(完整word版)曲线系方程及应用

曲线系方程及应用

曲线系方程

１．直线系：0),(),(21=+y x f y x f μλ；

２．圆系⎪⎩⎪⎨⎧=+++-+-=+0)()()(0),(),(202021C By Ax y y x x y x f y x f λμλ：与直线切于一点的圆系

相交圆系： ３．二元二次曲线C ：022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示的曲线的类型：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧抛物线型

双曲线型椭圆型

４．圆锥曲线系

定理一:给定五点，其中三点在直线l 上,另外两点不在l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线(即两条直线）．

定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．

推论一：若圆锥曲线0),(:0),(:2211==y x f C y x f C 与有四个不同交点,则过两

曲线交点的曲线方程为：0),(),(21=+y x f y x f μλ．

推论二：若直线0),(0),(22221111=++==++=C y B x A y x l C y B x A y x l 及与圆

锥曲线C ：0),(=y x f 有四个不同交点,则过这四个交点的曲线系方程

为：0),(),(),(21=+y x l y x l y x f μλ．

推论三:若四直线及与及0),(:0),(:0),(:332211===y x l l y x l l y x l l

0),(:44=y x l l 有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：

0),(),(),(),(4321=+y x l y x l y x l y x l μλ．

推论四：),3,2,1(P )3,2,1(141i P P i P i P i i ===+为不共线三点，直线的方程为:

0),(=++=i i i i C y B x A y x l 则曲线系为：

0),(),(),(),(),(),(133322211=++y x l y x l y x l y x l y x l y x l λλλ．

二．曲线系方程的应用

1.求一条经过五点)2

1,21(),1,0(),1,1(),0,1(),0,0(-的圆锥曲线． 2、四条直线0:,05:,06:,0253:4321==+=--=-+y l y x l y kx l y x l 围成一个四边形，问k 取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．

3、已知AB ，CD 是椭圆122

22=+b

y a x 的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆． 4、已知三角形三边所在直线方程为01,0,0=-+==y x y x ,求经过这个三角形的三个顶点,且过(3,1）点的抛物线方程．

例５．求过点C(4,4)042),6,9(),2,1(切于点且与直线=+---y x B A 的抛物线方程．

例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证:过Ａ，Ｂ，Ｃ，

Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．

例７．已知四边形ABCD 的边AB ，CD 相交于O ，过O 点任作一直线l 交AC 于E ，交BD 于F ，过A,B ，C ，D 任作一圆锥曲线S 与l 相交于G ，H,求证： OF

OE OH OC 1111+=+． 例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行,求证：三组对边所在直线的交点共线．

练习

１．已知椭圆01y 0,2x 1-y x 04222=++=+=-+与两条直线y x 有四个交点，求过这４个交点的二次曲线的方程．

２．求过点)2,3(),0,2(),1,1(),1,1(),0,0(--D C B A O 五点的二次曲线方程．

３．在⊙Ｏ中,弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ,求证：ＥＭ＝ＭＦ．

４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．