(完整word版)曲线系方程及应用

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(完整word版)双曲线讲义

圆锥曲线第二讲双曲线一双曲线的定义平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a （小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.注：（1）定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时，点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线；当122a F F >时，轨迹不存在；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.（2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支.例 1 已知1(5,0)F -，2(5,0)F ，动点P 满足122PF PF a -=，当a 为3和5时，P 的轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线.例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形：（16=；（26=练习1 已知平面上定点1F ，2F 及动点M ，命题甲：22()MF MF a a -=为常数，命题乙：M 点轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥，讨论点P 的轨迹方程.二双曲线的标准方程（1）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确（2）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(0,)c ，(0,)c -，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为：22221(0,0)y x a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确例1 若方程22123x y m m +=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为______.(3,2)(3,)-+∞U例2 若1k >，则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在y 轴上的双曲线.例3 方程221cos 2010sin 2010x y ︒︒-=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线.练习1 若方程2221523x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k =_____.-1三双曲线的定义及其标准方程的应用例1 若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，则点M 到另一个焦点的距离为____（4或28），若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF =g ，则12F PF V 的面积为_____.16例2 在ABC V 中，,,a b c 为其三边边长，点B ，C 的坐标分别为(1,0)B -，(1,0)C ，则满足1sin sin sin 2C B A -=的顶点A 的轨迹方程为______.224141()32x y x -=>例 3 已知(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于P ，则点P 的轨迹方程为________.221(1)8y x x -=>例4 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____.9练习1在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC V 的顶点(6,0),(6,0)A C -，若顶点B在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B -=______.56练习2若点P 是以(A B 为焦点，实轴长为2210x y +=的一个交点，则PB PA +的值为______.例3 已知2225:(2)4A x y ++=e ，221:(2)4B x y -+=e ，动圆P 与A e ，B e 都外切，则动圆P 圆心的轨迹方程为_____.221(0)3y x x -=>练习4 已知双曲线的方程2214y x -=，点A 的坐标为(0)，B 是圆2x +2(1y =上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为1四双曲线的简单几何性质注：（1）标准方程中参数,,a b c ，其中c 最大，,a b 大小关系不确定.（2）我们把ce a=称为双曲线的离心率且1e >.22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a=±.（3）如果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.（求离心率的范围）（4）122PF PF c +≥,122PF PF c -<.（求离心率范围）（5）等轴双曲线：虚轴长和实轴长相等的双曲线.等轴双曲线的离心率e =（6）共轭双曲线：两个实轴和虚轴互为对调的双曲线称为共轭双曲线.三双曲线的定义练习（5.3）已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=，与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（）D .A 实轴长相等 .B 虚轴长相等 .C 焦距相等 .D 离心率相等四双曲线标准方程的求解（先定位后定量）例1（调研）设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为4)，则此双曲线的标准方程是______.22145y x -=例2 （调研）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为________.22131********y x -= 练习1（简单）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为_______.221169x y -= 例2（5.3）已知双曲线:C 22221x y a b -=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为_______.221205x y -= 五双曲的简单几何性质双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点，两个定点，两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心，焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线是一点和两个焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系.例 1（简单）设双曲线22221x y a b-=，的虚轴长为2，焦距为近线的方程为_______.y x =例2（练透）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为_____.12y x =±.练习1（调研）设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，1234PF PF =，则12PF F V 的面积等于_____.24例2（简单）若直线1y kx =+与双曲线221916y x -=的一条渐近线垂直，则实数k=____.43±六双曲线的离心率离心率的取值问题例1（练透）12,F F 是双曲线:C 22221x y a b-=的左右焦点，过1F 的直线l 与C 的左右两支分别交于,A B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为例2（练透）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF 的垂直平分线，则双曲线的离心率为____.练习1（练透）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F V 的最小内角为30︒，则C 的离心率为练习2（练透）设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于,M N 两点，且满足120MAN ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.3练习3（练透）设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +=u u u r u u u u r u u u u rg ，O为坐标原点，且12PF =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为1离心率的范围问题双曲线的离心率范围问题主要考查两点：（1）利用三角形的三边关系得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.（2）若果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.通过余弦定理得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.例1 （调研）已知双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，点P在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为_____.53. 例2（调研）已知(1,2),(1,2)A B -，动点P 满足AP BP ⊥u u u r u u u r ，若双曲线22221x y a b-=的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是____.12e <<练习1（5.3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围是_____.(1,3]练习2（练透）点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率取值范围是_______.4(1,]3练习3（练透）已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE V 是锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为______.(1,2) 七双曲线的综合问题例1 （练透）设双曲线22143x y -=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为____.11。

高考数学解答题双曲线的标准方程 Word版含答案

1.双曲线的标准方程一．知识梳理1.定义：平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值是常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点1F 、2F 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。

设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<；因此得a MF MF 221±=-.2.标准方程：焦点在x 轴上:()0,12222>>=-b a by a x焦点在y 轴上:()0,12222>>=-b a bx a y .可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上.3.标准方程中的c b a ,,三个量满足222b a c +=4.方程()0122<=+mn ny mx 表示的曲线为双曲线,它包含焦点在x 轴上或在y 轴上两种情形.若将方程变形为11122=+n y m x ,则当0>m ，0<n 时,方程为11122=--ny m x ，它表示焦点在x 轴上的双曲线,此时nb m a 1,1-==；当0,0><n m 时,方程为11122=--mx n y ,它表示焦点在y 轴上的双曲线,此时mb n a 1,1-==。

因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法. 三．例题分析题型1 双曲线的定义及应用例1.双曲线11442522=-y x 上一点P 到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是（） A.P 到左焦点的距离为8 B.P 到左焦点的距离为15 C.P 到左焦点的距离不确定 D.这样的P 点不存在习题1.双曲线116922=-y x 上一点P 到左焦点1F 的距离101=PF ,求P 点到右焦点2F 的距离2PF .习题24表示的曲线方程为（） A ．24x －25y ＝1(x ≤－2)B ．24x －25y ＝1(x ≥2)C ．24y －25x ＝1(y ≤－2)D ．24y －25x ＝1(y ≥2)题型2.求双曲线方程例2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: （1）4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3104,1A ；（2）经过点()24,3-、⎪⎭⎫ ⎝⎛5,49；（3）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，且经过点)2,23(.题型3.判断曲线类型例3.（1）．“m>2”是“方程22121x y m m -=--表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2）．设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（）A ．()0,πθ∈B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）．已知方程22134x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是______．（4）．若方程22131x y m m-=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为____________．解析：（1）方程22121x y m m -=--表示双曲线等价于()()210m m --<，即1m <或m>2，故“m>2”是“方程22121x y m m -=--表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A （2）由()0,2θ∈π，方程22134sin x y θ+=表示双曲线，则sin 0θ<，所以(),2θ∈ππ，根据选项，“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为B. 故选：B.（3）若方程22134x y m m +=+-表示在x 轴上的双曲线，则3040m m +>⎧⎨-<⎩，解得34-<<m ；若方程22134x y m m +=+-表示在y 轴上的双曲线，则3040m m +<⎧⎨->⎩，此时m ∈∅.综上所述，34-<<m . 故答案为：()3,4-.（4）因为方程22131x y m m -=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，所以有3010m m +>⎧⎨->⎩，解得31m -<<，所以实数m 的取值范围为(3,1)-，故答案为：(3,1)-题型4 双曲线的轨迹例4.在△ABC 中，()6,0B -，()6,0C ，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹.例5.（1）已知两圆()()22221249,49C x y C x y ++=-+=：：，动圆C 与圆1C 外切，且和圆2C 内切，则动圆C 的圆心C 的轨迹方程为（） A ．()221379y x x -=≥B ．22197y x -=C ．22179x y -=D ．()221397x x y -=≥（2）已知动圆M 与圆1:C ()2242x y ++=外切，与圆2C ：()2242x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（） A ．()2212214x y x -=≥ B ．()2212214x y x -=≤-C ．()2212214x y x +=≥D ．221214x y -=解析：（1）如图，设动圆C 的半径为R ，则13CC R =+，23CC R =-，则121268CC CC C C -=<=，所以动圆圆心C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支.因为26,28a c ==，所以2223,4,7a c b c a ===-=.故动圆圆心C 的轨迹方程为()221397x x y -=≥. 故选：D.（2）如图，由题意得：MB MA =，圆1:C ()2242x y ++=与圆2C ：()2242x y -+=的半径2，即122BC AC =()121212MC MC MB BC MA AC MB BC MA AC -=+--=+-+1212228BC AC C C =+==，故点M 的轨迹为以12,C C 为焦点的双曲线的右支，其中222a =28c =，故2a =4c =，则22216214b c a =-=-=，所以轨迹方程为(2212214x y x -=≥,故选：A题型5.双曲线的最值问题例 6.(1).P 为双曲线11522=-y x 右支上一点，N M ,分别是圆()44:221=++y x C 和圆()14:222=+-y x C 上的点，则||||PN PM -的最大值为______.。

(word完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点,文档

左老师备战考高基础复习资料椭圆〔焦点在 x 轴〕〔焦点在 y 轴〕标准x 2y2y 2x2方程22 1(a b 0)1(a b 0)a b a 2b2第必然义：平面内与两个定点F1， F2的距离的和等于定长〔定长大于两定点间的距离〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。

