a =，N Q 是MF 的中点，O 是FF '的中点，ON ∴为FMF ' 的中位线，||2||6MF ON ∴'==，∴由椭圆的定义得||2||1064MF a MF =-'=-=．故答案为：4．13.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()=E X ______.【答案】65【解析】【分析】根据题意得出X 的所有可能取值为0,1,2,3，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算X 取每个值时的概率，从而求X 的均值.【详解】X 的所有可能取值为0,1,2,3，大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有31236⨯=个；每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有9654⨯=个小正方体涂有一面油漆；剩余的()1258365427-++=个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，所以()270125P X ==，()541125P X ==，()362125P X ==，()83125P X ==，()()()()()00112233E X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=2754368150601231251251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯==.故答案为：65.14.若函数()()52cos sin 2f x a x x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是_________.【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求导，根据()0f x '≥在R 上恒成立，即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据题意，()22259cos 2sin 2cos cos 4cos 22f x a x x x a x x '=+-+=-+，()f x 在R 上单调递增，()0f x '∴≥在R 上恒成立，令cos x t =，[]1,1t ∈-，则()f x '可写为()2942g t at t =-+，[]1,1t ∈-，根据题意()g t 在[]1,1-上的最小值非负，∴()()10,10,g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩解得1122a -≤≤.故答案为：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(),sin m b a C =-- ，(),sin sin n c b A B =++，满足//m n u r r ．（1）求A ；（2）若角A 的平分线交边BC 于点D ，AD 长为2，求△ABC 的面积的最小值．【答案】（1）23A π=（2）【解析】【分析】（1）由//m n u r r 得出等式，再由正、余弦定理即可解出；（2）把ABC 的面积用等积法表示可得,b c 关系，再利用基本不等式得出bc 的最小值，即得面积最小值．【小问1详解】因为//m n u r r ，所以()()()()sin sin sin b a A B c b C -+=+-，由正弦定理得()()()()b a a b c b c -+=+-，所以222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc ab +--===-，因为()0,A π∈，故23A π=.【小问2详解】∵AD 平分∠BAC ，∴123BAD CAD BAC π∠=∠=∠=，∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴1sin 2AB AD BAD ⋅⋅∠11sin sin 22AC AD CAD c A +⋅⋅∠=⋅⋅，即22sin 2sin sin 333c b bc πππ+=，∴22c b bc+=由基本不等式可得：22bc b c =+≥，∴16bc ≥，当且仅当4b c ==时取“=”，∴1sin 2ABC S bc A ==≥ 即ABC V的面积的最小值为.16.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.【答案】（1）32；（2）277.【解析】【分析】（1）根据等体积法，由11A AOP A A OP V V --=即可求出点A 到平面1A PO 的距离；（2）先证明PB AP ⊥，1PB AA ⊥，由线面垂直的判定定理可得PB ⊥面1AA P ，进而可得1A PA ∠即为所求二面角的平面角，在1Rt A PA 中，计算11cos AP A PA A P∠=即可求解.【详解】（1）因为113AA OO ==，122AO AB ==，所以1AO ===在AOP中，由余弦定理可得：AP ===所以1A P ==，2OP =，在1AOP中，由余弦定理可得222111121cos 27A P OP A O A PO A P OP +-∠===⋅，所1sin7A PO∠==，所以11227A OPS=⨯=，设点A到平面1A PO的距离为d，由11A AOP A A OPV V--=，得111133AOP AO PS AA S d⋅⋅=⋅⋅，即1111233223d⨯⨯⨯⨯=，解得：32d=，所以点A到平面1A PO的距离为32；（2）二面角1A PB O--即二面角1A PB A--，因为AB是圆O的直径，点P在圆柱1OO的底面圆O上，所以PB AP⊥，因为1AA⊥面ABP，PB⊂面ABP，可得1PB AA⊥，因为1AP AA A⋂=，所以PB⊥面1AA P，因为1A P⊂面1AA P，AP⊂面1AA P，所以PB⊥AP，PB⊥1A P，所以1A PA∠即为二面角1A PB O--的平面角，在1Rt A PA中，1A P=，AP=所以11cos7APA PAA P∠===，所以二面角1A PB O--的余弦值为7.17.双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且ABD△是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为1k、2k，若122k k=-，求点A到直线MN的距离d的取值范围．【答案】（1）2213y x -=（2）(⎤⎦【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先设直线MN 的方程为x my n =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示122k k =-，并根据2m 的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.【小问1详解】依题意，90BAD ∠=，焦半径2c =，由AF BF =，得2b ac a+=，得22222a a a +=-，解得：1a =（其中20a =-<舍去），所以222413b c a =-=-=，故双曲线C 的方程为2213y x -=；【小问2详解】显然直线MN 不可能与轴平行，故可设直线MN 的方程为x my n =+，联立2233x my n x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 整理得()()222316310m y mny n -++-=，在条件2310Δ0m ⎧-≠⎨>⎩下，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631mn y y m +=--，()21223131n y y m -=-，由122k k =-，得()()12122110y y x x +++=，即()()12122110y y my n my n +++++=，整理得()()()()2212122121210m y y m n y y n ++++++=，代入韦达定理得，()()()()()22222312112121310n m m n n n m -+-+++-=，化简可消去所有的含m 的项，解得：5n =或1n =-（舍去），则直线MN 的方程为50x my --=，得d =又,M N 都在双曲线的右支上，故有2310m -<，2103m ≤<，此时1≤<，(d ⎤=⎦，所以点A 到直线MN 的距离d的取值范围为(⎤⎦.18.已知函数()()e xf x x a =-，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若函数()()ln g x f x a x =-有2个不同的零点1x ，2x .（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：12112e x x a x x +->.【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）（i ）()e,+∞；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）将1a =代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值；（2）（i ）化简函数()g x 的解析式，令e x t x =，问题可转化为()ln h t t a t =-在(0,)t ∈+∞有2个零点1t ，2t ，再利用导数研究函数()h t 的性质即可得出答案；（ii ）等价于证明21e a t t >，再利用极值点偏移法即可得证．【小问1详解】1a =时，()()e 1xf x x =-，()()1e 1x f x x =+'- ，令()()()(),2e xm x f x m x x ''=∴=+，(),2x ∞∴∈--，()0m x '<；()2,x ∞∈-+，()0m x '>，()f x ∴'在(),2∞--单调递减，()2,∞-+单调递增，x →-∞ 时，10x +<，e 0x >，则′<0，()21210ef '--=-<，()00f '=，x →+∞时，()f x ∞'→+，(),0x ∞∴∈-时，′<0；∈0,+∞，′>0，∴在(),0∞-单调递减，在0,+∞单调递增，∴的极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】（i ）()()()()ln e ln e ln e x x x g x f x a x x a x x x a x =-=-+=-，∈0,+∞，令e x t x =，()0,t ∞∈+，()1e 0x t x =+'> ，e x t x ∴=在0,+∞单调递增，令()ln h t t a t =-，即()h t 在()0,t ∞∈+有2个零点1t ，2t ，且111e x t x =，222e xt x =，()1a t a h t t t-='-= ，0a ∴≤时，()0h t '>，()h t 在()0,t ∞∈+单调递增，不存在2个零点，0a ∴>，()0,t a ∈ 时，()0h t '<；(),t a ∞∈+时，()0h t '>，()h t ∴在()0,a 单调递减，在(),a ∞+单调递增，0t → 时，()h t ∞→+；t →+∞时，()h t ∞→+，()()()min 1ln 0h t h a a a ∴==-<，()e,a ∞∴∈+.（ii ）设12t t <，()110h => ，()e e 0h a =-<，∴由（i ）知，121e t a t <<<<，即证：12e t t a >，即证：21e a t t >，2t a > ，1e a a t >，()h t 在(),a ∞+单调递增，∴即证：()21e 0a h t h t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，11ln t a t = ，()1111111e e e e e e ln ln ln ln 1ln a a a h a a a t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=-=-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()()111e ln ln 1p t t t =+-，()11,e t ∈，即证：()10p t <，()1112211111eln e 1ln ln t t p t t t t t t -=='-+，令()111eln q t t t =-，()11,e t ∈，()1111e e 10t q t t t -=-='< ，()1q t ∴在()1,e 单调递减，()()1e 0q t q >=，()10p t ∴'>，()1p t ∴在()1,e 单调递增，()()1e 0p t p ∴<=，【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.已知集合{}()1,2,3,,,3A n n n =∈≥ N ，W A ⊆，若W 中元素的个数为()2m m ≥，且存在u ，()v W u v ∈≠，使得()2k u v k +=∈N ，则称W 是A 的()P m 子集.