立体几何中的轨迹问题(解析版)

第20讲 立体几何中轨迹问题7类

【题型一】由动点保持平行性求轨迹

【典例分析】

如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC 的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（ ）

A 3

B 2

C 3a

D 2a 【答案】D 【分析】

连接GH 、HN ，有GH ∥BA 1，HN ∥BD ，证得面A 1BD ∥面GHN ，由已知得点M 须在线段GH 上运动，即满足条件，由此可得选项. 【详解】

解：连接GH 、HN 、GN ，∥在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 的中点，N 是BC 的中点，

则GH ∥BA 1，HN ∥BD ，又GH ⊄面A 1BD ，BA 1⊂面A 1BD ，所以//GH 面A 1BD ，同理可证得//NH 面A 1BD ， 又GH HN H ⋂=，∥面A 1BD ∥面GHN ，

又∥点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，MN ∥面A 1BD ， 则点M 须在线段GH 上运动，即满足条件，GH 2，则点M 2. 故选：D.

【变式演练】

1.在三棱台111A B C ABC -中，点D 在11A B 上，且1//AA BD ，点M 是三角形111A B C 内（含边界）的一个动点，

且有平面//BDM 平面11A ACC ，则动点M 的轨迹是（ ）

A ．三角形111A

B

C 边界的一部分 B ．一个点 C ．线段的一部分

D ．圆的一部分

【答案】C 【分析】

过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，证明平面//BDE 平面11AAC C ，得M DE ∈，即得结论． 【详解】

如图，过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，

1//BD AA ，BD ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以//BD 平面11AAC C ， 同理//DE 平面11AAC C ，又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，

所以平面//BDE 平面11AAC C ，所以M DE ∈，

（M 不与D 重合，否则没有平面BDM ）， 故选：C ．

2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）

A 21

B 5

C 32

D 6

【答案】B 【分析】

以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P a b ，计算出平面BEF 的一个法向量m 的坐标，由已知条件得出10D P m ⋅=，可得出a 、b 所满足的等式，求出点

P 的轨迹与线段AD 、BC 的交点坐标，即可求得结果.

【详解】

以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则()2,2,0B 、()2,0,1E 、()1,0,2F 、()10,0,2D ，设点(),,0P a b ，

()0,2,1BE =-，()1,0,1EF =-，设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =， 由200m BE y z m EF x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩

，取2z =，可得()2,1,2m =，

()1,,2D P a b =-，由题意可知，1//D P 平面BEF ，则1240D P m a b ⋅=+-=，

令0b =，可得2a =；令2b =，可得1a =.

所以，点P 的轨迹交线段AD 于点()2,0,0A ，交线段BC 的中点()1,2,0M ， 所以，点P 的轨迹长度为()()

22

21025AM =-+-=

故选：B.

3.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点（含边界），若//AP 平面BDEF ，则Р点的轨迹长为（ ） A ．1 B 2C ．2 D ．22【答案】B 【分析】

由分别取棱11A B ､11A D 的中点M ､N ，连接MN ，由线面平行得面面平行，得动点轨迹，从而可计算其长度． 【详解】

如图所示，分别取棱11A B ､11A D 的中点M ､N ，连接MN ，连接11B D ， ∥M ､N ､E ､F 为所在棱的中点，∥11//MN B D ，11//EF B D ，∥//MN EF ， 又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∥//MN 平面BDEF ，

连接NF ，由11//NF A B ，11NF A B =，11//A B AB ，11A B AB =，可得//NF AB ，NF AB =，则四边形ANFB 为平行四边形，则//AN FB ，

而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则//AN 平面BDEF . 又AN

NM N =，∥平面//AMN 平面BDEF .

又P 是上底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面BDEF ， ∥P 点在线段MN 上.又111

2

MN B D =

，∥P 2

【题型二】动点保持垂直性求轨迹

【典例分析】

在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（ ） A ．点1B B ．线段1B C

C ．线段11B C

D ．平面11B BCC

【答案】B 【分析】

如图，连接1A C ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.