M MF1MF22a 2a F1F2定义范围极点坐标对称轴对称中心焦点坐标离心率准线方程y yMF2MF1O F2x O xF1第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。

yyM MF2MF1F2xF1xMx a y b x b y a(a,0)(0,b)(0, a)(b,0)x 轴，y轴；长轴长为2a，短轴长为 2b原点O(0,0)F1 (c,0)F2 (c,0)F1 (0, c)F2 (0, c)焦点在长轴上， ca2b2；焦距： F1F22cec( 0 e 1), e2 c 2 a 2b2，a a 2ae 越大椭圆越扁， e 越小椭圆越圆。

xa2ya 2c c左老师备战考高基础复习资料准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：2a2 c极点到极点 A1〔 A2〕到准线 l 1〔 l 2〕的距离为a2ac准线的距离〕到准线 l2〔 l1〕的距离为a2极点 A1〔 A2ac焦点到焦点 F1〔 F2〕到准线l1〔l2〕的距离为a2cc准线的距离〕的距离为a2焦点 F1〔 F2〕到准线 l 2〔 l1cc椭圆上最大距离为： a c到焦点最小距离为： a c的最大相关应用题：远日距离 a c〔小〕距近期距离 a c离椭圆的x a cos 〔x b cos 〔参数方为参数〕为参数〕程y bsin y a sin椭圆上利用参数方程简略：椭圆x a cos0 的的点到y〔为参数〕上一点到直线 Ax By C b sin给定直|Aa cos Bb sin C|线的距离距离为： dA2B2椭圆 x 2y21与直线 y kx b 的地址关系：a 2b2直线和x2y21利用a2b2转变成一元二次方程用鉴识式确定。

(完整word版)圆锥曲线知识点总结,推荐文档

圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。

若 M为椭圆上任意一点，则有|MF 1 I |MF 2 I 2a 。

0的条件，要分清焦点的位置，只要看 X 2和y 2的分表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于X 轴、y 轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心;X 0，得y b ，则B 1（0, b ）， B 2（0,b ）是椭圆与y 轴的两个交点。

同理令 y 0得X a ，即A （ a,0），A 2（a,0）是椭圆与X 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

平面内与两个定点 F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于IF 1F 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆上）。

椭圆的标准方程为:22Xy22a b0）（焦点在 x 轴上）2y a 2XP 1 （ a b 0 ）（焦点在y 轴b 2注：①以上方程中 a,b 的大小 a b 0,其中b 2母的大小。

例如椭圆2y nn ）当m n 时表示焦点在X 轴上的椭圆；当 m n 时1两个方程中都有aX 2①范围：由标准方程a1知|X| a ，|y| b ，说明椭圆位于直线 X a ，b 所围成的矩形里; ②对称性：在曲线方程里, 若以 y 代替y 方程不变，所以若点（X, y ）在曲线上时,（X, y ）也在曲线上, 所以曲线关于X 轴对称，同理，以X 代替X 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。

若同时以X 代替X ， y 代替y③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与X 轴、y 轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令焦距。

（2）双曲线的性质同时，线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

设曲线系方程

设曲线系方程
当您提到“设曲线系方程”时，我理解您可能想要设置一个通用的曲线方程来表示某种类型的曲线。

曲线方程通常用于描述几何形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

以下是一些常见的曲线方程示例：
1. 直线方程：
-斜截式：y = mx + b
-两点式：y - y1 = m(x - x1)，其中m 是斜率
-截距式：x/a + y/b = 1
-一般式：Ax + By + C = 0
2. 圆方程：
-标准式：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心，r 是半径
-一般式：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
3. 椭圆方程：
-标准式：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a 和b 是椭圆的半轴
-一般式：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0
4. 抛物线方程：
-标准式：y^2 = 4px，其中p 是焦距
-顶点式：y = ax^2 + bx + c
-一般式：y = ax^2 + bx + c
5. 双曲线方程：
-标准式：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1，其中a 和b 是双曲线的半轴
-一般式：Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0
如果您想要为特定的曲线或场景设置方程，请提供更多的上下文信息，以便我可以为您提供更具体的帮助。

(完整word版)SN曲线资料大全,推荐文档

1、材料的强度⎩⎨⎧变应力强度次）次数小于静应力强度（应力变化1000 2、材料的疲劳特性：通过最大应力max σ、应力循环次数N 、应力比（循环特性）max min /σσ=r 来描述。

3、材料的疲劳特性通过试验测定，在标准试件上加上一定的应力，记录出在不同最大应力下引起试件疲劳破坏所经历的应力循环次数N 。

4、材料的疲劳特性曲线：在一定的应力比下，疲劳极限与应力循环次数N 的关系曲线。

钢材，107次循环，焊接件：2*106。

5、疲劳破坏：材料受到多次重复变化的载荷作用后，在应力值没有超过材料的强度极限的情况下发生破坏。

6、静力破坏：在一次最大载荷作用下的破坏。

静应力小于屈服极限或强度极限时，不好发生静力破坏。

静力破坏的抗力主要取决于材料本身。

7、疲劳破坏：在多次反复载荷作用下产生的破坏，不是短期内发生的。

交变应力在远小于静强度极限下发生的破坏。

疲劳破坏的抗力与材料的组成、构件的形状或尺寸、表面状况（铸造、锻压等表面质量，电镀或包层等表面处理，喷丸、滚压等特殊处理引入的残余应力）、使用条件以及外界环境都有关系。