（1）若4n =，写出A 的所有()3P 子集；（2）若W 为A 的()P m 子集，且对任意的s ，()t W s t ∈≠，存在k ∈N ，使得2k s t +=，求m 的值；（3）若20n =，且A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的()P m 子集，求m 的最小值.【答案】（1）{}{}1,2,3,1,3,4；（2）2；（3）13.【解析】【分析】（1）根据()P m 子集的定义，即可容易求得；（2）取{}1,3W =，求得2m =，再利用反证法假设3m ≥，推得10a <与11a ≥矛盾即可；（3）令{}020,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2W =，讨论12m ≤时不满足题意，再验证13m ≥时的情况满足题意，即可求得m 的最小值.【小问1详解】当4n =时，{}1,2,3,4A =，A 的所有()3P 子集为{}{}1,2,3,1,3,4.【小问2详解】当3n ≥时，取{}1,3W =，因为2132+=，所以W 是A 的()2P 子集，此时2m =；若3m ≥，设123,,a a a W ∈且1231a a a ≤<<，根据题意，3121213232,2,2kk k a a a a a a +=+=+=，其中123,,N k k k ∈；因为121323a a a a a a +<+<+，所以312222k k k <<，所以123k k k <<；又因为123,,N k k k ∈，所以321k k ≥+；因为()3121232222k k k a a a ++=++，所以()31212312222k k k a a a ++=++，所以()()3331212111222222222k k k k k k k a =++-=+-；因为3122221222222k k k k k k ++<+=≤，所以3122220k k k +-<，所以10a <，与11a ≥矛盾.综上所述，2m =.【小问3详解】设{}{}{}{}{}1234520,12,19,13,18,14,17,15,11,5,A A A A A ====={}{}{}{}{}{}{}678123410,6,9,7,1,3,2,4,8,16A A AB B B B =======，设W 的元素个数为m ，若W 不是A 的()P m 子集，则W 最多能包含1238,,,,A A A A 中的一个元素以及1234,,,B B B B 中的元素；令{}020,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2W =，易验证0W 不是A 的()12P 子集，当12m ≤时，0W 的任意一个元素个数为m 的子集都不是A 的()P m 子集，所以，若A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的()P m 子集，则13m ≥；当13m ≥时，存在{}1,2,3,4,5,6,7,8i ∈，使得W 中必有两个元素属于i A ，同时i A 中两个元素之和为2的某个正整数指数幂，P m子集；所以W是A的()所以，m的最小值为13.P m子集的定义，【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对()同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题.。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三下学期月考卷(六)数学试题及答案
长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（ ） {}32,Z M x x n n ==-∈{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A. B. C.D. {}2,1-{}1,2-{}1,1-{}2,0,2-2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ）z ()1i 1i z -=+i z =A. B. C. D. i 11i 22+1i +3. 已知，，，一束光线从点出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，()30A -,()3,0B ()0,3C ()1,0F -落到点上．则点D 的坐标为（ ）()1,0E A. B. C. D. 15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,14. 若，且，则（ ） ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭tan α=A. B. C. D. 2-3--5. 据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现()(()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为()1.2,0.5()4.8,7.5l 1.1，则（ ）A. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.76. 在四面体中，，，，，则该四面体的PABC PA AB ⊥PA AC ⊥120BAC ∠=︒2AB AC AP ===外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.12π16π18π20π7. 已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，，B ，C 为圆O 上任意两点，则的最小值是12OA =AC BC ⋅（ ）A. B. C. D. 18-116-116188. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数()f x R ()2f x x +()f x x -，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩[]0,x m ∈()3g x ≤m （ ） A. B. C. D. 133********二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（ ）A. 的取值范围是 ω913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πC. 的最小正周期可能是 ()f x 4π5D. 在区间()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则22x y =l （ ）A. 的方程为 l 12x =-B. 若，则 32AF =AOF AC. 若，则0OA OB ⋅= 9OA OB ⋅≥D. 若，过AB 的中点D 作于点E ，则的最小值为 120AFB ∠=︒DE l ⊥AB DE11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到1111ABCD A B C D -A αα1,,B C A α的距离分别为，则（ ）1,2,3A. 平面BD A αB. 平面平面1A AC ⊥αC. 直线与所成角比直线与所成角大1AB α1AA αD.12. 已知，为正实数，且，则（ ）a b 26ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为5 ab 2a b +C. 的最小值为D. 1211a b +++98()0,3a b -∈三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 设直线是曲线的一条切线，则_________．10x y ++=ln y a x =-=a 14. 楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．15. 过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，C ()222210x y a b a b-=>>F l l C 垂足为A ，直线与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若的内切l OAB A 圆的半径为，则双曲线C 的离心率为__________． 23b 16. 小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤P所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项．n S {}n a n 1n a +n S （1）求的通项分式；{}n a （2）证明：． 2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且．ABCA cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）已知M 为BC 的中点，且，的平分线交BC 于N ，求线ABC A AM =BAC ∠段AN 的长度．19. 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI ，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若()01p p <<甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由． ξp 0p () 1.5E ξ=20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，． P ABCD -ABCD 2PA PB ==（1）证明：；PAD PBC ∠=∠（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．P AB C --21. 已知，D 是圆C ：上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ． ()1,0F -()22116x y -+=（1）求动点P 的轨迹的方程：Γ（2）过点的直线与曲线相交于A ，B 两点，点B 关于轴的对称点为，直线交轴于(),0M t l Γx B 'AB 'x 点，证明：为定值．N OM ON ⋅ 22. 已知函数，． ()1e ln axf x x x-=+a ∈R （1）当时，求函数的最小值；1a =()f x x -（2）若函数的最小值为，求的最大值．()f x xa a长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则（ ） {}32,Z M x x n n ==-∈{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A.B. C. D. {}2,1-{}1,2-{}1,1-{}2,0,2-【答案】A【解析】【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】,{}}{32,Z ...,5,2,1,4,7,M x x n n ==-∈=-- 所以.{}2,1M N =- 故选：A.2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ）z ()1i 1i z -=+i z =A.B. C. D. i 11i 22+1i +【答案】B【解析】【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的，即可求解. 1i 1i z +==-【详解】， 1i 1i z +===+-故选：B3. 已知，，，一束光线从点出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，()30A -,()3,0B ()0,3C ()1,0F -落到点上．则点D 的坐标为（ ）()1,0E A. B. C. D.15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2()2,1【答案】C【解析】【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知方程，由与的交点可得D ，求坐标即可.GH GH BC【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点,,F E ,AC BC ,G H 连接，交于，则D 点即为所求，如图，GH BCD因为所在直线方程为，，设，AC 3y x =+(1,0)F -()G x y ,则，解得，即， 132211y x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩3,2x y =-=(3,2)G -由所在直线方程为，，同理可得，BC 3y x =-+(1,0)E (3,2)H 所以直线方程为，由解得， GH 2y =32y x y =-+⎧⎨=⎩(1,2)D 故选：C4. 