8、疲劳强度（疲劳极限）：当交变应力的最大值低于某一定值时，材料经受无限次循环仍然不会发生疲劳断裂，这个最大应力值就称为疲劳强度。

即材料承受的交变应力值低于疲劳强度时，则可经受无限次应力循环而不断裂。

9、S-N 曲线：最大应力max σ或应力振幅a σ与其相应的断裂循环次数N 之间的关系曲线。

在给定的应力比下，应力范围S 越小，寿命越长，当应力范围S 小于某极限值时，试件不发生破坏，寿命趋于无限长。

由S-N 曲线确定的，对应于寿命N 的应力范围，称为寿命为N 循环的疲劳强度。

寿命N 趋于无穷大时所对应的应力范围S ，称为材料的疲劳极限。

10、S-N 曲线的测定：疲劳试验机、成组法、升降法，至少取五级应力水平、各级取一组试件。

11、疲劳曲线和疲劳极限金属承受的最大交变应力与断裂时应力交变次数（循环次数，即疲劳寿命）有直接关系。

数学(文)一轮教学案：第十章第2讲双曲线及其性质 Word版含解析

第2讲双曲线及其性质考纲展示命题探究1 双曲线的定义(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2 双曲线的标准方程根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为： (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 3 双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，则双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或n 2x 2－m 2y 2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．(5)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2)．注意点双曲线定义的理解当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.1．思维辨析(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (4)x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线的充要条件是mn <0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1答案 C解析椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n ＝1(m >0，n >0)，则⎩⎨⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.3．双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点(5,0)的距离是6，则点P 的坐标是________．答案 (8，±33)解析 F (5,0)为双曲线的右焦点，设P (x ，y )，则(x －5)2＋y 2＝36①，与x 216－y 29＝1②，联立①②解得：x ＝8，y ＝±3 3.∴P (8，±33)．[考法综述] 高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研究双曲线的性质．双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题．命题法双曲线的定义和方程典例 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1(2)已知双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为左支上一点，且满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．[解析] (1)由2c ＝10，得c ＝5，∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴1＝2ba ，即a ＝2b . 又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1. (2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2－mn ＝20，m 2＋n 2－2mn ＝16，所以mn ＝4，所以S △F 1PF 2＝12mn sin60°＝ 3. [答案] (1)A (2) 3【解题法】双曲线标准方程的求法 (1)一般步骤①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程． ③列：根据题意列关于a ，b ，c 的方程或者方程组． ④解：求解得到方程． (2)常见问题形式①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程分别为x 2a 2－y 2b 2＝0和y 2a 2－x 2b 2x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1答案 C解析由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y29＝1.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案 D解析由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.4.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13 C.24 D.23答案 A解析 ∵双曲线的离心率为2，∴ca ＝2， ∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2||F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a＝4a 216a 2＝14，选A.5．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x解析双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x .设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，又(2,2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .6．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎨⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.7．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程为________．答案 x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1解析设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ， c 2＝a 2＋b 2＝13λ.由题设知2c ＝213，∴λ＝1，故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1；若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ，c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.由2c ＝213，∴λ＝－1，故所求双曲线方程为y 24－x 29＝1.综上，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1. 1 双曲线的几何性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 3 点P (x 0，y 0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的关系(1)P 在双曲线内(含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2>1； (2)P 在双曲线上⇔x 20a 2－y 20b 2＝1；(3)P 在双曲线外(不含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2<1.注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系离心率e 的取值范围：e >1，当e 越接近于1时，双曲线开口越小；e 越接近于＋∞时，双曲线开口越大.1．思维辨析(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( )(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (3)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )(4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k ＝±e 2＋1.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A. 5B.52C. 3 D ．2答案 A解析依题意设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(其中a >0，b >0)，则其渐近线方程是y ＝±a b x ，由题知a b ＝12，即b ＝2a ，因此其离心率e ＝a 2＋b 2a ＝5aa ＝ 5.3．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析椭圆x 24＋y 23＝1的焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，顶点坐标为(2,0)，(－2,0)．则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)．则双曲线的标准方程为：x 2－y 23＝1.其渐近线为y ＝±3x .[考法综述] 高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大．命题法双曲线的几何性质典例 (1)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞)(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2xD ．y ＝±22x[解析] (1) 如图所示，过点F 2(c,0)且与渐近线y ＝ba x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－ba x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a (x －c )，y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc2a ，即点M ⎝⎛⎭⎪⎫c2，－bc 2a . ∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ，即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>c ，得 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.(2)如图所示，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c,0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.∵|OA |＝|OC |＝a ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°. ∵F A 切圆O 于点A ，∴OA ⊥F A ，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°， ∴|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .[答案] (1)D (2)A【解题法】求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法 (1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(2)求渐近线时，利用c 2＝a 2＋b 2转化为关于a ，b 的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系．1．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 D解析设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.2.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案 B解析解法一：依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9，故选B.解法二：根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)，故选B.3．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 答案 D解析依题意，e 1＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，e 2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2a ＋m＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b a －b ＋m a ＋m ＝ab ＋bm －ab －am a (a ＋m )＝m (b －a )a (a ＋m )，由于m >0，a >0，b >0，且a ≠b ，所以当a >b 时，0<b a <1,0<b ＋m a ＋m <1，b a <b ＋ma ＋m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，所以e 1<e 2；当a <b 时，b a >1，b ＋m a ＋m >1，而b a >b ＋m a ＋m，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，所以e 1>e 2.所以当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2，故选D.4．过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3答案 D解析由双曲线的标准方程x 2－y23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.5.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m答案 A解析由题意，可得双曲线C 为x 23m －y 23＝1，则双曲线的半焦距c ＝3m ＋3.不妨取右焦点(3m ＋3，0)，其渐近线方程为y ＝±1mx ，即x ±my ＝0.所以由点到直线的距离公式得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.6．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析因为0<k <9，所以方程x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1中，其实轴长为10，虚轴长为29－k ，焦距为225＋9－k ＝234－k ；双曲线x 225－k －y 29＝1中，其实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为225－k ＋9＝234－k .因此两曲线的焦距相等，故选A.7．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 A解析由题意，知椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2)a 2＝32，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2)a 4＝34，整理可得a ＝2b .又双曲线C 2的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以bx ±2by ＝0，即x ±2y ＝0.8.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43 B.53 C.94 D ．3答案 B解析根据双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ，可得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2.而由已知可得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝9b 2，两式作差可得－4|PF 1||PF 2|＝4a 2－9b 2.又|PF 1||PF 2|＝94ab ，所以有4a 2＋9ab －9b 2＝0，即(4a －3b )(a ＋3b )＝0，得4a ＝3b ，平方得16a 2＝9b 2，即16a 2＝9(c 2－a 2)，即25a 2＝9c 2，c 2a 2＝259，所以e ＝53，故选B.9．点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±4xC ．y ＝±25xD ．y ＝±26x答案 D解析设△F 1PF 2的三条边长为|PF 1|＝3m ，|PF 2|＝4m ，|F 1F 2|＝5m ，m >0，则2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝m,2c ＝|F 1F 2|＝5m ，所以b ＝6m ，所以b a ＝6m12m＝26，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±26x .10．设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，则|F 1A |＋|F 1B |＋|F 1C |＋|F 1D |＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 A解析依题意，设题中的双曲线方程是x 2－y 2＝1，不妨设点A 、B 、C 、D 依次位于第一、二、三、四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝8，由此解得|AF 1|＝3＋1，|AF 2|＝3－1，同理|DF 1|＝|AF 1|＝3＋1，|CF 1|＝|BF 1|＝|AF 2|＝3－1，|AF 1|＋|BF 1|＋|CF 1|＋|DF 1|＝43，选A.11．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若成立，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.52 C ．2 D.53答案 C 解析12．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．答案5解析由已知不妨设F (－c,0)，虚轴的一个端点为B (0，b )，B 恰为线段PF 的中点，故P (c,2b )，代入双曲线方程，由c 2a 2－(2b )2b 2＝1得c 2a 2＝5，即e 2＝5，又e >1，故e ＝ 5.13．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案 33解析因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为y ＝－3x ，即y ＝±1a x ，所以1a ＝3，故a ＝33.14．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案 52 解析由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2.由题意得PM ⊥AB ，∴k PM ＝－3，得a 2＝4b 2＝4c 2－4a 2，故e 2＝54，∴e ＝52.15．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．答案3解析不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，因为|PF 1|>|PF 2|，所以∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理得cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.∵θ∈(0，π]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤178－98e 2<1，又e >1，∴1<e ≤53. 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[错解][错因分析] 在解答本题时，容易因错误运用双曲线的定义而出错．本题中，|MC 2|－|MC 1|＝2，与双曲线的定义相比，等式左边少了外层绝对值，因此只能表示双曲线的一支，如果不注意这一点，就会得出点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1这一错误结果．[正解] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0，x <0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学模拟]已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y24＝1答案 D解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45.故所求方程为5x 2－5y24＝1，故选D.2．[2016·枣强中学一轮检测]“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.3. [2016·衡水中学周测]已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M 、N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x >1) B ．x 2－y210＝1(x >0) C ．x 2－y28＝1(x >0)D ．x 2－y210＝1(x >1)答案 A解析如图所示，设两切线分别与圆相切于点S 、T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．4．[2016·冀州中学月考]以正三角形ABC 的顶点A ，B 为焦点的双曲线恰好平分边AC ，BC ，则双曲线的离心率为( )A.3－1 B ．2 C.3＋1 D ．2 3答案 C解析如图，设|AB |＝2c ，显然|AD |＝c ，|BD |＝3c ，即(3－1)c ＝2a ，∴e ＝23－1＝3＋1，∴选C.5．[2016·武邑中学周测]已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 A解析由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A.6. [2016·衡水中学月考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，抛物线y ＝116x 2＋1与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 28－y 22＝1 B.x 22－y 28＝1 C ．x 2－y 24＝1D.x 24－y 2＝1答案 D解析由对称性，取一条渐近线y ＝b a x 即可，把y ＝b a x 代入y ＝116x 2＋1，得116x 2－b a x ＋1＝0，由题意得Δ＝b 2a 2－4×116×1＝0，即a 2＝4b 2，又c ＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝5b 2＝5，∴b 2＝1，a 2＝4，选D.7．[2016·枣强中学猜题]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能答案 B解析设以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆的半径分别为r 1，r 2，若P 在双曲线左支，如图所示，则|O 2O 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ＝r 1＋r 2，即圆心距为半径之和，两圆外切，若P 在双曲线右支，同理求得|O 2O 1|＝r 1－r 2，故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故选B.8．[2016·衡水中学期中]已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B.35 C.34 D.45答案 C解析由题意可知a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，又|PF 1|－|PF 2|＝22， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，|F 1F 2|＝4.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×22×42＝34，故选C.9．[2016·武邑中学期中]设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48答案 C解析双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|，∴|PF 2|＝6，|PF 1|＝8. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24，故选C.10．[2016·衡水中学期末]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，则该双曲线的离心率为( )A.52B.5C.2 D ．2答案 B解析由题意可知渐近线为PF 2的中垂线，设M 为PF 2的中点，所以OM ⊥PF 2.tan ∠MOF 2＝MF 2OM ＝ba ，因为OF 2＝c ，所以MF 2＝b ，OM ＝a .因此PF 2＝2b ，PF 1＝2a ，又因为PF 2－PF 1＝2a ，所以b ＝2a ，则c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，即c ＝5a ，故e ＝ca ＝ 5.11．[2016·冀州中学期末]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．答案233解析双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.12．[2016·衡水中学预测]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|P A 1→|是|F 1F 2→|和|A 1F 2→|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．答案2解析由题意可知|P A 1→|2＝|F 1F 2→|×|A 1F 2→|，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，又c 2＝a 2＋b 2，则a 2＝b 2，所以e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 2.能力组13.[2016·枣强中学热身]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C ．2 2 D ．2＋ 2答案 B解析抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且c ＝p2，所以p ＝2c .根据对称性可知公共弦AB ⊥x 轴，且AB 的方程为x ＝p 2，当x ＝p2时，y A ＝p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p .又因为双曲线左焦点F 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，所以|AF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2－p 22＋p 2＝2p ，又|AF |＝p ，所以2p －p ＝2a ，即(2－1)×2c＝2a ，所以c a ＝12－1＝2＋1，选B.14．[2016·衡水中学猜题]焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1答案 B解析设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y 轴上，所以λ＝－12，选B.或利用排除法：因为焦点为(0,6)，故排除A 、D ，又x 22－y 2＝1的渐近线为y ＝±22x ，故选B.15．[2016·衡水中学一轮检测]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是( )A ．|OA |>|OB | B ．|OA |<|OB |C ．|OA |＝|OB |D ．|OA |与|OB |大小关系不确定答案 C解析如图，由于点Q 为三角形PF 1F 2内切圆的圆心，故过点F 2作PQ 的垂线并延长交PF 1于点N ，易知垂足B 为F 2N 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|F 1N |＝12(|F 1P |－|F 2P |)＝a ，又设内切圆与PF 1，PF 2分别切于G ，H ，则由内切圆性质可得|PG |＝|PH |，|F 1G |＝|F 1A |，|F 2A |＝|F 2H |，故|F 1P |－|F 2P |＝|F 1A |－|F 2A |＝2a ，设|OA |＝x ，则有x ＋c －(c －x )＝2a ，解得|OA |＝a ，故有|OA |＝|OB |＝a ，故选C.16. [2016·冀州中学模拟]已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析解法一：设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，代入方程得y 0＝±b 2a ， ∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b 2a . 在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a .又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)， ∵a >0，b >0，∴ba ＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .解法二：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2|PF 2|. 由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a ，由已知易得|F 1F 2|＝3|PF 2|，∴2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2，∵a >0，b >0，∴b a ＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .。