若，且，则（ ） ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭tan α=A.B. C. D. 2-3--【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为，所以， ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭tan 1α<-由，得，即， 23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭21cos sin 22αα+=-222cos 2sin cos 1cos sin 2ααααα+=-+所以，即，解得 212tan 11tan 2αα+=-+2tan 4tan 30αα++=或(舍).tan 3α=-tan 1α=-故选：C.5. 据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为()1.2,0.5()4.8,7.5l1.1，则（ ）A. 去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.7【答案】C【解析】【分析】根据直线的斜率大小判断A ；求出判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判断D 作l y 答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值增加速l y 度变慢，A 错误；对于B ，由及得：，因为去除的两个样本点和， 1.20.4y x =+3x =4y =()1.2,0.5()4.8,7.5并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为， 1.2 4.80.57.53,422++==(3,4)因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B 错误；(3,4)对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B 知，，解得l ˆ1.1y x a=+ˆ4 1.13a =⨯+， ˆ0.7a=所以重新求得的回归方程为，C 正确；1.10.7y x =+对于D ，由选项C 知，，当时，，则， 1.10.7y x =+2x = 1.120.72.9y =⨯+= 2.7 2.90.2-=-因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D 错误.()2,2.70.2-故选：C6. 在四面体中，，，，，则该四面体的PABC PA AB ⊥PA AC ⊥120BAC ∠=︒2AB AC AP ===外接球的表面积为（ ）A.B. C. D. 12π16π18π20π【答案】D【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，设底面的外心为，外接球的球心为，PA ⊥ABC ABC A G O 为的中点，可得四边形为平行四边形，所以，在中，由余弦定理及正弦定理D PA ODAG 1OG =ABC 可求，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.AG 【详解】因为，，平面,PA AB ⊥PA AC ⊥,,AB AC A AB AC =⊂ ABC 所以平面.PA ⊥ABC设底面的外心为，外接球的球心为，则平面，所以. ABC A G O OG ⊥ABC //PA OG 设为的中点，DPA因为，所以.OP OA =DO PA ⊥因为平面，平面,PA ⊥ABC AG ⊂ABC 所以，所以.PA ⊥AG //OD AG 因此四边形为平行四边形，所以. ODAG 112OG AD PA ===因为，，120BAC ∠=︒2AB AC ==所以,BC ===由正弦定理，得. 242AG AG ==⇒=所以该外接球的半径满足,R )()2225R OG AG =+=故该外接球的表面积为.24π20πS R ==故选:D.7. 已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，，B ，C 为圆O 上任意两点，则的最小值是12OA =AC BC ⋅ （ ）A.B. C. D. 18-116-11618【答案】A【解析】 【详解】首先设与所成角为，根据题意得到OA BC θ，再根据()1cos cos 2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BC θ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠- 求解即可. 221111cos 2222BC BC BC BC θ-≥-【点睛】如图所示：设与所成角为，OA BCθ因为， ()1cos cos 2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BC θ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠- 因为，112cos 2BC BCO BC OC ∠== 所以 211cos 22AC BC BC BC θ⋅=- 因为，当时，等号成立. 221111cos 2222BC BC BC BC θ-≥- 0θ= 因为，所以当时，取得最小值为， 02BC ≤≤ 12BC = 21122BC BC - 18-所以当时，取得最小值为. 12BC = AC BC ⋅ 18-故选：A8. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数()f x R ()2f x x +()f x x -，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为()()[]()(),0,121,1,f x xg x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩[]0,x m ∈()3g x ≤m （ ）A. B. C. D. 133********【答案】B【解析】【分析】由是奇函数，是偶函数，求出，再根据()2f x x +()f x x -()2f x x x =-，作出函数的图象即可求解. ()()[]()(),0,121,1,f x xg x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩()g x【详解】因为是奇函数，是偶函数， ()2f x x +()f x x -所以，解得，()()()()()22f x x f x x f x x f x x⎧-+-=--⎪⎨-+=-⎪⎩()2f x x x =-由， ()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩当时，则，所以， ()1,2x ∈()10,1x -∈()()()2121gx g x f x =-=-同理：当时，，()2,3x ∈()()()()214242g x g x g x f x =-=-=-以此类推，可以得到的图象如下：()gx由此可得，当时，，()4,5x ∈()()164g x f x =-由，得，解得或， ()3g x ≤()()16453x x --≤174x ≤194x ≥又因为对任意的，恒成立，[]0,x m ∈(3g x ≤所以，所以实数的最大值为. 1704m <≤m 174故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（ ）A. 的取值范围是 ω913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πC. 的最小正周期可能是 ()f x 4π5D. 在区间上单调递增 ()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】由，得，再根据函数在区间上有且仅有条对称轴，[]0,πx ∈πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x []0,π3可得，可求出的取值范围判断A ，再利用三角函数的性质可依次判断BCD ． 5ππ7ππ242ω≤+<ω【详解】由，得， []0,πx ∈πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为函数在区间上有且仅有条对称轴，()f x []0,π3所以，解得，故A 正确； 5ππ7ππ242ω≤+<91344ω≤<对于B ，，， (0,π)x ∈ ∴πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， ∴π5π7ππ,422ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当时，在区间上有且仅有个不同的零点； π5π,3π42x ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()f x (0,π)2当时，在区间上有且仅有个不同的零点，故B 错误； π7π3π,42x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x (0,π)3对于C ，周期，由，则， 2πT ω=91344ω≤<414139ω<≤， ∴8π8π139T <≤又，所以的最小正周期可能是，故C 正确； 84ππ58π,139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x 4π5对于D ，，， π0,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππππ,44154x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭又，， 91344ω≤<∴ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭所以在区间上一定单调递增，故D 正确． ()f x π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：ACD.10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则22x y =l （ ）A. 的方程为 l 12x =-B. 若，则 32AF =AOF AC. 若，则0OA OB ⋅= 9OA OB ⋅≥D. 若，过AB 的中点D 作于点E ，则的最小值为 120AFB ∠=︒DE l ⊥AB DE【答案】BD【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到，进而求出1A y =A x =从而得到的面积，B 正确；由得到，，表达出AOF A 0OA OB ⋅=4A B x x =-4A B y y =，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设()2222232A B A B OA OB x y y x ⋅=++，由焦半径公式得到，结合余弦定理，基本不等式得到的最小值. ,AF a BF b ==2a b DE +=AB DE【详解】的焦点为，准线方程为，故A 错误； 22x y =F ⎛ ⎝12y =-由焦半径公式可知：，解得， 1322A AF y =+=1A y =故，故 222A A x y ==A x =所以的面积为，B 正确； AOF A 111222A OF x ⋅=⨯=若，则，即，解得：， 0OA OB ⋅= 0A B A B x x y y +=22104A B A B x x x x +=4A B x x =-则，4A B y y =故 ()()()2222222223232A A B B AB A B OA OB x y x y x y y x ⋅=++=++≥+，32264A B A B x x y y =+⋅=故，当且仅当时，等号成立，C 错误；8OA OB ⋅≥A B A B x y y x =过点作⊥l 于点，过点B 作⊥l 于点，A 1AA 1A 1BB 1B设，所以， ,AF a BF b ==2a b DE +=因为()2222222cos AB a b ab AFB a b ab a b ab =+-∠=++=+-， ()()22223342a b a b a b DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭所以. AB ≥故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到1111ABCD A B C D -A αα1,,B C A α的距离分别为，则（ ）1,2,3A. 平面BD A αB. 平面平面1A AC ⊥αC. 直线与所成角比直线与所成角大1AB α1AA αD.