2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 3.1 双曲线及其标准方程 Word版含答案

§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x24－y216＝1的焦点坐标为________．【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)．【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x29－y216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.【答案】x29－y216＝1或y29－x216＝1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为－3－＋－1－＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】 ②④如图331，若F 1，F 2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．图331(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．1．已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】由x29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上，则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，－a2－52b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝78，b2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，52a2－－b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4b2＝124a2－8b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8b2＝4.故所求双曲线的标准方程是x28－y24＝1.(2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a2－4b2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.已知动圆M 12内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x22－y214＝1(x ≥2)．1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x ＞2)．探究1 【提示】双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，综上得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．探究1 双曲线的标准方程a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)和a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？【提示】相同点：它们的形状、大小都相同，都有a ＞0，b ＞0和c 2＝a 2＋b 2. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？【提示】设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】 y24－x25＝14．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】设双曲线的方程为x216－k －y24＋k＝1(－4＜k ＜16)．将点(32，2)代入得k ＝4，所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． (2)x2a2－y2b2＝1中，a ＜0，b ＜0也可以． (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系不确定．【答案】 (1)× (2)× (3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4D ．8【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝9＋7＝16， ∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8，【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF1→·PF2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12abC ．b 2D ．a 2【解析】由题意知|||PF1|－|PF2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2.【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c2＝a2＋b2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－b29＝1 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上．【解】 (1)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8,2c ＝12，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1. ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x25－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。

(完整word版)用几何画板画双曲线

用几何画板画双曲线一．双曲线的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．双曲线的标准方程:设M （x , y ）是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c 〉0）,则如图建立直角坐标系,又F 1、F 2的坐标分别是F 1（－c , 0), F 2(c , 0），若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a （c 〉a 〉0），则｜|MF 1｜－｜MF 2||＝2a ,∴ay c x y c x 2)()(2222=+--++图10－1整理化简，并且设b 2＝c 2－a 2得双曲线的标准方程12222=-b y a x 。

3．双曲线的第二定义：设动点M （x , y ）与定点F（c ， 0)的距离和它到定直线l ： x ＝c a 2的距离的比是常数a c(c 〉a 〉0）,则点M 的轨迹是双曲线.点F 是双曲线的一个焦点，直线l 是双曲线中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(e >1)是双曲线的离心率。

图10－24．双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b （a ， b 〉0）为半径作两个圆,|OA ｜＝a ，｜OB ｜＝b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点,点C 是OA 与半径为bd 圆的交点，过点C 作CN ⊥Ox ,交直线OP 于N ，过点N 作OX 轴的平行线，过点P 作PR ⊥OP ,交Ox 轴于R ，过点R 作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点M ，当点P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双曲线。

设点M 的坐标是（x ， y ),φ是以Ox 为始边，OP 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|OR |＝｜OP |se c φ＝a se c φ,y ＝｜RM ｜＝|CN |＝｜OC |t g φ＝bt g φ， ∴ 双曲线的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=btg y a x sec（φ是参数）.二．双曲线的画法：画法1:图10－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1｜＝｜OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段AB ，使|AB ｜＝2a ，（|AB |<｜F 1F 2｜)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2,使|A 1A 2｜＝｜AB |；4．在AB 延长线上分别取C ',使｜BC '｜＝|A 1F 1|；在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ;5．分别以F 1、F 2为圆心，用｜BC ｜、｜AC ｜为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|AC ｜、|BC |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点"；6．依次选中点C 、点P 1 （或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3），用“作图”菜单中的“轨迹”功能,作出双曲线。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案

第八节曲线与方程轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识点曲线与方程 1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[自测练习]1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.答案：A2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为____________．解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)考点一直接法求轨迹方程|1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.答案：A2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0，故选D.答案：D3．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →，则点P 的轨迹方程为________．解析：设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →的方向向量为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1，OM →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1·⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1直接法求轨迹方程的常见类型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．考点二定义法求轨迹方程|已知点F (1,0)，圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A ，B ，当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求△AOB 面积S 的取值范围．[解] (1)连接QF (图略)．∵|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝22(22>|EF |＝2)，∴点Q 的轨迹是以E (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长2a ＝22的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题结合图形(图略)知直线l 的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为x ＝my ＋n (m ∈R )．∵直线l 即x －my －n ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 又∵点A ，B 的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋2y 2－2＝0，消去x 并整理，得(m 2＋2)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0.由一元二次方程根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－2mnm 2＋2，y 1y 2＝n 2－2m 2＋2.其判别式Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋2)(n 2－2)＝8(m 2－n 2＋2)＝8，又由求根公式得y 1,2＝－2mn ±Δ2(m 2＋2).∵λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋n )(my 2＋n )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mn (y 1＋y 2)＋n 2＝3n 2－2m 2－2m 2＋2＝m 2＋1m 2＋2.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12OA →2·OB →2－(OA →·OB →)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12|(my 1＋n )y 2－(my 2＋n )y 1|＝12|n (y 2－y 1)|＝12|n |·Δm 2＋2＝2·m 2＋1(m 2＋2)2＝2·m 2＋1m 2＋2·1m 2＋2∵m 2＋1m 2＋2＋1m 2＋2＝1，且λ＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34， ∴S △AOB ＝2·λ·(1－λ)∈⎣⎡⎦⎤64，23.定义法求轨迹方程的思路(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．1．已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A ，B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，得x 2－8kx －16＝0. 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A ，B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1·k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .考点三代入法求轨迹方程|在圆O ：x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M 为线段PD 的中点．(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系． [解] (1)设M (x ，y )，则P (x,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋(2y )2＝4，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2.显然与轨迹E 相切．当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)． ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |k 2＋1＝2，即t 2－4k 2－4＝0. 又∵直线MN 的斜率为k 2，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－t k ，0，∴直线MN 的方程为y ＝k2⎝⎛⎭⎫x ＋t k ，即y ＝12(kx ＋t )．由⎩⎨⎧y ＝12(kx ＋t )，x24＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.∵Δ＝(2kt )2－4(1＋k 2)(t 2－4)＝－4(t 2－4k 2－4)＝0，∴直线MN 与轨迹E 相切．综上可知，直线MN 与轨迹E 相切．代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求与所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标的关系表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．答案：C27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用【典例】已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m ≠0)．求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状．[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．[解] 设动点M (x ，y )，依题意有y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)，整理得x 24－y 2m＝1(x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程．当m >0时，轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；当m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆；当m ＝－4时，轨迹是圆；当m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上．[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类： (1)二次项系数为0的值． (2)二次项系数相等的值．[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )解析：a >b >0得1b 2>1a 2>0，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1表示的是焦点在y 轴上的椭圆；方程ax ＋by 2＝0，即y 2＝－ab x 表示的是焦点在x 轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.答案：DA 组考点能力演练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y >0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件．2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．答案：A3．(2016·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B4．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0，故选A.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：M 点的轨迹是双曲线x 216－y 29＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x 2＋y 2＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2＋y 2＝9不是“好曲线”．6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是_____________________________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －18．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)9．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫1，22，C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .解：(1)设P (x ，y )．由已知，得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y 2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)， |CF |＝22(2－x 2)，因为2|BF |＝|AF |＋|CF |，所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)，所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，y 1＋y 22，其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．②因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．解：(1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2. x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，即y ＝x 22－x 214(x 1＋x 2)(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A 1，D ，B 三点共线． B 组高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意知c ＝5，c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P 的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线P A 的斜率为k ，∵P A ⊥PB ，则切线PB 的斜率为－1k. 切线P A 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)x 29＋y 24＝1得4x 2＋9[k (x －x 0)＋y 0]2＝36，即(4＋9k 2)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，∵切线P A 与椭圆相切， ∴Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－4(4＋9k 2)[9(y 0－kx 0)2－36]＝0，化简得4＋9k 2－k 2x 20＋2kx 0y 0－y 20＝0.①同理，切线PB 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，与椭圆方程x 29＋y 24＝1联立可得，4＋9k 2－x 20k 2－2x 0y 0k－y 20＝0，即4k 2＋9－x 20－2kx 0y 0－k 2y 20＝0.② 由①＋②得13(1＋k 2)－(1＋k 2)(x 20＋y 20)＝0，即(1＋k 2)(x 20＋y 20－13)＝0，∵1＋k 2≠0，∴x 20＋y 20－13＝0，即x 20＋y 20＝13.经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足x 20＋y 20＝13，故点P (x 0，y 0)的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253. 不妨设其交点为P 1⎝⎛⎭⎫53，253，P 2⎝⎛⎭⎫53，－253，设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪32－k －4k ||k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。