【答案】ABD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设的交点为，显然是、的中点，,AC BD O O AC BD 因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为，ABCD A α= C α2O α1又到平面的距离为，B α1所以平面，即平面，即A 正确；//BO α//BD α设平面，ABCD l α= 所以，//BD l 因为是正方形，所以，ABCD AC BD ⊥又因为平面，平面，1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，因为平面，1AA BD ⊥11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂1A AC 所以平面，因此有平面，而，BD ⊥1A AC l ⊥1A AC l ⊂α所以平面平面，因此选项B 正确；1A AC ⊥α设到平面的距离为，1B αd 因为平面，是正方形，点，B 到的距离分别为，1，11AA B B A α= 11AA B B 1A α3所以有， 31422d d +=⇒=设正方体的棱长为，1111ABCD A B CD -a设直线与所成角为，所以， 1AB αβ14sin AB β===设直线与所成角为，所以， 1AA αγ133sin AA aγ==因为，因此选项C 不正确；3>sin sin βγβγ<⇒<因为平面平面，平面平面，1A AC ⊥α1A AC ⋂A α=所以在平面的射影与共线，1,C A α,E F A显然，如图所示：1112,3,,,CE A F AC AA a AA AC ====⊥由，11ECA CAE CAE A AF ECA A AF ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠， 111cos ,sin A F CE ECA A AF AC AA ∠=∠=由， 2212249cos sin 112ECA A AF a a a ∠+∠=⇒+=⇒=因此选项D 正确，故选：ABD 12. 已知，为正实数，且，则（ ）a b 26ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为5 ab 2a b +C. 的最小值为D. 1211a b +++98()0,3a b -∈【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于A ：因为，26ab a b ++=所以，62ab a b ab =++≥+当且仅当时取等号，2a b =令，则有，0t =>260t +-≤解得，又因为， t -≤≤0t =>所以，即0t <≤0<≤的最大值为2，故A 选项正确；ab 对于B ：因为，26ab a b ++=所以， ()221162222224a b ab a b ab a b a b +=++=⨯++≤⨯++当且仅当时取等号，2a b =令，则有，20t a b =+>28480t t +-≥解得或（舍去），4t ≥t 12≤-即，所以的最小值为4，24a b +≥2a b +故B 选项错误；对于C ：因为，26ab a b ++=所以， 12111888b b a ++==++所以，81221119888111a b b b +++≥=+++=++当且仅当，即时等式成立， 2118b b +=+3b =所以的最小值为，故C 选项正确； 1211a b +++98对于D ：当，时，， 14a =225b =()4.150,3a b -=∉所以D 选项错误；故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 设直线是曲线的一条切线，则_________．10x y ++=ln y a x =-=a 【答案】2-【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上()00,x y 即可得解.【详解】设切点为，()00,x y ， 1y x '=-则，所以， 0011x x y x ==-=-'01x =所以切点为，()1,a 又切线为，10x y ++=所以，解得.110a ++=2a =-故答案为：.2-14. 楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．【答案】20【解析】【分析】根据题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，由组合公式计算即可求解.【详解】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，则有种方案.36C 20=故答案为：20. 15. 过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，C ()222210,0x y a b a b-=>>F l l C 垂足为A ，直线与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若的内切l OAB A 圆的半径为，则双曲线C 的离心率为__________． 23b【解析】 【分析】作出图象，设的内切圆的圆心为，易知在的平分线上，过分别作OAB A M M AOB ∠Ox M 于，于，则有四边形为正方形，则，MN OA ⊥N MT AB ⊥T MTAN 2||||3b NA MN ==2||3b ON a =-，由，可得，由斜率公式即可得答案. tan MNb AOF ON a∠==2a b =【详解】解：如图所示：设A 在第一象限，由题意可知，其中为点到渐近线的距离，， AF d b ===d (c,0)F b y x a =||OF c =所以， ||OA a ===设的内切圆的圆心为，OAB A M 则在的平分线上，M AOB ∠Ox 过分别作于，于，M MN OA ⊥N MT AB ⊥T 又因为于，FA OA ⊥A 所以四边形为正方形，MTAN所以， 2||||3b NA MN ==所以， 2||||||3b ON OA NA a =-=-又因为， 2||3tan 2||3bMN b AOF b ON aa ∠===-所以， 2233a b a =-，2a b =所以，22225c a b b =+=所以， c =所以. c e a ===. 16. 小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤P 所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．【答案】 16π3+【解析】【分析】根据图形与，建立直角坐标系，画出图形，()()(){}22,cos sin 4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：在方程，中， ()()22cos sin 4x y θθ-+-=0πθ≤≤令，则有， 0x =222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=所以，其中， 12sin y yθ=-0πθ≤≤所以，所以， []sin 0,1θ∈[]12sin 0,2y y θ=-∈解得，1y ⎡⎤⎤∈-⎣⎦⎦所以，，，， (A ()0,3E ()0,1G -(0,D 令，则有，0θ=()2214x y -+=所以，，()1,0C ()3,0N 令，则有πθ=()2214x y ++=所以，. ()1,0B -()3,0M -由，，易得与线段()3,0M -()3,0N ()0,3E A MEN MN 组成的图形为的上半圆，229x y +=由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由 的上半圆减去上半圆 229x y +=()2214x y -+=与上半圆相交的部分形成， ()2214x y ++=即与线段组成的面积，设为. A BACBC S 水滴上部由，，三点易得 (A ()1,0B -()1,0C 为边长为2的等边三角形，ABC A所以 212ππ263ABC AnC S S =⨯⨯-=-A 弓形所以，4π23ABC AnC S S S =+=A 弓形水滴上部设第一、二象限的阴影面积为， 1S 则. 19π9π4π19π2236S S =-=-+=+水滴上部由，，易得与线段 ()1,0B -()1,0C ()0,1G -A BGCBC 组成的图形为的下半圆， 221x y +=设在第三象限中的阴影面积为， 2S 则有， 2π4MOD MpD S S S =+-A 弓形由图知11322MOD S MO OD =⨯⨯=⨯=A ，，11222MBD S MB OD =⨯⨯=⨯=A 2π3MBD ∠=所以，214ππ233MBD MpD S S =⨯⨯-=A 弓形所以，2π4ππ13π43412MOD MpD S S S =+-=+-=A 弓形所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：. 1219π13π16π226123S S S ⎛=+=⨯=+ ⎝故答案为：. 16π3+【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 记为正项数列的前项和，已知是4与的等比中项． n S {}n a n 1n a +n S （1）求的通项分式；{}n a （2）证明：． 2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)由等比中项得，进而由递推式计算出，并得到，得数列()214n n a S +=11a =12n n a a --=是等差数列，进而可求解；{}n a (2)由，从第二项开始放缩即可证明. ()22111114121n a n n n ⎛⎫=<- ⎪-⎝⎭-【小问1详解】∵是4与的等比中项，∴①． 1n a +n S ()214n n a S +=当时，，∴． 1n =()2111144a S a +==11a =当时，②，2n ≥()21114n n a S --+=由①-②得，， ()()()22111144n n n n n a a S S a --+-+=-=∴， ()()1120n n n n a a a a ----+=∵，∴，0n a >12n n a a --=∴数列是首项为l ，公差为2的等差数列， {}n a ∴的通项公式． {}n a 21n a n =-【小问2详解】由（1）得，2111a =当时，，2n ≥()222111111444121n a n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪--⎝⎭-∴ 22222221232311111111n na a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111115151114122314444n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且．ABC A cos sin a C C b c +=+（1）求A ；（2）已知M 为BC 的中点，且，的平分线交BC 于N ，求线ABC A AM =BAC ∠段AN 的长度． 【答案】（1） π3A =（2） AN =【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果； （2）根据题意，可得，再结合三角形()22222242AMAB ACAB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】由题意知中，， ABC A cos sin a C C b c +=+由正弦定理边角关系得：则sin cos sin A C A C，()sin sin sin sin sin cos cos sin sin B C A C C A C A C C =+=++=++， sin cos sin sin A C A C C =+∵，()0,πC ∈∴， sin 0C ≠cos 1A A -=∴，∴， π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，， ()0,πA ∈ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以，即． ππ=66A -π3A =【小问2详解】如下图所示，在中，为中线，ABC A AM∴， 2AM AB AC =+∴，()22222242AMAB ACAB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ∴． 2212b c bc ++=∵， ABC S =△1sin 2bc A ==3bc =∴，b c +==∵， ABC ABN ACN S S S =+△△△，∴． ()1πsin 26b c AN AN =+=AN =19. 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI ，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若()01p p <<甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由． ξp 0p () 1.5E ξ=【答案】（1）甲被录用的概率为，乙被录用的概率为2332p p -2333p p -（2）不存在；理由见解析 【解析】【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构ξ造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可. 