专题47 待定系数法——求曲线的方程-2019年高三数学一轮复习热点解读与精选精练专题Word版含解析

专题47 待定系数法----求曲线的方程【热点聚焦与扩展】待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用待定系数法确定曲线方程. 待定系数法中方程的形式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+② 圆：220x y Dx Ey F ++++=；()()222x a y b r -+-=.③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>(1)方程2222y +=1x a b 与2222y +=(>0)x a bλλ有相同的离心率．(2)与椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b 共焦点的椭圆系方程为22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． ④ 双曲线：(1)标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>（或()222210,0y x a b a b-=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn -=>(2) 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线22221x y a b-=渐近线相同的双曲线系方程为：()22220x y a b λλ-=≠ ⑤抛物线：标准方程：()220y px p =>等抛物线方程通式：2y mx =，2x my =【经典例题】例1. 一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A ）53-或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 【答案】D例2.设斜率为2的直线l 过抛物线2y ax ＝ ()0a ≠的焦点F ，且和y 轴交于点A. 若(OAF O △为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±8x【答案】D【解析】2y ax ＝的焦点是4a F （,0），直线l 的方程为2()4a y x =-，令0x =得,(0,)22a ay A =，所以由OAF △的面积为4得，214,64,8224a aa a ⋅⋅===±，故选D . x/k//w例3.中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为2e =，且与直线y x =+ ） A ．2213216x y += B ．22163x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 【答案】C【解析】因为椭圆的离心率2e =，所以22=a c ，所以21122=-a b ，2122=a b ，则可设椭圆的方程为122222=+b y b x，与y x =+022438322=-++b x x ，因为直线与椭圆相切，所以0=∆，即0)224(34)38(22=-⨯⨯-b ，解得42=b ，则82=a ，所以椭圆的方程为22184x y +=例4.【2018届华大新高考联盟高三1月】抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线22149x y -= 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为（）A. 28x y = B. 212x y = C. 28y x = D. 212y x = 【答案】A例5.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 60c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 例6.【2018届天津市部分区高三上学期期末】以点()0,b 为圆心的圆与直线21y x =+相切于点()1,3，则该圆的方程为__________．【答案】227524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭答案： 227524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭例7.求经过点两点的椭圆标准方程.【答案】22y +=1155x 【解析】设椭圆方程为221mx ny ＋＝ (0)0m n m n ≠＞，＞且，∵点在椭圆上， ∴121341m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11m=,n=.155故22y +=1155x 为所求椭圆标准方程．例8.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，经过点2F 且倾斜角为45的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）若1ABF ∆的周长为16，求直线l 的方程；（2）若24||7AB =，求椭圆C 的方程．【答案】（1）2:-=x y l ；（2）13422=+y x ．【解析】试题分析：（1）1ABF ∆的周长为16可得a 的值，由离心率为12得c 的值，得2F 坐标，代入直线的点斜式方程可得直线l 的方程；（2）由离心率及c b a ,,关系化简椭圆方程2221243c y x =+，联立椭圆及直线方程，整理关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系得21,x x 的值，代入弦长公式，建立等式，可得c 的值，从而得椭圆的方程．则c x x 7821=+ 22178c x x -=且0>∆ ∴()72472473249642422221221==+=-+=c c c x x x x AB ，解得1=c ，从而得所求椭圆C 的方程为 13422=+y x ．例9.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为,A B ，且AB =（1）求椭圆C 的离心率 x/k**w（2）若斜率为2的直线l 过点()0,2，且l 交椭圆C 于,P Q 两点，OP OQ ⊥，求直线l 的方程及椭圆C 的方程【答案】（1（2）2214x y +=. 【解析】（1）由椭圆方程可得：()()(),0,0.,,0A a B b F cAB BF a ∴===AB =222524a b a =⇒+= 2242a b a b ∴=⇒=联立方程：2222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 可得：()22242240x x b ++-=，即：2217321640x x b ++-=2121216432,1717b x x x x -∴=+=-()()()212121212142222444417b y y x x x x x x -∴=++=+++=⋅22121216414401717b b x x y y --∴+=+⋅=，解得：1b =经检验：当1b =，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件∴椭圆方程为2214x y +=例10.已知点F 是椭圆C 的右焦点，,A B 是椭圆短轴的两个端点，且ABF 是正三角形（1）求椭圆C 的离心率（2）直线l 与以AB 为直径的圆O 相切，并且被椭圆C 截得的弦长的最大值为C 的标准方程【答案】（1（2）221123x y +=.（2）由（1）可得椭圆的方程为：22244x y b +=，设l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,M x y N x y若l斜率不存在，可得弦长MN = 若l 斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程：()()22222224184044y kx m k x kmx m b x y b=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ()2212122248,1414m b kmx x x x k k-∴+=-=++ ()()()()22222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=++-⎣⎦，整理可得：()()()22222222161414k b m k b MN k +-+∴=+a ∴=∴椭圆方程为：221123x y += 【精选精练】1.【2018届云南省昆明市第一中学高三第五次月考】直线l 过点()0,2且圆2220x y x +-=相切，则直线的l 的方程为（）A. 3480x y +-=B. 3420x y ++=C. 3480x y +-=或0x =D. 3420x y ++=或0x =【答案】C【解析】当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，而圆心为()1,0，半径为1，所以1d ==，解得34k =-；当直线l 的斜率不存在，即直线l 为0x =时，直线l 与圆2220x y x +-=相切，所以直线l 的方程为3480x y +-=或0x =，故选：C ．2.已知圆2222210x x y my m -+-+-=，当圆的面积最小时，直线y x b =+与圆相切，则b =（） A ．1± B ．1 C．【答案】C 【解析】由题意可知：圆的标准方程为()()()111222+-=-+-m m y x ，所以当1=m 时圆的面积最小，此时圆的圆心为()1,1，半径为1，又因为直线y x b =+与圆相切，所以212±=⇒==b b d . x.k..w3.）C. 5D. 【答案】B4.，为椭圆的左顶点，，则椭圆的离心率为（）B.【答案】C轴对称，，代入椭圆方程，C.5.【2018届江西省南昌市高三第一次模拟】已知椭圆，为坐标原点，是椭圆上两点，、( )B. C.【答案】C，本题选择C 选项.6.【2018届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点()0,6A -，则圆C 的标准方程为__________．【答案】()()223318x y +++=【解析】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，其圆心为(),C a b ，半径为(0)r r >∵2210100x y x y +++=可化简为()()225550x y +++=故答案为()()223318x y +++=7.【2018届内蒙古集宁第一中学高三上学期第二次月考】已知双曲线Ｓ与椭圆221934x y +=的焦点相同,如果34y x =是双曲线Ｓ的一条渐近线,那么双曲线Ｓ的方程为_______________.【答案】221916y x -= 【解析】∵椭圆方程为221934x y +=，双曲线Ｓ与椭圆221934x y +=的焦点相同 ∴双曲线Ｓ的焦点坐标为()0,5±设双曲线方程为22221y x a b -= (0,0)a b >>，则c=5∵34y x =是双曲线Ｓ的一条渐近线 ∴34a b =, ∵222c a b =-∴3a =， 4b =∴双曲线Ｓ的方程为221916y x -=. 故答案为221916y x -= 8.在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。

(完整word版)圆锥曲线专题

圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。

设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。

如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。

a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。

“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜＝或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。