【小问1详解】由题意，设甲答对题目的个数为，得， X ()~3,X B p 则甲被录用的概率为，()2232313C 132P pp p p p =-+=-乙被录用的概率为． ()222332C 133P p p p p =-=-【小问2详解】的可能取值为0，1，2，ξ则，()()()12011P P P ξ==--， ()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==∴ ()()()()()121212*********E P P P P P P PPξ=⨯--+⨯-+-+⨯⎡⎤⎣⎦，23232312323365 1.5P P p p p p p p =+=-+-=-=，32101230p p ∴-+=设，()()321101230f p p p p +=<<-则．()23024f p p p '=-∴当时，单调递减，405p <<()f p 当时，单调递增，415p <<()f p 又，，，()03f =()11f =4110525f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭所以不存在的值，使得.p 0p ()00f p =20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．P ABCD -ABCD 2PA PB ==（1）证明：；PAD PBC ∠=∠（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小． P AB C --【答案】（1）证明见解析（2）6π【解析】【分析】(1) 分别取，的中点，，连接，，，证明出，可得AB CD E F PE EF PF PC PD =，由此可证得结论成立；PAD PBC ≌△△(2)先根据条件推出为二面角的平面角，设，建立空间直角坐标系，利用PEF ∠P AB C --PEF α∠=空间向量法结合基本不等式求出直线与平面所成角的正弦值的最大值，求出对应的角的值，即PA PCD 可求解. 【小问1详解】分别取，的中点，，连接，，， AB CD E F PE EF PF ∵，为的中点，∴．PA PB =E AB PE AB ⊥∵四边形为正方形，则且，∴． ABCD AB CD ∥AB CD =CD PE ⊥∵，分别为，的中点，∴，∴，E F AB CD EF AD ∥EF CD ⊥∵，∴平面．EF PE E ⋂=CD ⊥PEF∵平面，∴． PF ⊂PEF CD PF ⊥在中，PCD A ∵为的中点，，∴． F CD CD PF ⊥PC PD =又∵，，∴， PA PB =AD BC =PAD PBC ≌△△从而可得． PAD PBC ∠=∠【小问2详解】由（1）可知，，PE AB ⊥EF AB ⊥∴为二面角的平面角，且，PEF ∠P AB C --PE ==以点为坐标原点，，所在直线分别为x ，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，E EB EFy设，其中，PEF α∠=0απ<<则，，，，，，()1,0,0A -()1,0,0B ()1,2,0C ()1,2,0D -()0,2,0F ()P αα，，．()AP αα= ()2,0,0DC =u u ur()FP αα=- 设平面的法向量为，PCD (),n x y z =由，即，取， 00n DC n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩202)0x y z αα=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩y α=则，，∴，2z α=-0x=(),2n αα=-cos ,n AP n AP n AP⋅<>==⋅==令，(77t α-=∈-+则， cos α=则，cos ,n AP <>==≤=当且仅当时，即当时，等号成立．1t =cos α=6πα=所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角为．PA PCD P AB C --6π21. 已知，D 是圆C ：上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ． ()1,0F -()22116x y -+=（1）求动点P 的轨迹的方程：Γ（2）过点的直线与曲线相交于A ，B 两点，点B 关于轴的对称点为，直线交轴于(),0M t l Γx B 'AB 'x 点，证明：为定值． N OM ON ⋅【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由中垂线性质，可知，得动点P 的轨迹以，F 42PC PF PC PD DC FC +=+==>=C 为焦点的椭圆；（2）将直线与曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点N 坐标，后可得答案. l Γ【小问1详解】圆：，圆心为，半径为4，C ()22116x y -+=)1,0因为线段DF 的垂直平分线交DC 于P 点，所以， PD PF =所以， 42PC PF PC PD DC FC +=+==>=所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以，F 为焦点的椭圆， C 则，，.242a a =⇒=221c c =⇒=2223b a c =-=故轨迹方程为：．22143x y +=【小问2详解】依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，将其与方程联立：l l ()0x my t m =+≠Γ，消去x 得. 22143x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463120m y mty t +++-=方程判别式，设，，则，()2248430m t+->()11,A x y ()22,B x y ()22,B x y '-由韦达定理有，，122634mt y y m -+=+212231234t y y m -=+则直线的方程为，AB '()121112y y y y x x x x +-=--令()1212211212N 121212202my y t y y x y x y y yy x m t y y y y y y +++=⇒===⋅++++，则，得.2312426t m t mt t -=⋅+=-40,N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭()400,，,OM t ON t ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴．即为定值4．44OM ON t t ⋅=⋅= OM ON ⋅ 22. 已知函数，．()1e ln axf x x x-=+a ∈R （1）当时，求函数的最小值； 1a =()f x x -（2）若函数的最小值为，求的最大值． ()f x xa a 【答案】（1）0（2）1【分析】（1）当时，令，求得，根据在不同区间1a =()()F x f x x =-()()()121e x x x x F x --=-'()F x '的符号判断的单调性，由单调性即可求出的最小值；()F x ()()F x f x x =-（2）将等价变换为，借助第（1）问中判断的符号时()≥f x a x ()0f x ax -≥()()()121e x x xx F x --=-'构造的在时取最小值，取，将问题转化为有解问题即可.()1ex g x x -=-1x =()ln g ax x -ln 1ax x -=【小问1详解】当时，令，，1a =()()1e ln x x x F xf x x x-+=--=()0,x ∈∞则，()()()()()11112221e e 11e e 11x x x x x x x x x x x x F xx x ------+-'==-⋅-+-=令，，则，()1ex g x x -=-x ∈R ()1e 1x g x -'=-易知在上单调递增，且，()g x 'R ()10g '=∴当时，，在区间上单调递减，且，()0,1x ∈()0g x '<()g x ()0,1()()110e x g x x g -=->=当时，，在区间上单调递增，且，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()1,+∞()()110e x g x x g -=->=∴当时，，在区间上单调递减， ()0,1x ∈()()()121e 0x x x F x x --'=-<()F x ()0,1当时，，在区间上单调递增，()1,x ∈+∞()()()121e 0x x x F xx --'=->()F x ()1,+∞当时，取得极小值，也是最小值，，1x =()F x ()()11mine 1ln1101F x F -==+-=∴当时，函数的最小值为. 1a =()f x x -0【小问2详解】由已知，的定义域为， ()f x ()0,∞+若函数的最小值为，则有，∴，， ()f x x a ()≥f x a x()f x ax ≥()0f x ax -≥令，即的最小值为，()()h x f x ax =-()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=0由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，1x =()1ex g x x -=-()10g =∴当且仅当时，取得最小值， ln 1ax x -=()ln g ax x -0又∵，()()()l 1l 1n 1n n e e ln ln ln ee ax ax ax x x g ax x ax x x ax x ax h x x-----=--=+-=+-=∴只需令有解，即有解， ln 1ax x -=ln 1x a x+=令，，则， ()ln 1x H x x+=()0,x ∈+∞()()221ln 1ln x x x x H x x x ⋅-+'==-当时，，在区间上单调递增， ()0,1x ∈()2ln 0xH x x '=->()H x ()0,1当时，，在区间上单调递减， ()1,x ∈+∞()2ln 0xH x x'=-<()H x ()1,+∞∴， ()()ln 111x a H x H x+==≤=综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为. ()f x xa a 1【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=（1）问构造的，使，以达到简化运算的目的.()1ex g x x -=-()()ln g ax x h x -=。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考(一)数学试题(原卷版)
（2）求 .
18.设各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且对于任意 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前99项和.
19.如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
11.如图，直线 与半径为1的圆 相切于点 ，射线 从 出发绕点 逆时针方向旋转到 ，在旋转过程中， 交 于点 ，设 为 （其中 ），射线 扫过的圆 内部的区域（阴影部分）的面积为 ，则下列说法正确的有（）
A.
B.函数 的单调递增区间为
C.函数 图象 对称中心为
D.函数 在 处的瞬时变化率最大
12.已知数列 满足 ，且对任意的正整数 ，都有 ，则下列说法正确的有（）
（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 ；
（2）若 ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
21.已知椭圆 左焦点为 ，点 到椭圆 上的点的距离最小值是1，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
A. B.数列 是等差数列
C. D.当 为奇数时，
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知两圆 ，若圆 与圆 有且仅有两条公切线，则 的取值范围为__________.
14.在等差数列 中，若 ，且数列 的前 项和 有最大值，则使 成立的正整数 的最大值是__________.
（2）设点 是椭圆上关于 轴对称的两点， 交椭圆 于另一点 ，求 的内切圆半径的范围.
湖南长沙市长郡中学2024届高三第五次诊断考试数学试题试卷