(word完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P 处的外角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 25 .假设P o(X o, y o)在椭圆与yY 1上,那么过P0 a b的椭圆的切线方程是警缪1. a b2 26 .假设P0(X o, y o)在椭圆占4 1外,那么过a bP0作椭圆的两条切线切点为P1、P2, 那么切点弦P1P2的直线方程是x o x y o y-2~ ~2~1.a b2 27.椭圆\ 4 1 (a>b>0)的左右焦点a b分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2 ,那么椭圆的焦点角形的面积为S F PF b2 tan-. 1 222 28 .椭圆=yr 1 (a>b>0)的焦半径公a b式：IMF I | a ex0,|MF2 | a e%(F1( c,0),F2(C,0) M(x0,y.)).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两点,那么MF XNF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A I、A2为椭圆长轴上的顶点,A I P和A2Q交于点M, A2P和A I Q交于点N,那么MFXNF.2 211. AB是椭圆与当1的不平行于对称轴a b的弦,M(x°,y°)为AB的中点,那么b2k OM k AB _2,a即K AB整.a V.双曲线1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的内角, 那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)2 25 .假设P o(%,y.)在双曲线与3 1 (a>a b0,b>0〕上,那么过B的双曲线的切为AB 的中点,那么K OM K AB 线方程是粤.当1.a b2 26.假设R〔X°,y.〕在双曲线与匕ab 1 (a>0,b>0〕外,那么过Po作双曲线的两条切线切点为P「P2,那么切点弦P1P2的直线方程是X0X y0 y 1.即K ABb2X.-20a y.212.右P Q〔X.,y.〕在双曲线—2ab2X.-2 )a y.1 (a>0,b>0〕内,那么被Po所平分的中点弦的方程是2 2X Q X y°y X0 y2 27.双曲线 : 〕a b 右焦点分别为线上任意一点1 〔a>0,b>o〕的左F 2,点P为双曲F1PF2 ,那么双曲线2 . 2 2aba213.假设P0(x0,y0)在双曲线—ab2 yb7 1(a>的焦点角形的面积为S2 2 F1PF2b2cot—.20,b>0〕内,那么过Po的弦中点的轨2 2迹方程是3线誓岑.a2b2a2b28 .双曲线: I 1 〔a>0,b>o〕的焦a b半径公式：〔F1〔 c,0〕, F2〔c,0〕当M〔X0,y°〕在右支上时,|MF1| ex0 a ,| MF2 | ex0 a.当M〔X0, y°〕在左支上时,|MF1| eX0 a,|MF2| eX0 a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线椭圆与双曲线的对偶性质-椭1.相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别2.交相应于焦点F的双曲线准线于M、N 两点,那么MFXNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲3.线交于两点P、Q, A「A2为双曲线2 2椭圆三-yy 1 〔a>b>o〕的两个顶 a b 点为A〔 a,0〕,A2〔a,0〕,与y轴平行的直线交椭圆于P r P2时A1P1与A2P22 2交点的轨迹方程是3多1. a b2 2过椭圆与与1 〔a> 0, b>0〕上任 a b 一点A〔X0,y.〕任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc骆〔常数〕.a y.2 2假设P为椭圆33 1 〔a>b>0〕上 a b实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦M, A2P和A1Q交于点N,那么MF点, PFE PF2F1±NF.tan — cot —.2 11. AB是双曲线三a2纭 1 (a> 0,b> 0) b 4. 设椭圆得a24 1 (a>b>0)的两个b2的不平行于对称轴的弦,M 〔X., y°〕焦点为F I、F2,P 〔异于长轴端点〕为椭圆上任意一点,在△ PF1F2中, 记F1PF2 ,PF1F2 , F i F2P ,那么有点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,贝E|MN |210.椭圆与ae.22yb21 ( a> b>0)sin c --- ----- e.sin sin a ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点25.假设椭圆与a 2 y_b21 (a> b>0)的左、右焦点分别为F i、F2,左准线为L,2 .2P(x°,0),那么a211.设P点是椭圆三aX2 ,2a baa> b>0)那么当0<e<点1时,可在椭圆上求一点P,使得PF i是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2 26. P为椭圆二与1 (a>b>0)上任a b 上异于长轴端点的任一点,F i、F2 为其焦点记F1PF2 ,那么八2b21) 1P削0、一点,F i,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,那么2) S PF1F2 b2tan-.1 2 2212.设A、B是椭圆与a 1 ( a> b2a |AF2 11PA | | PF i | 2a |AF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, PAB ,PBA , BPA , c、e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有2 27.椭圆区舁1与直线a bAx By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0 By0 C)2.2 28.椭圆一4 1 (a>b>0), O a b为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点, 且OP OQ .(1)|PA|tan tanS PAB2 . .2ab |cos |2a2bb213.椭圆9. 1)2)3)2 2c cos1 e2.(3)2.(2)2a2xacot2yb21 ( a>b>0)的右准线l与X轴相交于点E ,过椭圆1 1 1 1 .| OP |2|OQ |2a2b2;|OP2+|OQ|2的最大值为2 2S OPQ的最小值是告红a b右焦点F的直线与椭圆相交于A、B2 24a2b2 .~~2 ,a b2冬i (a>b>0)的右焦b两点,点C在右准线l上,且BC x轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一双曲线2 21 .双曲线二4 1 (a>0,b>0) a b的两个顶点为A( a,0) , A2(a,0), 与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹2 2方程是x2 4 1.a b2 22 .过双曲线与4 1 (a>0,b>o)a b上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc 辂(常数).a V.23 .假设P为双曲线与a>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2 , PF2F1,那么c-a tan—cot—(或c a 2 2c a x----- tan—cot —7.c a 2 22 24.设双曲线与与1 (a>0,b>0) a b的两个焦点为F「F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中,记F1PF2 ,PF1F2 , \F2P ,那么有sin c--------------------- --- e.(sin sin ) a2 25 .假设双曲线-2 -V2- 1 (a>0,b>0) a b的左、右焦点分别为F「F2,左准线为L,那么当1<ew V2 1时,可在双曲线上求一点巳使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 2 26 . P为双曲线与4 1 (a>0,b> a b2£ 1( a> 0,b0)上任一点,F I,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,那么2 ,SPF1F2b COt二.22 212.设A、B是双曲线与与a b 1 (aIAF2I 2a |PA| |PF i|,当且仅当>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABA,F2,P三点共线且P和A, F2在y PBA , BPA , C、e 分别是轴同侧时,等号成立双曲线的半焦距离心率,那么有2 7.双曲线x2 a与直线Ax2y2 1 (a> 0,b> 0) b By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.2 28.双曲线tI 1 (b>a >a b0), O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP OQ .1)2)3)2 . .2ab | cos ||PA|「2-N | a c cos |2tan tan 1 e .SPAB2, 22a b ,2一 2 cotb a 213.双曲线占a2j 1 (a> 0,b>(1)| OP |2|OQ I2(2) |OP2+|OQ|2的最小值为2,2(3) S OPQ的最小值是-2巴b2a2 2 4a b . ~22 ；b a2 29.过双曲线与匕1 (a>0,b>0)a b的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么|PF | e .|MN | 22 210.双曲线 \ 4 1 (a>0,b>a b0) ,A、B是双曲线上的两点, 线段AB的垂直平分线与x轴相2 .2交于点P(x°,0),那么x.a~^或 a2 ,2a b x-- .a2 211.设P点是双曲线与与1 (a>a2b20,b> 0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2 ,那么⑴|PF1||PF2|产一.⑵1 cos0)的右准线l与x轴相交于点E , 过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).〔注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点〕.17 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种根底知识、采用多种数学手段来处理问题.熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧.一.紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了.例1.点A (3, 2), F (2, 0),双曲线2X2匕1,P为双曲线上一点.31求|PA| 1|PF|的最小值.2解析：如下图,双曲线离心率为2, F为右焦点,由第1二定彳t知1|PF|即点P到准线距离.1 5|PA| |PF| |PA| |PE| AM -2 2二.引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决.例2.求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程.解：取如下图的坐标系,设点F到准线l的距离为p (定值),椭圆中央坐标为M (t, 0) (t为参数) ,叫.2 .b pc pt再设椭圆短轴端点坐标为P (x, y),那么X c ty b ..pt消去t,得轨迹方程y2 px三 .数形结合,直观显示将“数〞与“形〞两者结合起来,充分发挥“数〞的严密性和“形〞的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化.熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题.例3.x,y R,且满足方程x2 y2 3(y 0),又m --3 ,求m 范围.解析：m —-的几何意义为,曲线x 3x2 y2 3(y 0)上的点与点(—3, — 3)连线的斜率,如下图四.应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几〞题中的一些图形性质就和“平几〞知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解.例4.圆(x 3)2 y2 4和直线y mx的交点为P、Q,那么|OP||OQ|的值为.解：OMP ~ OQN|OP||OQ| |OM||ON| 5五.应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具.例5.椭圆：工y- 1 ,直线l :24 16y12 81, P是l上一点,射线OP交椭圆于六.应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效.所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一.例6.求经过两圆x 2 y 2 6x 4 0和 22x y 6y 28 0的父点,且圆心在直线x y 4 0上的圆的方程.点R,点Q 在OP 上且满足|OQ||OP| |OR|2 ,当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程.解：设所求圆的方程为：22_22_x 2y 26x 4 (x 2y 26y 28) 0 (1 )x 2 (1)y 2 6x 6 y (284) 0分析：考生见到此题根本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出. 