湖南长沙市长郡中学2024届高三第五次诊断考试数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 2．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．B ．2C ．3D ．63．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．93222-D ．93222+ 5．函数52sin ()([,0)(0,])33x x x x f x x -+=∈-ππ-的大致图象为A ．B ．C ．D ．6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(,7]-∞ D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．函数()1ln 1x f x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．8．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ） A ．30x ±= B 30x y ±= C 50x y ±= D ．50x ±=10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ）ABCD11．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ）A ．23+B．1+C．2 D ．6 12．51(1)x x -+展开项中的常数项为 A ．1 B ．11 C ．-19 D ．51二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024年下学期10月份考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表示集合6N N A x x ++⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭和(){}22536B x x x=+=关系的Venn 图中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可求得集合,A B ，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.【详解】根据题意由6N ,N x x++∈∈可得1,2,3,6x =，即{}1,2,3,6A =；解方程()22536x x+=可得256x x +=或256x x +=-，解得1x =或6x =-或2x =-或3x =-，即可得{}1,2,3,6B =---；因此可得集合,A B 有交集，但没有包含关系.故选：A2.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到充分性不成立，再设[][]x y k ==，得到1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，得到答案.【详解】不妨设 1.6, 2.5x y ==，满足1x y -<，但[][]1,21.6 2.5==，不满足[][]x y =，充分性不成立，若[][]x y =，不妨设[][]x y k ==，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，故“1x y -<”是“[][]x y =”的必要条件.故选：B3.已知命题p ：x ∀∈R ，01xx >-，则p ⌝为（）.A.x ∀∈R ，01xx ≤- B.x ∃∈R ，01xx ≤-C.x ∀∈R ，01xx ≤-或10x -= D.x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定求解即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=.故选：D4.若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则t xy =的取值范围为（）A.{|04}t t <≤B.{|2}t t ≥C.{|4}t t ≥D.{|16}t t ≥【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式得到4x y +≥，求出答案.【详解】正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则4x y +≥，当且仅当x y =时取等号，所以t xy =，即xy ≥，即t ≥，两边平方,结合0t >，解的16t ≥.故选：D.5.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D6.若实数αβ，满足1312αβ-<<<-，则αβ-的取值范围是（）A.1312αβ-<-<-B.250αβ-<-<C.10αβ-<-<D.11αβ-<-<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果.【详解】因为αβ<，所以0αβ-<，又1312α-<<-，1312β-<<-，所以1213β<-<所以11αβ-<-<，故10αβ-<-<，故选：C7.关于x 的一元二次不等式()()()2120x a x a --+->⎡⎤⎣⎦，当01a <<时，该不等式的解集为（）A.2|21a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭或 B.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭C.2|21a x x x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭或 D.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】由01a <<，知10a -<，原不等式等价于()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集.【详解】由01a <<，则10a -<，原不等式等价于不等式()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭的解集，又由01a <<，则方程()2201a x x a -⎛⎫--= ⎪-⎝⎭的两根分别为1222,1a x x a -==-，当01a <<时，221a a -<-，故原不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知长为a ，宽为b 的长方形，如果该长方形的面积与边长为1k 的正方形面积相等；该长方形周长与边长为2k 的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为3k 的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为4k 的正方形面积和周长的比相等，那么1k 、2k 、3k 、4k 大小关系为（）A.1423k k k k ≤≤≤B.3124k k k k ≤≤≤C.4132k k k k ≤≤≤D.4123k k k k ≤≤≤【答案】D 【解析】【分析】先求出21ab k =，22a b k +=3=，2442k aba b k =+，然后利用基本不等式比较大小即可.【详解】由题意可得，21ab k=①，22a b k +=3=③，2442k aba b k =+④，且,0a b >，由基本不等式的关系可知，a b +≥a b =时等号成立，由①②得，2122k k ≥，所以21k k ≥⑤，因为()22222()22+=++≤+a b a b ab a b，所以222()2a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立，由②③得，2223422k k ≥，所以32k k ≥⑥，又2ab aba b ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，由①④得，241422k kk ≤，所以41k k ≤⑦，综合⑤⑥⑦可得，4123k k k k ≤≤≤.故选：D .二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.若1x y +=，则xy 的最大值为2C.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，则230a b c ++<D.命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∉，使得210x +≠．”【答案】ABD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A ，消元，根据二次函数性质判断B ，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求,,a b c 的关系，由此判断23a b c ++的正负，判断C ，根据含量词的命题的否定方法判断D.【详解】对于A ，取1a =-，1b =，则a b <，但11a b<，取1a =，1b =-，则11a b>，但a b >，所以“a b <”是“11a b>”的既不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，因为1x y +=，所以()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以xy 的最大值为14，B 错误；因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，所以0a <，且1,3为方程20ax bx c ++=的根，所以13b a +=-，13c a⨯=，所以4b a =-，3c a =，所以238920a b c a a a a ++=-+=<，C 正确；命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∈，使得210x +≠．”D 错误；故选：ABD.10.已知正数a ，b 满足238a b +=，则下列说法正确的是（）A.83ab ≤ B.227a b +>C.224932a b +≥ D.11126436a b a b +≥++【答案】ACD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论检验选项A,C,D ，举出反例检验选项B ，即可判断.【详解】对于A ，因为823a b =+≥，故83ab ≤，当且仅当23,238a b a b =+=,即42,3a b ==时等号成立，故A 正确;对于B ，当2,1b a ==时,2267a b +=<，B 显然错误;对于C ，因为22249(23)12641232a b a b ab ab +=+-=-≥，当且仅当42,3a b ==时等号成立，故C 正确;对于D ，由238a b +=可得()6932324a b a b +=+=,即()264324a b a b +++=,所以111264326432643242643a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭143261122242643246a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当2643a b a b +=+，即42,3a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ACD.11.对于一个非空集合B ，如果满足以下四个条件：①(){},,B a b a A b A ⊆∈∈，②(),,a A a a B ∀∈∈，③,a b A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b a B ∈，则a b =，④,,a b c A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b c B ∈，则(),a c B ∈，就称集合B 为集合A 的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（）A.设{}1,2A =，则满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个B.设{}1,2,3A =，则集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =是集合A 的一个“偏序关系”C.设{}1,2,3A =，则含有四个元素且是集合A 的“偏序关系”的集合B 共有6个D.(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系”【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，分析出()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，从而得到足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个；B 选项，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，B 错误；C 选项，分析出()()()1,1,2,2,3,3B ∈，再添加一个元素即可，从而得到答案；D 选项，通过分析均满足四个条件，D 正确.