解：如图,OQ, OR, OP 共线,设 OR OQ , OP OQ , OQ (x, y),贝U 那么圆心为(」_ , _J_),在直线11x y 4 0 上解得 7故所求的方程为x 2 y 2 x 7y 32 0OR ( x, y) , OP ( x, y) 2七.巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些.例7.过点A (2, 1)的直线与双曲线2x 2 — 1相交于两点P 1、P 2,求线段P 1P 2中点2的轨迹方程.解：设 P ,(x1,Y I ) , P 2(x 2, y 2),那么2X I 2 X22 Y I2 2Y 2 2|OQ||OP| |OR| <2> —<1> 得(X 2 X I )(X I X 2)1 2(Y 2 Y I )(Y I2Y 2)2 22 |OQ|2 2|OQ|22点R 在椭圆上,P 点在直线l 上 2 222———匕1,三△ 12416 12 8 2 2即士 L 二y241612 8化简整理得点Q 的轨迹方程为： 22 _(x 1) (y 1) 2 … -—广1(直线y — x 上万 5 5 323局部) 即 Y 2 Y I2( X I X 2) X 2 X IY I Y 2设P 1P 2的中点为M(X O , y 0),那么kP 1P 2Y 2 Y Ix 2 X 12xY O又,而P I 、A 、M 、P 2共线k P 1P2k AM,即^X O 2Y O的轨迹方程是2x 2 y 2 4x y 0P 1P 2中点M解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解做题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆, 圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的根底知识.解做题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆车t 曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.例1点T 是半圆O 的直径AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB 为直腰作直角梯形 AA B B ,使AA 垂直且等于AT,使BB 垂直且等于BT , A B 交半圆于P 、Q 两点,建立如图所示的直角坐标系.⑴写出直线A B 的方程； (2)计算出点P 、Q 的坐标;(3)证实：由点P 发出的光线,经AB 反射后,反射光线通过点Q.饼斛：通过I 卖图,看出A , B 点的坐标. 一…' ' .'一 ,.…(1 )显然A 1,1 t , B 1,1 t ,于是直线A B 的方程为ytx 1 ;222(2)由方程组 x y 1,解出 P(0,1)、Q(1/,」^)； y tx 1, 1 t 1 t由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点T 反射,反射光线通过点Q.需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗？22例2直线l 与椭圆\ J 1(a b 0)有且仅有一个交点Q,且与x 轴、y 轴分别交于R 、S, a b 求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.讲解：从直线l 所处的位置,设出直线l 的方程,由,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为y kx m(k 0). 代入椭圆方程 b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2,得 b 2x 2 a 2(k 2x 2 2kmx m 2)a 2b 2.化简后,得关于x 的一■兀二次方程 (a 2k 2b 2)x 2 2ka 2mxa 2m 2 a 2b 20.于是其判别式(2ka 2m)2 4(a 2k 2 b 2)(a 2m 2 a 2b 2) 4a 2b 2(a 2k 2 b 2 m 2).由,得^ 二0 .即a 2k 2 b 2 m 2.①在直线方程y kx m 中,分别令y=0, x=0,求得R ( —,0),S(0,m). k(3) k PTk QT2t1t(it 2昌m I, y x—, k — 令顶点P 的坐标为(x, y), 由,得 k解得 xym.m y.2, 2代入①式并整理,得 a 2 b 2 1,即为所求顶点P 的轨迹方程.x 2 3 y 22. 2方程土上1形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗？22x y例3双曲线x 2 4 1的离心率e .,过A (a,0),B(0, b)的直线到原点的距离是 —.a 2b 2 32(1)求双曲线的方程；的值.设C(x i ,y i ),D(x 2,y 2),CD 的中点是 E(x o ,y o ),那么2(2)考虑直线l 的斜率的存在性,可分两种情况:解出 e i)当k 存在时,设l 的方程为y k(x c)于是椭圆方程可转化为x 2 2y 2 2c 2 0 ................................. ②(2)直线y kx5(k 0)交双曲线于不同的点 C, D 且C, D 都在以B 为圆心的圆上,求k讲解：:( 1) £ a2卡原点到直线AB:二 1的距离dab ■..a 2 1, ab 2■、.ab c、3~2~故所求双曲线方程为x 2 2V y 1.(2)把y kx 5代入x 23y 23中消去y,整理得(12 23k 2)x 230kx 78x .x 1x 22 15 k U y 0kx 05； : । 2 , kBE1 3ky 01x 0x 0 ky 0 k0,即15 k 3k 25 k---------- - k 0,又 k 1 3k 20, k故所求k= ± a.为了求出 k 的值,需要通过消元,想法设法建构k 的方程.例4椭圆 C 的中央在原点,焦点F I 、F 2在x 轴上,点P 为椭圆上的一个动点, 的最大值为90° ,直线l 过左焦点F I 与椭圆交于A 、B 两点,4ABF 2的面积最大值为且/ 12.F 1PF 2(1)求椭圆C 的离心率; (2)求椭圆C 的方程. 讲解: (D 设IPF I I「I ,|PF 2| "F I F 2|2c ,对PF I F 2,由余弦定理,得cos F 1PF 21 22r 1 r 2 4c2rj 2(.L)22r 1r 2 4c 2 2rj 24a 4c 1------------- 1 1 r 1 r 2 2 2(七壬卜面给出此题的另一解法,请读者比拟二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为：x my c (这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思 2 2椭圆的方程为：x ^ \ 1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) a b 由e 字得：a 2 2c 2,b 2 c 2,于是椭圆方程可化为: 把①代入②并整理得：(m 2 2)y 2 2mcy c 2 于是y 〞y 2是上述方程的两根. AB 边上的高h 一c1 m 2当且仅当m=0取等号,即S max 收02. 由题意知v2c 2 12,于是b 2 c 2 66,a 2 12V2 .故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为：上工12. 262将①代入②,消去y 得 x 2 2k 2(x c)2 2c 20,整理为x 的一元二次方程,得._2、22_2.2、一(1 2k )x 4ck x 2c (k 1) 0.那么x i 、x 2是上述方程的两根.且 | x 2 x i | 2 .. 2c1 k AB 边上的高 h | FR | sin BF 1 F 21 2c |k|,2,1 k2kk 2| x 2 x i |2 2c(1 k 2)；~2,1 2k厂也可这样求解:2c 1cc/1 k 2、 |k | c S -2 2c( 2) |—| 22c212k1 k 212产区| M y 2|2.2c 2.rviki 1 2k 2k 2k 4k 24k 42'2"1 1 42k k,2c 2.c | k | | x ix 2 |ii)当k 不存在时,把直线x c 代入椭圆方程得 y£c ,|AB|由①②知S 的最大值为V2c 2由题意得2c 2 = 12所以c 2 6 2 b 212 2故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为：上12. 2 2V 1.6 2x 2 2y 2 2c 2 0 .................. (2|AB| \(x 1、2 z、2x ) (y1 m2 | y 2 y 1|1 m2 4m2 2, 2,2c 4c (m 2)2m 2-22 2c(1 m 2)从而 S l|AB|h 二2 2c(1m2)22 m 2 22c221 m22 2c 21m2c(m 2)22 2c 2■ m1 1 122m 212c 2. 1.2 2例5直线y x 1与椭圆之与1〔a b 0〕相交于A、B两点,且线段AB的中点在直 a b 线l :x 2y 0上.〔1〕求此椭圆的离心率；〔2 〕假设椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上,求此椭圆的方程.y 讲解：〔1〕设A、B两点的坐标分别为A〔x1,y〕 BM, y?〕.那么由x2-2 a2 2、 2 2 2 2(a b )x 2a x a a,- 4.2如果| AB | ——,求直线MQ的万程；〔2〕求动弦AB的3中点P的轨迹方程.、… r 4、2讲解：〔1〕由1A Bi可,可得|MP| J MA |2 (LA%2J12(迪)2 1,由射影定理,得2 . 3 3|MB |2|MP | |MQ |,得|MQ | 3,在RtAMOQ 中,|OQ | <| MQ |2 |MO |2、32 2 2 M5 ,故a 盘或a <5 ,所以直线AB方程是2x J5y 2运 0或2x 岛2匹 0; x 1, y2行2_ 1 b2根据韦达定理,得x1 x2与,,y2函 a bX2)2b 2a2b2「•线段AB的中点坐标为〔2 .2a b~2 -2 , -2 ~2 a b a b2由得二J a2b22b-2 a 厂0, a2 2b2 2(a2 c2) 2c2,故椭圆的离心率为〔2〕由〔1〕知 b c,从而椭圆的右焦点坐标为F〔b,0〕,设F〔b,0〕关于直线l:x 2y 0的对称点为(x°, y°),那么也x0 b 2 f 0,解得X. 3 b且y°2 b 55由得4,3 2(b)52 2(-b)2 4, b24,故所求的椭圆方程为—1 .5 8 4.M:x2(y 2〕2 1,Q是x轴上的动点,QA, QB分别切.M于A, B两点, (DC............ I _ z — I 1............................... ~~z 2 y_2(2)连接MB, MQ,设P(x,y),Q(a,0),由点M, P, Q 在一直线上,得一 -一,(*) a x由射影定理得| MB |2 |MP | | MQ |,即 &一(y 2)2 商—4 1,(**)7 c 1把(*)及(**)洎去a,并注意到y 2,可得x2(y -)2—(y 2).4 16适时应用平面几何知识,这是快速解答此题的要害所在,还请读者反思其中的微妙a—例- 如图,在Rt^ABC 中,/CBA=90° , AB=2 , AC=旧.2DO=2 ,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程；(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设-DM ,试确定DNDO LAB 于.点,OA=OB ,实数讲解: 的取值范围.(1)建立平面直角坐标系,如下图 : | PA |+| PB |=| CA |+|CB | V=得 22 ( 22)22V2「•动点P的轨迹是椭圆;、区b 1,c 1；曲线E的方程是(2)设直线L的方程为y kx 2,代入曲线E的方程x i 2y2 2,得(2k22(8k)2 4(2k 1)8k x2x〔x22 ,2k2 162 .2k 1i) L与y轴重合时, ii) L与y轴不重合时, x2x1 0,.(x〔x2)2x1 x2xx2x2x i1)x2 8kx 0设M1 ( 〞乂), N(x2, y),0,| DM |rDNu由①得DMDNxD X MX D X Nx1x2 x1 0, .,.0< < 1 ,1 2-.(x x2)2x1 x264k226(2k2 1)3213(2 -7)k那抛物线有两个不同的交点,因此l 与l 不重合,l 不是CD 的垂直平分线.此题是课此题的深化,你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累,水平在联想中提升 .课本是高测试题的生长点,复课切忌忘掉课本!1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)由 e / 得 a 2 2c 2,b21 .,・•・ 6 3(2-2) 8.■ ■ 432V~ 3(2 -r) k16 ・二 4 16 31,10 32, 1.的取值范围是10 3值得读者注意的是,直线 L 与y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.例8直线l 过抛物线y 22 Px(p 0)的焦点,且与抛物线相交于 A (x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点.(1)求证：4x 1x 2p 2; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线l 不是CD 的垂直平分线.讲解：(1)易求得抛物线的焦点F (£°). 2,2 …・右l ,x 轴,那么l 的方程为x P 显然x 1x 2 —.右l 不垂直于x2,八〞 4 轴,可设y k(x P),代入抛物线方程整理得 2__ _ 2x 2P(1 ,)x — k 4 0,那么x 1x 2—.综上可知 4X I X 24.2. 2(2)设C(J c) D(L d)且c d ,那么CD 的垂直平分线l 的万程为y Jd 2p' ' 2p' 2c d——(x 2P2 2〞) 4P假设l 过F,那么0,2, 2一3(R c d )整理得 (c d)(2p 2 c 2 d 2) 2p 2 4p2p 2 c 2 d 2 0 ,d 0.这时l 的方程为y=0,从而l 与抛物线y 2 Px 只相交于原点.而l 与。