【详解】A 选项，{}1,2A =，则(){}()()()(){},,1,1,1,2,2,1,2,2a b a A b A ∈∈=，通过分析②可知，()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，取()(){}1,1,2,2B =，或()()(){}1,1,2,2,1,2B =，或()()(){}1,1,2,2,2,1B =，故满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个，A 正确；B 选项，集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，故②不成立，故BC 选项，{}1,2,3A =，通过分析②可知，()()()1,1,2,2,3,3B ∈，结合③和④，可再添加一个元素，即()()()()()()1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2中任选一个，即取()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,2B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,3B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,2,3B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,2B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,3B =，或()()()(){}21,1,2,2,3,3,,3B =，共6个，C 正确；D 选项，(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是R 的子集，满足①，且当a b =时，()R,,a a a R '∀∈∈，满足②，当a b =时，满足③，,,R a b c ∀∈，若(),a b R '∈且(),b c R '∈，则,a b b c ≤≤，所以a c ≤，则(),a c R ∈'，满足④，故(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系，D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设,a b ∈R ，集合{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，则a b +=______【答案】0【解析】【分析】根据ba可知0a ≠，故0a b +=.【详解】由ba可知0a ≠，又{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，故0a b +=.故答案为：013.已知条件:30p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(],3-∞-.【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可.【详解】由题设得:0p x ≥或3x ≤-，设P ={0x x ≥或3x ≤-}，同理可得:q x a £，设{}Q x x a =≤，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ⊆，因此3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.【答案】12+【解析】【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以22221222112l l a b c a b a b a b a b a b a b ab+++++==+=++++++221121ab a b =+++,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以121211112l l a b +≥+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知{|23}A x x =-≤≤，{|53}B x a x a =-<<，全集R U =．（1）若12a =，求A B ，A B ⋂；（2）若()U B A B =ðI ；求实数a 的取值范围．【答案】（1）9|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，3|22A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，（2）283a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）由条件根据集合运算法则求A B ，A B ⋂即可；（2）由条件可得U B A ⊆ð，根据集合包含关系列不等式可求a 的取值范围．【小问1详解】因为12a =，所以93{|53}|22B x a x a x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{|23}A x x =-≤≤，所以9|32A x x B ⎧⎫-<≤=⎨⎬⎩⎭ ，3|22A B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭ ，【小问2详解】因为()U B A B =ðI ，所以U B A ⊆ð，因为{|23}A x x =-≤≤，所以{2U A x x =<-ð或}3x >，又{|53}B x a x a =-<<，当B =∅时，U B A ⊆ð，此时35a a ≤-，接的52a ≤-，当B ≠∅时，由U B A ⊆ð，可得3532a a a >-⎧⎨≤-⎩或3553a a a >-⎧⎨-≥⎩，所以5223a -<≤-或8a ≥，综上23a ≤-或8a ≥.所以a 的取值范围23a a ⎧≤-⎨⎩或}8a ≥.16.（1）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >>（2）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：222111a b c a b c ++≤++.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对（2）利用基本不等式结合1abc =可证得结论【详解】（1）因为222a b c d =++=++又因为,0a b c d ab cd +=+>>,,,a b c d >为正数，所以22>，>（2）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，当且仅当a b c ==时，取等号，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++，当且仅当1a b c ===时取等号.17.已知p ：2280x x +-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤.（1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）41m -≤≤（2）1m >或4m <-【解析】【分析】（1）解不等式化简命题,p q ，由充分不必要条件列出不等式求解；（2）根据命题,p q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解.【小问1详解】由2280x x +-≤，可得42x -≤≤，则p ：42x -≤≤，又由()22210x m x m m -+++≤，可得1m x m +≤≤，则q ：1m x m +≤≤，若q 是p 的充分不必要条件，可得[],1m m +是[]4,2-的真子集，有412m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解可得41m -≤≤；【小问2详解】若q 是p 的既不充分也不必要条件，则[],1m m +和[]4,2-互不包含，可得12m +>或4m <-，解得1m >或4m <-.18.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214((4S S x a a -=-⋅+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a ⎛⎫-=--=-⋅+⎪-⎝⎭，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+≥，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++≥=--，当且仅当444a a -=-时，即6,14a b ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=⨯，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19.已知集合{}()*1,2,3,,2N ,4n S n n n =∈≥ ，对于集合n S 的非空子集A ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于A ，则称集合A 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}{}123,4,5,3,5,7A A ==是否为集合4S 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数.那么称该集合具有性质P .对于集合n S 的非空子集A ，证明：集合A 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合A 具有性质P .【答案】（1）1A 是集合4S 的“期待子集”，2A 不是集合4S 的“期待子集”（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P 的定义证明即可；【小问1详解】因为{}41,2,3,4,5,6,7,8S =，对于集合{}13,4,5A =，令345a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然41S ∈，42S ∈，43S ∈所以1A 是集合4S 的“期待子集”；对于集合2{3,5,7}A =，令111111357a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111152a b c ++=，因为4111,,a b c S ∈，即111N *a b c ++∈，故矛盾，所以2A 不是集合4S 的“期待子集”【小问2详解】先证明必要性：当集合A 是集合n S 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的,,n a b c S ∈，使得,,a b b c c a A +++∈，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即条件P 中的①成立；又()()()20x y z a b c a b c a +-=+++-+=>，所以x y z +>，即条件P 中的②成立；因为()()()()2x y z a b c a b c a b c ++=+++++=++，所以x y z ++为偶数，即条件P 中的③成立；所以集合A 满足条件P .再证明充分性：当集合A 满足条件P 时，有存在A ∈x,y,z ，满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数，记2x y z a z ++=-，2x y z b y ++=-，2x y z c x ++=-，由③得,,Z a b c ∈，由①得a b c z <<<，由②得02x y z a z ++=->，所以,,n a b c S ∈，因为a b x +=，a c y +=，b c z +=，所以a b +，b c +，c a +均属于A ，即集合A 是集合n S 的“期待子集”【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
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炎德·英才大联考某某市一中2011届高三月考试卷(五)数 学(理科)命题人：蒋楚辉审题人：胡雪文时量：120分钟满分：150分(考试X 围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是()A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为() A.1B.16C.81D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为()A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是()A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为()A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.25B.45C.35D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值X 围是()A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为()A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是. 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值X 围是.12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝.13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值X 围是.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为；若a ＝3，则△ABC 的面积为. 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F(x，y)＝(1＋x)y，其中x，y∈(0，＋∞).(1)令函数f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C 在x0(－4<x0<－1)处有斜率为－8的切线，某某数a的取值X围；(2)令函数g(x)＝F(1，log2[(ln x－1)e x＋x])，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x，y∈N，且x<y时，求证：F(x，y)>F(y，x).数学(理科)教师用卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是(A)A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为(C) A.1B.16C.81D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为(D)A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是(C)A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为(B)A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.25B.45C.35D. 5解：∵1<log 45<2，∴f (log 45)＝f (log 45＋2)＝f (log 480)＝2log 480＝4 5.x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值X 围是(C) A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于点A (1,3)，此时取最大值，故a >1.8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)A.16B.320C.11120D.215解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A 22A 33＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P ＝12＋2＋2A 55＝215.选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDCBBCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是f(x)＝x 12.10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是1个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值X 围是(28,57] .解：当输出k ＝2时，应满足 2x+1≤115，解得28<x ≤57. 2(2x+1)+1>11512.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝－1.解：由已知a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，可知{a n }是周期为3的周期数列，则a 12＝a 3×4＝a 3＝－1. 13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值X 围是 [0,4] .解：|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )及a ≠0得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为π6；若a ＝3，则△ABC 的面积为934. 解：由a MA ＋b MB ＋33c MC ＝a MA ＋b MB ＋33c (－MA －MB )＝(a －33c )MA ＋(b －33c )MB ＝0. 又MA 与MB 不共线，则a ＝33c ＝b ，由余弦定理可求得cos A ＝32，故A ＝π6. 又S △＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝5；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为2m －3.解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5.②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1<a 2<a 3<…<a m ，则a 1＋a 2<a 1＋a 3<…<a 1＋a m <a 2＋a m <…<a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i <j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j >m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i <j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分) 又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).① n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， 所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分) 19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分)(2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x ).由L ′(x )＝0，得x ＝11[7,10]或x ＝17＋2a 3.(6分) 因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233. ①当193≤17＋2a 3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分) 即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分) 20.(本小题满分13分)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有：f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，数列{a n }满足：a 1＝f (1)＋1，f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n)＝0.设S n ＝a 21a 22＋a 22a 23＋a 23a 24＋…＋a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式，并求S n 关于n 的表达式；(2)设函数g (x )对任意x 、y 都有：g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，若g (1)＝1，正项数列{b n }满足：b 2n ＝g (12n )，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较4S n 与T n 的大小. 解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分)因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1). 又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，(3分) 所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n＝4n －3，所以a n ＝14n －3. ∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]，∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分) (2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2，∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1， ∴g (12n )＝122n ，即b 2n ＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分) ∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1. 当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n >1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分)(用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，某某数a 的取值X 围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3x 20+2ax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x 0<-1 ②有解，(3分)x 30+ax 20+bx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 20－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0，∴由 2x 20+ax 0+8>0 有解，-4<x 0<-1得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分)(2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x)′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x ＋ln x －1)e x ＋1.(6分) 设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2， 当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x＋ln x －1≥0. 当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0， ∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分) 曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分)(3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x 1＋x －ln(1＋x )x 2， 又令p (x )＝x 1＋x－ln(1＋x )，x ≥0， ∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x (1＋x )2≤0， ∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴当x >0时，有p (x )<p (0)＝0，∴当x ≥1时，有h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减，(11分)∴当1≤x <y 时，有ln(1＋x )x >ln(1＋y )y， ∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。