(完整word版)高中数学有关圆锥曲线的经典结论

分析几何专题·经典结论·常用技巧Marine相关分析几何的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT均分△ PF1F2在点 P 处的外角 .2.PT 均分△ PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21上，则过 P0的椭圆的切线方程是x0 x y0 y1.2222a b a b6.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点a2b2弦 P1P2的直线方程是xxy0 y1.椭圆 x2y2a2b27. 1 (a＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1， F 2，点P 为椭圆上随意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F PF2b2 tan .12椭圆 x2y 28.1（a＞b＞0）的焦半径公式：a2b2| MF1 |a ex0,| MF2 |a ex0(F1 ( c,0), F2(c,0)M ( x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆订交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个极点，连接AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF⊥ NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2为椭圆长轴上的极点，A1P 和 A2Q交于点 M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF⊥NF.2111.AB 是椭圆x2y2 1 的不平行于对称轴的弦，M(x0 , y0 ) 为AB的中点，则a2b2k OM k AB b2a2，即 K AB b2 x0。

a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )x2y 21 内，则被Po在椭圆b2所平分的中点弦的方程是a2x0 x y0 y x02y02 a2b2a2b2.13.若 P ( x, y )在椭圆x2y2 1 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是000a2b2x2y2x0 x y0 ya 22a2b2.b二、双曲线1.点 P 处的切线 PT 均分△ PF1F2在点 P 处的内角 .2.PT均分△ PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线订交 .4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a＞0,b＞ 0）上，则过P0的双曲线的切线方程a2b2是 x0 x y0 y1.a2b26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切a2b2x0 x y0 y线切点为 P 、P ，则切点弦P P 的直线方程是1.1212a2b27.双曲线x2y21（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上随意a2b2一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1 PF2b2co t.28.双曲线x2y21 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1( c,0),F2 (c,0) a2b2当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0a ,| MF2 |ex0 a .当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 |ex0 a , | MF 2 |ex0a9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线订交P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个极点，连接 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、 N两点，则 MF⊥ NF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的极点，A P 和 A Q交于点M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF⊥ NF.122111.AB 是双曲线x2y 21 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M( x0, y0)为 AB a2b2b2 x0b2 x0的中点，则 K OM KAB，即 K AB。

(完整word版)N2吸脱附曲线说明

关于氮气等温吸脱附计算比表面积、孔径分布的若干说明我们拿到的数据,只有吸脱附曲线是真实的，比表面积、孔径分布、孔容之类的都是带有主观人为色彩的数据。

经常听到有同学说去做个BET,其实做的不是BET，是氮气等温吸脱附曲线，BET(Brunauer—Emmet-Teller）只是对N2-Sorption isotherm中p/p0=0。

05~0.35之间的一小段用传说中的BET公式处理了一下，得到单层吸附量数据Vm，然后据此算出比表面积，如此而已。

◆六类吸附等温线类型几乎每本类似参考书都会提到，前五种是BDDT（Brunauer—Deming-Deming-Teller)分类，先由此四人将大量等温线归为五类，阶梯状的第六类为Sing增加.每一种类型都会有一套说法，其实可以这么理解,以相对压力为X轴，氮气吸附量为Y轴,再将X轴相对压力粗略地分为低压（0。

0-0。

1）、中压(0。

3-0。

8)、高压（0。

90-1。

0）三段.那么吸附曲线在：低压端偏Y轴则说明材料与氮有较强作用力（І型，ІІ型，Ⅳ型），较多微孔存在时由于微孔内强吸附势，吸附曲线起始时呈І型；低压端偏X轴说明与材料作用力弱(ІІІ型，Ⅴ型)。

中压端多为氮气在材料孔道内的冷凝积聚,介孔分析就来源于这段数据，包括样品粒子堆积产生的孔,有序或梯度的介孔范围内孔道。

BJH方法就是基于这一段得出的孔径数据;高压段可粗略地看出粒子堆积程度，如І型中如最后上扬,则粒子未必均匀。

平常得到的总孔容通常是取相对压力为0。

99左右时氮气吸附量的冷凝值.◆几个常数※液氮温度77K时液氮六方密堆积氮分子横截面积0。

162平方纳米，形成单分子层铺展时认为单分子层厚度为0。

354nm※标况（STP）下1mL氮气凝聚后(假定凝聚密度不变)体积为0。

001547mL例：如下面吸脱附图中吸附曲线p/p0最大时氮气吸附量约为400 mL,则可知总孔容＝400*0。

001547＝400/654＝约0。

(完整word版)高数公式大全(费了好大的劲)

高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos22cos 112sin cos sin2tan tan 21tan cot1cot 22cot 2221221sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-==++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==+==±-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,1n a >=;1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或第二章导数与微分1、基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)![ln()](1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x -----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

(完整word版)圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用

圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用张生引例给定圆222)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明：（1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--；（2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--。

高考链接3。

（2011江西）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是【答案】22154x y += （2013山东）过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=【答案】A过点)4,3(P 作圆1:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上,则ba 21+的最小值为。

6411+过椭圆14922=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ∆的面积的最小值为。

32已知椭圆)1(12222>>=+b a b y a x ，圆222:b y x O =+,过椭圆上任一与顶点不重合的点P 引圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 与x 轴y 轴分别交于点N M ,，则=+2222||||OM b ON a 。

22b a 探究1 给定椭圆12222=+by a x 和点),(00y x P ，证明:（1）若点P 在椭圆上，则过点P 椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ；别为B A ,，（2）若点P 在椭圆外，设过点P 所作椭圆的两条切线的切点分则直线AB 的方程为12020=+byy a x x 。

高二解析几何难点微专题：二次曲线系及应用

23.二次曲线系及应用若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.定理 1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明：过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆. 定理2若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=. 证明由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=. 充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a ab b b aλ-=-.此时曲线③即220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.例1 (2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程； (2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.解 (1)(过程略)椭圆E 的方程是2214x y +=.(2)设1,1()A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y .可得222212121,144x x y y +=+=，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得 12121212()()()()4x x x x y y y y +-=-+-0121212120124()4AB x y y x x k x x y y y -+====--+-0012CDy k x ==-所以0AB CD k k +=，由推论1得,,,A B C D 四点共圆. 再由相交弦定理，立得=MA MB MC MD ⋅⋅.例2.(2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A 、B 为双曲线λ=-222y x 上的两点，点N (1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点. (1)确定λ的取值范围；(2)试判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？并说明理由.解析：（1）用点差法可求得直线AB 的方程是1+=x y ，由直线AB 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得1->λ且0≠λ.得直线CD 的方程是3+-=x y ，由直线CD 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得9->λ且0≠λ.所以λ的取值范围是),0()0,1(+∞⋃-.(2) 在(1)的解答中已0AB CD k k +=，所以由推论1立得,,,A B C D 四点共圆.例3 (2014年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题))已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且PQ QF 45=. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于N M ,两点，且N B M A ,,,四点在同一圆上，求l 的方程.(答案：(1)x y 42=；(2)01=--y x 或01=-+y x .)。

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曲线系方程及应用
曲线系方程
１．直线系：0),(),(21=+y x f y x f μλ；
２．圆系⎪⎩⎪⎨⎧=+++-+-=+0)()()(0),(),(202021C By Ax y y x x y x f y x f λμλ：与直线切于一点的圆系
相交圆系：３．二元二次曲线C ：022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示的曲线的类型：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧抛物线型
双曲线型椭圆型
４．圆锥曲线系
定理一:给定五点，其中三点在直线l 上,另外两点不在l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线(即两条直线）．
定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．
推论一：若圆锥曲线0),(:0),(:2211==y x f C y x f C 与有四个不同交点,则过两
曲线交点的曲线方程为：0),(),(21=+y x f y x f μλ．
推论二：若直线0),(0),(22221111=++==++=C y B x A y x l C y B x A y x l 及与圆
锥曲线C ：0),(=y x f 有四个不同交点,则过这四个交点的曲线系方程
为：0),(),(),(21=+y x l y x l y x f μλ．
推论三:若四直线及与及0),(:0),(:0),(:332211===y x l l y x l l y x l l
0),(:44=y x l l 有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：
0),(),(),(),(4321=+y x l y x l y x l y x l μλ．
推论四：),3,2,1(P )3,2,1(141i P P i P i P i i ===+为不共线三点，直线的方程为:
0),(=++=i i i i C y B x A y x l 则曲线系为：
0),(),(),(),(),(),(133322211=++y x l y x l y x l y x l y x l y x l λλλ．
二．曲线系方程的应用
1.求一条经过五点)2
1,21(),1,0(),1,1(),0,1(),0,0(-的圆锥曲线． 2、四条直线0:,05:,06:,0253:4321==+=--=-+y l y x l y kx l y x l 围成一个四边形，问k 取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．
3、已知AB ，CD 是椭圆122
22=+b
y a x 的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆． 4、已知三角形三边所在直线方程为01,0,0=-+==y x y x ,求经过这个三角形的三个顶点,且过(3,1）点的抛物线方程．
例５．求过点C(4,4)042),6,9(),2,1(切于点且与直线=+---y x B A 的抛物线方程．
例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证:过Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．
例７．已知四边形ABCD 的边AB ，CD 相交于O ，过O 点任作一直线l 交AC 于E ，交BD 于F ，过A,B ，C ，D 任作一圆锥曲线S 与l 相交于G ，H,求证： OF
OE OH OC 1111+=+．例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行,求证：三组对边所在直线的交点共线．
练习
１．已知椭圆01y 0,2x 1-y x 04222=++=+=-+与两条直线y x 有四个交点，求过这４个交点的二次曲线的方程．
２．求过点)2,3(),0,2(),1,1(),1,1(),0,0(--D C B A O 五点的二次曲线方程．
３．在⊙Ｏ中,弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ,求证：ＥＭ＝ＭＦ．
４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．。